Ny akora akorandriaka dia antsoina hoe mpitondra velarana, izay tsy fisaka ny velarany afovoany fa mivonto miharihary. Miala be amin’ny fitondran’ny takelaka ny fitondrany ara-statika. Rehefa manana endrika mety izy ireo, dia kely lavitra ny adin-tsainy, lehibe kokoa araka ny tokony ho izy ny hamafin’izy ireo, ary amin’ny ankamaroan’ny tranga dia tsotra kokoa ny kajy.
Ny adin-tsainan’ny akora tsirairay dia azo zaraina ho roa: adin-tsaina membrana sy fiondrika. Ny adin-tsaina membrana, tahaka ny adin-tsaina amin’ny takelaka entina ao anatin’ny planiny, dia azo aseho amin’ny alalan’ny hery mifanapaka ao amin’ny planina tangentialy – ohatra, amin’ny fizarana x=const. ny hery ara-dalàna _Nx=_σx*t sy ny hery manety _Nxy=_τxy*t, izay t no hatevin’ny akora. Ny adin-tsaina ateraky ny fiondrika dia mitovy amin’ny an’ny takelaka ary azo aseho amin’ny alalan’ny momanta miondrika Mx, momanta torsionaly Mxy ary hery manety Qx.
Ny toetra manan-danja amin’ny akora dia mifototra amin’ny zava-misy fa, araka ny fitsipika, ny adin-tsaina ateraky ny fiondrika dia tsy manana ny habeny na ny lanjan’ny adin-tsaina membrana, ka matetika dia azo tsinontsinoavina tanteraka. Amin’izay tranga izay dia zaraina mitovy amin’ny hatevin’ny akora ny adin-tsaina rehetra ary miasa tangentialy amin’ny velarana afovoany. Ny kajy mifototra amin’ireo fiheverana ireo dia tafiditra ao anatin’ny teorian’ny akora membrana.
Teorian’ny membrane momba ny akorandriaka simetrika amin’ny fihodinana eo ambanin’ny enta-mavesatra simetrika amin’ny fihodinana
Fomba ankapobeny
Ho an’ny tsipika koordinà dia raisina ny meridiana sy ny faribolana mitovy amin’ny eny ambonin’ny afovoan’ny akorandriaka, ka ny koordinà dia: azimota ϑ (“lavitra ara-jeografia”) sy ny fitongilanana φ an’ilay tangenta amin’ny meridiana mankany amin’ny sehatra mitsangana amin’ny axe-n’ny fitoviana (sary 1a). Araka izany, ny hery mpanapaka dia: hery mahitsy Nφ amin’ny lalan’ny meridiana sy hery mahitsy Nϑ ao amin’ny peratra (sary 1b). Tsy miseho ny hery manety Nφϑ amin’ny famoretana simetrika mihodina. Ny enta-mavesatra isaky ny velarana dia aseho toy izao (sary 1b): Y mikasika tangentina amin’ny meridiana, tsara eo amin’ny lalan’ny fitomboan’ny φ, Z mahitsy amin’ny akorandriaka, tsara mankany amin’ny axe-n’ny fitoviana.
Sary 1
Fig. 2
Aoka hatao hoe r1 ny radius de courbure an’ny meridiana. Izy dia fiasan’ny zoro φ ka amin’ny alalan’ny fampitoviana _r1=r1(_φ) no amaritana ny endriky ny meridiana. Azo raisina ho fampitoviana ny meridiana izany ary milaza, ohatra,
ho an’ny faribolana r1=a=const.
