Kestadeks nimetatakse pinnakandureid, mille keskpind ei ole tasane, vaid on märgatavalt kumer. Nende staatiline käitumine erineb oluliselt plaadi käitumisest. Sobiva kujuga on nende pinged märksa väiksemad, jäikus vastavalt suurem ning arvutus enamasti lihtsam.
Iga kesta pingeseisundi võib jagada kaheks osaks: membraanpinged ja paindepinged. Membraanpinged, sarnaselt pingetele tasapinnas koormatud plaadis, saab väljendada puutujatasandi ristlõikejõudude kaudu – näiteks lõikes x=const. normaaljõud _Nx=_σx*t ja nihkejõud _Nxy=_τxy*t, kus t on kesta paksus. Paindest tulenevad pinged on samad nagu plaatidel ning neid saab esitada paindemomentidega Mx, väändemomentidega Mxy ja nihkejõududega Qx.
Kestade olulised omadused põhinevad asjaolul, et üldreeglina ei ole paindepingetel sama suurust ega tähendust nagu membraanpingetel, nii et neid saab sageli täielikult tähelepanuta jätta. Sel juhul on kõik pinged kestapaksuses ühtlaselt jaotunud ja mõjuvad keskpinnale tangentsiaalselt. Nendele eeldustele tuginevad arvutused kuuluvad kestade membraaniteooria raamistikku.
Pöördsümmeetriliste kestade membraanteooria pöördsümmeetrilise koormuse all
Üldised vormelid
Koordinaatjoontena võetakse koonuse kesk-pinnal meridiaanid ja paralleelid, nii et koordinaadid on: asimuut ϑ (“geograafiline pikkus”) ja meridiaani puutuja kalle φ tasandi suhtes, mis on sümmeetriateljega risti (joon. 1a). Seega on lõikejõud: normaaljõud Nφ meridiaani suunas ja normaaljõud Nϑ rõngasuunas (joon. 1b). Nihkejõude Nφϑ pöördesümmeetrilise pingeseisundi korral ei esine. Pinnala koormus märgitakse järgmiselt (joon. 1b): Y meridiaaniga tangentsiaalne, positiivne suunas, milles φ suureneb, Z koorega normaalne, positiivne sümmeetriatelje poole.
Joon. 1
Joon. 2
Olgu meridiaani kõverusraadius r1. See on nurga φ funktsioon, seega on võrrandiga _r1=r1(_φ) määratud meridiaani kuju. Seda võib pidada meridiaani võrrandiks ja see on näiteks järgmine.
ringi jaoks r1=a=const.
parabooli puhul r1=a/cos3__φ
ellipse jaoks r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Normaalse jõu N__φ arvutamiseks meridiaani suunas tuleb seada tasakaalutingimus sellest koorikuosast, mis asub paralleelringist φ kõrgemal (joon. 2). Selle osa koormuste Y ja Z resultant R on sümmeetria tõttu vertikaalne. Selle suurus saadakse kooriku pinna integreerimisel alates φ’=0 kuni φ’=φ. Kooriku elemendi pindala on dF=r1d__φ’*rd__ϑ, seega koormuse vertikaalkomponent (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Kogu rõngakujulise koorikuosa jaoks, mis asub ringide φ’ ja φ’+dφ’ vahel, on väliskoormuse resultant järgmine:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
kust integreerides φ’ järgi selle kestiku osa puhul, mis asub paralleelse ringi φ’=φ kohal, saadakse:
Vt. 1
Selle koormuse võtavad vastu meridiaanisuunas toimivad normaaljõud, mis mõjuvad vaadeldud ringi ümbermõõdul; nende jõudude resultantide vertikaalkomponent on 2__πr * N__φ sin__φ, ning võrdsustamisel saadakse sealt otsitav normaaljõud
Võrr. 2
Kui kest on ülemisest osast lõigatud mööda ringi φ=φ0 (nt kuplis olev valgustusava), siis integraali alumine piir on mõistagi φ0, mitte null. Kui selliselt tekkinud kesta serval mõjub ka koormus R0, tuleb ka see lisada resultantile R (joon. 3).
