Skeljum eru nefndir yfirborðsburðarþættir, þar sem miðfleturinn er ekki flatur heldur greinilega kúptur. Staðfræðileg hegðun þeirra víkur verulega frá hegðun plötu. Þegar þær hafa hentuga lögun er álag þeirra mun minna, stífni þeirra að sama skapi meiri og útreikningurinn í flestum tilfellum einfaldari.
Álagið í hverri skel má skipta í tvo hluta: himnuálag og beygju. Himnuspennur er, líkt og spennur í plötu sem er álagin í eigin plani, hægt að tjá með sniðkröftum í snertiplani – þetta eru t.d. í sniði x=const. normalkrafturinn _Nx=_σx*t og skerkrafturinn _Nxy=_τxy*t, þar sem t er þykkt skelarinnar. Spennur vegna beygju eru þær sömu og í plötum og má tákna með beygjumómentum Mx, snúningsmómentum Mxy og skerkrafti Qx.
Mikilvægar eiginleikar skelja byggjast á því að, að jafnaði, hafa spennur vegna beygju hvorki stærð né þýðingu himnuspennanna, þannig að þær má oft alveg líta fram hjá. Í því tilviki eru allar spennur jafnt dreifðar um þykkt skelarinnar og verka tangentialt við miðfletinn. Útreikningar sem byggjast á þessum forsendum falla innan ramma himnukenningar skelja.
Himnukenning snúningssamhverfra skelja undir snúningssamhverfu álagi
Almenn form
Fyrir hnitalínur eru teknir miðbaugar og samsíðubaugar í miðfleti skeljarinnar, þannig að hnitin eru: azimut ϑ („landfræðileg lengd“) og halli φ snertilínu á miðbaugi miðað við flöt hornrétt á samhverfuásinn (mynd 1a). Samkvæmt því eru skurðkraftarnir: lóðrétti krafturinn Nφ í stefnu miðbaugsins og lóðrétti krafturinn Nϑ í hringnum (mynd 1b). Skriðkraftarnir Nφϑ koma ekki fram við snúningssamhverfa spennu. Álag á flatarmálseiningu er táknað á eftirfarandi hátt (mynd 1b): Y tangenti við miðbauginn, jákvætt í þá átt sem φ vex, Z hornrétt á skelina, jákvætt að samhverfuásnum.
Mynd 1
Mynd. 2
Látum sveigjuradíus miðbaugsins vera r1. Hann er fall hornsins φ og því ákvarðar jöfnan _r1=r1(_φ) lögun miðbaugsins. Þetta má líta á sem jöfnu miðbaugsins og hún er t.d.:
fyrir hring r1=a=const.
fyrir fleygboga r1=a/cos3__φ
fyrir sporbaug r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Til að reikna út normalkraftinn N__φ í stefnu miðbaugs þarf að setja upp jafnvægisskilyrði fyrir þann hluta skeljarinnar sem liggur ofan við samsíðu hringinn φ (mynd 2). Umsumman R af álaginu Y og Z sem verkar á þennan hluta er lóðrétt, vegna samhverfu. Stærð hennar fæst með heildun yfir yfirborð skeljarinnar frá φ’=0 til φ’=φ. Yfirborð skeljarefnisins er dF=r1d__φ’*rd__ϑ, þannig að lóðrétti þáttur álagsins er (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Fyrir allan hringlaga hluta skeljarinnar sem liggur milli hringjanna φ’ og φ’+dφ’ er niðurstaða ytra álagsins:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
þar sem með heildun m.t.t. φ’ fyrir þann hluta skeljarinnar sem liggur ofan við hliðstæðu hringinn φ’=φ fæst:
Jafn. 1
Þetta álag tekur við af normalöflum í lengdarstefnu lengdarbauga, sem verka umhverfis greindan hring; lóðrétti þátturinn í samlagðri niðurstöðu þessara krafta er 2__πr * N__φ sin__φ, og með því að jafna málin fæst hér af óskaða normalaflið
Jafn. 2
Ef skelin er skorin efst eftir hringnum φ=φ0 (t.d. ljósop í hvelfingu), er neðri mörk heildisins, að sjálfsögðu, φ0, en ekki núll. Ef á jaðri skeljarinnar sem þannig hefur myndast verkar einnig álag R0, þarf að leggja það við útkomuna R (mynd 3).
