Cangkang yaiku penyangga permukaan, sing permukaan tengahé ora rata nanging katon ndongak. Prilaku statiké béda banget karo prilaku papan. Nalika nduwèni wangun sing cocog, tegangané adoh luwih cilik, kaku-kurangé luwih gedhé miturut kadarané, lan perhitungané ing akèh kasus luwih prasaja.
Tegangan saben cangkang bisa dipérang dadi loro bagean: tegangan membran lan pembengkokan. Tegangan membran, kaya tegangan ing plat sing dibebani ing bidangé dhéwé, bisa diungkapake kanthi gaya potongan ing bidang tangensial – contoné ing irisan x=const. gaya normal _Nx=_σx*t lan gaya geser _Nxy=_τxy*t, ing ngendi t yaiku kekandelan cangkang. Tegangan amarga pembengkokan padha karo ing plat lan bisa dituduhake kanthi momen bengkong Mx, momen torsi Mxy lan gaya geser Qx.
Sipat-sipat penting cangkang adhedhasar kasunyatan manawa miturut aturan, tegangan amarga pembengkokan ora nduwèni gedhene utawa wigatiné tegangan membran, mula asring bisa diabaikan kabeh. Ing kasus iki, kabeh tegangan kabagi rata ing kekandelan cangkang lan tumindak tangensial marang permukaan tengah. Perhitungan sing adhedhasar anggapan iki kalebu ing lingkup téori membran cangkang.
Teori membran saka cangkang simetris rotasi ing sangisoré beban simetris rotasi
Rumus-rumus umum
Kanggo garis koordinat dijupuk meridian lan bunderan paralel ing lumahing tengah cangkang, mula koordinaté yaiku: azimut ϑ (“garis bujur geografis”) lan kemiringan φ saka garis tangen marang meridian tumrap bidang sing jejeg marang sumbu simetri (gambar 1a). Mula gaya potongan yaiku: gaya normal Nφ ing arah meridian lan gaya normal Nϑ ing arah cincin (gambar 1b). Gaya geser Nφϑ ora muncul ing beban simetris rotasi. Beban saben satuan lumahing diwenehake kaya mangkene (gambar 1b): Y tangensial marang meridian, positif ing arah nalika φ mundhak, Z normal marang cangkang, positif menyang sumbu simetri.
Gbr. 1
Gbr. 2
Anggep radius lengkungan meridian r1. Iki fungsi saka sudut φ mula kanthi persamaan _r1=r1(_φ) wangun meridian ditemtokake. Iki bisa dianggep minangka persamaan meridian lan tuladhané, contoné.
kanggo bunder r1=a=const.
kanggo parabola r1=a/cos3__φ
kanggo elips r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Kanggo ngitung gaya normal N__φ ing arah meridian, kudu dipasang syarat keseimbangan kanggo bagean cangkang sing mapan ing ndhuwur bunder paralel φ (gambar 2). Resultan R saka beban Y lan Z sing nyerang bagean iki vertikal, amarga simetri. Gedhene dipikolehi kanthi ngintegrasi ing permukaan cangkang saka φ’=0 nganti φ’=φ. Luas elemen cangkang yaiku dF=r1d__φ’*rd__ϑ, mula komponen vertikal saka beban (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Kanggo sakabehe bagean cincin cangkang sing mapan antarané bunder φ’ lan φ’+dφ’, resultan beban njaba yaiku:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
saka kene kanthi ngintegralkan marang φ’ kanggo bagéan cangkang sing mapan ing ndhuwur lingkaran paralel φ’=φ dipikolehi:
Pers. 1
Beban iki ditampa dening gaya normal ing arah meridian, sing tumindak ing keliling bunder sing diamati; komponen vertikal saka resultan gaya-gaya iki yaiku 2__πr * N__φ sin__φ, mula saka padhaane ing kene dipikolehi gaya normal sing dikarepake
Pers. 2
Yen cangkang ing pérangan ndhuwur dipotong miturut bunder φ=φ0 (umpamané bolongan kanggo cahya ing kubah), wates ngisor integral, mesthi waé, yaiku φ0, dudu nol. Yen ing pinggir cangkang sing kawujud kanthi cara iki uga tumindak beban R0, beban kuwi uga kudu ditambahaké marang resultan R (gbr. 3).
