Cáscaras se llaman los soportes superficiales cuya superficie media no es plana sino notablemente convexa. Su comportamiento estático difiere considerablemente del de una placa. Cuando tienen una forma adecuada, sus tensiones son bastante menores, su rigidez es en la misma medida mayor, y el cálculo en la mayoría de los casos más sencillo.
La tensión de cada cascarón puede descomponerse en dos partes: tensión membranal y flexión. Las tensiones membranales, de manera análoga a las tensiones en una placa cargada en su propio plano, pueden expresarse mediante fuerzas seccionales en el plano tangencial; por ejemplo, en la sección x=const. la fuerza normal _Nx=_σx*t y la fuerza cortante _Nxy=_τxy*t, donde t es el espesor del cascarón. Las tensiones debidas a la flexión son las mismas que en las placas y pueden representarse mediante momentos flectores Mx, momentos torsionales Mxy y fuerzas cortantes Qx.
Las propiedades esenciales de los cascarones se basan en el hecho de que, por regla general, las tensiones debidas a la flexión no tienen ni la magnitud ni la importancia de las tensiones membranales, de modo que a menudo pueden despreciarse por completo. En ese caso, todas las tensiones están distribuidas uniformemente a través del espesor del cascarón y actúan tangencialmente sobre la superficie media. Los cálculos que se basan en estas suposiciones entran en el marco de la teoría membranal de los cascarones.
Teoría de membranas de cascarones simétricos de revolución bajo carga simétrica de revolución
Formas generales
Como líneas de coordenadas se adoptan los meridianos y los círculos paralelos en la superficie media de la lámina, por lo que las coordenadas son: el azimut ϑ (“longitud geográfica”) y la inclinación φ de la tangente al meridiano respecto del plano perpendicular al eje de simetría (fig. 1a). En consecuencia, las fuerzas de corte son: la fuerza normal Nφ en dirección del meridiano y la fuerza normal Nϑ en el anillo (fig. 1b). Las fuerzas cortantes Nφϑ no aparecen en el caso de una solicitación simétricamente rotacional. La carga por unidad de superficie se обозначa de la siguiente manera (fig. 1b): Y tangencial al meridiano, positiva en la dirección en que aumenta φ, Z normal a la lámina, positiva hacia el eje de simetría.
Fig. 1
Fig. 2
Sea el radio de curvatura del meridiano r1. Es función del ángulo φ, por lo que la ecuación _r1=r1(_φ) determina la forma del meridiano. Esta puede considerarse como la ecuación del meridiano y se expresa, por ejemplo.
para círculo r1=a=const.
para la parábola r1=a/cos3__φ
para la elipse r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Para calcular la fuerza normal N__φ en la dirección del meridiano hay que plantear la condición de equilibrio de la parte de la cáscara que se encuentra por encima del círculo paralelo φ (fig. 2). La resultante R de las cargas Y y Z que actúan sobre esta parte es vertical, por simetría. Su magnitud se obtiene integrando sobre la superficie de la cáscara desde φ’=0 hasta φ’=φ. La superficie del elemento de cáscara es dF=r1d__φ’*rd__ϑ, por lo que la componente vertical de la carga es (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Para toda la parte anular de la cáscara que se encuentra entre los círculos φ’ y φ’+dφ’ la resultante de la carga exterior es:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
de donde, integrando respecto de φ’ para la parte de la cáscara situada por encima del círculo paralelo φ’=φ, se obtiene:
Ecuación 1
Esta carga la reciben las fuerzas normales en la dirección del meridiano, que actúan a lo largo de la circunferencia del círculo considerado; la componente vertical de la resultante de estas fuerzas es 2__πr * N__φ sin__φ, por lo que, al igualar, se obtiene la fuerza normal buscada
Ecuación 2
Si la lámina en la parte superior se corta a lo largo del círculo φ=φ0 (por ejemplo, una abertura de iluminación en la cúpula), el límite inferior de la integral es, naturalmente, φ0, y no cero. Si sobre el borde de la lámina así obtenida actúa también la carga R0, ésta debe añadirse también a la resultante R (fig. 3).
