Лю́жкалар деп ортоңку бети түз эмес, байкаларлык томпок болгон беттик ташуучулар аталат. Алардын статикалык жүрүм-туруму плитанын жүрүм-турумунан кыйла айырмаланат. Ыңгайлуу формада болгондо алардын чыңалуусу кыйла аз, катуулугу тиешелүү даражада жогору, ал эми эсептөө көпчүлүк учурда жөнөкөй болот.
Ар бир кабыктын чыңалуусу эки бөлүккө бөлүнүшү мүмкүн: мембраналык чыңалуу жана ийилүү. Мембраналык чыңалуулар, өз тегиздигинде жүктөлгөн пластинанын чыңалууларына окшоп, тангенциалдык тегиздиктеги кесүүчү күчтөр аркылуу туюнтулат — мисалы, x=const. кесилишинде нормалдуу күч _Nx=_σx*t жана кесүүчү күч _Nxy=_τxy*t, мында t — кабыктын калыңдыгы. Ийилүүдөн пайда болгон чыңалуулар пластинкалардагыдай эле болуп, ийилүү моменттери Mx, бурулуш моменттери Mxy жана кесүүчү күчтөр Qx аркылуу берилет.
Кабыкчалардын маанилүү касиеттери, эреже катары, ийилүүдөн келип чыккан чыңалуулар мембраналык чыңалуулардын көлөмүнө да, маанисине да жетпей тургандыгына негизделет, ошондуктан аларды көп учурда толугу менен көз жаздымда калтырууга болот. Бул учурда бардык чыңалуулар кабыктын калыңдыгы боюнча бир калыпта бөлүштүрүлүп, ортоңку бетке тангенциалдуу таасир этет. Ушул божомолдорго негизделген эсептөөлөр кабыкчалардын мембраналык теориясынын алкагына кирет.
Айланма симметриялуу жүктөмдүн астындагы айланма симметриялуу кабыктардын мембраналык теориясы
Жалпы формулалар
Координаттык сызыктар катары кабыкчанын ортоңку бетиндеги меридиандар жана параллелдик айлампалар алынат, ошондуктан координаттар: азимут ϑ (“географиялык узундук”) жана меридианга тартылган жанамдын симметрия огунa тик түздүккө карата эңкейиши φ (сүр. 1a). Ошого ылайык кесүүчү күчтөр: меридиан багытындагы нормал күч Nφ жана шакек багытындагы нормал күч Nϑ (сүр. 1b). Nφϑ кесүүчү күчтөрү айланма-симметриялуу чыңалууда пайда болбойт. Бирдик аянтка түшкөн жүктөм төмөнкүдөй белгиленет (сүр. 1b): Y меридианга жанаша, φ өсүү багытында оң, Z кабыкчага нормалдуу, симметрия огуна карай оң.
Сүр. 1
Сүр. 2
Меридиандын ийрилик радиусу r1 болсун. Ал φ бурчунун функциясы болгондуктан, _r1=r1(_φ) теңдемеси менен меридиандын формасы аныкталат. Муну меридиандын теңдемеси катары кароого болот жана, мисалы, мындайча жазылат.
айлана үчүн r1=a=const.
