ايلسٽيسيٽي جو نظريو - شيلز

شيلن کي اهڙا سطحي سنڀاليندڙ چيو وڃي ٿو، جن جي وچ واري مٿاڇري سڌي نه پر نمايان طور اُڀريل هوندي آهي. انهن جو جامد رويو پليٽ جي روَيَي کان گهڻو مختلف هوندو آهي. جڏهن انهن جو شڪل مناسب هجي، ته انهن تي دٻاءُ گهڻو گهٽ، سختي مناسب حد تائين وڌيڪ، ۽ حساب اڪثر حالتن ۾ وڌيڪ سولو هوندو آهي.

هر گنبذ جي تناءَ کي ٻن حصن ۾ ورهائي سگهجي ٿو: جھلي وارو تناءُ ۽ وڪڙ. جھلي وارا تناءُ، بلڪل اهڙيءَ طرح جيئن پنهنجي سطح ۾ لوڊ ٿيل پليٽ جا تناءُ، مماسي جهاز ۾ ڪراس سيڪشن قوتن وسيلي بيان ڪري سگهجن ٿا – مثال طور x=const. ڪراس سيڪشن ۾ عمودي قوت _Nx=_σx*t ۽ ڪٽڻ واري قوت _Nxy=_τxy*t، جتي t گنبذ جي ٿولهه آهي. وڪڙ سبب تناءُ پليٽن جهڙا ئي آهن ۽ انهن کي موڙيندڙ لمحن Mx، ٽورشن لمحن Mxy ۽ ڪٽڻ واري قوتن Qx سان ظاهر ڪري سگهجي ٿو.

گنبذن جون اهم خاصيتون هن حقيقت تي ٻڌل آهن ته ضابطي موجب وڪڙ سبب پيدا ٿيندڙ تناءُ، جھلي وارن تناءُ جي نه ته مقدار برابر هوندا آهن نه اهميت، تنهنڪري اڪثر انهن کي مڪمل طور نظرانداز ڪري سگهجي ٿو. اهڙي حالت ۾ سڀ تناءُ گنبذ جي ٿولهه ۾ يڪسان ورهايل هوندا آهن ۽ وچين سطح تي مماسي رخ ۾ ڪم ڪندا آهن. انهن مفروضن تي ٻڌل حساب ڪتاب گنبذن جي جھلي واري نظريي جي دائري ۾ اچن ٿا.

روٽيشني لحاظ کان هم محور شيلن جي، روٽيشني لحاظ کان هم محور لوڊ هيٺ، ميمبرين نظريو

عام فارمولن

هم آهنگي واريون لڪيرون طور خول جي وچولي مٿاڇري ۾ ميريڊين ۽ متوازي دائرا اختيار ڪيا وڃن ٿا، تنهنڪري هم آهنگيون هي آهن: ازيمٿ ϑ (“جغرافيائي ڊگھائي”) ۽ ميريڊين ڏانهن لمسي جو ميل φ، جيڪو توازن جي محور تي عمودي سطح جي نسبت سان ماپيو وڃي ٿو (شڪل 1a). ان مطابق ڪٽڻ واريون قوتون هي آهن: معمولي قوت Nφ ميريڊين جي رخ ۾ ۽ معمولي قوت Nϑ حلقوي رخ ۾ (شڪل 1b). ڪترڻ واريون قوتون Nφϑ گھمڻ واري هم‌تقارني تناؤ ۾ ظاهر نٿيون ٿين. في يونٽ مٿاڇري بار هيئن ظاهر ڪيو وڃي ٿو (شڪل 1b): Y ميريڊين جي مماسي رخ ۾، مثبت ان رخ ۾ جنهن ۾ φ وڌي ٿو، Z خول تي عمودي، مثبت توازن جي محور ڏانهن.

سل.1

سل.2

فرض ڪريو ته مرڊين جي وڪڙ جو ريڊيس r1 آهي. اهو زاويه φ جو فنڪشن آهي، تنهنڪري مساوات _r1=r1(_φ) سان مرڊين جي شڪل طئي ٿئي ٿي. ان کي مرڊين جي مساوات سمجهي سگهجي ٿو ۽ مثال طور هيٺين صورت ۾ آهي.

دائري لاءِ                                       r1=a=const.