Fig. 3
Para determinar la fuerza normal N__ϑ hay que plantear la condición de equilibrio del elemento de la lámina perpendicular al plano tangencial (fig. 4). La resultante de la carga exterior en esta dirección es Z r1 d__φ r d__ϑ. Las fuerzas N__φ*r d__ϑ que se encuentran en el plano meridional forman entre sí un pequeño ángulo d__φ, por lo que su resultante en la dirección de la normal a la lámina es N__φ r d__ϑ*dφ. De modo similar, las fuerzas Nϑ r1 dφ que se encuentran en el plano del círculo horizontal y forman entre sí un ángulo dϑ tienen una resultante Nϑ r1 dφ*dϑ que también se halla en el plano del círculo horizontal y, por consiguiente, con la normal a la lámina forma un ángulo 0,5_π-φ_, de modo que en la condición de equilibrio solo entra su componente Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. La condición de equilibrio, por tanto, es
o, al dividirse por r r1 dϑ dφ:
Ec. 3
Aquí con r2=r/sinφ se ha indicado el segundo radio principal de curvatura de la lámina.
Fig. 4
Cúpula circular
Cuando la forma del meridiano está dada analíticamente por la ecuación r1=r1(φ) y cuando para las cargas Y(φ) y Z(φ) se dan expresiones analíticas, las fuerzas de corte en la lámina pueden determinarse siempre por integración en forma cerrada o numéricamente, utilizando la regla de Simpson. Para una cúpula circular de diámetro a, a continuación se presentan las fuerzas de corte para algunos casos de carga:
La última expresión, que para φ=0 da fuerzas cortantes infinitamente grandes, sólo es válida a cierta distancia del punto de aplicación de la fuerza. En la proximidad inmediata del lugar donde actúa la fuerza, incluso cuando ésta se distribuye sobre la superficie de un círculo de diámetro finito pero pequeño, la carga se transmite principalmente por flexión.
Las formas para cáscaras abiertas en la parte superior pueden derivarse de las anteriores, si a la carga real se añade una carga ficticia P en la clave cuya magnitud se determina así: si la fuerza normal total en la dirección del meridiano que actúa sobre el borde superior de la cáscara φ=φ0 es Nφ=0, o es igual a algún valor determinado por las fuerzas externas que la cáscara recibe aquí.
Cáscara cónica
Fig. 5
En el cascarón cónico, la inclinación del meridiano φ no puede utilizarse como coordenada, porque tiene el mismo valor en todos los puntos. En su lugar se introduce la distancia s desde el vértice de la cúpula medida a lo largo de la generatriz (fig. 5). La fuerza normal en la dirección del meridiano se обозначa accordingly con Ns. Las formulaciones necesarias pueden obtenerse de las indicadas bajo 1 cuando se realiza el paso al límite. A partir de la ecuación (2) se obtiene de este modo
y de la ecuación (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Para los casos de carga más importantes rigen las siguientes expresiones:
Procedimiento gráfico para una forma arbitraria del meridiano
Fig. 6
Cuando la curva meridiana no está dada por una expresión analítica, sino, por ejemplo, gráficamente, la determinación del radio de curvatura resulta demasiado difícil y demasiado imprecisa. En tal caso es más conveniente utilizar un procedimiento gráfico (fig. 6).
La cáscara se divide en un gran número de planos φ=const., se calculan los pesos Δ_R_ de las zonas anulares situadas entre los planos y conviene dividirlos inmediatamente por 2_π_. Estas fuerzas ΔR/2π se llevan al diagrama de fuerzas (fig. 6b). Si luego, por ejemplo, a través del punto de división 7 se traza una recta paralela a la tangente al meridiano en el punto del meridiano 7, la horizontal que pase por el punto superior del diagrama de fuerzas cortará en ella el segmento R1/2π sinφ7, del cual, con base en la ecuación (2), dividiendo por el r correspondiente, se obtiene la fuerza normal correspondiente en la dirección del meridiano.