ho an’ny parabola r1=a/cos3__φ
ho an’ny ellipse r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Mba hikajiana ny hery mahitsy N__φ amin’ny làlan’ny meridiana dia tsy maintsy apetraka ny fepetran’ny fifandanjan’ilay ampahany amin’ny akorandriaka izay eo ambonin’ilay faribolana mifanitsy φ (sary 2). Ny vokatry ny hery R avy amin’ny enta-mavesatra Y sy Z miasa amin’ity ampahany ity dia mitsangana, noho ny simetria. Ny lanjany dia azo amin’ny alalan’ny fampiraisana manerana ny velaran’ilay akorandriaka manomboka amin’ny φ’=0 ka hatramin’ny φ’=φ. Ny velaran’ilay singa akorandriaka dia dF=r1d__φ’*rd__ϑ, ka ny singa mitsangana amin’ny enta-mavesatra dia (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Ho an’ilay ampahany manontolo misy endrika peratra amin’ilay akorandriaka izay eo anelanelan’ny faribolana φ’ sy φ’+dφ’ dia izao ny vokatry ny enta-mavesatra ivelany:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
avy eo amin’ny fampidirana araka ny φ’ ho an’ilay ampahan’ny akorandriaka izay mipetraka ambonin’ny faribolana mifanitsy φ’=φ dia azo:
Laharana 1
Ity enta-mavesatra ity dia raisin’ny hery normaly amin’ny lalan’ny meridiana, izay miasa manodidina ny sisin’ilay faribolana voamarika; ny singa mitsangana amin’ny vokatry ireo hery ireo dia 2__πr * N__φ sin__φ, ka amin’ny fampitoviana azy no ahazoana ny hery normaly tadiavina
Fitov. 2
Raha tapahina eo amin’ny tapany ambony manaraka ny boribory φ=φ0 ny akorandriaka (ohatra, fisokafana ho an’ny jiro ao anaty dome), dia mazava ho azy fa φ0 no fetra ambany amin’ny integral, fa tsy aotra. Raha misy enta-mavesatra R0 koa miasa eo amin’ny sisin’ilay akorandriaka izay niforona tamin’io fomba io, dia tsy maintsy ampiana amin’ny resultant R ihany koa izany (sary 3).
Sary 3
Mba hamaritana ny hery ara-dalàna N__ϑ dia tsy maintsy apetraka ny fepetra fifandanjan’ny singa akorandriaka mitsangana amin’ny planina tangential (sary 4). Ny valin’ny enta-mavesatra ivelany amin’ity làlana ity dia mitovy amin’ny Z r1 d__φ r d__ϑ. Ny hery N__φ*r d__ϑ izay eo amin’ny planina meridional dia mamorona zoro kely d__φ amin’ny samy izy, ka ny valiny amin’ny làlan’ny tsangana amin’ny akorandriaka dia N__φ r d__ϑ*dφ. Toy izany koa, ny hery Nϑ r1 dφ izay eo amin’ny planin’ny faribolana marindrano ary mamorona zoro dϑ amin’ny samy izy dia manana valiny Nϑ r1 dφ*dϑ izay eo koa amin’ny planin’ny faribolana marindrano, ka amin’ny tsangana amin’ny akorandriaka dia mamorona zoro 0,5_π-φ_, ka amin’ny fepetra fifandanjana dia ny singany ihany no miditra Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. Araka izany, ny fepetra fifandanjana dia hoe
na, rehefa zaraina amin’ny r r1 dϑ dφ:
Iray.3
Eto dia ny radius lehibe faharoa amin’ny fihodin’ny akora no aseho amin’ny r2=r/sinφ.
Sary 4
Dôme boribory
Rehefa omena amin’ny alalan’ny fifandraisana analitikan’ny equation r1=r1(φ) ny endriky ny meridiana, ary rehefa omena amin’ny endrika analitikanina koa ny enta-mavesatra Y(φ) sy Z(φ), dia azo faritana mandrakariva ny hery miampita ao amin’ny akorandriaka amin’ny alalan’ny fampidirana amin’ny endrika mihidy na amin’ny fomba nomerika, amin’ny fampiasana ny fitsipiky Simpson-. Ho an’ny dome boribory manana savaivony a, etsy ambany dia omena ny hery miampita amin’ny tranga sasany amin’ny enta-mavesatra:
Ny endrika farany, izay manome hery mikapa tsy manam-petra lehibe ho an’ny φ=0, dia mihatra ihany rehefa any lavidavitra kely amin’ilay teboka iasan’ny hery. Eo amin’ny manodidina akaiky indrindra ilay toerana iasan’ny hery, na dia zaraina eo amin’ny velaran’ny faribolana manana savaivo farany nefa kely aza izy, dia amin’ny ankapobeny amin’ny alalan’ny fiondrika no andefasana ny enta-mavesatra.
Ny endrika ho an’ny akorandriaka misokatra amin’ny ampahany ambony dia azo alaina avy amin’ireo teo aloha, raha ampiana enta-mavesatra foronina P eo amin’ny tampony amin’ilay tena enta-mavesatra, ka ny haben’izany dia faritana amin’ny fomba manaraka: raha ny hery normaly manontolo amin’ny làlan’ny meridiana miasa eo amin’ny sisiny ambony amin’ny akorandriaka φ=φ0 dia mitovy amin’ny Nφ=0, na mitovy amin’ny sanda iray voafaritra amin’ny hery ivelany raisin’ilay akorandriaka eto.