پيرابولا لاءِ                                 r1=a/cos3__φ

بيضا لاءِ          r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2

مرڊين جي رخ ۾ نارمل قوت N__φ جو حساب ڪرڻ لاءِ، انهي شيل واري حصي لاءِ توازن جي شرط قائم ڪرڻي پوندي، جيڪو متوازي دائري φ کان مٿي آهي (شڪل 2). هن حصي تي اثر ڪندڙ بارن Y ۽ Z جو نتيجو R هم آهنگي جي ڪري عمودي آهي. ان جي مقدار شيل جي مٿاڇري تي φ’=0 کان φ’=φ تائين انٽيگريشن ذريعي حاصل ڪئي ويندي آهي. شيل جي عنصر جي مٿاڇري dF=r1d__φ’*rd__ϑ آهي، تنهنڪري لوڊ جو عمودي جزو (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF ٿيندو آهي. φ’ ۽ φ’+dφ’ دائرن جي وچ ۾ موجود پوري ڇلي نما شيل واري حصي لاءِ خارجي لوڊ جو نتيجو هي آهي:

dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,

جتان φ’ جي لحاظ سان ان حصي لاءِ، جيڪو φ’=φ متوازي دائري کان مٿي واري خول تي واقع آهي، انٽيگريشن ڪرڻ سان ملي ٿو:

يونٽ 1

هي لوڊ مرڊيئن جي رخ ۾ موجود نارمل قوتون کڻن ٿيون، جيڪي ڏٺل دائري جي گهيري تي عمل ڪن ٿيون؛ انهن قوتن جي نتيجي جي عمودي جزو 2__πr * N__φ sin__φ, آهي، تنهنڪري برابر ڪرڻ سان هتان گهربل نارمل قوت ملي ٿي

مساو. 2

جيڪڏهن مٿئين حصي ۾ خول کي دائري φ=φ0 جي پٽيءَ سان ڪٽيو ويو آهي (مثال طور گنبذ ۾ روشني لاءِ کول)، ته انٽيگرل جي هيٺين حد، ظاهر آهي، φ0 ٿيندي، نه⁠تہ صفر. جيڪڏهن ان طريقي سان ٺهيل خول جي ڪناري تي لوڊ R0 به عمل ڪري ٿو، ته ان کي به نتيجي R (شڪل 3) ۾ شامل ڪرڻ گهرجي.

سل.3

نارمل قوت N__ϑ طئي ڪرڻ لاءِ شيل عنصر جي توازن جي شرط کي تانجينشل مٿاڇري تي عمودي رکي رکڻ گهرجي (شڪل 4). هن رخ ۾ ٻاهرين لوڊ جو نتيجو Z r1 d__φ r d__ϑ ٿئي ٿو. قوتون N__φ*r d__ϑ، جيڪي ميريڊيئنل سطح ۾ پيل آهن، پاڻ ۾ ننڍو زاويه d__φ ٺاهين ٿيون، تنهنڪري انهن جو نتيجو شيل جي نارمل جي رخ ۾ N__φ r d__ϑ*dφ ٿئي ٿو. ساڳيءَ طرح قوتون Nϑ r1 dφ، جيڪي افقي دائري جي سطح ۾ پيل آهن ۽ پاڻ ۾ زاويه dϑ ٺاهين ٿيون، انهن جو نتيجو Nϑ r1 dφ*dϑ ٿئي ٿو، جيڪو پڻ افقي دائري جي سطح ۾ پيل آهي ۽ تنهنڪري شيل جي نارمل سان 0,5_π-φ_ زاويه ٺاهي ٿو، تنهنڪري توازن جي شرط ۾ انهن جو فقط جز Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ داخل ٿئي ٿو. تنهن ڪري توازن جي شرط هيءَ آهي

يا، جڏهن ان کي r r1 dϑ dφ سان ورهايو وڃي ٿو:

هڪ.3

هتي r2=r/sinφ سان شيل جي وڪري جي ٻئي مکيه ريڊيس کي ظاهر ڪيو ويو آهي.