Para determinar las fuerzas en los anillos sirve la condición de equilibrio de las fuerzas horizontales en un elemento de la lámina. Si actúan solo cargas verticales, esta condición es (fig. 4):
Cuando aquí dφ se sustituye por la diferencia finita Δφ, que corresponde a la subdivisión adoptada de la lámina, y cuando en lugar de r1 dφ se introduce la longitud Δs del elemento de meridiano, se obtiene de aquí
En el paréntesis del lado derecho figura la sección sobre la línea horizontal en el plano de fuerzas. Por consiguiente, todo el lado derecho representa los segmentos entre los puntos de división sobre esta recta. Para poder leerlos con suficiente exactitud, el plano de fuerzas debe dibujarse cuidadosamente y a una escala suficientemente grande.
Anillos traccionados y comprimidos
Cada cascarón de simetría rotacional está limitado por uno o dos círculos horizontales (fig. 7). En estos bordes, en principio, solo puede recibir tales cargas y reacciones de apoyo que tengan la dirección de la tangente al meridiano. Si las fuerzas externas tienen otra dirección, como por ejemplo la carga P de la parte superior de la estructura o la reacción S del fondo del depósito mostrado en la fig. 97, estas fuerzas deben, como se muestra en la figura, descomponerse en componentes en la dirección del círculo horizontal y de la tangente al meridiano. La componente P/sinφ0 o S/sinφu es igual a la fuerza normal en la dirección del meridiano Nφ que actúa en ese punto, mientras que para recibir la fuerza horizontal Pctgφ0 o Sctgφu se requiere un anillo que reciba tracción, es decir, compresión, y en el que esta carga radial provoque una fuerza normal + P r0 ctgφ0, es decir, -S ru ctgφu. Estos anillos, además de en los bordes del cascarón, deben colocarse también en todos aquellos lugares donde la curva del meridiano presente un quiebre. Siempre provocan una perturbación del estado tensional membranal.
Fig. 7
Tensiones debidas a la flexión en láminas de simetría rotacional
Las formulaciones de la teoría de membranas no contienen un número suficiente de constantes de integración para poder satisfacer todas las condiciones de contorno que realmente corresponden al problema planteado. En especial, en el caso de cascarones simétricos de revolución, no es posible lograr mediante una elección adecuada de las constantes de integración que la dilatación εϑ = Nϑ/Et en la dirección del anillo a lo largo del borde del cascarón sea igual a la dilatación correspondiente de otro elemento constructivo que está unido rígidamente a él en ese punto. Lo mismo vale para los cascarones en los que, a lo largo de un círculo horizontal, cambian bruscamente la curvatura del meridiano, el espesor del cascarón o la carga por unidad de superficie. Y también cuando el cascarón a lo largo de un borde no está rigidizado por un anillo, pero en este punto está sometido a fuerzas que tienen una componente en la dirección normal al cascarón (por ejemplo, la carga P en la fig. 7 cuando se supone que el anillo ha sido retirado), no puede recibir tales cargas solo mediante esfuerzos de membrana. En tales casos, la fuerza cortante y los momentos flectores (fig. 8) desempeñan un papel esencial en la distribución de fuerzas en el cascarón, lo que debe tenerse en cuenta en el cálculo estático.
Fig. 8
El cálculo exacto de una cáscara sometida a flexión, salvo en el caso especial más sencillo de una cáscara cilíndrica, constituye una tarea muy difícil. Para cáscaras de paredes delgadas puede desarrollarse una teoría aproximada simple y muy útil que se apoya en el hecho conocido de la teoría rigurosa de que las tensiones debidas a la flexión se limitan a una zona relativamente estrecha junto al borde y disminuyen rápidamente al aumentar la distancia al borde. Esto permite despreciar un gran número de términos en la ecuación diferencial exacta, con lo que esta adquiere una forma simplificada.
Si dentro de la zona límite, que es la única de interés κ, se sustituye por un valor medio, y esto es casi siempre posible, la solución de la ecuación es
Ecs. 4 y 5
donde a1, b1, a2, b2 son constantes de integración. Como la solución solo es interesante en las proximidades del borde φ=φ0, conviene introducir como coordenada la distancia angular ω=φ0-φ o ω=φ-φ0 respecto de este borde, y mediante la transformación de la solución anterior se obtiene la otra expresión indicada. Aquí aparecen solo dos constantes de integración A, B o C, ψ, puesto que la otra parte de la solución, que contiene el factor eκω, y por lo tanto no disminuye al aumentar ω, puede excluirse del análisis.
