Čaulas ir virsmas nesošās konstrukcijas, kuru vidusvirsma nav plakana, bet ievērojami izliekta. To statiskā uzvedība būtiski atšķiras no plātnes uzvedības. Ja tām ir piemērota forma, to spriegumi ir ievērojami mazāki, to stingrība attiecīgi lielāka, bet aprēķins vairumā gadījumu vienkāršāks.
Katras čaulas spriegumu var sadalīt divās daļās: membrānas spriegumā un liecē. Membrānas spriegumus, līdzīgi kā spriegumus plāksnē, kas noslogota savā plaknē, var izteikt ar šķērsgriezuma spēkiem tangenciālajā plaknē – tie ir, piemēram, šķēlumā x=const. normālais spēks _Nx=_σx*t un bīdes spēks _Nxy=_τxy*t, kur t ir čaulas biezums. Spriegumi lieces dēļ ir tādi paši kā plāksnēm, un tos var attēlot ar lieces momentiem Mx, vērpes momentiem Mxy un bīdes spēkiem Qx.
Svarīgākās čaulu īpatnības balstās uz to, ka pēc noteikuma spriegumi lieces dēļ nav ne pēc lieluma, ne pēc nozīmes līdzvērtīgi membrānas spriegumiem, tāpēc tos bieži var pilnīgi neievērot. Šādā gadījumā visi spriegumi ir vienmērīgi sadalīti pa čaulas biezumu un darbojas tangenciāli uz vidējo virsmu. Aprēķini, kas balstās uz šiem pieņēmumiem, ietilpst čaulu membrānu teorijas ietvaros.
Rotācijas simetrisku čaulu membrānas teorija rotācijas simetriskas slodzes iedarbībā
Vispārīgās formulas
Par koordinātu līnijām pieņem meridiānus un paralēles apvalka vidus virsmā, tāpēc koordinātas ir: azimuts ϑ (“ģeogrāfiskais garums”) un meridiāna tangentes slīpums φ pret plakni, kas perpendikulāra simetrijas asij (att. 1a). Attiecīgi šķērsgriezuma spēki ir: normālspēks Nφ meridiāna virzienā un normālspēks Nϑ riņķa virzienā (att. 1b). Bīdes spēki Nφϑ rotācijas simetriskā spriegumā nerodas. Slodzi uz vienības virsmas apzīmē šādi (att. 1b): Y tangenciāli meridiānam, pozitīvs virzienā, kurā φ pieaug, Z perpendikulāri apvalkam, pozitīvs uz simetrijas asi.
Att. 1
att. 2
Lai meridiāna liekuma rādiuss būtu r1. Tas ir leņķa φ funkcija, tāpēc ar vienādojumu _r1=r1(_φ) ir noteikta meridiāna forma. To var uzskatīt par meridiāna vienādojumu, un tas, piemēram, ir šāds:
aplis r1=a=const.
par paraboli r1=a/cos3__φ
elipsei r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Lai aprēķinātu normālo spēku N__φ meridiāna virzienā, jānosaka čaulas daļas, kas atrodas virs paralēlā apļa φ (att. 2), līdzsvara nosacījums. Spēka R rezultante no slodzēm Y un Z, kas iedarbojas uz šo daļu, simetrijas dēļ ir vertikāla. Tās lielumu iegūst, integrējot pa čaulas virsmu no φ’=0 līdz φ’=φ. Čaulas elementa virsma ir dF=r1d__φ’*rd__ϑ, tāpēc slodzes vertikālā komponente ir (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Visai gredzenveida čaulas daļai, kas atrodas starp apļiem φ’ un φ’+dφ’, ārējās slodzes rezultante ir:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
no kurienes, integrējot pēc φ’ tās čaulas daļai, kas atrodas virs paralēlās apļa φ’=φ, iegūst:
Vien. 1
Šo slodzi uzņem normālie spēki meridiāna virzienā, kas darbojas pa novērotā apļa apkārtmēru; šo spēku rezultantes vertikālā komponente ir 2__πr * N__φ sin__φ, tāpēc, izlīdzinot, iegūstam meklēto normālo spēku
Vien. 2
Ja apvalks augšējā daļā ir nogriezts pa apli φ=φ0 (piem., apgaismojuma atvere kupolā), tad integrāļa apakšējā robeža, protams, ir φ0, nevis nulle. Ja uz šādi izveidotā apvalka malas iedarbojas arī slodze R0, tad tā jāpieskaita arī rezultējošajam spēkam R (att. 3).