Akorandriaka konika
Sary. 5
Amin’ny akorandriaka konika, ny fitongilan’ny meridiana φ dia tsy azo ampiasaina ho koordina, satria mitovy ny sandany amin’ny teboka rehetra. Soloin’ny halavirana s avy amin’ny tendron’ny dome, refesina manaraka ny tsipika mpamorona, izany (sary 5). Ny hery ara-dalàna amin’ny lalana meridiana dia marihina araka izany amin’ny Ns. Ny endrika ilaina dia azo avy amin’ireo voalaza ao ambanin’ny 1 rehefa atao ny fandalovana amin’ny sisiny. Avy amin’ny equation (2) dia azo amin’izany
ary avy amin’ny equation (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Ho an’ireo tranga enta-mavesatra manan-danja indrindra dia manankery ireto raikipohy manaraka ireto:
Fomba sary ho an’ny endrika meridiana an-tsitrapo
Fig. 6
Raha tsy omena amin’ny fomba famakafakana ny tsipika meridiana, fa, ohatra, amin’ny endrika sary, dia tena sarotra sy tena tsy marina loatra ny famaritana ny radius-n’ny fihodinana. Amin’izay tranga izay dia mora kokoa ny mampiasa fomba sary (sl. 6).
Zaraina amin’ny lafiny maro kokoa φ=const. ny akorandriaka, kajiana ny lanjan’ireo faritra annulaire Δ_R_ izay eo anelanelan’ireo lafiny ireo, ary tsara kokoa raha zaraina avy hatrany amin’ny 2_π_. Ireo hery ΔR/2π ireo dia ampidirina ao amin’ny planan-kery (sary 6b). Raha atao avy eo, ohatra, ny mandalo amin’ilay teboka fizarana 7 dia tsipika iray mitovy amin’ny tangente amin’ny meridiana eo amin’ny teboka meridiana 7, dia hanapaka azy eo amin’ilay horizontaly mandalo ny teboka ambony amin’ny planan-kery amin’ny halavana R1/2π sinφ7 izay, araka ny fampitoviana (2), amin’ny fizarana amin’ny r mifanaraka aminy, dia ahazoana ny hery ara-dalàna mifanaraka amin’izany amin’ny làlan’ny meridiana.
Mba hamaritana ny hery ao amin’ny peratra dia ampiasaina ny fepetra fifandanjan’ny hery marindrano amin’ny singa iray amin’ny akorandriaka. Raha hery mitsangana ihany no miasa, dia toy izao ity fepetra ity (sary 4):
Rehefa soloina eto dφ amin’ny fahasamihafana farany Δφ, izay mifanaraka amin’ny fizarana noraisina tamin’ilay akorandriaka, ary rehefa ampidirina ho solon’ny r1 dφ ny halavan’ny Δs an’ilay singa amin’ny meridiana, dia azo avy eto
Ao amin’ny fononteny eo ankavanana dia misy ny sombin-tsipika amin’ny tsipika marindrano ao amin’ny planin’ny hery. Noho izany, ny lafiny havanana manontolo dia maneho ny fizarana eo anelanelan’ny teboka fizaràna amin’ity tsipika ity. Mba hahafahana mamaky azy ireo amin’ny fahamarinana ampy, dia tsy maintsy saryina amim-pitandremana sy amin’ny mizana lehibe ampy ny planin’ny hery.
Peratra voatarika sy voatsindry
Ny akoran-javatra tsirairay manana symmetry amin’ny fihodinana dia voafetra amin’ny boribory mitsivalana iray na roa (sary 7). Amin’ireo sisiny ireo, amin’ny ankapobeny, dia tsy afaka mandray afa-tsy ireo enta-mavesatra sy fanehoan’ny fanohanana izay manana làlana tangenta amin’ny meridiana izy. Raha manana làlana hafa ny hery ivelany, toy ny enta-mavesatra P avy amin’ny tapany ambony amin’ny rafitra na ny fanehoan’ny S amin’ny fototry ny fitahirizana aseho amin’ny sary 97, dia tsy maintsy zaraina ho singa amin’ny làlan’ny boribory mitsivalana sy ny tangenta amin’ny meridiana ireo hery ireo, araka ny aseho amin’ny sary. Ny singa P/sinφ0 na S/sinφu dia mitovy amin’ny hery ara-dalàna amin’ny làlan’ny meridiana Nφ izay miasa eo amin’io toerana io, raha ny fandraisana ny hery mitsivalana Pctgφ0 na Sctgφu kosa dia ilaina ny peratra mandray fisintonana, na fanerena, ka ao aminy io enta-mavesatra radiala io no miteraka hery ara-dalàna + P r0 ctgφ0, na -S ru ctgφu. Ny peratra toy izany, ankoatra ny eo amin’ny sisin’ny akora, dia tsy maintsy apetraka ihany koa amin’ireo toerana rehetra izay misy fiolahana tapaka amin’ny curve meridiana. Izy ireo hatrany no miteraka fanelingelenana ny toetry ny adin-tsaina membrana.