سل.4

گول گنبذ

جڏهن ميريڊين جي شڪل تجزياتي طور مساوات r1=r1(φ) سان ڏنل هجي ۽ جڏهن بارن Y(φ) ۽ Z(φ) لاءِ تجزياتي اظهار ڏنل هجن، تڏهن شيل ۾ ڪراس سيڪشن واريون قوتون هميشه بند شڪل ۾ انٽيگريشن يا عددي طور، Simpson-جي قاعدي کي استعمال ڪندي، طئي ڪري سگهجن ٿيون. قطر a واري گول گنبذ لاءِ هيٺ ڪجهه لوڊنگ ڪيسن لاءِ ڪراس سيڪشن واريون قوتون ڏجن ٿيون:

آخري نمونو، جيڪو φ=0 لاءِ لامحدود وڏي ڪٽائي قوتون ڏئي ٿو، رڳو قوت جي حمله واري نقطي کان ڪجهه فاصلي تي لاڳو ٿئي ٿو. قوت جي عمل واري هنڌ جي بلڪل ويجهو، ڀلي اها محدود پر ننڍي قطر واري دائري جي سطح تي ورهايل هجي، لوڊ اڪثر ڪري وڪڙڻ ذريعي منتقل ٿيندو آهي.

مٿئين حصي کان کليل خولن جا نمونا اڳين نمونن مان اخذ ڪري سگهجن ٿا، جيڪڏهن حقيقي لوڊ تي تَڪي ۾ هڪ فرضي بار P شامل ڪيو وڃي، جنهن جي مقدار اهڙي ريت طئي ڪئي وڃي ٿي، جو خول جي مٿئين ڪناري تي مرڊيئن جي رخ ۾ ڪم ڪندڙ ڪل عمودي قوت φ=φ0 جي قيمت Nφ=0 هجي، يا ڪنهن اهڙي قدر جي برابر هجي، جيڪا ٻاهرين قوتن سان طئي ٿئي ۽ جيڪا هتي خول وصول ڪري ٿو.

مخروطي شيل

سل.5

مخروطي شيل ۾ مرڪزي ڍلان φ کي ڪوآرڊينيٽ طور استعمال نٿو ڪري سگهجي، ڇاڪاڻ ته ان جي سڀني نقطن ۾ ساڳي قيمت آهي. ان جي بدران چوٽيءَ کان ٺهندڙ لڪير سان ماپيل فاصلو s متعارف ڪرايو وڃي ٿو (شڪل 5). مرڪزي رخ ۾ عام قوت کي انهيءَ مطابق Ns سان ظاهر ڪيو وڃي ٿو. گهربل فارمولا ذڪر ڪيل 1 مان حدّي تبديلي ڪرڻ سان حاصل ڪري سگهجن ٿا. مساوات (2) مان ان طريقي سان

۽ مساوات (3) مان

Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.

لوڊ جي سڀ کان اهم حالتن لاءِ هيٺيان نمونا لاڳو ٿين ٿا:

مرڊيڊين جي ڪنهن به شڪل لاءِ گرافڪ طريقيڪار

تصوير. 6

جڏهن مرڊيئن واري وکر کي تجزياتي اظهار سان نه ڏنو ويو هجي، پر مثال طور گرافڪ صورت ۾ هجي، تڏهن وڪڙ جي نيم قطر جو تعين ڪرڻ تمام ڏکيو ۽ تمام غير صحيح ٿيندو آهي. اهڙي حالت ۾ گرافڪ طريقي کي استعمال ڪرڻ وڌيڪ مناسب آهي (شڪل 6).

شيل کي ڪيترن سطحن φ=const. سان ورهايو وڃي ٿو، انهن سطحن جي وچ ۾ موجود انگوزي نما زونن جا وزن Δ_R_ ڳڻيا وڃن ٿا ۽ بهتر آهي ته انهن کي فوري طور 2_π_ سان ورهايو وڃي. اهي قوتون ΔR/2π قوتن جي خاڪي ۾ لاڳو ڪجن ٿيون (شڪل 6b). جيڪڏهن پوءِ، مثال طور، ورهاست واري نقطي 7 مان مرينڊيئن جي نقطي 7 تي tangent جي متوازي سڌي لڪير ڪڍي وڃي، ته قوتن جي خاڪي جي مٿئين نقطي مان گذرندڙ افقي لڪير ان تي R1/2π sinφ7 ڊگهه تي ڪٽ ڪندي، جتان مساوات (2) موجب، مناسب r سان ورهائڻ سان مرينڊيئن جي رخ ۾ مناسب نارمل قوت حاصل ٿئي ٿي.