парабола үчүн r1=a/cos3__φ
эллипса үчүн r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Меридиандын багытында нормалдуу күч N__φ ни эсептөө үчүн φ параллель айлананын үстүндө жаткан кабык бөлүгү үчүн тең салмактуулук шартын коюу керек (сүр. 2). Бул бөлүккө таасир эткен Y жана Z жүктөрүнүн натыйжалуусу R симметрияга байланыштуу тик багытта болот. Анын чоңдугу кабыктын бетинин бою боюнча φ’=0 дон φ’=φ га чейин интегралдоо менен алынат. Кабык элементинин аянты dF=r1d__φ’*rd__ϑ болгондуктан, жүктүн тик компоненти (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF болот. φ’ жана φ’+dφ’ айланалардын ортосунда жаткан кабыктын бүт шакек сымал бөлүгү үчүн тышкы жүктөөнүн натыйжалуусу мындай:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
мында φ’ боюнча, φ’=φ параллелдүү айлампасынан жогору жаткан кабык бөлүгү үчүн интегралдоо аркылуу төмөнкүдөй алынат:
Жең. 1
Бул жүктү меридиан багытындагы нормалдык күчтөр кабыл алат, алар байкалган айлананын айланасы боюнча аракеттенет; бул күчтөрдүн натыйжасынын тик компоненти 2__πr * N__φ sin__φ, болуп саналат, ошондуктан теңдөө жолу менен талап кылынган нормалдык күч алынат
Теңд. 2
Эгер кабык үстүңкү бөлүгүндө φ=φ0 айлампасы боюнча кесилсе (мисалы, куполдогу жарыктандыруу тешиги), интегралдын төмөнкү чеги, албетте, нөл эмес, φ0 болот. Эгер ушундай жол менен пайда болгон кабыктын четинде R0 жүгү да таасир этсе, аны да R жыйынды күчүнө кошуу керек (сүр. 3).
Сүр. 3
Нормалдык күч N__ϑ аныктоо үчүн тангенциалдык жазыктыкка тик багыттагы кабык элементинин тең салмактуулук шарты түзүлүшү керек (сүр. 4). Бул багыттагы тышкы жүктүн натыйжасы Z r1 d__φ r d__ϑ түзөт. Меридиандык жазыктыкта жаткан N__φ*r d__ϑ күчтөрү өз ара кичине d__φ бурчун түзөт, ошондуктан алардын кабыкка нормаль багытындагы натыйжасы N__φ r d__ϑ*dφ болот. Ошол сыяктуу эле, горизонталдык айлампа жазыктыгында жаткан жана өз ара dϑ бурчун түзгөн Nϑ r1 dφ күчтөрүнүн натыйжасы Nϑ r1 dφ*dϑ болуп, ал да горизонталдык айлампа жазыктыгында жатат жана демек кабыкка нормаль менен 0,5_π-φ_ бурчун түзөт, ошондуктан тең салмактуулук шартына алардын Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ компоненти гана кирет. Демек, тең салмактуулук шарты мындайча жазылат
же, r r1 dϑ dφ га бөлгөндө:
Бир.3
Бул жерде r2=r/sinφ менен кабыктын ийрилигинин экинчи башкы радиусу белгиленген.
Сүр. 4
Тегерек күмбөз
Меридиандын формасы аналитикалык түрдө r1=r1(φ) теңдемеси менен берилгенде жана Y(φ) менен Z(φ) жүктөр үчүн аналитикалык туюнтмалар берилгенде, кабыкчадагы кесүүчү күчтөрдү ар дайым жабык формада интегралдоо менен же сандык түрдө, Simpson-дун эрежесин колдонуп аныктоого болот. Диаметри a болгон тегерек күмбөз үчүн төмөндө жүктөөнүн айрым учурларындагы кесүүчү күчтөр берилет:
Акыркы формула, φ=0 үчүн чексиз чоң кесүү күчтөрүн бергендиктен, күчтүн таасир этүү чекитинен белгилүү бир аралыкта гана жарактуу. Күч аракет кылган жердин түз айланасында, ал күч чектүү, бирок кичине диаметри бар айлананын бетине бөлүштүрүлгөн болсо да, жүк негизинен ийилүү аркылуу берилет.
Үстү ачык кабыкчалар үчүн схемаларды мурункулардан чыгарууга болот, эгерде чыныгы жүккө төбөдө жасалма жүк P кошулса, анын көлөмү ошентип аныкталат: кабыктын жогорку четинде меридиан багытында аракет эткен жалпы нормалдык күч φ=φ0 болсо, Nφ=0 же кабык бул жерде кабыл алып жаткан тышкы күчтөр менен аныкталган кандайдыр бир мааниге барабар болсо.
