Առաձգականության տեսություն - Թաղանթներ

Թաղանթներ են կոչվում մակերեսային կրողները, որոնց միջին մակերեսը հարթ չէ, այլ նկատելիորեն ուռուցիկ է։ Նրանց ստատիկական վարքը զգալիորեն տարբերվում է տախտակի վարքից։ Երբ ունեն հարմար ձև, նրանց լարումն էապես փոքր է, համապատասխան չափով՝ կոշտությունը ավելի մեծ, իսկ հաշվարկը մեծ մասամբ՝ ավելի պարզ։

Յուրաքանչյուր թաղանթի լարվածությունը կարելի է բաժանել երկու մասի՝ մեմբրանային լարվածություն և ծռում։ Մեմբրանային լարվածությունները, ինչպես նաև հարթության մեջ բեռնված սալիկի լարվածությունները, կարելի է արտահայտել շոշափական հարթությունում գործող հատույթային ուժերի միջոցով՝ օրինակ՝ x=const հատույթում՝ նորմալ ուժը _Nx=_σx*t և սահող ուժը _Nxy=_τxy*t, որտեղ t-ն թաղանթի հաստությունն է։ Ծռման հետևանքով առաջացող լարվածությունները նույնն են, ինչ սալերի դեպքում, և կարող են ներկայացվել ծռման մոմենտներով Mx, ոլորող մոմենտներով Mxy և սահող ուժերով Qx։

Թաղանթների կարևոր հատկությունները հիմնված են այն փաստի վրա, որ կանոնավորապես ծռումից առաջացող լարվածությունները չունեն մեմբրանային լարվածությունների մեծությունը և նշանակությունը, ուստի հաճախ կարող են լրիվ անտեսվել։ Այդ դեպքում բոլոր լարվածությունները հավասարապես բաշխված են թաղանթի հաստությամբ և գործում են միջին մակերեսին շոշափելիորեն։ Այս ենթադրությունների վրա հիմնված հաշվարկները մտնում են թաղանթների մեմբրանային տեսության շրջանակը։

Պտտականորեն սիմետրիկ թաղանթների մեմբրանային տեսություն՝ պտտականորեն սիմետրիկ բեռնվածքի դեպքում

Ընդհանուր ձևեր

Կոորդինատային գծերի համար ընդունվում են թաղանթի միջին մակերևույթի մեrիդիաններն ու զուգահեռ շրջանները, ուստի կոորդինատներն են՝ ազիմուտ ϑ («աշխարհագրական երկայնություն») և մեrիդիանի նկատմամբ շոշափողի թեքումը φ՝ համաչափության առանցքին ուղղահայաց հարթության նկատմամբ (նկ. 1ա)։ Ըստ այդմ՝ հատման ուժերն են՝ նորմալ ուժ Nφ՝ մեrիդիանի ուղղությամբ և նորմալ ուժ Nϑ՝ օղակի մեջ (նկ. 1բ)։ Սահող ուժերը Nφϑ չեն առաջանում պտտականորեն համաչափ լարումի դեպքում։ Մակերեսի միավորին ընկնող բեռը նշվում է հետևյալ կերպ (նկ. 1բ)՝ Y՝ մեrիդիանի նկատմամբ շոշափող, դրական՝ այն ուղղությամբ, որով φ-ն աճում է, Z՝ նորմալ թաղանթին, դրական՝ դեպի համաչափության առանցքը։

Սլ.1

Նկ. 2

Թող լինի միջօրեականի կորության շառավիղը r1։ Այն φ անկյան ֆունկցիա է, հետևաբար _r1=r1(_φ) հավասարումով որոշվում է միջօրեականի ձևը։ Սա կարելի է դիտել որպես միջօրեականի հավասարում և, օրինակ, ունի հետևյալ տեսքը։

շրջանի համար                                       r1=a=const.

