תורת האלסטיות - קליפות

קליפות הן נושאי-משטח, שהמשטח האמצעי שלהם אינו שטוח אלא קמור במידה ניכרת. התנהגותם הסטטית חורגת במידה רבה מהתנהגותה של לוח. כאשר צורתם מתאימה, המאמצים בהם קטנים בהרבה, קשיחותם גדולה יותר בהתאם, והחישוב ברוב המקרים פשוט יותר.

את המאמץ של כל מעטפת אפשר לפרק לשני חלקים: מאמץ ממברנלי וכיפוף. מאמצים ממברנליים, בדומה למאמצים בלוח הנתון לעומס במישורו, אפשר לבטא באמצעות כוחות חתך במישור המשיק – למשל בחתך x=const. הכוח הנורמלי _Nx=_σx*t והכוח הגוזר _Nxy=_τxy*t, כאשר t הוא עובי המעטפת. המאמצים עקב כיפוף הם כמו בלוחות וניתן לייצגם באמצעות מומנטי כיפוף Mx, מומנטי פיתול Mxy וכוחות גזירה Qx.

התכונות החשובות של המעטפות מבוססות על העובדה שלפי הכלל, המאמצים עקב כיפוף אינם מגיעים לגודל או לחשיבות של המאמצים הממברנליים, ולכן אפשר לעיתים קרובות להתעלם מהם לחלוטין. במקרה זה כל המאמצים מחולקים באופן אחיד לאורך עובי המעטפת ופועלים משיקית למשטח האמצעי. חישובים המבוססים על הנחות אלה נכנסים למסגרת תורת הממברנות של מעטפות.

תורת הממברנה של קונכיות סימטריות סיבובית תחת עומס סימטרי סיבובית

ביטויים כלליים

כקווי קואורדינטות נלקחים המרידיאנים והמעגלים המקבילים במשטח האמצעי של הקליפה, ולכן הקואורדינטות הן: אזימוט ϑ (“קו אורך גאוגרפי”) והנטייה φ של המשיק למרידיאן ביחס למישור המאונך לציר הסימטריה (איור 1a). בהתאם לכך כוחות החיתוך הם: כוח נורמלי Nφ בכיוון המרידיאן וכוח נורמלי Nϑ בטבעת (איור 1b). כוחות הגזירה Nφϑ אינם מופיעים בעומס סימטרי סיבובית. העומס ליחידת שטח מסומן כך (איור 1b): Y משיק למרידיאן, חיובי בכיוון שבו φ גדל, Z מאונך לקליפה, חיובי לכיוון ציר הסימטריה.

איור. 1

איור. 2

נניח שרדיוס העקמומיות של המרידיאן הוא r1. הוא פונקציה של הזווית φ ולכן באמצעות המשוואה _r1=r1(_φ) נקבע צורת המרידיאן. ניתן לראות זאת כמשוואת המרידיאן, והיא נראית, למשל,

למעגל                                       r1=a=const.

לפרבולה                                r1=a/cos3__φ

עבור האליפסה          r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2

לחישוב הכוח הנורמלי N__φ בכיוון המרידיאן יש להציב את תנאי שיווי המשקל של חלק הקליפה הנמצא מעל המעגל המקבילי φ (איור 2). השקול R של העומסים Y ו־Z הפועלים על חלק זה הוא אנכי, בהתחשב בסימטריה. גודלו מתקבל על ידי אינטגרציה על פני שטח הקליפה מ־φ’=0 עד φ’=φ. שטח אלמנט הקליפה הוא dF=r1d__φ’*rd__ϑ, ולכן הרכיב האנכי של העומס (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. לגבי כל החלק הטבעתי של הקליפה הנמצא בין המעגלים φ’ ו־φ’+dφ’, השקול של העומס החיצוני הוא:

dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,

ומכאן, באינטגרציה לפי φ’ עבור חלק הקליפה השוכן מעל המעגל המקביל φ’=φ מתקבל:

משוואה 1

עומס זה נקלט על ידי כוחות נורמליים בכיוון המרידיאן, הפועלים לאורך היקף המעגל הנראה לעין; הרכיב האנכי של שקול כוחות אלה הוא 2__πr * N__φ sin__φ, ולכן באמצעות השוואה מתקבל הכוח הנורמלי המבוקש

משוואה 2

אם הקליפה בחלקה העליון נחתכה לאורך המעגל φ=φ0 (למשל, פתח תאורה בכיפה), הגבול התחתון של האינטגרל הוא, כמובן, φ0, ולא אפס. אם על שפת הקליפה שנוצרה בדרך זו פועל גם העומס R0, יש להוסיפו גם הוא לכתוצאה R (איור 3).