Att. 3
Lai noteiktu normālspēku N__ϑ, jāizvirza līdzsvara nosacījums čaulas elementam, kas ir perpendikulārs tangenciālajai plaknei (att. 4). Ārējās slodzes rezultants šajā virzienā ir Z r1 d__φ r d__ϑ. Spēki N__φ*r d__ϑ, kas atrodas meridiānajā plaknē, savā starpā veido mazu leņķi d__φ, tāpēc to rezultants čaulas normāles virzienā ir N__φ r d__ϑ*dφ. Līdzīgi arī spēkiem Nϑ r1 dφ, kas atrodas horizontālā apļa plaknē un savā starpā veido leņķi dϑ, ir rezultants Nϑ r1 dφ*dϑ, kas arī atrodas horizontālā apļa plaknē un tāpēc ar čaulas normāli veido leņķi 0,5_π-φ_, tādēļ līdzsvara nosacījumā ietilpst tikai to komponente Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. Tādēļ līdzsvara nosacījums ir šāds
vai, ja to dala ar r r1 dϑ dφ:
Viens.3
Šeit ar r2=r/sinφ ir apzīmēts otrais galvenais apvalka liekuma rādiuss.
Att. 4
Apaļā kupola
Ja meridiāna forma ir analītiski dota ar vienādojumu r1=r1(φ) un ja slodzēm Y(φ) un Z(φ) ir doti analītiski izteiksmes, čaulā esošos šķērsspēkus vienmēr var noteikt, integrējot slēgtā veidā vai skaitliski, izmantojot Simpson-a likumu. Tālāk apļveida kupolam ar diametru a ir doti šķērsspēki dažiem slodzes gadījumiem:
Pēdējā formula, kas pie φ=0 dod bezgalīgi lielus šķērsspēkus, ir spēkā tikai noteiktā attālumā no spēka iedarbības punkta. Tiešā spēka iedarbības vietas tuvumā, pat ja spēks ir sadalīts pa apļa virsmu ar galīgu, bet nelielu diametru, slodze galvenokārt tiek pārnesta ar lieci.
Formas čaulām, kas atvērtas augšējā daļā, var iegūt no iepriekšējām, ja faktiskajai slodzei virsotnē pievieno fiktīvu slodzi P, kuras lielumu nosaka tā, ka kopējais normālais spēks meridiāna virzienā, kas iedarbojas uz čaulas augšējo malu φ=φ0, ir Nφ=0, vai tas ir vienāds ar kādu vērtību, ko nosaka ārējie spēki, ko čaula šeit uztver.
Konusveida čaula
Att. 5
Koniskai čaulai meridiāna slīpumu φ nevar izmantot kā koordinātu, jo visos punktos tam ir viena un tā pati vērtība. Tā vietā ievada attālumu s no kupola virsotnes, mērītu gar veidni (att. 5). Normālo spēku meridiāna virzienā attiecīgi apzīmē ar Ns. Nepieciešamās formulas var iegūt no iepriekš minētajām pie 1, veicot robežpāreju. No vienādojuma (2) tādējādi iegūst
a no vienādojuma (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Svarīgākajiem slodzes gadījumiem ir spēkā šādas formulas:
Grafiska metode jebkuras meridiāna formas gadījumam
att. 6
Ja meridiāna līkne nav dota analītiskā izteiksmē, bet, piemēram, grafiski, izliekuma rādiusa noteikšana ir pārāk sarežģīta un pārāk neprecīza. Šādā gadījumā ir ērtāk izmantot grafisku metodi (sl. 6).
Apvalku sadala ar lielāku skaitu plakņu φ=const., aprēķina gredzenveida zonu svarus Δ_R_, kas atrodas starp plaknēm, un vislabāk tos uzreiz dalīt ar 2_π_. Šie spēki ΔR/2π tiek attēloti spēku plānā (att. 6b). Ja pēc tam, piemēram, caur dalīšanas punktu 7 novelk taisni paralēli meridiāna tangentei meridiāna punktā 7, horizontāle caur spēku plāna augšējo punktu to šķirs pa nogriezni R1/2π sinφ7, no kura, pamatojoties uz vienādojumu (2), dalot ar atbilstošo r, iegūst attiecīgo normālo spēku meridiāna virzienā.