պարաբոլի համար                                 r1=a/cos3__φ

էլիպսի համար          r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2

N__φ նորմալ ուժը միջօրեական ուղղությամբ հաշվարկելու համար պետք է սահմանել հավասարակշռության պայմանը այն թաղանթի մասի համար, որը գտնվում է զուգահեռ շրջանի φ վերևում (նկ. 2)։ Y և Z բեռների համազոր արդյունքը R, որոնք ազդում են այս մասի վրա, սիմետրիայի պատճառով ուղղահայաց է։ Դրա մեծությունը ստացվում է թաղանթի մակերեսի վրա ինտեգրելով φ’=0-ից մինչև φ’=φ։ Թաղանթի տարրի մակերեսը dF=r1d__φ’*rd__ϑ է, հետևաբար բեռի ուղղահայաց բաղադրիչը (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF է։ φ’ և φ’+dφ’ շրջանների միջև գտնվող թաղանթի ամբողջ օղակաձև մասի համար արտաքին բեռի համազոր արդյունքը՝

dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,

որտեղից էլ ինտեգրելով ըստ φ’ այն թաղանթի մասի համար, որը գտնվում է φ’=φ զուգահեռ շրջանից վեր, ստացվում է՝

Հավաս. 1

Այս բեռը ընդունում են մերձօրեական ուղղությամբ գործող նորմալ ուժերը, որոնք ազդում են նկատված շրջանի շրջագծով։ Այս ուժերի արդյունքի ուղղահայաց բաղադրիչը 2__πr * N__φ sin__φ, է, և հավասարեցումից ստացվում է որոնվող նորմալ ուժը

Հավաս. 2

Եթե թաղանթը վերևի մասում կտրված է φ=φ0 շրջագծով (օրինակ՝ գմբեթում լուսավորության բացվածք), ապա ինտեգրալի ստորին սահմանը, բնականաբար, φ0 է, ոչ թե զրո։ Եթե այս կերպ առաջացած թաղանթի եզրի վրա ազդում է նաև R0 բեռը, ապա այն նույնպես պետք է ավելացնել R արդյունքին (նկ. 3)։

Սլ.3

Նորմալ ուժը N__ϑ որոշելու համար պետք է սահմանել կեղևի տարրի հավասարակշռության պայմանը՝ տանգենցիալ հարթությանը ուղղահայաց (նկ. 4): Արտաքին բեռնվածության արդյունքը այս ուղղությամբ հավասար է Z r1 d__φ r d__ϑ։ N__φ*r d__ϑ ուժերը, որոնք գտնվում են մերյիդիոնալ հարթությունում, միմյանց հետ կազմում են փոքր d__φ անկյուն, ուստի նրանց արդյունքը կեղևին ուղղահայաց ուղղությամբ կլինի N__φ r d__ϑ*dφ։ Նույն կերպ՝ Nϑ r1 dφ ուժերը, որոնք գտնվում են հորիզոնական շրջանի հարթությունում և միմյանց միջև կազմում են dϑ անկյուն, ունեն Nϑ r1 dφ*dϑ արդյունք, որը նույնպես գտնվում է հորիզոնական շրջանի հարթությունում և, հետևաբար, կեղևին նորմալի հետ կազմում է 0,5_π-φ_ անկյուն, այնպես որ հավասարակշռության պայմանում հաշվի է առնվում միայն նրանց բաղադրիչը Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ։ Հետևաբար, հավասարակշռության պայմանը ունի հետևյալ տեսքը

կամ, երբ բաժանվում է r r1 dϑ dφ-ի վրա՝

Մեկը.3

Այստեղ r2=r/sinφ-ով նշված է թաղանթի կորության երկրորդ գլխավոր շառավիղը։

Սլ.4

Կլոր գմբեթ

Երբ մերդիանի ձևը վերլուծականորեն տրված է r1=r1(φ) հավասարմամբ, և Y(φ) ու Z(φ) բեռների համար տրված են վերլուծական արտահայտություններ, թաղանթի հատային ուժերը միշտ կարելի է որոշել՝ ինտեգրելով փակ տեսքով կամ թվային եղանակով՝ օգտագործելով Սիմփսոնի- կանոնը։ a տրամագծով շրջանաձև գմբեթի համար ստորև տրվում են հատային ուժերը որոշ բեռնավորման դեպքերի համար.