Gbr. 3
Kanggo nemtokake gaya normal N__ϑ kudu dipasang syarat keseimbangan unsur cangkang sing jejeg marang bidang tangensial (woro-woro 4). Resultan saka beban njaba ing arah iki yaiku Z r1 d__φ r d__ϑ. Gaya N__φ*r d__ϑ sing dumunung ing bidang meridional mbentuk sudut cilik d__φ siji lan sijine, mula resultane ing arah normal marang cangkang yaiku N__φ r d__ϑ*dφ. Mangkono uga, gaya Nϑ r1 dφ sing dumunung ing bidang lingkaran horisontal lan antarane siji lan sijine mbentuk sudut dϑ nduwèni resultan Nϑ r1 dφ*dϑ sing uga dumunung ing bidang lingkaran horisontal lan mulane karo normal marang cangkang mbentuk sudut 0,5_π-φ_, saéngga ing syarat keseimbangan mung komponené Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ sing melu. Mula saka kuwi, syarat keseimbangané maca
utawa, nalika dibagi karo r r1 dϑ dφ:
siji.3
Ing kene kanthi r2=r/sinφ diwenehi radius lengkungan utama sing kapindho saka cangkang.
Gbr. 4
Kubah bunder
Nalika bentuk meridian wis kaparingaké sacara analitis nganggo persamaan r1=r1(φ) lan nalika kanggo beban Y(φ) lan Z(φ) wis ana ungkapan analitis, gaya potong ing cangkang bisa tansah ditemtokaké kanthi ngintegrasi ing wangun tertutup utawa sacara numerik, nganggo aturan Simpson. Kanggo kubah bunder kanthi diameter a, ing ngisor iki diwènèhaké gaya potong kanggo sawetara kasus pembebanan:
Wangun pungkasan, sing kanggo φ=0 menehi gaya geser sing gedhé tanpa wates, mung berlaku ing jarak tartamtu saka titik tumindake gaya. Ing sacedhake panggonan gaya tumindak, sanajan gaya kuwi disebar ing permukaan bunder kanthi diameter winates nanging cilik, beban utamane ditransfer liwat pembengkokan.
Wangun kanggo cangkang sing mbukak ing sisih ndhuwur bisa dijupuk saka sing sadurungé, yen marang beban nyata ditambahaké beban fiktif P ing pucuk, sing gedhene ditemtokaké mangkéné: manawa gaya normal total ing arah meridian sing tumindak ing pinggir ndhuwur cangkang φ=φ0 nuduhaké Nφ=0, utawa padha karo nilai tartamtu sing ditemtokaké déning gaya njaba sing ditampa cangkang ing kéné.
Cangkang kerucut
Gbr. 5
Ing cangkang kerucut, kemiringan meridian φ ora bisa digunakake minangka koordinat, amarga ing kabeh titik nduwèni nilai sing padha. Minangka gantiné dilebokaké jarak s saka pucuk kubah sing diukur sadawane garis pembangkit (gbr. 5). Gaya normal ing arah meridian manut kuwi diwènèhi tandha Ns. Pola sing dibutuhake bisa dipikolehi saka sing diwenehake ing ngisor 1 nalika dileksanakake wates transisi. Saka persamaan (2) kanthi cara iki dipikolehi
lan saka persamaan (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Kanggo kasus-kasus beban sing paling penting, rumus-rumus ing ngisor iki ditrapake:
Tata cara grafis kanggo wangun meridian sembarang
Gbr. 6
Yen kurva meridian ora diwènèhaké kanthi ungkapan analitis, nanging, umpamané, kanthi grafis, panentuan radius kelengkungan dadi kakehan angel lan kakehan ora akurat. Ing kasus kuwi luwih trep nggunakake cara grafis (sl. 6).
Cangkang dipérang dening luwih akeh bidang φ=const., bobot zona cincin Δ_R_ sing ana ing antarane bidang-bidang mau diitung lan paling becik langsung dipérang karo 2_π_. Gaya-gaya iki ΔR/2π dilebokaké ing bidang gaya (gbr. 6b). Yen banjur, contoné, liwat titik bagi 7 digambar garis lurus sejajar karo tangen marang meridian ing titik meridian 7, garis horisontal liwat titik ndhuwur bidang gaya bakal motong ing kono kanthi dawa R1/2π sinφ7 sing saka kono adhedhasar persamaan (2) kanthi dibagi marang r sing cocog dipikolehi gaya normal sing cocog ing arah meridian.