Конус кабык
Сүр. 5
Конустуу кабыкта меридиандын кыйшайышын φ координата катары колдонууга болбойт, анткени анын бардык чекиттерде мааниси бирдей. Анын ордуна генератрица боюнча ченелген чокудан s аралык киргизилет (сүр. 5). Ошого ылайык меридиан багытындагы нормал күч Ns менен белгиленет. Керектүү формаларды жогоруда 1 берилгендерден чектүү өтүү жүргүзүлгөндө алууга болот. Теңдемеден (2) ушул жол менен
жана теңдемеден (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Эң маанилүү жүктөө учурлары үчүн төмөнкү формулалар колдонулат:
Меридиандын каалаган формасы үчүн графикалык ыкма
Сүр. 6
Меридиан ийри сызыгы аналитикалык туюнтма менен берилбестен, мисалы, графикалык түрдө берилсе, ийриликтин радиусун аныктоо өтө кыйын жана өтө так эмес болот. Мындай учурда графикалык ыкманы колдонуу ыңгайлуураак (sl. 6).
Кабык φ=const. болгон бир нече тегиздиктер менен бөлүнөт, алардын ортосунда жаткан шакекче зоналардын салмактары Δ_R_ эсептелет да, аларды эң жакшысы дароо 2_π_ га бөлүү керек. Бул күчтөр ΔR/2π күчтөр планына (сүр. 6b) коюлат. Эгер андан кийин, мисалы, бөлүүчү 7 чекит аркылуу меридиандын 7 чекитиндеги жанамага параллелдүү түз сызык жүргүзүлсө, күчтөр планынын жогорку чекити аркылуу өткөн горизонталь анда R1/2π sinφ7 узундуктагы кесиндини кесет, андан формула (2) боюнча, тиешелүү r га бөлүү аркылуу, меридиан багытындагы тиешелүү нормал күч алынат.
Шакектердеги күчтөрдү аныктоо үчүн кабыкчанын бир элементиндеги горизонталдык күчтөрдүн тең салмактуулук шарты колдонулат. Эгерде тик жүктөр гана таасир этсе, бул шарт төмөнкүдөй болот (сүр. 4):
Бул жерде dφ кабыл алынган кабыкчанын бөлүнүшүнө туура келген акыркы айырма Δφ менен алмаштырылып, ал эми r1 dφ ордуна меридиандын элементинин узундугу Δs киргизилгенде, ушундан алынат
Оң жактагы кашаада күчтөрдүн планы боюнча горизонталдуу түз сызыктагы кесиндиси турат. Ошого ылайык, оң жактын бүтүндөй бөлүгү ушул түз сызыктагы бөлүү чекиттеринин ортосундагы кесиндилерди билдирет. Аларды жетиштүү так окуй алыш үчүн, күчтөр планы кылдат жана жетиштүү чоң масштабда тартылышы керек.
Созулган жана кысылган шакектер
Ар бир айланма симметриялуу кабык бир же эки горизонталдык айлана менен чектелет (сүр. 7). Бул кырларда ал принципиалдуу түрдө меридианга тангенс багытындагы жүктөрдү жана таяныч реакцияларын гана кабыл ала алат. Эгер тышкы күчтөрдүн багыты башка болсо, мисалы, конструкциянын жогорку бөлүгүнөн келген P жүгү же сүр. 97де көрсөтүлгөн резервуардын түбүнүн S реакциясы, анда бул күчтөр, сүрөттө көрсөтүлгөндөй, горизонталдык айлана жана меридианга тангенс багытындагы компоненттерге ажыратылышы керек. P/sinφ0 же S/sinφu компоненти ошол жерде аракеттенген меридиан багытындагы нормалдуу күч Nφ га барабар, ал эми горизонталдык күч Pctgφ0 же Sctgφu ни кабыл алуу үчүн тартууну, же басымды кабыл алган жана анда бул радиалдык жүктөм нормалдуу күч + P r0 ctgφ0, же -S ru ctgφu пайда кылган шакек керек. Мындай шакектер, кабыктын кырларынан тышкары, меридиан сызыгы бүктөлгөн бардык жерлерде да орнотулушу керек. Алар дайыма мембраналык чыңалуу абалынын бузулушун жаратат.