رِنگن ۾ قوتن کي طئي ڪرڻ لاءِ شيل جي هڪ جز تي افقي قوتن جي توازن واري شرط استعمال ڪئي ويندي آهي. جيڪڏهن صرف عمودي بار لاڳو ٿين، ته اها شرط هن ريت ٿيندي آهي (شڪل 4):

جڏهن هتي dφ کي آخري فرق Δφ سان بدلائجي، جيڪو اختيار ڪيل شيل جي ورهاست سان ٺهڪي ٿو، ۽ جڏهن r1 dφ بدران مرڊيئن عنصر جي ڊيگهه Δs آندي وڃي، تڏهن هتان کان حاصل ٿئي ٿو

ساڄي پاسي واري bracket ۾ افقي سڌي لڪير تي ڪٽڻ واري نقطي جو حصو موجود آهي، قوتن جي منصوبي ۾. تنهن ڪري سڄو ساڄو پاسو هن سڌي لڪير تي تقسيم ڪندڙ نقطن جي وچ وارا حصا ظاهر ڪري ٿو. انهن کي ڪافي صحيح نموني پڙهڻ لاءِ قوتن جو منصوبو احتياط سان ۽ ڪافي وڏي پيماني تي ٺهڻ گهرجي.

ٿلهي ڪيل ۽ دٻايل رِنگ

هر روٽيشني طور هم سنج گنبذ هڪ يا ٻن افقي گولن سان محدود هوندو آهي (شڪل 7). انهن ڪنارن تي اهو اصولي طور فقط اهڙا بار ۽ سهارن جا ردعمل وٺي سگهي ٿو، جن جي رخ مرڊين جي تانجنس جي هجي. جيڪڏهن ٻاهرين قوتن جو رخ ٻيو هجي، جهڙوڪ جوڙجڪ جي مٿئين حصي جو بار P يا شڪل 97 ۾ ڏيکاريل رزروائر جي تري جو ردعمل S، ته اهي قوتون، جيئن شڪل ۾ ڏيکاريل آهي، افقي گول جي رخ ۽ مرڊين جي تانجنس جي رخ ۾ جزن ۾ ورهايون وڃن ٿيون. جزو P/sinφ0 يا S/sinφu مرڊين جي رخ واري عمودي قوت Nφ جي برابر آهي، جيڪا انهيءَ هنڌ تي عمل ڪري ٿي، جڏهن ته افقي قوت Pctgφ0 يا Sctgφu جي وصولي لاءِ اهڙو ڇلو گهربل آهي جيڪو ڇڪ کي، يعني دٻاءَ کي به، برداشت ڪري ۽ جنهن ۾ هي شعاعي لوڊ عمودي قوت + P r0 ctgφ0، يعني -S ru ctgφu، پيدا ڪري. اهڙا ڇلا، گنبذ جي ڪنارن کان سواءِ، انهن سڀني هنڌن تي پڻ لڳايا وڃن جتي مرڊين جي وڪڙ ۾ موڙ اچي ٿو. اهي هميشه جھلي واري تنائي حالت ۾ خلل پيدا ڪندا آهن.

سل.7

گولائي هم-محوري خولن ۾ موڙ سبب پيدا ٿيندڙ تناؤ

ممبرين نظريي جا فارمولا ڪافي تعداد ۾ انٽيگريشن مستقل شامل نٿا ڪن، جو حقيقي مسئلي سان لاڳاپيل سڀئي سرحدي شرط پوريون ڪري سگهجن. خاص طور تي گهماوءَ جي لحاظ کان هم-مرڪز شيلن ۾، انٽيگريشن مستقلن جي مناسب چونڊ سان اهو حاصل ڪرڻ ممڪن ناهي ته شيل جي ڪنڊ سان گڏ دائري واري رخ ۾ وڌاءُ εϑ = Nϑ/Et ڪنهن ٻي تعميري حصي جي لاڳاپيل وڌاءُ جي برابر ٿي وڃي، جيڪو ان هنڌ ان سان مضبوط طور ڳنڍيل هجي. اهو ئي انهن شيلن تي پڻ لاڳو ٿئي ٿو جن ۾ هڪ افقي دائري سان گڏ مرڪزي وکر، شيل جي ٿولهه يا في يونٽ ايراضي لوڊ ۾ اوچتو تبديلي اچي ٿي. ۽ جڏهن شيل جي ڪنهن ڪنڊ سان گڏ ان کي انگوزي سان سخت نه ڪيو ويو هجي، پر هتي ان تي اهڙيون قوتون لڳن ٿيون جن جو جزو شيل جي عمودي رخ ۾ هجي (مثال طور شڪل 7 ۾ لوڊ P، جڏهن تصور ڪيو وڃي ته انگوزي هٽائي وئي آهي)، ته اها اهڙا بار صرف ممبرين قوتن وسيلي برداشت نٿي ڪري سگهي. اهڙين حالتن ۾ ڪٽڻ واري قوت ۽ موڙڻ وارا مومنٽ (شڪل 8) شيل ۾ قوتن جي ورڇ ۾ اهم ڪردار ادا ڪن ٿا، جنهن کي جامد حساب ۾ نظر ۾ رکڻ ضروري آهي.

