Κελύφη ονομάζονται οι επιφανειακοί φορείς, των οποίων η μεσαία επιφάνεια δεν είναι επίπεδη αλλά εμφανώς κυρτή. Η στατική τους συμπεριφορά αποκλίνει σημαντικά από τη συμπεριφορά της πλάκας. Όταν έχουν κατάλληλο σχήμα, η καταπόνησή τους είναι σημαντικά μικρότερη, η δυσκαμψία τους αντίστοιχα μεγαλύτερη και ο υπολογισμός στις περισσότερες περιπτώσεις απλούστερος.
Η καταπόνηση κάθε κελύφους μπορεί να αναλυθεί σε δύο μέρη: μεμβρανική καταπόνηση και κάμψη. Οι μεμβρανικές τάσεις μπορούν, παρόμοια με τις τάσεις σε πλάκα φορτισμένη στο ίδιο επίπεδό της, να εκφραστούν μέσω των διατμητικών δυνάμεων στο εφαπτομενικό επίπεδο – είναι π.χ. στη διατομή x=const. η κανονική δύναμη _Nx=_σx*t και η διατμητική δύναμη _Nxy=_τxy*t, όπου t είναι το πάχος του κελύφους. Οι τάσεις λόγω κάμψης είναι ίδιες όπως και στις πλάκες και μπορούν να παρασταθούν με ροπές κάμψης Mx, στρεπτικές ροπές Mxy και διατμητικές δυνάμεις Qx.
Οι σημαντικές ιδιότητες των κελυφών βασίζονται στο γεγονός ότι, κατά κανόνα, οι τάσεις λόγω κάμψης δεν έχουν ούτε το μέγεθος ούτε τη σημασία των μεμβρανικών τάσεων, έτσι ώστε συχνά μπορούν να αγνοηθούν εντελώς. Σε αυτή την περίπτωση όλες οι τάσεις κατανέμονται ομοιόμορφα στο πάχος του κελύφους και δρουν εφαπτομενικά προς τη μεσαία επιφάνεια. Οι υπολογισμοί που βασίζονται σε αυτές τις παραδοχές εντάσσονται στο πλαίσιο της μεμβρανικής θεωρίας των κελυφών.
Θεωρία μεμβράνης των αξονοσυμμετρικών κελυφών υπό αξονοσυμμετρική φόρτιση
Γενικές μορφές
Ως γραμμές συντεταγμένων λαμβάνονται οι μεσημβρινοί και οι παράλληλοι κύκλοι στη μέση επιφάνεια του κελύφους, οπότε οι συντεταγμένες είναι: αζιμούθιο ϑ («γεωγραφικό μήκος») και κλίση φ της εφαπτομένης προς τον μεσημβρινό ως προς το επίπεδο κάθετο στον άξονα συμμετρίας (σχ. 1α). Συνεπώς, οι διατμητικές δυνάμεις είναι: η κανονική δύναμη Nφ κατά τη διεύθυνση του μεσημβρινού και η κανονική δύναμη Nϑ στο δακτύλιο (σχ. 1β). Οι διατμητικές δυνάμεις Nφϑ δεν εμφανίζονται σε περιστροφικά συμμετρική καταπόνηση. Το φορτίο ανά μονάδα επιφάνειας σημειώνεται ως εξής (σχ. 1β): Y εφαπτομενικά προς τον μεσημβρινό, θετικό προς τη διεύθυνση όπου αυξάνει το φ, Z κάθετα στο κέλυφος, θετικό προς τον άξονα συμμετρίας.
Σχ. 1
Εικ. 2
Έστω ότι η ακτίνα καμπυλότητας του μεσημβρινού είναι r1. Είναι συνάρτηση της γωνίας φ, επομένως με την εξίσωση _r1=r1(_φ) καθορίζεται το σχήμα του μεσημβρινού. Αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως εξίσωση του μεσημβρινού και έχει τη μορφή, π.χ.
για κύκλο r1=a=const.