Сүр. 7
Оңалууга байланыштуу айланма симметриялуу кабыктардагы чыңалуулар
Мембраналык теориянын формалары коюлган маселеге чындап туура келген бардык чектүү шарттарды аткаруу үчүн жетиштүү сандагы интегралдоо туруктууларын камтыбайт. Айрыкча айланма симметриялуу кабыктарда интегралдоо туруктууларын ылайыктуу тандап алуу менен, кабыктын четинде айланма багыттагы εϑ = Nϑ/Et кеңейүүсү ошол жерде аны менен бекем байланышкан башка конструктивдик бөлүктүн тиешелүү кеңейүүсүнө барабар болушуна жетишүү мүмкүн эмес. Ушул эле нерсе бир горизонталдык айланма боюнча меридиандын ийрилиги, кабыктын калыңдыгы же бирдик аянтка түшкөн жүк кескин өзгөргөн кабыктарга да тиешелүү. Кабык кандайдыр бир четинде шакек менен катуулатылбаса да, бирок ушул жерде кабыкка нормал багыттагы компоненти бар күчтөр менен жүктөлсө (мисалы, шакек алынып салынган деп элестетилгенде сүр. 7дагы P жүгү), мындай жүктөрдү ал мембраналык күчтөр аркылуу гана кабыл ала албайт. Мындай учурларда кесүүчү күч жана ийүү моменттери (сүр. 8) кабыктагы күчтөрдүн бөлүштүрүлүшүндө маанилүү роль ойнойт, муну статикалык эсептөөгө сөзсүз эске алуу керек.
Сүр. 8
Ийилүүгө каршы кабыкты так эсептөө, эң жөнөкөй цилиндр кабыгынын өзгөчө учурду кошпогондо, абдан татаал иш. Жука дубалдуу кабыктар үчүн катуу теориядан белгилүү болгон бир фактыга таянган жөнөкөй жана абдан колдонууга ыңгайлуу жакындатылган теория түзүлөт: ийилүүдөн келип чыккан чыңалуулар четине жакын салыштырмалуу тар зона менен чектелет жана четтен алыстаган сайын тез азаят. Бул так дифференциалдык теңдемедеги көптөгөн мүчөлөрдү эске албоого мүмкүндүк берет, ошондуктан ал жөнөкөйлөтүлгөн формага келет.
Эгер бирден-бир кызыктырган чектик зонанын ичинде κ орточо мааниге алмаштырылса, ал эми бул дээрлик дайыма мүмкүн болсо, анда теңдеменин чечими болуп саналат
Жыйн. 4 жана 5
мында a1, b1, a2, b2 интегралдык туруктуулар. Чечим φ=φ0 четине жакын гана кызык болгондуктан, бул четтен бурчтук аралыкты ω=φ0-φ же ω=φ-φ0 координата катары киргизүү ыңгайлуу, ошондо жогоруда берилген чечимди өзгөртүү аркылуу экинчи көрсөтүлгөн туюнтма алынат. Бул жерде A, B же C, ψ деген эки гана интегралдык туруктуу чыгат, анткени eκω көбөйтүүчүсүн камтыган чечимдин экинчи бөлүгү, ошондуктан ω өскөн сайын азайбагандыктан, карап чыгуу үчүн чыгарылып салынат.