Sary 7
Ny adin-tsaina ateraky ny fiondrika amin’ny akora akorandriaka misy simetria fihodinana
Tsy ahitana isa ampy amin’ny konstanta fampidirana ny endriky ny teorian’ny membrane mba hahafahana manatanteraka ireo fepetra sisiny rehetra izay tena mifanaraka amin’ilay asa napetraka. Indrindra amin’ny akorandriaka manana firindrana amin’ny fihodinana, tsy azo atao amin’ny fisafidianana mety ny konstanta fampidirana ny mampitovy ny fanitarana εϑ = Nϑ/Et amin’ny lalana peratra manaraka ny sisin’ny akorandriaka amin’ny fanitarana mifanaraka amin’izany ao amin’ny singa rafitra hafa iray izay mifatotra mafy aminy eo amin’io toerana io. Toy izany koa no mihatra amin’ireo akorandriaka izay miova tampoka manaraka faribolana marindrano iray ny fiolahana meridiana, ny hatevin’ny akorandriaka na ny enta-mavesatra isaky ny faritra. Ary na dia tsy nohamafisina tamin’ny peratra aza ny akorandriaka manaraka sisiny iray, fa eto amin’ity toerana ity dia misy hery mitondra singa amin’ny lalana ara-perpendikulara amin’ny akorandriaka (ohatra, ny enta-mavesatra P eo amin’ny sary 7 raha heverina fa nesorina ilay peratra), dia tsy afaka mandray ireo enta-mavesatra ireo amin’ny alalan’ny hery membrane fotsiny izy. Amin’ny toe-javatra toy izany dia manana anjara toerana lehibe amin’ny fizaran-kery ao amin’ny akorandriaka ny hery manety sy ny momenta fiondrika (sary 8), ka tsy maintsy raisina ao amin’ny kajy statika izany.
Sary 8
Ny kajy marina ny akora manify amin’ny fiondrika, ankoatra ny tranga manokana tsotra indrindra amin’ny akora cilindrika, dia asa tena sarotra. Ho an’ny akora manana rindrina manify dia azo atsangana ny teoria eo ho eo tsotra sady tena azo ampiharina, izay miankina amin’ny zava-misy fantatra avy amin’ny teoria hentitra, fa voafetra amin’ny faritra somary tery eo akaikin’ny sisiny ny adin-tsaina vokatry ny fiondrika ary mihena haingana rehefa mitombo ny elanelana amin’ny sisiny. Izany dia ahafahana tsy miraharaha ireo teny maro ao amin’ny fampitahana différential marina, ka mahazo endrika tsotsotra io fampitahana io.
Raha soloina amin’ny sanda antonony ao anatin’ilay zorony manify izay tena mahaliana ihany κ, ary saika azo atao foana izany, dia ny vahaolana amin’ilay fampitoviana dia
Fampitahana 4 sy 5
izay a1, b1, a2, b2 no antsoina hoe konstanta fampidirana. Satria ny vahaolana dia mahaliana fotsiny eo akaikin’ny sisiny φ=φ0, mety tsara raha ampidirina ho toy ny koordina ny elanelana zoro ω=φ0-φ na ω=φ-φ0 amin’ity sisiny ity, ka amin’ny alalan’ny fanovàna ny vahaolana voalaza etsy ambony dia azo ny fanehoana faharoa voalaza. Eto dia kaonstanta fampidirana roa ihany A, B na C, ψ no miseho, satria ny ampahany faharoa amin’ny vahaolana izay mitondra ny antony eκω, ary noho izany dia tsy mihena rehefa mitombo ny ω, dia azo esorina amin’ny fandinihana.