για την παραβολή r1=a/cos3__φ
για την έλλειψη r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Για τον υπολογισμό της κανονικής δύναμης N__φ προς τη διεύθυνση του μεσημβρινού πρέπει να τεθεί η συνθήκη ισορροπίας του τμήματος του κελύφους που βρίσκεται πάνω από τον παράλληλο κύκλο φ (σχ. 2). Η συνισταμένη R των φορτίων Y και Z που δρουν σε αυτό το τμήμα είναι κατακόρυφη, λόγω συμμετρίας. Το μέγεθός της προκύπτει με ολοκλήρωση επί της επιφάνειας του κελύφους από φ’=0 έως φ’=φ. Η επιφάνεια του στοιχείου του κελύφους είναι dF=r1d__φ’*rd__ϑ, άρα η κατακόρυφη συνιστώσα του φορτίου (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Για ολόκληρο το δακτυλιοειδές τμήμα του κελύφους που βρίσκεται μεταξύ των κύκλων φ’ και φ’+dφ’ η συνισταμένη του εξωτερικού φορτίου είναι:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
από όπου, με ολοκλήρωση ως προς φ’ για το τμήμα του κελύφους που βρίσκεται πάνω από τον παράλληλο κύκλο φ’=φ, προκύπτει:
Εξ. 1
Το φορτίο αυτό παραλαμβάνεται από τις κανονικές δυνάμεις στη διεύθυνση του μεσημβρινού, οι οποίες δρουν κατά την περιφέρεια του εξεταζόμενου κύκλου· η κατακόρυφη συνιστώσα της συνισταμένης αυτών των δυνάμεων είναι 2__πr * N__φ sin__φ, και με εξίσωση προκύπτει από εδώ η ζητούμενη κανονική δύναμη
Εξ. 2
Αν το κέλυφος στο επάνω μέρος κόβεται κατά μήκος του κύκλου φ=φ0 (π.χ. άνοιγμα φωτισμού σε θόλο), το κάτω όριο του ολοκληρώματος είναι, βεβαίως, φ0, και όχι μηδέν. Αν στο χείλος του κελύφους που προέκυψε με αυτόν τον τρόπο δρα και το φορτίο R0, πρέπει και αυτό να προστεθεί στη συνισταμένη R (σχ. 3).
Σχ. 3
Για τον προσδιορισμό της κανονικής δύναμης N__ϑ πρέπει να τεθεί ο όρος ισορροπίας του στοιχείου του κελύφους κάθετα προς το εφαπτομενικό επίπεδο (σχ. 4). Η συνισταμένη του εξωτερικού φορτίου προς αυτή την κατεύθυνση είναι Z r1 d__φ r d__ϑ. Οι δυνάμεις N__φ*r d__ϑ που βρίσκονται στο μεσημβρινό επίπεδο σχηματίζουν μεταξύ τους μικρή γωνία d__φ, οπότε η συνισταμένη τους προς τη διεύθυνση της κάθετης στο κέλυφος είναι N__φ r d__ϑ*dφ. Ομοίως, οι δυνάμεις Nϑ r1 dφ που βρίσκονται στο επίπεδο του οριζόντιου κύκλου και σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία dϑ έχουν συνισταμένη Nϑ r1 dφ*dϑ, η οποία επίσης βρίσκεται στο επίπεδο του οριζόντιου κύκλου και συνεπώς σχηματίζει με την κάθετη στο κέλυφος γωνία 0,5_π-φ_, έτσι ώστε στον όρο ισορροπίας να υπεισέρχεται μόνο η συνιστώσα τους Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. Ο όρος ισορροπίας επομένως γράφεται
ή, όταν διαιρεθεί με r r1 dϑ dφ:
Ενας.3
Εδώ με r2=r/sinφ συμβολίζεται η δεύτερη κύρια ακτίνα καμπυλότητας του κελύφους.