سل. 8

موڙڻ جي لحاظ کان خول جو صحيح حساب، سواءِ سلنڊر نما خول جي سڀ کان سادي خاص حالت جي، تمام ڏکيو ڪم آهي. پتلي ڀتين وارن خولن لاءِ هڪ سادي ۽ تمام ڪارائتي لڳ ڀڳ نظريو ٺاهيو وڃي ٿو، جيڪو سخت نظريي مان ڄاتل حقيقت تي ٻڌل آهي ته موڙڻ سبب پيدا ٿيندڙ تناؤ ڪناري جي ڀرسان نسبتاً تنگ علائقي تائين محدود رهندا آهن ۽ ڪناري کان فاصلي وڌڻ سان تيزيءَ سان گهٽجندا آهن. ان سان صحيح تفاضلي مساوات ۾ گهڻا اصطلاح نظرانداز ڪري سگهجن ٿا، ۽ اها سولي شڪل اختيار ڪري ٿي.

جيڪڏهن صرف دلچسپي واري ڪنڊ-زون κ ۾ اوسط قدر وجهي ڇڏجي، ۽ اهو تقريباً هميشه ممڪن هوندو آهي، ته مساوات جو حل هي آهي

مساوات 4 ۽ 5

جتي a1, b1, a2, b2 انتگريشن جون مستقلون آهن. جيئن ته حل صرف ڪناري φ=φ0 جي ويجهو دلچسپ آهي، تنهنڪري ان ڪناري کان زاويائي فاصلو ω=φ0-φ يا ω=φ-φ0 کي ڪوآرڊينيٽ طور وٺڻ مناسب آهي، ۽ مٿي ڏنل حل جي تبديلي سان ٻيو بيان ڪيل اظهار ملي ٿو. هتي رڳو ٻه انتگريشن مستقلون A, B يا C, ψ ظاهر ٿين ٿيون، ڇو ته حل جو ٻيو حصو جنهن ۾ عامل eκω شامل آهي، ۽ تنهنڪري ω جي واڌ سان گهٽجڻ بدران وڌي ٿو، بحث مان خارج ڪري سگهجي ٿو.

مساوات 5 جي بنياد تي مقطعي قوتن ۽ ميريڊين جي ٽينجنٽ جي κ گردش لاءِ هيٺيون قيمتون ملن ٿيون:

گول سلنڊر شڪل واريون ذخيري ٽينڪون ۾ موڙڻ سبب پيدا ٿيندڙ دٻاءَ

اچو ته h اوچائيءَ وارو سلينڊري ذخيرو پاڻي سان ڀريل هجي (شڪل 9), ته پوءِ x اوچائيءَ تي، ٻن ذخيرن جي مٿان، پاڻيءَ جو دٻاءُ p=γ(h-x) ٿيندو. جيڪڏهن هن اوچائيءَ تي ٻن افقي ڪٽڪن مان dx. فاصلي تي ذخيري مان هڪ انگٽ ڪٽي وڃي ۽ ان کي هڪ قطر سان ٻه حصا ڪيو وڃي، ته انهن مان هڪ جي توازن جي شرط انگٽ ۾ membrane force Nφ=pa ڏئي ٿي. جيڪڏهن هن هنڌ ذخيري جي ٿولهه t هجي، ته انگٽ ۾ strain εφ=Nφ/Et ٿيندو ۽ تنهنڪري ذخيري جي ريڊيس ۾ واڌ (وڪڙ) هي ٿيندي:

هيٺئين ڪناري x=0 تي تنهن ڪري

سل.9

ٻئي مان ڪو به عام طور تي حدّي حالتن سان مطابقت ۾ نه هوندو آهي، ڇاڪاڻ ته ڀت جي deformation ٽينڪي جي تري سان ڳانڍاپي سبب روڪجي ويندي آهي. انهيءَ وقت سلنڊر جي تري ۽ ڀت جي ڳانڍاپي تي transverse forces Qx0 ۽ moments Mx0 (شڪل 11) ظاهر ٿين ٿا، جن جي مقدار اهڙيءَ ريت مقرر ڪرڻي آهي، جو اهي نئين سر ڳڻپ ڪيل membrane forces سان گڏ شيل جي انهيءَ deformation کي شيل جي ڪنڊ تي پيدا ڪن، جنهن جي اجازت ترو ڏئي ٿو.