איור 3

לשם קביעת הכוח הנורמלי N__ϑ יש להציב את תנאי שיווי המשקל של אלמנט המעטפת בניצב למישור המשיק (איור 4). התוצאה השקולה של העומס החיצוני בכיוון זה היא Z r1 d__φ r d__ϑ. הכוחות N__φ*r d__ϑ השוכנים במישור המרידיוני יוצרים ביניהם זווית קטנה d__φ, ולכן התוצאה השקולה שלהם בכיוון הנורמל למעטפת היא N__φ r d__ϑ*dφ. בדומה לכך, גם הכוחות Nϑ r1 dφ השוכנים במישור המעגל האופקי ויוצרים ביניהם זווית dϑ הם בעלי תוצאה שקולה Nϑ r1 dφ*dϑ שגם היא שוכנת במישור המעגל האופקי, ולפיכך עם הנורמל למעטפת היא יוצרת את הזווית 0,5_π-φ_, כך שבתנאי שיווי המשקל נכנסת רק הרכיב שלהם Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. תנאי שיווי המשקל, אפוא, הוא

או, כאשר מחלקים ב־r r1 dϑ dφ:

אֶחָד.3

כאן מסומן ב־r2=r/sinφ רדיוס העקמומיות הראשי השני של המעטפת.

Fig. 4

כיפה מעגלית

כאשר צורת המרידיאן נתונה אנליטית במשוואה r1=r1(φ) וכאשר עבור העומסים Y(φ) ו-Z(φ) נתונים ביטויים אנליטיים, ניתן תמיד לקבוע את כוחות הגזירה בקליפה על ידי אינטגרציה בצורה סגורה או נומרית, באמצעות כלל Simpson. עבור כיפה מעגלית בקוטר a מובאים להלן כוחות גזירה עבור כמה מקרי העמסה:

הנוסחה האחרונה, אשר עבור φ=0 נותנת כוחות גזירה אינסופיים, תקפה רק במרחק מסוים מנקודת הפעולה של הכוח. בסביבתו המיידית של המקום שבו פועל הכוח, גם כאשר הוא מחולק על פני שטח של עיגול בקוטר סופי אך קטן, מועבר העומס בעיקר באמצעות כפיפה.

את תצורות הקליפות הפתוחות בחלקן העליון ניתן לגזור מן הקודמות, אם על העומס האמיתי מוסיפים עומס פיקטיבי P בקודקוד, שגודלו נקבע כך, אם הכוח הנורמלי הכולל בכיוון המרידיאן הפועל על הקצה העליון של הקליפה φ=φ0 הוא Nφ=0, או שהוא שווה לערך כלשהו שנקבע על ידי הכוחות החיצוניים שהקליפה מקבלת כאן.

קליפה חרוטית

Fig. 5

בקליפה חרוטית אין להשתמש בשיפוע המרידיאן φ כקואורדינטה, משום שלכל הנקודות יש אותו ערך. במקומו מוכנס המרחק s מהקודקוד של הכיפה, הנמדד לאורך היוצר (איור 5). לכן הכוח הנורמלי בכיוון המרידיאן מסומן Ns. ניתן לקבל את הצורות הדרושות מן המופיעים ב-1 כאשר מבצעים מעבר גבולי. מן המשוואה (2) מתקבל כך

וממשוואה (3)

Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.

למקרי העומס החשובים ביותר תקפים התרשימים הבאים:

ההליך הגרפי לצורת מרידיאן שרירותית

איור. 6

כאשר עקומת המרידיאן אינה נתונה בביטוי אנליטי אלא, למשל, בצורה גרפית, קביעת רדיוס העקמומיות קשה מדי ולא מדויקת מספיק. במקרה זה נוח יותר להשתמש בהליך גרפי (איור 6).

את הקליפה מחלקים במספר רב של מישורים φ=const., מחשבים את המשקלים Δ_R_ של האזורים הטבעתיים הנמצאים בין המישורים, ועדיף לחלק אותם מיד ב-2_π_. כוחות אלה ΔR/2π נרשמים בתרשים הכוחות (איור 6b). אם לאחר מכן, למשל, דרך נקודת החלוקה 7 מעבירים ישר המקביל למשיק למרידיאן בנקודת המרידיאן 7, האופק דרך הנקודה העליונה של תרשים הכוחות יחתוך עליו קטע באורך R1/2π sinφ7, שממנו, על סמך משוואה (2), בחלוקה ב-r המתאים מתקבל הכוח הנורמלי המתאים בכיוון המרידיאן.