Σχ. 4
Κυκλικός θόλος
Όταν το σχήμα του μεσημβρινού δίνεται αναλυτικά με την εξίσωση r1=r1(φ) και όταν για τα φορτία Y(φ) και Z(φ) δίνονται αναλυτικές εκφράσεις, οι διατμητικές δυνάμεις στο κέλυφος μπορούν πάντοτε να προσδιοριστούν με ολοκλήρωση σε κλειστή μορφή ή αριθμητικά, χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Simpson-. Για τον κυκλικό θόλο διαμέτρου a παρακάτω δίνονται οι διατμητικές δυνάμεις για ορισμένες περιπτώσεις φόρτισης:
Το τελευταίο σχήμα, το οποίο για φ=0 δίνει άπειρα μεγάλες τέμνουσες δυνάμεις, ισχύει μόνο σε ορισμένη απόσταση από το σημείο εφαρμογής της δύναμης. Στην άμεση περιοχή του σημείου όπου δρα η δύναμη, ακόμη και όταν αυτή κατανέμεται στην επιφάνεια κύκλου πεπερασμένης αλλά μικρής διαμέτρου, το φορτίο μεταφέρεται κυρίως με κάμψη.
Τα σχήματα για κελύφη ανοιχτά στο άνω μέρος μπορούν να προκύψουν από τα προηγούμενα, αν στο πραγματικό φορτίο προστεθεί φανταστικό φορτίο P στην κορυφή, του οποίου το μέγεθος καθορίζεται έτσι, αν η συνολική κανονική δύναμη προς την κατεύθυνση του μεσημβρινού που ενεργεί στο άνω άκρο του κελύφους φ=φ0 είναι Nφ=0, ή είναι ίση με κάποια τιμή που καθορίζεται από τις εξωτερικές δυνάμεις που δέχεται εδώ το κέλυφος.
Κωνικό κέλυφος
Σχ. 5
Στο κωνικό κέλυφος η κλίση του μεσημβρινού φ δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως συντεταγμένη, επειδή έχει την ίδια τιμή σε όλα τα σημεία. Αντί γι’ αυτήν εισάγεται η απόσταση s από την κορυφή του θόλου μετρημένη κατά μήκος της γενέτειρας (σχ. 5). Η κανονική δύναμη στην κατεύθυνση του μεσημβρινού συμβολίζεται αντίστοιχα με Ns. Τα απαιτούμενα σχήματα μπορούν να προκύψουν από τα παραπάνω υπό 1 όταν πραγματοποιηθεί ο οριακός μετασχηματισμός. Από την εξίσωση (2) προκύπτει έτσι
και από την εξίσωση (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Για τις σημαντικότερες περιπτώσεις φόρτισης ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:
Γραφική μέθοδος για αυθαίρετο σχήμα μεσημβρινού
Εικ. 6
Όταν η καμπύλη του μεσημβρινού δεν δίνεται με αναλυτική έκφραση, αλλά, ας πούμε, γραφικά, ο προσδιορισμός της ακτίνας καμπυλότητας είναι υπερβολικά δύσκολος και υπερβολικά ανακριβής. Σε αυτή την περίπτωση είναι καταλληλότερο να χρησιμοποιηθεί γραφική διαδικασία (σχ. 6).
Το κέλυφος διαιρείται με περισσότερα επίπεδα φ=const., υπολογίζονται τα βάρη Δ_R_ των δακτυλιοειδών ζωνών που βρίσκονται μεταξύ των επιπέδων και είναι καλύτερο αμέσως να διαιρεθούν με 2_π_. Αυτές οι δυνάμεις ΔR/2π μεταφέρονται στο διάγραμμα δυνάμεων (σχ. 6b). Αν κατόπιν, π.χ., μέσω του σημείου διαίρεσης 7 χαραχθεί ευθεία παράλληλη προς την εφαπτομένη της μεσημβρινής στο σημείο της μεσημβρινής 7, η οριζόντια από το ανώτερο σημείο του διαγράμματος δυνάμεων θα τέμνει σε αυτό το μήκος R1/2π sinφ7 από το οποίο, βάσει της εξίσωσης (2), διαιρώντας με το αντίστοιχο r προκύπτει η αντίστοιχη κανονική δύναμη στη διεύθυνση της μεσημβρινής.