Վերջին բանաձևը, որը φ=0-ի համար տալիս է անսահման մեծ հատող ուժեր, կիրառելի է միայն ուժի ներգործության կետից որոշակի հեռավորության վրա։ Ուժի կիրառման վայրի անմիջական շրջակայքում, նույնիսկ երբ այն բաշխված է վերջավոր, բայց փոքր տրամագծով շրջանի մակերեսով, բեռնվածությունը հիմնականում փոխանցվում է ճկումով։

Վերևի մասում բացված պատյանների ձևերը կարելի է ստանալ նախորդներից, եթե իրական բեռնվածությանը գագաթնակետում ավելացվի մտացածին բեռ P, որի մեծությունը այդպես է որոշվում, եթե պատյանի վերին եզրին ազդող՝ միջօրեական ուղղությամբ ընդհանուր նորմալ ուժը φ=φ0 կազմում է Nφ=0, կամ հավասար է որևէ արժեքի, որը որոշվում է արտաքին ուժերով, որոնք պատյանն այստեղ ընդունում է։

Կոնաձև թաղանթ

Սլ.5

Կոնի թաղանթի դեպքում միջօրեականի թեքությունը φ չի կարող որպես կոորդինատ օգտագործվել, քանի որ բոլոր կետերում այն ունի նույն արժեքը։ Դրա փոխարեն ներմուծվում է գմբեթի գագաթից մինչև գոյագծի երկայնքով չափված հեռավորությունը s (նկ. 5)։ Համապատասխանաբար միջօրեական ուղղությամբ նորմալ ուժը նշվում է Ns։ Անհրաժեշտ բանաձևերը կարելի է ստանալ նշվածներից՝ 1-ում, երբ կատարվում է սահմանային անցում։ Հավասարումից (2) այդ կերպ ստացվում է

և հավասարումից (3)

Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.

Բեռնվածության ամենակարևոր դեպքերի համար գործում են հետևյալ բանաձևերը՝

Մերիդիանի կամայական ձևի համար գրաֆիկական եղանակ

Նկ. 6

Երբ միջօրեականի կորը տրված չէ վերլուծական արտահայտությամբ, այլ, օրինակ, գրաֆիկորեն, կորության շառավիղի որոշումը չափազանց դժվար և անճշտ է։ Այդ դեպքում ավելի նպատակահարմար է կիրառել գրաֆիկական մեթոդը (նկ. 6)։

Թաղանթը բաժանվում է բազմաթիվ φ=const. հարթություններով, հաշվարկվում են դրանց միջև ընկած օղակաձև գոտիների Δ_R_ քաշերը և ամենալավն է դրանք անմիջապես բաժանել 2_π_-ի վրա։ Այդ ուժերը ΔR/2π տեղափոխվում են ուժերի պլան (նկ. 6b)։ Եթե ապա, օրինակ, բաժանարար կետ 7-ով անցկացվի մարիդիանի 7 կետում մարիդիանի շոշափողին զուգահեռ ուղիղ, ապա ուժերի պլանի վերին կետով անցկացված հորիզոնականը դրա վրա կկտրի R1/2π sinφ7 երկարությամբ հատված, որից, հիմք ընդունելով հավասարումը (2), համապատասխան r-ի բաժանմամբ ստացվում է մարիդիանի ուղղությամբ համապատասխան նորմալ ուժը։

Օղակներում ուժերը որոշելու համար օգտագործվում է թաղանթի մեկ տարրի վրա գործող հորիզոնական ուժերի հավասարակշռության պայմանը։ Եթե գործում են միայն ուղղահայաց բեռներ, այս պայմանը գրվում է (նկ. 4):