Joon. 3
Normaaljõu N__ϑ määramiseks tuleb seada tasakaalutingimus kestaelemendile, mis on tangentsiaaltasandiga risti (joon. 4). Väliskoormuse resultant selles suunas on Z r1 d__φ r d__ϑ. Jõud N__φ*r d__ϑ, mis paiknevad meridiaantasandis, moodustavad omavahel väikese nurga d__φ, seetõttu on nende resultant kesta normaali suunas N__φ r d__ϑ*dφ. Samamoodi on jõud Nϑ r1 dφ, mis paiknevad horisontaalse ringi tasandis ja moodustavad omavahel nurga dϑ, resultantjõuga Nϑ r1 dφ*dϑ, mis paikneb samuti horisontaalse ringi tasandis ja moodustab seetõttu kestaga normaali suhtes nurga 0,5_π-φ_, nii et tasakaalutingimusse läheb ainult nende komponent Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. Tasakaalutingimus on seega
või, kui see jagada r r1 dϑ dφ ga:
Üks.3
Siin on r2=r/sinφ tähistatud kooriku kõveruse teine peamine raadius.
Joon. 4
Ringkuppel
Kui meridiaani kuju on analüütiliselt antud võrrandiga r1=r1(φ) ja kui koormuste Y(φ) ja Z(φ) jaoks on antud analüütilised avaldised, saab kestas olevad lõikejõud alati määrata kinnises vormis integreerides või arvutuslikult, kasutades Simpson-i reeglit. Ringkupli läbimõõduga a korral antakse järgnevalt mõnede koormusjuhtude lõikejõud:
Viimane valem, mis annab φ=0 korral lõpmata suuri ristjõude, kehtib alles teataval kaugusel jõu rakenduspunktist. Kohe jõu toimekoha läheduses, isegi siis, kui see on jaotatud lõpliku, kuid väikese läbimõõduga ringi pinnale, kandub koormus peamiselt paindumise kaudu.
Ülevalt avatud kestade kujundeid saab tuletada eelnevatest, kui tegelikule koormusele lisada tipus fiktiivne koormus P, mille suurus määratakse nii, et kesta ülemisel serval mõjuv meridiaani suunaline kogunormaaljõud φ=φ0 oleks Nφ=0, või oleks võrdne mingi väärtusega, mille määravad välisjõud, mida kest siin vastu võtab.
Koonuskoorik
Joon. 5
Koonilise kesta puhul ei saa meridiaani kallet φ kasutada koordinaadina, sest see on kõigis punktides sama väärtusega. Selle asemel võetakse kasutusele kaugus s kupli tipust piki moodustajat mõõdetuna (joon. 5). Meridiaani suunas olev normaaljõud tähistatakse vastavalt Ns. Vajalikud valemid saab eespool nimetatutest 1 piirväärtuse ülemineku tegemisel. Võrrandist (2) saadakse sel viisil
ja võrrandist (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Olulisemate koormusjuhtude jaoks kehtivad järgmised valemid:
Graafiline meetod suvalise meridiaani kuju jaoks
Joon. 6
Kui meridiaankõver ei ole antud analüütilise avaldisena, vaid näiteks graafiliselt, on kõverusraadiuse määramine liiga raske ja liiga ebatäpne. Sel juhul on otstarbekam kasutada graafilist meetodit (joon. 6).
Kest jaotatakse suure hulga tasanditega φ=const., arvutatakse tasandite vahele jäävate rõngakujuliste vööndite raskused Δ_R_ ning need on kõige parem kohe jagada väärtusega 2_π_. Need jõud ΔR/2π kantakse jõudude plaani (joon. 6b). Kui seejärel näiteks läbi jaotuspunkte 7 tõmmata sirge, mis on paralleelne meridiaani puutujaga meridiaani punktis 7, siis jõudude plaani ülemist punkti läbiv horisontaal lõikab sellel lõigu pikkusega R1/2π sinφ7, millest võrrandi (2) põhjal vastava r-ga jagamisel saadakse vastav normaalsjõud meridiaani suunas.