לקביעת הכוחות בטבעות משמש תנאי שיווי המשקל של כוחות אופקיים על אלמנט אחד של הקליפה. אם פועלים רק עומסים אנכיים, תנאי זה הוא (איור 4):

כאשר כאן מחליפים את dφ בהפרש סופי Δφ, המתאים לחלוקה שנבחרה של הקליפה, וכאשר במקום r1 dφ מציבים את אורך Δs של אלמנט המרידיאן, מתקבל מכאן

בסוגריים שבצד ימין מופיע הקטע על הישר האופקי בתכנית הכוחות. לפיכך כל הצד הימני מייצג את הקטעים בין נקודות החלוקה על ישר זה. כדי שניתן יהיה לקרוא אותם במידה מספקת של דיוק, יש לצייר את תכנית הכוחות בקפידה ובקנה מידה גדול דיו.

טבעות מתוחות ולחוצות

כל מעטפת סימטרית-סיבובית מוגבלת על ידי מעגל אופקי אחד או שניים (איור 7). בשפות אלה היא יכולה עקרונית לקלוט רק עומסים ותגובות סמך כאלה, שהכיוון שלהם הוא משיק למרידיאן. אם לכוחות החיצוניים יש כיוון אחר, כגון העומס P מן החלק העליון של המבנה או התגובה S של תחתית המאגר המוצגת באיור 97, יש לפרק כוחות אלה, כפי שמוצג באיור, לרכיבים בכיוון המעגל האופקי והמשיק למרידיאן. הרכיב P/sinφ0 או S/sinφu שווה לכוח הנורמלי בכיוון המרידיאן Nφ הפועל שם, ואילו לקליטת הכוח האופקי Pctgφ0 או Sctgφu נדרש טבעת הקולטת מתיחה, או לחץ, ובה העומס הרדיאלי הזה יוצר כוח נורמלי + P r0 ctgφ0, או -S ru ctgφu. טבעות כאלה, מלבד בשפות המעטפת, יש להציב גם בכל המקומות שבהם לעקומת המרידיאן יש שבירה. הן תמיד גורמות להפרעה במצב המאמצים הממברנלי.

Fig. 7

מאמצים עקב כפיפה במעטפות סימטריות סיבובית

צורות תורת הממברנה אינן מכילות מספר מספיק של קבועי אינטגרציה כדי שניתן יהיה לקיים את כל תנאי השפה המתאימים בפועל למשימה הנתונה. במיוחד בקליפות סימטריות סיבובית, אי אפשר באמצעות בחירה מתאימה של קבועי האינטגרציה להביא לכך שההתארכות εϑ = Nϑ/Et בכיוון הטבעת לאורך שפת הקליפה תהיה שווה להתארכות המתאימה של חלק מבני אחר המחובר אליה באותו מקום בחיבור קשיח. הדבר נכון גם לגבי קליפות שלאורך מעגל אופקי אחד משתנה בפתאומיות עקמומיות המרידיאן, עובי הקליפה או העומס ליחידת שטח. וגם כאשר קליפה לאורך אחד מקצותיה אינה מוחזקת בטבעת, אך במקום זה היא נתונה לעומסים בעלי רכיב בכיוון הנורמל לקליפה (למשל העומס P באיור 7 כאשר מדמים שהטבעת הוסרה), היא אינה יכולה לשאת עומסים כאלה רק באמצעות כוחות ממברנה. במקרים כאלה כוח הגזירה ומומנטי הכיפוף (איור 8) ממלאים תפקיד מהותי בחלוקת הכוחות בקליפה, ויש להביא זאת בחשבון בחישוב הסטטי.

איור 8

חישוב מדויק של קליפה לכפיפה, מלבד במקרה המיוחד והפשוט ביותר של קליפה גלילית, הוא משימה קשה מאוד. עבור קליפות בעלות דפנות דקות ניתן לבנות תיאוריה מקורבת פשוטה ושימושית מאוד, הנשענת על עובדה הידועה מן התיאוריה המדויקת, שלפיה המאמצים עקב כפיפה מוגבלים לאזור צר יחסית סמוך לשפה ויורדים במהירות עם הגדלת המרחק מן השפה. הדבר מאפשר להזניח מספר רב של איברים במשוואה הדיפרנציאלית המדויקת, וכך היא מקבלת צורה מפושטת.

אם בתוך תחום הקצה, שהוא היחיד המעניין κ, מחליפים בערך ממוצע, וכמעט תמיד אפשר לעשות זאת, פתרון המשוואה הוא

משוואות 4 ו-5

כאשר a1, b1, a2, b2 הם קבועי אינטגרציה. מאחר שהפתרון מעניין רק בקרבת השפה φ=φ0, נוח להכניס כקואורדינטה את המרחק הזוויתי ω=φ0-φ או ω=φ-φ0 מן השפה הזו, ואז מתקבל באמצעות טרנספורמציה של הפתרון הנ״ל הביטוי השני המצויין. כאן מופיעים רק שני קבועי אינטגרציה A, B או C, ψ, משום שהחלק השני של הפתרון, המכיל את הגורם eκω, ולכן אינו קטן עם העלייה ב־ω, ניתן להוציאו מן הדיון.