Mynd 3
Til að ákvarða normalkraftinn N__ϑ þarf að setja upp jafnvægisskilyrði fyrir hluta skeljarinnar hornrétt á snertilplanið (mynd 4). Niðurstaða ytra álags í þessa stefnu er Z r1 d__φ r d__ϑ. Kraftarnir N__φ*r d__ϑ sem liggja í miðbaugsplaninu mynda saman lítinn horn d__φ, þannig að niðurstaða þeirra í stefnu normalsins á skelina er N__φ r d__ϑ*dφ. Á sama hátt hafa kraftarnir Nϑ r1 dφ sem liggja í plani lárétta hringsins og mynda á milli sín horn dϑ niðurstöðuna Nϑ r1 dφ*dϑ, sem einnig liggur í plani lárétta hringsins og myndar því horn 0,5_π-φ_ við normalann á skelina, þannig að aðeins þáttur hennar Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ kemur inn í jafnvægisskilyrðið. Jafnvægisskilyrðið hljóðar því
eða, þegar því er deilt með r r1 dϑ dφ:
Einn.3
Hér er með r2=r/sinφ táknaður annar aðal sveigjuradíus skeljarinnar.
Mynd. 4
Hringlaga hvelfing
Þegar lögun miðbaugsins er gefin greiningarlega með jöfnunni r1=r1(φ) og þegar fyrir álagið Y(φ) og Z(φ) eru gefin greiningarleg föll, er alltaf hægt að ákvarða skerspennur í skelinni með samþættingu á lokaformi eða tölulega með Simpson-reglunni. Fyrir hringlaga hvelfingu með þvermálið a eru hér á eftir gefnar skerspennur fyrir tiltekin álagstilfelli:
Síðasta formúlan, sem fyrir φ=0 gefur óendanlega stóra skerskrafta, gildir fyrst eftir tiltekinni fjarlægð frá álagspunkta kraftsins. Í næsta nágrenni við staðinn þar sem krafturinn verkar, jafnvel þegar honum er dreift yfir flatarmál hrings með endanlegu en litlu þvermáli, berst álagið aðallega með beygju.
Form fyrir skeljar sem eru opnar að ofan má leiða af fyrri formum, ef bætt er við raunhleðslunni í topppunktinum með ímyndaða álaginu P, en stærð þess er þá þannig ákvörðuð að heildarþrýstikrafturinn í lengdarstefnu sem verkar á efri brún skeljarinnar φ=φ0 sé Nφ=0, eða jafngildi einhvers gildis sem ákvarðast af ytri öflum sem skelin tekur hér við.
Keilulaga skel
Mynd 5
Hjá keilulaga skel er ekki hægt að nota hallann á miðbaugsferlinum φ sem hnit, þar sem hann hefur sama gildi á öllum stöðum. Í stað þess er tekið upp fjarlægðin s frá toppi hvelfingarinnar mæld eftir myndalínunni (mynd 5). Þvernormalkrafturinn í stefnu miðbaugsins er samkvæmt því táknaður með Ns. Nauðsynlegar formúlur má fá úr þeim sem gefnar eru undir 1 þegar farið er með jaðarstigsbreytingu. Úr jöfnunni (2) fæst þannig
og úr jöfnu (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Fyrir mikilvægustu álagstilfelli gilda eftirfarandi formúlur:
Grafísk aðferð fyrir hvaða lögun sem er á lengdarlínu miðlagsins
Mynd. 6
Þegar meridíanferillinn er ekki gefinn með greiningarformúlu heldur, til dæmis, með mynd, er ákvörðun bogadíusradíusins of erfið og of ónákvæm. Í því tilviki er hentugra að nota myndræna aðferð (sl. 6).
Skelin er skipt í mörg plön φ=const., reiknaðar eru þyngdir Δ_R_ hringlaga svæða sem liggja milli plananna og best er að deila þeim strax með 2_π_. Þessar kraftar ΔR/2π eru færðar inn í kraftaritið (mynd 6b). Ef síðan, t.d., er dregin bein lína í gegnum deilingarpunktinn 7 samsíða tangenti við miðbaug í punkti miðbaugsins 7, mun lárétta línan í gegnum efri punkt kraftaritsins skera á henni eftir R1/2π sinφ7 þaðan sem, byggt á jöfnu (2), fæst með deilingu með samsvarandi r samsvarandi normalafl í stefnu miðbaugsins.