Kanggo nemtokaké gaya ing cincin digunakaké syarat keseimbangan gaya horisontal ing sawijining unsur cangkang. Yen mung ana beban vertikal, syarat iki dadi kaya mangkene (gbr. 4):
Nalika ing kene dφ diganti karo selisih winates Δφ, sing cocog karo pamisahan cangkang sing diadopsi lan nalika tinimbang r1 dφ dilebokake dawa Δs saka unsur meridian, saka kene dipikolehi
Ing kurung ing sisih tengen ana potongan ing garis horisontal ing denah gaya. Mula, sakabehé sisih tengen nuduhaké potongan ing antarané titik-titik skala ing garis iki. Supaya bisa diwaca cukup akurat, denah gaya kudu digambar kanthi teliti lan nganggo skala sing cukup gedhé.
Cincin sing ditarik lan sing didhesak
Saben cangkang sing simetris rotasi diwatesi dening siji utawa loro lingkaran horisontal (sl. 7). Ing pinggiran iki, prinsipé mung bisa nampa beban lan reaksi tumpuan sing arahé searah garis tangen marang meridian. Yen gaya njaba nduwèni arah liya, kayata beban P saka bagean ndhuwur konstruksi utawa reaksi S saka dhasar reservoir sing dituduhake ing sl. 97, gaya iki kudu, kaya sing katon ing gambar, diurip dadi komponen ing arah lingkaran horisontal lan garis tangen marang meridian. Komponen P/sinφ0 utawa S/sinφu padha karo gaya normal ing arah meridian Nφ sing tumindak ing panggonan iku, dene kanggo nampa gaya horisontal Pctgφ0 utawa Sctgφu dibutuhake cincin sing nampa tarik, utawa tekanan, lan ing ngendi beban radial iki nyebabake gaya normal + P r0 ctgφ0, utawa -S ru ctgφu. Cincin kaya mangkono, saliyane ing pinggiran cangkang, uga kudu dipasang ing kabeh panggonan nalika kurva meridian nduwèni patahan. Iki tansah nyebabake gangguan marang kahanan tegangan membran.
Gbr. 7
Tegangan amarga mbengkong ing cangkang simetris rotasi
Bentuk-bentuk teori membran ora ngemot jumlah konstanta integrasi sing cukup kanggo bisa nyukupi kabeh syarat wates sing tenan cocog karo tugas sing dipasang. Utamane ing cangkang simetris rotasi, ora bisa kanthi pilihan konstanta integrasi sing trep kanggo nggayuh supaya dilatasi εϑ = Nϑ/Et ing arah cincin ing pinggiran cangkang padha karo dilatasi sing cocog saka bagean konstruktif liyane sing ing panggonan kuwi kenceng nyambung karo cangkang kasebut. Iki uga berlaku kanggo cangkang sing ing sadawane siji bunder horisontal ana owah-owahan mendadak ing kelengkungan meridian, kekandelan cangkang, utawa beban saben siji unit lumahing. Lan nalika cangkang ing salah siji pinggire ora dikakuake dening cincin, nanging ing panggonan iki kebebanan gaya sing nduwèni komponen ing arah normal marang cangkang (umpamané beban P ing gbr. 7 nalika dibayangaké yèn cincin dicopot), cangkang iki ora bisa nampa beban kaya mangkono mung liwat gaya membran. Ing kasus kaya mangkene, gaya geser lan momèn bengkong (gbr. 8) nduwèni peran wigati ing pambagean gaya ing cangkang, sing ing perhitungan statis kudu digatekake.
Gbr. 8
Perhitungan cangkang sing tepat kanggo lentur, kejaba ing kasus khusus sing paling prasaja saka cangkang silinder, minangka tugas sing banget angel. Kanggo cangkang tembok tipis bisa digawé teori pendekatan sing prasaja lan banget migunani, sing adhedhasar kasunyatan sing dikenal saka teori ketat, yaiku yen tegangan amarga lentur diwatesi ing zona sing relatif sempit ing cedhak pinggir lan mudhun kanthi cepet nalika jarake saka pinggir tambah. Iki ndadekake akeh suku ing persamaan diferensial sing tepat bisa diabaikan, mula persamaan kasebut dadi wujud sing disederhanakake.
Yen ing njero zona pinggiran sing mung penting κ diganti nganggo nilai rata-rata, lan iki meh tansah bisa, solusi persamaan iku
Jedn. 4 lan 5
ing ngendi a1, b1, a2, b2 iku konstanta integrasi. Amarga solusi mung menarik ing cedhak pinggir φ=φ0, trep yen jarak sudut ω=φ0-φ utawa ω=φ-φ0 saka pinggir iki dijupuk minangka koordinat, mula liwat transformasi saka solusi kasebut ing ndhuwur dipikolehi ungkapan kapindho sing disebutaké. Ing kéné mung metu loro konstanta integrasi A, B utawa C, ψ, amarga bagéan kapindho solusi sing ngemot faktor eκω, lan mulané kanthi mundhake ω ora mudhun, bisa dipinggiraké saka pambahasan.