על סמך המשוואה 5 מתקבלות הערכים הבאים עבור כוחות הגזירה והסיבוב κ של הטנגנס של המרידיאן:

מאמצים עקב כפיפה במאגרי מים בצורת גליל מעגלי

נניח שמכל גלילי בגובה h מלא במים (איור 9), אזי בגובה x מעל שני המאגרים לחץ המים הוא p=γ(h-x). אם בגובה זה, באמצעות שני חתכים אופקיים במרחק dx. ייחתך מן המכל טבעת, וזו תחולק לאורך אחד הקטרים לשני חלקים, תנאי שיווי המשקל של אחד מהם נותן את כוח הממברנה בטבעת Nφ=pa. אם עובי המכל במקום זה הוא t, המעוות בטבעת הוא εφ=Nφ/Et, ולפיכך הגדלת רדיוס המכל (שקיעה) היא

על השפה התחתונה x=0 הוא לפיכך

איור 9

אף אחד מהם בדרך כלל אינו תואם את תנאי השפה, משום שעיוות הדופן מונע עקב החיבור לתחתית המיכל. בעת החיבור בין תחתית הצילינדר לדופן מופיעים כוחות רוחביים Qx0 ומומנטים Mx0 (איור 11), שיש לקבוע את גודלם כך שביחד עם הכוחות הממברנליים שזה עתה חושבו במעטפת הם יגרמו לעיוות זה בשפת המעטפת שהבסיס מתיר.

איורים 10, 11, 12, בהתאמה

באייר 11 מוצג יסוד מעטפת dx*a dφ עם הכוחות הפועלים עליו. תנאי שיווי המשקל של הכוחות בכיוון הניצב למעטפת נותן

dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,

מכאן, בחלוקה ב־dx dφ:

a Q’x + Nφ = p a.

מתנאי היות המומנט סביב המשיק האופקי לצילינדר שווה לאפס מתקבל:

dM/dx = M’x = Qx

על ידי ביטול הכוח הרוחבי Qx משתי המשוואות הללו מתקבל

a M’’x + Nφ = p a.

משוואה 6

במשוואה זו ניתן לבטא את כוחות החתך הבלתי ידועים הללו באמצעות הסטייה w. עבור Nφ כבר נמצא Nφ=Etw/a, והמומנט פרופורציונלי לעקמומיות המרידיאן w’’, כלומר Mx=Kw’’, כאשר כמו בלוחות K=Et3/12(1-μ2) הוא קשיחות המעטפת, שיכולה להיות משתנה עם x. אם מכניסים ביטויים אלה לכוחות הממוצעים לתוך המשוואה (6), מתקבלת משוואת הדיפרנציאל של תורת המאגר:

עבור מיכל שעובי דופנו קבוע, הפתרון הוא:

אֶחָד.7

כאשר λ4=3(1-μ2)/a2t2. אם λh גדול (נניח, גדול מ-3), נוח יותר להחליף את הפונקציות ההיפרבוליות בפונקציות מעריכיות, ולכן:

אֶחָד.8

אז ניתן לקבוע באופן בלתי תלוי זה בזה את הקבועים A1, B1 מתנאי השפה בקצה התחתון, ואת הקבועים A2, B2 מתנאי השפה בקצה העליון, כאשר בדרך כלל מתקבל A2=B2=0. על סמך המשוואה (8) ו-(7) מתקבלות כוחות הגזירה, כאשר החישוב מתבצע בכיוון ההפוך ומכניסים בכל מקום את המשוואה (8) ו-(7); כך למשל עבור A2=B2=0:

כאשר דפנות המיכל מקובעות קשיח ללוח, בתחתית המיכל, שהיא עבה מספיק כדי להיחשב קשיחה, יש לקבוע את הקבועים A1, B1 מן התנאים ש-x=0, w=0 ו-w’=0 ומתקבל:

אם תחתית המאגר היא לוח אלסטי או קונכייה, יש לקבוע את כוחות הגזירה Qx והמומנטים Mx לאורך המעגל ההיקפי שבין התחתית לדופן הצילינדר בשיטות של תורת המערכות הסטטיות הבלתי־מוגדרות, על סמך הדרישה של- Mx ו-w’ יהיו לאותו ערך עבור שני החלקים.