Til að ákvarða krafta í hringjum er notað jafnvægisskilyrði láréttra krafta á einum þætti skeljarinnar. Ef aðeins lóðrétt álag verkar, hljóðar þetta skilyrði svo (mynd 4):
Þegar dφ er hér skipt út fyrir endanlegan mismun Δφ, sem samsvarar samþykktri skiptingu skeljarinnar, og þegar lengd Δs í dæminu af miðbaugsferlinum er sett í stað r1 dφ, fæst hér af
Í sviganum hægra megin er skurðurinn á láréttu línunni í kraftaáætluninni. Hægri hlutinn í heild sýnir því kaflana milli deilingarpunktanna á þessari línu. Til að hægt sé að lesa þá nægilega nákvæmlega þarf kraftaáætlunin að vera teiknuð vandlega og í nægilega stórum mælikvarða.
Tog- og þrýstihringir
Sérhvert snúningssamhverft skel er afmarkað af einum eða tveimur láréttum hringjum (mynd 7). Á þessum brúnum getur hún í grundvallaratriðum aðeins tekið við slíkum álagi og viðbragðsöflum stoða sem hafa stefnu snertils við miðbaugslínu. Ef ytri kraftar hafa aðra stefnu, t.d. álagið P frá efri hluta mannvirkisins eða viðbragðið S við botn tanksins sem sýndur er á mynd 97, verður að brjóta þessa krafta niður, eins og sýnt er á myndinni, í þætti í stefnu lárétta hringsins og snertil við miðbaugslínuna. Þátturinn P/sinφ0 eða S/sinφu er jafn normalaflinu í stefnu miðbaugslínunnar Nφ sem verkar þar, en til að taka við lárétta kraftinum Pctgφ0 eða Sctgφu þarf hring sem tekur við togspennu, þ.e. þrýstingi, og þar sem þetta geislalaga álag veldur normalaflinu + P r0 ctgφ0, þ.e. -S ru ctgφu. Slíkir hringir verða, auk brúna skeljarinnar, einnig að vera settir á öllum þeim stöðum þar sem miðbaugslínan hefur brot. Þeir valda alltaf truflun á himnuspennuástandinu.
Mynd 7
Spenna vegna beygju í snúningssamhverfum skeljum
Formúluuppsetningar himnukenningarinnar innihalda ekki nægjanlegan fjölda samþættingarfastanna til að hægt sé að uppfylla öll jaðarskilyrði sem raunverulega svara til viðkomandi verkefnis. Sérstaklega hjá snúningssamhverfum skeljum er ekki hægt með hentugu vali samþættingarfastanna að ná því að útvíkkunin εϑ = Nϑ/Et í hringstefnu meðfram brún skeljarinnar verði jöfn samsvarandi útvíkkun einhvers annars burðarhluta sem er þar stíft tengdur við hana. Sama gildir einnig um skeljar þar sem meðfram einum láréttum hring breytist sveigja miðbaugsins, þykkt skeljarinnar eða álag á einingaryfirborð skrefbundið. Og jafnvel þegar skelin er ekki stífð með hring meðfram einhverri brún, en er á þessum stað hlaðin öflum sem hafa þætti í stefnu normals á skelina (t.d. álag P á mynd 7 þegar gert er ráð fyrir að hringurinn hafi verið fjarlægður), getur hún ekki tekið við slíkum álagi einungis með himnukröftum. Í slíkum tilvikum gegna skurðkraftur og beygjumóment (mynd 8) mikilvægu hlutverki við kraftdreifingu í skelinni, sem taka verður tillit til í stöðureikningi.
Mynd 8
Nákvæm útreikningur á skel fyrir beygju, nema í einfaldasta sértilfelli sívalningsskeljar, er mjög erfitt verkefni. Fyrir þunnveggja skeljar má setja fram einfalda og mjög nytsamlega nálgunarkenningu sem byggist á þeirri staðreynd, sem þekkt er úr nákvæmri kenningu, að spennur vegna beygju takmarkast við tiltölulega mjótt svæði við brúnina og minnka hratt eftir því sem fjarlægð frá brúninni eykst. Þetta gerir kleift að sleppa fjölda liða í nákvæmu diffurjafnunni, þannig að hún fær einfaldað form.