Adhedhasar persamaan 5 dipikolehi nilai-nilai ing ngisor iki kanggo gaya penampang lan puteran κ saka garis tangen meridian:
Tegangan amarga pembengkokan ing reservoir wangun silinder bunder
Ayo sawijining tangki silinder kanthi dhuwuré h diisi banyu (woro-woro 9), banjur ing dhuwuré x ing ndhuwur tangki tekanan banyu yaiku p=γ(h-x). Yen ing dhuwuré iki saka rong irisan horisontal kanthi jarak dx. dipotong saka tangki sawijining cincin lan iki dipérang ing sadawane salah siji diameter dadi loro bagean, syarat keseimbangan salah sijiné menehi gaya membran ing cincin Nφ=pa. Yen ketebalan tangki ing papan iki t, regangan ing cincin yaiku εφ=Nφ/Et lan mula panambahan radius tangki (defleksi) yaiku
Ing pinggir ngisor x=0 mula
Gbr. 9
Ora siji uga liyane, miturut aturan, ora cocog karo kahanan wates, amarga deformasi tembok dicegah amarga sambungan karo dhasar tangki. Ing kana, ing sambungan antarane dhasar lan tembok silinder katon gaya transversal Qx0 lan momèn Mx0 (gbr. 11), sing gedhene kudu ditemtokake supaya bareng karo gaya membran sing mentas dihitung ing cangkang nimbulaké deformasi iki ing pinggiran cangkang sing diijini dening dhasar.
Gbr. 10, 11, 12, berturut-turut
Ing sl. 11 dipameraké unsur cangkang dx*a dφ kanthi gaya-gaya sing makarya marang iku. Syarat keseimbangan gaya ing arah normal marang cangkang menehi
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
saka ngendi kanthi mbagi karo dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Saka sarat yen momèn ngubengi tangen horisontal marang silinder iku nol, dipikoleh:
dM/dx = M’x = Qx
Kanthi ngilangi gaya transversal Qx saka rong persamaan iki, bisa diduwèni
a M’’x + Nφ = p a.
Pers. 6
Ing persamaan iki, gaya-gaya irisan sing ora dingerteni iki bisa diwedharake nganggo lendutan w. Kanggo Nφ wis ditemokake Nφ=Etw/a, lan momèn iku sebanding karo kelengkungan meridian w’’, yaiku Mx=Kw’’, kanthi K=Et3/12(1-μ2) minangka kekakuan selubung, sing bisa owah-owahan miturut x. Yen ungkapan kanggo gaya rata-rata iki dilebokake ing persamaan (6), bakal dipikolehi persamaan diferensial téori reservoir:
Kanggo tangki sing kekandelan temboké ora owah, solusiné yaiku:
siji.7
ing ngendi λ4=3(1-μ2)/a2t2. Yen λh gedhe (umpamané, luwih saka 3), luwih trep yen tinimbang fungsi hiperbolik dilebokake fungsi eksponensial, mula:
siji.8
Mula konstanta A1, B1 bisa ditemtokake kanthi mandiri saka siji lan sijiné saka kahanan wates ing sisih ngisor, lan konstanta A2, B2 saka kahanan wates ing sisih ndhuwur, kanthi biasane dipikolehi A2=B2=0. Adhedhasar persamaan (8) lan (7) dipikolehi gaya potong, nalika perhitungan ditindakake ing arah kosokbalèn lan ing endi-endi dilebokake persamaan (8) lan (7); mula contoné kanggo A2=B2=0:
Nalika tembok tangki dikekang kaku ing plat, ing dhasar tangki sing cukup kandel supaya bisa dianggep kaku, konstanta A1, B1 kudu ditemtokaké saka kahanan yèn x=0, w=0 lan w’=0 mula dipikolehi:
Yen dhasar reservoir yaiku plat utawa cangkang elastis, gaya transversal Qx lan momèn Mx ing sepanjang lingkaran pinggiran antara dhasar lan tembok silinder kudu ditemtokake nganggo cara teori sistem statis ora tentu adhedhasar syarat manawa Mx lan w’ kanggo loro-lorone bagean nduwèni nilai sing padha.