Երբ այստեղ dφ-ն փոխարինվում է վերջավոր տարբերությամբ Δφ, որը համապատասխանում է ընդունված թաղանթի բաժանմանը, և երբ r1 dφ-ի փոխարեն ներմուծվում է միջօրեական տարրի երկարությունը Δs, այստեղից ստացվում է

Աջ կողմի փակագծում նշված է հորիզոնական ուղիղի հատվածը ուժերի պլանում։ Հետևաբար ամբողջ աջ կողմը ներկայացնում է այս ուղիղի բաժանման կետերի միջև ընկած հատվածները։ Դրանք բավական ճշգրիտ ընթերցելու համար ուժերի պլանը պետք է գծված լինի խնամքով և բավարար մեծ մասշտաբով։

Ձգված և սեղմված օղակներ

Յուրաքանչյուր պտտականորեն սիմետրիկ թաղանթ սահմանափակված է մեկ կամ երկու հորիզոնական շրջանով (նկ. 7)։ Այս եզրերին այն սկզբունքորեն կարող է ընդունել միայն այնպիսի բեռներ և հենարանների ռեակցիաներ, որոնք ունեն մեռիդիանին տանգենտի ուղղություն։ Եթե արտաքին ուժերն ունեն այլ ուղղություն, ինչպես օրինակ՝ կառուցվածքի վերին մասից գործող բեռը P կամ նկ. 97-ում ներկայացված պահոցի հատակի ռեակցիան S, ապա այդ ուժերը, ինչպես ցույց է տրված նկարում, պետք է քայքայվեն հորիզոնական շրջանի և մեռիդիանի տանգենտի ուղղությամբ բաղադրիչների։ P/sinφ0 կամ S/sinφu բաղադրիչը հավասար է մեռիդիանի ուղղությամբ գործող նորմալ ուժին Nφ, մինչդեռ հորիզոնական ուժը Pctgφ0 կամ Sctgφu ընդունելու համար անհրաժեշտ է օղակ, որը վերցնում է ձգում, համապատասխանաբար՝ սեղմում, և որի մեջ այս ճառագայթային բեռնվածությունը առաջացնում է նորմալ ուժ + P r0 ctgφ0, համապատասխանաբար՝ -S ru ctgφu. Նման օղակներ, բացի թաղանթի եզրերից, պետք է տեղադրվեն նաև այն բոլոր վայրերում, որտեղ մեռիդիանի կորը կտրուկ շրջադարձ ունի։ Դրանք միշտ առաջացնում են լարվածությունների մեմբրանային վիճակի խանգարում։

Նկ. 7

Պտտական համաչափ կեղևներում ծռման հետևանքով առաջացող լարումները

Թաղանթային տեսության բանաձևերը չեն պարունակում բավարար քանակի ինտեգրման հաստատուններ, որպեսզի կարողանան բավարարվել բոլոր սահմանային պայմանները, որոնք իրականում համապատասխանում են տրված խնդրին։ Հատկապես պտտականորեն սիմետրիկ թաղանթների դեպքում հնարավոր չէ ինտեգրման հաստատունների որևէ հարմար ընտրությամբ ապահովել, որ եզրի երկայնքով թաղանթի օղակային ուղղությամբ εϑ = Nϑ/Et ձգվածությունը հավասար լինի որևէ այլ կառուցողական մասի համապատասխան ձգվածությանը, որը այդտեղ նրան ամրորեն միացված է։ Նույնը վերաբերում է նաև այն թաղանթներին, որոնցում մեկ հորիզոնական շրջագծի երկայնքով կտրուկ փոխվում է միջօրեականի կորությունը, թաղանթի հաստությունը կամ մակերեսի միավորին ընկնող բեռնվածությունը։ Եվ երբ թաղանթը որևէ եզրի երկայնքով օղակով չի կոշտացված, բայց այս տեղում բեռնված է այնպիսի ուժերով, որոնք ունեն բաղադրիչ՝ թաղանթի նորմալի ուղղությամբ (օրինակ՝ բեռնվածությունը P՝ նկ. 7-ում, երբ ենթադրվում է, որ օղակը հեռացված է), ապա այն չի կարող նման բեռները ընդունել միայն թաղանթային ուժերի միջոցով։ Նման դեպքերում սահքային ուժը և ճկման մոմենտները (նկ. 8) էական դեր են խաղում թաղանթում ուժերի բաշխման մեջ, ինչը ստատիկ հաշվարկում պետք է հաշվի առնել։