Rõngaste jõudude määramiseks kasutatakse ühele kestaelemendile mõjuvate horisontaalsete jõudude tasakaalutingimust. Kui mõjuvad ainult vertikaalsed koormused, siis see tingimus kõlab nii (joon. 4):
Kui siin asendada dφ lõpliku erinevusega Δφ, mis vastab oletatud koore jaotusele, ning r1 dφ asemel võtta meridiaanielemendi pikkus Δs, saadakse siit
Paremal pool sulgudes on jõudiagrammil horisontaalsele sirgele märgitud lõik. Seega kujutab kogu parem pool endast sellel sirgel asuvate jaotuspunkte vahelisi lõike. Et neid piisavalt täpselt lugeda, peab jõudiagramm olema hoolikalt ja piisavalt suures mõõtkavas joonistatud.
Tõmmatud ja surutud rõngad
Iga rotatsioonilis-sümmeetriline kest on piiratud ühe või kahe horisontaalse ringiga (joon. 7). Neil servadel võib ta põhimõtteliselt vastu võtta ainult selliseid koormusi ja tugireaktsioone, mille suund on mööda meridiaani tangenti. Kui välisjõududel on muu suund, nagu näiteks koormus P konstruktsiooni ülemisest osast või joonisel 97 kujutatud mahuti põhja reaktsioon S, tuleb need jõud, nagu joonisel näidatud, lahutada komponentideks horisontaalse ringi ja meridiaani tangendi suunas. Komponent P/sinφ0 või S/sinφu on võrdne meridiaani suunas mõjuva normaaljõuga Nφ, samas kui horisontaalse jõu Pctgφ0 või Sctgφu vastuvõtmiseks on vaja rõngast, mis kannab tõmmet või survet ja milles see radiaalne koormus tekitab normaaljõu + P r0 ctgφ0, vastavalt -S ru ctgφu. Sellised rõngad tuleb lisaks kesta servadele paigaldada ka kõikidesse kohtadesse, kus meridiaani joonel on murdekoht. Need põhjustavad alati membraansete pingete seisundi häireid.
Joon. 7
Painutuspinged pöördsümmeetrilistes kestades
Membraaniteooria valemites ei ole piisavalt integreerimiskonstante, et saaks täita kõik piiritingimused, mis tegelikult vastavad püstitatud ülesandele. Eriti pöördsümmeetriliste kestade puhul ei ole võimalik sobiva integreerimiskonstantide valikuga saavutada, et piki kesta serva rõngassuunaline deformatsioon εϑ = Nϑ/Et oleks võrdne mõne teise konstruktsiooniosa vastava deformatsiooniga, mis on seal kohas sellega jäigalt ühendatud. Sama kehtib ka kestade kohta, millel ühe horisontaalse ringi ulatuses muutub meridiaani kõverus, kesta paksus või koormus pindalaühiku kohta järsult. Ka juhul, kui kest ei ole piki mõnd serva rõngaga jäigastatud, kuid on selles kohas koormatud jõududega, millel on komponent kesta normaali suunas (nt koormus P joon. 7, kui kujutleda, et rõngas on eemaldatud), ei saa ta selliseid koormusi vastu võtta ainult membraanijõudude kaudu. Sellistel juhtudel mängivad nihkejõud ja painutusmomendid (joon. 8) olulist rolli jõudude jaotumisel kestas, mida staatilisel arvutamisel tuleb arvestada.
Joon. 8
Koore paindepinge täpne arvutamine, välja arvatud lihtsaim erijuht silindrilise koore puhul, on väga raske ülesanne. Õhukese seinaga koorte jaoks saab koostada lihtsa ja väga kasutatava ligikaudse teooria, mis tugineb rangest teooriast tuntud tõsiasjale, et paindest tingitud pinged piirduvad suhteliselt kitsa tsooniga serva lähedal ja vähenevad kiiresti servast kauguse suurenedes. See võimaldab täpse diferentsiaalvõrrandi paljud liikmed tähelepanuta jätta, mistõttu see omandab lihtsustatud kuju.