Για τον προσδιορισμό των δυνάμεων στους δακτυλίους χρησιμεύει η συνθήκη ισορροπίας των οριζόντιων δυνάμεων σε ένα στοιχείο του κελύφους. Αν δρουν μόνο κατακόρυφα φορτία, η συνθήκη αυτή έχει τη μορφή (σχ. 4):
Όταν εδώ το dφ αντικατασταθεί από την πεπερασμένη διαφορά Δφ, που αντιστοιχεί στην υιοθετημένη διαίρεση του κελύφους, και όταν αντί του r1 dφ εισαχθεί το μήκος Δs του στοιχείου του μεσημβρινού, από εδώ προκύπτει
Στην αγκύλη στη δεξιά πλευρά βρίσκεται το τεμάχιο αποκοπής στην οριζόντια ευθεία στο διάγραμμα δυνάμεων. Επομένως, ολόκληρη η δεξιά πλευρά παριστά τα τμήματα μεταξύ των σημείων διαίρεσης σε αυτή την ευθεία. Για να μπορούμε να τα διαβάζουμε με επαρκή ακρίβεια, το διάγραμμα δυνάμεων πρέπει να σχεδιάζεται προσεκτικά και σε αρκετά μεγάλη κλίμακα.
Δακτύλιοι εφελκυόμενοι και θλιβόμενοι
Κάθε περιστροφικά συμμετρικό κέλυφος οριοθετείται από έναν ή δύο οριζόντιους κύκλους (σχ. 7). Στα άκρα αυτά μπορεί κατ’ αρχήν να δεχθεί μόνο τέτοια φορτία και αντιδράσεις στηρίξεων, που έχουν διεύθυνση εφαπτομένης προς τον μεσημβρινό. Αν οι εξωτερικές δυνάμεις έχουν άλλη διεύθυνση, όπως π.χ. το φορτίο P από το άνω μέρος της κατασκευής ή η αντίδραση S του πυθμένα του δοχείου που φαίνεται στο σχήμα 97, οι δυνάμεις αυτές πρέπει, όπως φαίνεται στο σχήμα, να αναλυθούν σε συνιστώσες κατά τη διεύθυνση του οριζόντιου κύκλου και της εφαπτομένης προς τον μεσημβρινό. Η συνιστώσα P/sinφ0 ή S/sinφu είναι ίση με την κανονική δύναμη κατά τη διεύθυνση του μεσημβρινού Nφ που ενεργεί στο σημείο εκείνο, ενώ για την παραλαβή της οριζόντιας δύναμης Pctgφ0 ή Sctgφu απαιτείται δακτύλιος που παραλαμβάνει εφελκυσμό, αντίστοιχα πίεση, και στον οποίο αυτό το ακτινικό φορτίο προκαλεί κανονική δύναμη + P r0 ctgφ0, αντίστοιχα -S ru ctgφu. Τέτοιοι δακτύλιοι, εκτός από τα άκρα του κελύφους, πρέπει να τοποθετούνται και σε όλα τα σημεία όπου η καμπύλη του μεσημβρινού έχει θραύση. Αυτοί πάντοτε προκαλούν διαταραχή της μεμβρανικής κατάστασης τάσεων.
Σχ. 7
Τάσεις λόγω κάμψης σε περιστροφικά συμμετρικά κελύφη
Τα σχήματα της μεμβρανικής θεωρίας δεν περιέχουν επαρκή αριθμό σταθερών ολοκλήρωσης ώστε να μπορούν να ικανοποιηθούν όλες οι οριακές συνθήκες που πραγματικά αντιστοιχούν στο τεθέν πρόβλημα. Ειδικά στις αξονοσυμμετρικές κελύφες, δεν είναι δυνατόν με κάποια κατάλληλη επιλογή των σταθερών ολοκλήρωσης να επιτευχθεί ώστε η παραμόρφωση εϑ = Nϑ/Et κατά την περιφερειακή διεύθυνση κατά μήκος του άκρου του κελύφους να είναι ίση με την αντίστοιχη παραμόρφωση κάποιου άλλου δομικού μέλους που είναι εκεί άκαμπτα συνδεδεμένο με αυτό. Το ίδιο ισχύει και για κελύφη στα οποία κατά μήκος ενός οριζόντιου κύκλου μεταβάλλεται απότομα η καμπυλότητα του μεσημβρινού, το πάχος του κελύφους ή το φορτίο ανά μονάδα επιφάνειας. Ακόμη και όταν το κέλυφος κατά μήκος κάποιας ακμής δεν ενισχύεται με δακτύλιο, αλλά στο σημείο αυτό φορτίζεται με δυνάμεις που έχουν συνιστώσα στην κατεύθυνση της κάθετης στο κέλυφος (π.χ. το φορτίο P στο σχ. 7 όταν θεωρηθεί ότι ο δακτύλιος έχει αφαιρεθεί), δεν μπορεί να παραλάβει τέτοια φορτία μόνο μέσω μεμβρανικών δυνάμεων. Σε τέτοιες περιπτώσεις η διατμητική δύναμη και οι ροπές κάμψης (σχ. 8) παίζουν ουσιώδη ρόλο στην κατανομή των δυνάμεων στο κέλυφος, κάτι που στη στατική ανάλυση πρέπει να ληφθεί υπόψη.