Սլ. 8

Պատյանի ծռման ճշգրիտ հաշվարկը, բացի գլանային պատյանի ամենապարզ հատուկ դեպքից, շատ դժվար խնդիր է։ Բարակ պատերով պատյանների համար կարելի է կառուցել պարզ և շատ կիրառելի մոտավոր տեսություն, որը հիմնվում է խիստ տեսությունից հայտնի այն փաստի վրա, որ ծռման հետևանքով առաջացող լարումները սահմանափակվում են եզրին հարող համեմատաբար նեղ գոտում և արագ նվազում են եզրից հեռավորության աճի հետ։ Սա հնարավորություն է տալիս անտեսել ճշգրիտ դիֆերենցիալ հավասարման մեծ թվով անդամներ, և այն ստանում է պարզեցված ձև։

Եթե եզրային գոտում, որն այստեղ միակ հետաքրքրություն ներկայացնողն է κ, այն փոխարինվի միջին արժեքով, իսկ դա գրեթե միշտ հնարավոր է, ապա հավասարման լուծումն է

Հավաս. 4 և 5

որտեղ a1, b1, a2, b2 ինտեգրացիոն հաստատուններն են։ Քանի որ լուծումը հետաքրքիր է միայն եզրի φ=φ0 մոտակայքում, հարմար է որպես կոորդինատ ներմուծել այս եզրից անկյունային հեռավորությունը ω=φ0-φ կամ ω=φ-φ0, իսկ վերևում նշված լուծումը ձևափոխելով ստացվում է երկրորդ նշված արտահայտությունը։ Այստեղ հայտնվում են միայն երկու ինտեգրացիոն հաստատուններ A, B կամ C, ψ, քանի որ լուծման մյուս մասը, որը պարունակում է eκω գործոնը և, հետևաբար, ω-ի աճի հետ չի նվազում, կարելի է բացառել դիտարկումից։

Հավասարում 5-ի հիման վրա ստացվում են հետևյալ արժեքները հատումային ուժերի և մերիդիանի շոշափողի κ պտույտի համար՝

Կռումից առաջացած լարումները շրջանաձև գլանի ձևի ռեզերվուարներում

Ենթադրենք՝ h բարձրությամբ գլանաձև ռեզերվուարը լցված է ջրով (նկ. 9)։ Այդ դեպքում x բարձրության վրա՝ երկու ռեզերվուարների վերևում, ջրի ճնշումը կլինի p=γ(h-x)։ Եթե այս բարձրության վրա երկու հորիզոնական հատումներով՝ dx հեռավորությամբ, ռեզերվուարից կտրվի օղակ և այն բաժանվի մեկ տրամագծով երկու մասի, ապա դրանցից մեկի հավասարակշռության պայմանը տալիս է օղակում մեմբրանային ուժը Nφ=pa։ Եթե ռեզերվուարի հաստությունը այս տեղում t է, ապա օղակում երկարացման հարաբերական փոփոխությունը εφ=Nφ/Et է, և հետևաբար ռեզերվուարի շառավիղի մեծացումը (թեքումը) կլինի