Ef í jaðarhorninu sem einungis er áhugavert κ er skipt út fyrir meðalgildi, og það er nánast alltaf mögulegt, er lausn jöfnunnar
Jöfn. 4 og 5
þar sem a1, b1, a2, b2 eru heildunarfastar. Þar sem lausnin er aðeins áhugaverð í nágrenni jaðarins φ=φ0, er hentugt að setja hornfjarlægðina ω=φ0-φ eða ω=φ-φ0 frá þessum jaðri inn sem hnit, og þá fæst við ummyndun á framangreindri lausn annað tilgreinda sambandið. Hér koma aðeins fyrir tveir heildunarfastar A, B eða C, ψ, þar sem hinn hluti lausnarinnar sem inniheldur stuðulinn eκω, og því vex ekki með aukningu ω, má sleppa úr athuguninni.
Á grundvelli jöfnunnar 5 fást eftirfarandi gildi fyrir þverskrafta og snúning κ snertilínu lengdarboga:
Spennur vegna beygju í geymum af gerð hringlaga sívalnings
Látum sívalt geymir með hæðina h vera fylltan vatni (mynd 9), þá er vatnsþrýstingurinn í hæðinni x yfir tveimur geymum p=γ(h-x). Ef á þessari hæð er skorið úr geyminum hringur milli tveggja láréttra þversniða í fjarlægðinni dx. og honum skipt eftir einum þvermáli í tvo hluta, gefur jafnvægisskilyrði annars þeirra himnukraftinn í hringnum Nφ=pa. Ef þykkt geymisins á þessum stað er t, þá er lenging í hringnum εφ=Nφ/Et og því er aukning radíus geymisins (niðurbeygja)
Á neðri brún x=0 er því
Mynd 9
Hvorki annað né hitt er að jafnaði í samræmi við jaðarskilyrðin, þar sem aflögun veggsins er hindruð vegna tengingar við botn geymisins. Þar koma fram þverskraftarnir Qx0 og togmótin Mx0 (mynd 11) við tenginguna milli botns og sílinderveggjar, en stærð þeirra þarf að ákvarða þannig að þau, ásamt nýreiknuðu himnukröftunum í skelinni, valdi þessari aflögun á brún skeljarinnar sem botninn leyfir.
Mynd 10, 11, 12, í þessari röð
Á mynd 11 er sýndur skelhluti dx*a dφ með þeim öflum sem verka á hann. Skilyrði jafnvægis krafta í stefnu normalsins á skelina gefur
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
þar sem með deilingu með dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Úr skilyrðinu að momentið um lárétta snertilínu við sívalninginn sé núll fæst:
dM/dx = M’x = Qx
Með því að útrýma þverkraftinum Qx úr þessum tveimur jöfnum fæst
a M’’x + Nφ = p a.
Jafn. 6
Í þessari jöfnu má tjá þessa óþekktu sniðkrafta með niðurbeygingunni w. Fyrir Nφ hefur þegar verið fundið Nφ=Etw/a, og mómentið er í réttu hlutfalli við krappa miðbaugsins w’’, þ.e. Mx=Kw’’, þar sem, líkt og hjá plötum, er K=Et3/12(1-μ2) stífleiki skelarinnar, sem getur verið breytilegur með x. Ef þessi tákn fyrir meðalkrafta eru sett inn í jöfnuna (6), fæst diffurjöfnan í tankakenningunni:
Fyrir geymi þar sem veggþykktin er óbreytanleg er lausnin eftirfarandi:
Einn.7
þar sem λ4=3(1-μ2)/a2t2. Ef λh er stórt (segjum, meira en 3), er hentugra að setja veldisföll í stað fleygbogafalla, og þá gildir:
Einn.8
Þá má ákvarða fastana A1, B1 óháð hver öðrum út frá jaðarskilyrðum á neðri brún, en fastana A2, B2 út frá jaðarskilyrðum á efri brún, og samkvæmt reglunni fæst A2=B2=0. Á grundvelli jöfnunnar (8) og (7) fást skurðkraftarnir, þegar útreikningurinn er framkvæmdur í öfuga átt og alls staðar er jöfnan (8) og (7) sett inn; þannig er t.d. fyrir A2=B2=0:
Þegar veggir geymisins eru stíft fastir við plötuna, á botni geymisins sem er nægilega þykkur til að teljast stífur, skal ákvarða fastana A1, B1 út frá skilyrðunum að x=0, w=0 og w’=0, og fæst þá:
Ef botn geymisins er teygjanleg plata eða skel, skal ákvarða þverkraftana Qx og momentin Mx meðfram jaðarássnum milli botnsins og hliðar sílindrans með aðferðum kenningar um stöðufræðilega óákveðin kerfi á grundvelli þess skilyrðis að Mx og w’ fyrir báða hluta hafi sama gildi.