Σχ. 8
Ο ακριβής υπολογισμός του κελύφους σε κάμψη, εκτός από την απλούστερη ειδική περίπτωση κυλινδρικού κελύφους, αποτελεί πολύ δύσκολο έργο. Για κελύφη με λεπτά τοιχώματα μπορεί να διαμορφωθεί μια απλή και πολύ χρήσιμη προσεγγιστική θεωρία, η οποία στηρίζεται στο γεγονός, γνωστό από την αυστηρή θεωρία, ότι οι τάσεις λόγω κάμψης περιορίζονται σε μια σχετικά στενή ζώνη κοντά στην ακμή και μειώνονται γρήγορα με την αύξηση της απόστασης από την ακμή. Αυτό επιτρέπει να αγνοηθεί μεγάλος αριθμός όρων στην ακριβή διαφορική εξίσωση, οπότε αυτή αποκτά απλοποιημένη μορφή.
Αν μέσα στο κρίσιμο όριο που ενδιαφέρει μόνο κ αντικατασταθεί η μέση τιμή, και αυτό είναι σχεδόν πάντα δυνατό, η λύση της εξίσωσης είναι
Εξ. 4 και 5
όπου a1, b1, a2, b2 είναι οι σταθερές ολοκλήρωσης. Εφόσον η λύση ενδιαφέρει μόνο κοντά στο όριο φ=φ0, είναι σκόπιμο η γωνιακή απόσταση ω=φ0-φ ή ω=φ-φ0 από αυτό το όριο να εισαχθεί ως συντεταγμένη, οπότε με τη μετασχημάτιση της παραπάνω λύσης προκύπτει η δεύτερη αναφερόμενη έκφραση. Εδώ εμφανίζονται μόνο δύο σταθερές ολοκλήρωσης A, B ή C, ψ, επειδή το δεύτερο μέρος της λύσης που περιέχει τον παράγοντα eκω, και συνεπώς με την αύξηση του ω δεν μειώνεται, μπορεί να αποκλειστεί από την εξέταση.
Με βάση την εξίσωση 5 προκύπτουν οι ακόλουθες τιμές για τις διατμητικές δυνάμεις και την περιστροφή κ της εφαπτομένης του μεσημβρινού:
Τάσεις λόγω κάμψης σε δεξαμενές κυλινδρικού σχήματος
Έστω ότι ένας κυλινδρικός ταμιευτήρας ύψους h είναι γεμάτος με νερό (σχ. 9), τότε σε ύψος x πάνω από τα δύο δοχεία η πίεση του νερού είναι p=γ(h-x). Αν σε αυτό το ύψος, με δύο οριζόντιες τομές σε απόσταση dx, κοπεί από τον ταμιευτήρα ένας δακτύλιος και αυτός διαιρεθεί κατά μήκος μιας διαμέτρου σε δύο μέρη, ο όρος ισορροπίας του ενός από αυτά δίνει τη μεμβρανική δύναμη στον δακτύλιο Nφ=pa. Αν το πάχος του ταμιευτήρα στο σημείο αυτό είναι t, η παραμόρφωση στον δακτύλιο είναι εφ=Nφ/Et και επομένως η αύξηση της ακτίνας του ταμιευτήρα (καμπύλωση) είναι
Στο κάτω άκρο x=0 είναι συνεπώς
Σχ. 9
Ούτε το ένα ούτε το άλλο είναι κατά κανόνα σε συμφωνία με τις οριακές συνθήκες, επειδή η παραμόρφωση του τοιχώματος εμποδίζεται λόγω της σύνδεσης με τον πυθμένα της δεξαμενής. Κατά τη σύνδεση μεταξύ πυθμένα και τοιχώματος του κυλίνδρου εμφανίζονται εγκάρσιες δυνάμεις Qx0 και ροπές Mx0 (σχ. 11), το μέγεθος των οποίων πρέπει να καθοριστεί έτσι ώστε, μαζί με τις ακριβώς υπολογισμένες μεμβρανικές δυνάμεις στο κέλυφος, να προκαλούν αυτήν την παραμόρφωση στην ακμή του κελύφους που επιτρέπει ο πυθμένας.