5 теңдемеге негизделип, кесүүчү күчтөр жана меридиандын тангентинин κ айлануусу үчүн төмөнкү маанилер алынат:
Тегерек цилиндр формасындагы резервуарларда ийилүүдөн келип чыккан чыңалуулар
Бийиктиги h болгон цилиндрдик резервуар суу менен толтурулган болсун (сүр. 9), анда x бийиктигинде резервуарлардын үстүнөн суунун басымы p=γ(h-x). Эгер бул бийиктикте dx аралыктагы эки горизонталдык кесилиштен резервуардан шакек кесилип алынып, ал бир диаметр боюнча эки бөлүккө бөлүнсө, алардын биринин тең салмактуулук шарты шакек ичиндеги мембраналык күчтү Nφ=pa берет. Эгер бул жерде резервуардын калыңдыгы t болсо, шакектеги деформация εφ=Nφ/Et болуп, демек резервуардын радиусунун көбөйүшү (ийилиш) мындай болот
Төмөнкү четинде x=0 ошондуктан
Сүр. 9
Эки вариант тең, эреже катары, чектик шарттарга шайкеш келбейт, анткени дубалдын деформациясы резервуардын түбүнө байланышы себептүү тоскоолдукталат. Бул учурда цилиндрдин түбү менен дубалынын байланышы жеринде Qx0 кыйгап өтүүчү күчтөрү жана Mx0 моменттери (сүр. 11) пайда болот, алардын чоңдугу кабыктагы жаңы эсептелген мембраналык күчтөр менен бирге кабыктын четинде түп уруксат берген ушул деформацияны пайда кыла тургандай аныкталууга тийиш.
Сүр. 10, 11, 12, тиешелүүлүгүнө жараша
Сүр. 11да ага таасир эткен күчтөрү менен dx*a dφ кабык элементи көрсөтүлгөн. Кабыкка нормаль багытындагы күчтөрдүн тең салмактуулук шарты берет
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
андан кийин dx dφ га бөлүү жолу менен:
a Q’x + Nφ = p a.
Цилиндрге карата горизонталдык жанама боюнча момент нөлгө барабар деген шарттан төмөнкүлөр алынат:
dM/dx = M’x = Qx
Бул эки теңдемеден Qx кесүүчү күчүн жок кылуу менен төмөнкү жыйынтык чыгат
a M’’x + Nφ = p a.
Тең. 6
Бул теңдемеде ушул белгисиз кесүүчү күчтөрдү w ийилиши аркылуу туюнтса болот. Nφ үчүн мурда эле Nφ=Etw/a, деп табылган, ал эми момент меридиандын ийрилигине w’’ пропорционал, башкача айтканда, Mx=Kw’’, мында плиталардагыдай эле K=Et3/12(1-μ2) — x боюнча өзгөрмө болушу мүмкүн болгон кабыктын катуулугу. Эгер ушул орточо күчтөр үчүн туюнтмалар теңдемеге (6) киргизилсе, суу сактагыч теориясынын дифференциалдык теңдемеси алынат:
Дубалынын калыңдыгы өзгөрүлбөгөн резервуар үчүн чечим төмөнкүдөй:
Бир.7
мында λ4=3(1-μ2)/a2t2. Эгер λh чоң болсо (мисалы, 3дөн чоң), гиперболалык функциялардын ордуна экспоненциалдык функцияларды киргизүү ыңгайлуураак, ошондо:
Бир.8
Ошондо өз алдынча бири-биринен A1, B1 туруктуулары төмөнкү чектүү шарттардан, ал эми A2, B2 туруктуулары жогорку кырдын чектүү шарттарынан аныкталышы мүмкүн, мында эреже боюнча A2=B2=0_ алынат. (8) жана (7) теңдемелеринин негизинде кесүүчү күчтөр алынат, эсеп тескери багытта жүргүзүлүп, бардык жерде (8) жана (7) теңдемелери киргизилгенде; мисалы, A2=B2=0_ үчүн:
Резервуардын дубалдары плитага катуу кысылып бекитилгенде, түбү жетиштүү калың болуп, аны катуу деп эсептөөгө мүмкүн болгон резервуарда A1, B1 туруктууларын x=0, w=0 жана w’=0 шарттарынан аныктоо керек, ошондо төмөнкүдөй алынат:
Эгер резервуардын түбү ийкемдүү плита же кабык болсо, анда түбү менен цилиндр дубалынын ортосундагы четки айланма боюнча трансверсалдык күчтөр Qx жана Mx моменттерин статикалык аныксыз системалар теориясынын ыкмалары менен, Mx жана w’ эки бөлүк үчүн тең бирдей мааниге ээ болушу керек деген талаптын негизинде аныктоо керек.