Հետևաբար ստորին եզրում x=0 է

Նկ. 9

Ոչ մեկը, ոչ մյուսը, որպես կանոն, սահմանային պայմաններին համապատասխան չէ, քանի որ պատի դեֆորմացիան արգելված է ջրամբարի հատակի հետ կապի պատճառով։ Այդ դեպքում բալոնի հատակի և պատի միացման տեղում առաջանում են Qx0 լայնական ուժերը և Mx0 մոմենտները (նկ. 11), որոնց մեծությունը պետք է այնպես որոշել, որ դրանք, միասին հենց նոր հաշվարկված թաղանթային ուժերի հետ, առաջացնեն թաղանթի այդ դեֆորմացիան, որը թույլ է տալիս հատակը՝ թաղանթի եզրին։

Նկ. 10, 11, 12, համապատասխանաբար

Նկ. 11-ում ցույց է տրված dx*a dφ թաղանթի տարրը՝ դրա վրա ազդող ուժերով։ Թաղանթի նորմալ ուղղությամբ ուժերի հավասարակշռության պայմանը տալիս է

dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,

որտեղից բաժանելով dx dφ՝

a Q’x + Nφ = p a.

Այն պայմանից, որ մոմենտը գլանի հորիզոնական շոշափողի շուրջ զրոյական է, ստացվում է․

dM/dx = M’x = Qx

Այս երկու հավասարումներից transվերսալ ուժի Qx վերացման դեպքում ստացվում է

a M’’x + Nφ = p a.

Հավ. 6

Այս հավասարման մեջ այս անհայտ հատույթային ուժերը կարելի է արտահայտել շեղման w միջոցով։ Nφ համար արդեն գտնվել է Nφ=Etw/a, իսկ մոմենտը համեմատական է մեռիդիանի կորությանը w’’, այսինքն՝ Mx=Kw’’, որտեղ, ինչպես սալերի դեպքում, K=Et3/12(1-μ2)-ն թաղանթի կոշտությունն է, որը կարող է փոփոխական լինել x-ի հետ։ Եթե միջին ուժերի այս արտահայտությունները տեղադրվեն հավասարման մեջ (6), ստացվում է պահոցի տեսության դիֆերենցիալ հավասարումը․

Այն ռեզերվուարի համար, որի պատի հաստությունը անփոփոխ է, լուծումն է՝

Մեկը.7

որտեղ λ4=3(1-μ2)/a2t2։ Եթե λh-ն մեծ է (ասենք՝ ավելի մեծ է 3-ից), ապա ավելի հարմար է հիպերբոլիկ ֆունկցիաների փոխարեն ներմուծել էքսպոնենցիալները, ապա՝

Մեկը.8

Այնուհետև կարող են միմյանցից անկախ որոշվել A1, B1 հաստատունները՝ ստորին եզրի սահմանային պայմաններից, իսկ A2, B2 հաստատունները՝ վերին եզրի սահմանային պայմաններից, ընդ որում, կանոնավորաբար ստացվում է A2=B2=0։ Հավասարումից (8) և (7) ստացվում են հատման ուժերը, երբ հաշվարկը կատարվում է հակառակ ուղղությամբ և ամենուր կիրառվում է հավասարումը (8) և (7); այսպիսով, օրինակ, A2=B2=0_-ի համար՝

Երբ ռեզերվուարի պատերը կոշտ կերպով ամրացված են սալիկին, իսկ ռեզերվուարի հատակը բավական հաստ է, որպեսզի դիտվի որպես կոշտ, A1, B1 հաստատունները պետք է որոշվեն այն պայմանից, որ x=0, w=0 և w’=0՝ ապա ստացվում է՝

Եթե ռեզերվուարի հատակը էլաստիկ թիթեղ կամ թաղանթ է, ապա Qx խաչաձև ուժերը և Mx մոմենտները հատակի և գլանային պատի միջև ընկած եզրային շրջագծով պետք է որոշվեն ստատիկ անորոշ համակարգերի տեսության մեթոդներով՝ ելնելով այն պահանջից, որ Mx և w’ երկու մասերի համար ունենան նույն արժեքը։