Σχ. 10, 11, 12, αντίστοιχα
Στο σχ. 11 παρουσιάζεται το στοιχείο του κελύφους dx*a dφ με τις δυνάμεις που δρουν πάνω του. Η συνθήκη ισορροπίας των δυνάμεων προς τη διεύθυνση της κάθετης στο κέλυφος δίνει
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
από όπου, διαιρώντας με dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Από τη συνθήκη ότι η ροπή ως προς την οριζόντια εφαπτομένη στον κύλινδρο είναι μηδέν, προκύπτει:
dM/dx = M’x = Qx
Με την απαλοιφή της διατμητικής δύναμης Qx από αυτές τις δύο εξισώσεις προκύπτει
a M’’x + Nφ = p a.
Πρ. 6
Σε αυτή την εξίσωση αυτές οι άγνωστες διατμητικές δυνάμεις μπορούν να εκφραστούν μέσω της βύθισης w. Για το Nφ έχει ήδη βρεθεί Nφ=Etw/a, και η ροπή είναι ανάλογη με την καμπυλότητα του μεσημβρινού w’’, δηλ. Mx=Kw’’, όπου, όπως και στις πλάκες, K=Et3/12(1-μ2) είναι η δυσκαμψία του κελύφους, η οποία μπορεί να μεταβάλλεται με το x. Αν οι εκφράσεις αυτές για τις μέσες δυνάμεις εισαχθούν στην εξίσωση (6), προκύπτει η διαφορική εξίσωση της θεωρίας των δεξαμενών:
Για δεξαμενή της οποίας το πάχος του τοιχώματος είναι αμετάβλητο, η λύση είναι:
Ενας.7
όπου λ4=3(1-μ2)/a2t2. Αν το λh είναι μεγάλο (ας πούμε, μεγαλύτερο από 3), είναι πιο πρακτικό αντί των υπερβολικών συναρτήσεων να εισαχθούν εκθετικές, οπότε:
Ενας.8
Τότε μπορούν να προσδιοριστούν ανεξάρτητα μεταξύ τους οι σταθερές A1, B1 από τις οριακές συνθήκες στο κάτω άκρο, ενώ οι σταθερές A2, B2 από τις οριακές συνθήκες στο άνω άκρο, οπότε κατά κανόνα προκύπτει A2=B2=0. Με βάση τις εξισώσεις (8) και (7) προκύπτουν οι διατμητικές δυνάμεις, όταν ο υπολογισμός εκτελεστεί αντίστροφα και παντού εισαχθεί η εξίσωση (8) και (7); έτσι π.χ. για A2=B2=0:
Όταν τα τοιχώματα της δεξαμενής είναι άκαμπτα πακτωμένα στην πλάκα, στον πυθμένα της δεξαμενής που είναι αρκετά παχύς ώστε να μπορεί να θεωρηθεί άκαμπτος, οι σταθερές A1, B1 πρέπει να προσδιοριστούν από τις συνθήκες ότι x=0, w=0 και w’=0 οπότε προκύπτει:
Αν ο πυθμένας του δοχείου είναι ελαστική πλάκα ή κέλυφος, οι εγκάρσιες δυνάμεις Qx και οι ροπές Mx κατά μήκος του περιμετρικού δακτυλίου μεταξύ του πυθμένα και του τοιχώματος του κυλίνδρου πρέπει να προσδιορίζονται με μεθόδους της θεωρίας στατικώς ακαθόριστων συστημάτων, με βάση την απαίτηση ότι οι Mx και w’ για τα δύο μέρη έχουν την ίδια τιμή.