Kui ainsa huvi pakkuva servatsooni κ sees asendada keskmise väärtusega, mis on peaaegu alati võimalik, siis võrrandi lahend on
Võrr. 4 ja 5
kus a1, b1, a2, b2 on integraalkonstandid. Kuna lahendus on huvipakkuv ainult serva φ=φ0 läheduses, on sobiv võtta selle serva suhtes nurkline kaugus ω=φ0-φ või ω=φ-φ0 koordinaadiks ning eespool toodud lahenduse teisendamisel saadakse teine, eespool nimetatud avaldis. Siin esinevad vaid kaks integraalkonstanti A, B või C, ψ, sest lahenduse teine osa, mis sisaldab tegurit eκω ja seetõttu ω kasvades ei vähene, võib käsitlusest välja jätta.
Võrrandi 5 põhjal saadakse järgmised väärtused ristjõududele ja meridiaani puutuja κ pöördele:
Painest tingitud pinged ringikujulise silindri kujulistes mahutites
Olgu veega täidetud silindriline reservuaar kõrgusega h (joon. 9), siis on kõrgusel x reservuaari veepindadest kõrgemal veesurve p=γ(h-x). Kui sellel kõrgusel lõigata reservuaarist kahe horisontaalse lõikega vahekaugusel dx rõngas ja see jagada ühe läbimõõdu pidi kaheks osaks, annab ühe osa tasakaalutingimus rõngas membraanjõu Nφ=pa. Kui reservuaari paksus selles kohas on t, siis deformatsioon rõngas on εφ=Nφ/Et ning seega reservuaari raadiuse suurenemine (läbipaine) on
Alumisel serval x=0 on seega
Joon. 9
Kumbki neist ei ole üldjuhul piiritingimustega kooskõlas, sest seina deformatsiooni takistab ühendus mahuti põhjaga. Seejuures tekivad silindri põhja ja seina ühenduskohas ristjõud Qx0 ja momendid Mx0 (joon. 11), mille suurus tuleb määrata nii, et need koos just arvutatud membraanjõududega koores põhjustaksid selle deformatsiooni koore servas, mida põhi lubab.
Joon. 10, 11, 12, vastavalt
Joon. 11 on kujutatud kooriku element dx*a dφ koos sellele mõjuvate jõududega. Jõudude tasakaalu tingimus kooriku normaali suunas annab
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
kust saadakse jagamisel dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Tingimusest, et moment ümber silindri horisontaalse puutuja on null, saadakse:
dM/dx = M’x = Qx
Ristsuunalise jõu Qx elimineerimisel nendest kahest võrrandist järeldub
a M’’x + Nφ = p a.
Võrr. 6
Selles võrrandis saab need tundmatud ristjõud väljendada läbipainet w abil. Nφ jaoks on juba leitud Nφ=Etw/a, ning moment on võrdeline meridiaanikõverusega w’’, s.o. Mx=Kw’’, kusjuures nagu plaatide puhul on ka siin K=Et3/12(1-μ2) kesta jäikus, mis võib olla x-ist sõltuv. Kui need keskjõudude avaldised asendada võrrandisse (6), saadakse reservuaari teooria diferentsiaalvõrrand:
Anuma puhul, mille seina paksus on muutumatu, on lahendus järgmine:
Üks.7
kus λ4=3(1-μ2)/a2t2. Kui λh on suur (näiteks suurem kui 3), on otstarbekam hüperboolsete funktsioonide asemel kasutada eksponentsiaalfunktsioone, seega:
Üks.8
Siis saab teineteisest sõltumatult määrata konstandid A1, B1 alumise serva piiritingimustest ning konstandid A2, B2 ülemise serva piiritingimustest, kusjuures üldjuhul saadakse A2=B2=0. Võrrandite (8) ja (7) põhjal saadakse lõikemomendid, kui arvutus viiakse läbi vastupidises suunas ja kõikjal võetakse aluseks võrrandid (8) ja (7); nii on näiteks A2=B2=0 puhul:
Kui mahuti seinad on jäigalt plaati kinnitatud ja mahuti põhi on piisavalt paks, et seda võiks pidada jäigaks, tuleb konstandid A1, B1 määrata tingimustest, et x=0, w=0 ja w’=0, ning saadakse:
Kui reservuaari põhi on elastne plaat või kest, tuleb transversaalsed jõud Qx ja momendid Mx piki äärejoont põhja ja silindriseina vahel määrata staatiliselt määramata süsteemide teooria meetoditega, lähtudes nõudest, et Mx ja w’ mõlema osa puhul oleksid võrdsed.