شڪل 10, 11, 12, ترتيبوار

شڪل 11 ۾ شيل جي عنصر dx*a dφ کي ان تي اثر ڪندڙ قوتن سميت ڏيکاريو ويو آهي. شيل جي نارمل جي رخ ۾ قوتن جي توازن جي شرط ڏئي ٿي

dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,

جتان dx dφ سان ورهائڻ سان:

a Q’x + Nφ = p a.

هن شرط مان ته سلينڊر جي افقي ٽينجنٽ بابت لمحو صفر آهي، هي نتيجو نڪري ٿو:

dM/dx = M’x = Qx

انهن ٻن مساواتن مان پار-قوت Qx کي ختم ڪرڻ سان نتيجو نڪري ٿو

a M’’x + Nφ = p a.

مثال. 6

هن مساوات ۾ اهي نامعلوم ڪراس سيڪشن قوتون جهڪاءُ w جي مدد سان ظاهر ڪري سگهجن ٿيون. Nφ لاءِ اڳ ئي Nφ=Etw/a, ملي چڪو آهي، ۽ لمحو مرڊين جي وڪڙ w’’ جي متناسب آهي، يعني Mx=Kw’’, جتي پليٽن وانگر K=Et3/12(1-μ2) گنبذ جي سختي آهي، جيڪا x سان تبديل ٿي سگهي ٿي. جيڪڏهن سراسري قوتن لاءِ اهي اظهار مساوات (6) ۾ داخل ڪيا وڃن، ته حوض جي نظريي جي تفاضلي مساوات ملي ٿي:

جنهن ٽانڪي جي ڀت جي ٿولهه غير تبديل رهندي هجي، حل هي آهي:

هڪ.7

جتي λ4=3(1-μ2)/a2t2. جيڪڏهن λh وڏو هجي (چئو، 3 کان وڏو)، ته هائپربولڪ افعال بدران ايڪسپونينشل افعال متعارف ڪرائڻ وڌيڪ مناسب آهي، تنهنڪري:

هڪ.8

تڏهن هڪ ٻئي کان آزاد طور تي مستقل A1, B1 هيٺئين سرحدي شرطن مان، ۽ مستقل A2, B2 مٿئين ڪناري جي سرحدي شرطن مان طئي ڪري سگهجن ٿا، جنهن ۾ قاعدي موجب A2=B2=0_ حاصل ٿيندو آهي. مساوات (8) ۽ (7) جي بنياد تي ڪٽڻ واريون قوتون حاصل ٿين ٿيون، جڏهن حساب ابتڙي رخ ۾ ڪيو وڃي ۽ هر هنڌ مساوات (8) ۽ (7) لاڳو ڪئي وڃي؛ اهڙيءَ طرح مثال طور A2=B2=0_ لاءِ:

جڏهن ٽانڪي جون ڀتيون سليب ۾ سختي سان جڪڙيل هجن، ۽ ٽانڪي جي تري ۾ جيڪا حصي ايتري ٿلهي هجي جو ان کي سخت سمجهي سگهجي، تڏهن مستقل A1, B1 کي انهن شرطن مان طئي ڪرڻو پوندو ته x=0, w=0 ۽ w’=0، ۽ ان کان پوءِ حاصل ٿئي ٿو:

جيڪڏهن ٽانڪي جو هيٺيون حصو لچڪدار پليٽ يا شيل هجي، ته تري ۽ سلنڊر جي ڀت جي وچ واري ڪنڊ واري دائري سان گڏ ٽرانسورس قوتون Qx ۽ مومنٽ Mx جامد طور غير معين نظامن جي نظريي جي طريقن سان، ان گهرج جي بنياد تي طئي ڪرڻ گهرجن ته Mx ۽ w’ ٻنهي حصن لاءِ هڪجهڙي قيمت رکن.