A partir de la ecuación 5 se obtienen los siguientes valores para las fuerzas cortantes y la rotación κ de la tangente del meridiano:
Esfuerzos debidos a la flexión en depósitos de forma de cilindro circular
Sea un depósito cilíndrico de altura h lleno de agua (fig. 9); entonces, a la altura x por encima de dos depósitos la presión del agua es p=γ(h-x). Si a esta altura, mediante dos secciones horizontales separadas por dx. se corta del depósito un anillo y este se divide a lo largo de un diámetro en dos partes, la condición de equilibrio de una de ellas da la fuerza de membrana en el anillo Nφ=pa. Si el espesor del depósito en este lugar es t, la dilatación en el anillo es εφ=Nφ/Et y, por consiguiente, el aumento del radio del depósito (flecha) es
En el borde inferior x=0 es, por tanto
Fig. 9
Ni una ni otra, por regla general, concuerdan con las condiciones de contorno, porque la deformación de la pared está impedida por la unión con el fondo del depósito. En dicha unión entre el fondo y la pared del cilindro aparecen fuerzas transversales Qx0 y momentos Mx0 (fig. 11), cuya magnitud debe determinarse de manera que, junto con las fuerzas membranales recién calculadas en la lámina, provoquen esta deformación en el borde de la lámina que permite el fondo.
Fig. 10, 11, 12, respectivamente
En la fig. 11 se muestra el elemento de cascarón dx*a dφ con las fuerzas que actúan sobre él. La condición de equilibrio de fuerzas en la dirección de la normal al cascarón da
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
de donde, dividiendo por dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
De la condición de que el momento respecto a la tangente horizontal al cilindro es cero se obtiene:
dM/dx = M’x = Qx
Eliminando la fuerza transversal Qx de estas dos ecuaciones se obtiene
a M’’x + Nφ = p a.
Ecuación 6
En esta ecuación, estas fuerzas seccionales desconocidas pueden expresarse mediante la flecha w. Para Nφ ya se ha encontrado Nφ=Etw/a, y el momento es proporcional a la curvatura del meridiano w’’, es decir, Mx=Kw’’, siendo, como en las placas, K=Et3/12(1-μ2) la rigidez del cascarón, que puede ser variable con x. Si estas expresiones para las fuerzas medias se introducen en la ecuación (6), se obtiene la ecuación diferencial de la teoría de depósitos:
Para un depósito cuyo espesor de pared es constante, la solución es:
Ec. 7
donde λ4=3(1-μ2)/a2t2. Si λh es grande (por ejemplo, mayor que 3), resulta más conveniente introducir funciones exponenciales en lugar de hiperbólicas, y entonces:
Ec. 8
Entonces pueden determinarse independientemente unas de otras las constantes A1, B1 a partir de las condiciones de contorno en el borde inferior, y las constantes A2, B2 a partir de las condiciones de contorno en el borde superior, obteniéndose por regla general A2=B2=0. A partir de la ecuación (8) y (7) se obtienen los esfuerzos cortantes cuando el cálculo se realiza en sentido inverso y se introduce en todos los casos la ecuación (8) y (7); así, por ejemplo, para A2=B2=0:
Cuando las paredes del depósito están rígidamente empotradas en la placa, en el fondo del depósito, que es lo suficientemente grueso como para considerarse rígido, las constantes A1, B1 deben determinarse a partir de las condiciones de que x=0, w=0 y w’=0; se obtiene entonces:
Si el fondo del depósito es una placa o una lámina elástica, las fuerzas transversales Qx y los momentos Mx a lo largo del anillo perimetral entre el fondo y la pared del cilindro deben determinarse mediante los métodos de la teoría de sistemas estáticamente indeterminados, sobre la base del requisito de que Mx y w’ tengan el mismo valor para ambas partes.