Avy amin’ny equation 5 dia azo ireo sanda manaraka ho an’ny hery transversal sy ny fihodinana κ amin’ny tangenty meridiana:
Ny adin-tsaina vokatry ny fiondrika amin’ny fitahirizana miendrika varingarina boribory
Aoka hatao hoe fitoeran-javatra cylindrika misy haavo h feno rano (sary 9), dia amin’ny haavo x ambonin’ny fitoerana roa no misy ny tsindrin’ny rano p=γ(h-x). Raha amin’io haavo io, amin’ny alalan’ny fizarana marindrano roa mifanalavitra dx., dia tapahina avy ao amin’ilay fitoeran-javatra ny peratra iray ary zaraina manaraka iray amin’ny savaivony ho roa, ny fepetra fifandanjan’ny iray amin’izy ireo dia manome ny hery membrana ao amin’ilay peratra Nφ=pa. Raha t ny hatevin’ilay fitoeran-javatra amin’io toerana io, dia εφ=Nφ/Et ny fitaran’ny peratra ary noho izany ny fitomboan’ny radius an’ilay fitoeran-javatra (fiviliana) dia
Eo amin’ny sisiny ambany x=0 no araka izany
Sary 9
Na ny iray na ny iray dia matetika tsy mifanaraka amin’ny fepetra farany, satria voasakana ny fiovan’ny rindrina noho ny fifandraisany amin’ny fototry ny fitoeran-javatra. Amin’izany dia miseho eo amin’ny fifandraisana misy eo amin’ny fototra sy ny rindrin’ny cylinder ny hery transversale Qx0 sy ny momenta Mx0 (sary 11), ka ny haben’izy ireo dia tokony hofaritana amin’ny fomba izay, miaraka amin’ireo hery membrana vao voaisa ao amin’ny akorandriaka, dia mampiteraka io fiovana eo amin’ny sisin’ny akorandriaka io izay avelan’ny fototra.
Sary 10, 11, 12, araka izany
Ao amin’ny sary 11 dia aseho ny singa akorandriaka dx*a dφ miaraka amin’ireo hery miasa aminy. Ny fepetra fifandanjan’ny hery amin’ny lalana mahitsy amin’ny perpendicular amin’ny akorandriaka dia manome
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
avy eo amin’ny fizarana amin’ny dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Avy amin’ny fepetra fa aotra ny momenta manodidina ny tangenta mitsivalana amin’ny cilindera dia azo izao:
dM/dx = M’x = Qx
Amin’ny fanesorana ny hery transversale Qx amin’ireo fampitahana roa ireo dia manaraka
a M’’x + Nφ = p a.
Ekv. 6
Amin’ity fampitahana ity dia azo aseho amin’ny alalan’ny fiondrehana w ireo hery miampita tsy fantatra ireo. Ho an’ny Nφ dia efa hita fa Nφ=Etw/a, ary ny fotoana dia mitovy amin’ny fiolahana meridiana w’’, izany hoe Mx=Kw’’, ka tahaka ny amin’ny takelaka ihany K=Et3/12(1-μ2) no hamafin’ny akorandriaka, izay mety hiova arakaraka ny x. Raha ampidirina ao amin’ny fampitahana (6) ireo fanehoana ireo ho an’ny hery antonony, dia azo ny fampitahana différential an’ny teoria réservoir:
Ho an’ny fitoeran-javatra izay tsy miova ny hatevin’ny rindrina dia izao ny vahaolana:
Iray.7
izay λ4=3(1-μ2)/a2t2. Raha lehibe ny λh (ohatra, lehibe noho ny 3), dia mety kokoa ny mampiditra fiasa eksponansialy ho solon’ny fiasa hiperbolika, ka dia:
Iray.8
Avy eo dia azo faritana tsy miankina amin’ny iray sy ny iray hafa ny konstanta A1, B1 avy amin’ny fepetra sisiny eo amin’ny sisiny ambany, ary ny konstanta A2, B2 avy amin’ny fepetra sisiny eo amin’ny sisiny ambony, ka araka ny fitsipika dia azo A2=B2=0. Miorina amin’ny equation (8) sy (7) dia azo ny hery manapaka, rehefa atao amin’ny lalana mivadika ny kajy ary ampidirina hatraiza hatraiza ny equation (8) sy (7); ohatra, ho an’ny A2=B2=0:
Rehefa voafintina mafy ao anaty takelaka ny rindrin’ny fitoeran-javatra, amin’ny farany ambany amin’ilay fitoeran-javatra izay matevina ampy ka azo heverina ho mafy, dia tokony hofaritana avy amin’ny fepetra fa x=0, w=0 ary w’=0 ireo tsy miova A1, B1 ka azo:
Raha takelaka na akorandriaka elastika ny fanambanin’ny fitoeran-javatra, dia tokony hofaritana amin’ny fomba avy amin’ny teorian’ny rafitra tsy voafaritra statika ny hery transversal Qx sy ny momenta Mx manaraka ny faribolana sisiny eo anelanelan’ny fanambany sy ny rindrin’ny cilindera, araka ny fepetra fa Mx sy w’ ho an’ny ampahany roa dia manana sanda mitovy.