Riņķveida spēku noteikšanai kalpo horizontālo spēku līdzsvara nosacījums uz viena čaulas elementa. Ja iedarbojas tikai vertikālas slodzes, šis nosacījums ir šāds (att. 4):
Kad šeit dφ aizstāj ar galīgo starpību Δφ, kas atbilst pieņemtajam apvalka sadalījumam, un kad r1 dφ vietā ievada meridiāna elementa garumu Δs, no tā iegūst
Labajā pusē iekavās atrodas nogrieznis uz horizontālās taisnes spēku plānā. Tātad visa labā puse attēlo posmus starp iedaļu punktiem uz šīs taisnes. Lai tos varētu pietiekami precīzi nolasīt, spēku plāns jāzīmē rūpīgi un pietiekami lielā mērogā.
Stieptie un spiestie gredzeni
Katru rotācijas simetrisku čaulu norobežo viens vai divi horizontāli apļi (att. 7). Pie šīm malām tā principā var uzņemt tikai tādas slodzes un balstu reakcijas, kuru virziens sakrīt ar meridiāna tangenti. Ja ārējie spēki ir citā virzienā, piemēram, slodze P no konstrukcijas augšējās daļas vai reakcija S no tvertnes dibena, kas parādīta att. 97, šie spēki, kā parādīts attēlā, jāsadala komponentēs horizontālā apļa un meridiāna tangentes virzienā. Komponente P/sinφ0 vai S/sinφu ir vienāda ar normālo spēku meridiāna virzienā Nφ, kas šajā vietā iedarbojas, savukārt horizontālā spēka Pctgφ0 vai Sctgφu uzņemšanai nepieciešams gredzens, kas uzņem stiepi, resp. spiedi, un kurā šī radiālā slodze izraisa normālo spēku + P r0 ctgφ0, resp. -S ru ctgφu. Šādi gredzeni, izņemot pie čaulas malām, jāierīko arī visās vietās, kur meridiāna līknei ir lūzums. Tie vienmēr izraisa membrānas sprieguma stāvokļa traucējumu.
Att. 7
Liekšanas radītie spriegumi rotācijas simetriskās čaulās
Membrānteorijas formulas nesatur pietiekamu integrācijas konstantu skaitu, lai varētu izpildīt visus robežnosacījumus, kas patiesībā atbilst uzdotajam uzdevumam. Īpaši rotācijas simetrisku čaulu gadījumā nav iespējams ar kādu piemērotu integrācijas konstantu izvēli panākt, lai dilatācija εϑ = Nϑ/Et apļa virzienā gar čaulas malu būtu vienāda ar atbilstošo dilatāciju kādai citai konstruktīvai daļai, kas tajā vietā ar to stingri savienota. Tas pats attiecas arī uz čaulām, kurām gar vienu horizontālu apli strauji mainās meridiāna izliekums, čaulas biezums vai slodze uz laukuma vienību. Arī tad, ja čaula gar kādu malu nav nostiprināta ar riņķi, bet šajā vietā ir noslogota ar spēkiem, kuriem ir komponente čaulai normāles virzienā (piem., slodze P att. 7, ja iedomājas, ka riņķis ir noņemts), tā nevar uzņemt šādas slodzes tikai ar membrānspēku palīdzību. Šādos gadījumos bīdes spēks un lieces momenti (att. 8) spēlē būtisku lomu spēku sadalījumā čaulā, kas statiskajā aprēķinā jāņem vērā.
Att. 8
Precīzs čaulas aprēķins liecei, izņemot visvienkāršāko īpašo cilindriskas čaulas gadījumu, ir ļoti grūts uzdevums. Plānsienu čaulām var izstrādāt vienkāršu un ļoti lietojamu aptuvenu teoriju, kas balstās uz stingrajā teorijā zināmo faktu, ka lieces radītie spriegumi aprobežojas ar relatīvi šauru zonu pie malas un strauji samazinās, pieaugot attālumam no malas. Tas ļauj atstāt novārtā lielu skaitu locekļu precīzajā diferenciālvienādojumā, un tādējādi tas iegūst vienkāršotu formu.
Ja robežjoslā, kas vienīgā interesē, κ aizstāj ar vidējo vērtību, un to gandrīz vienmēr ir iespējams izdarīt, vienādojuma atrisinājums ir
Vien. 4 un 5
kur a1, b1, a2, b2 ir integrēšanas konstantes. Tā kā risinājums ir interesants tikai pie malas φ=φ0, ērti ir šo malas leņķisko attālumu ω=φ0-φ vai ω=φ-φ0 ievadīt kā koordinātu, un tad, pārveidojot iepriekš minēto risinājumu, iegūst otro norādīto izteiksmi. Šeit parādās tikai divas integrēšanas konstantes A, B vai C, ψ, jo otru risinājuma daļu, kas satur reizinātāju eκω, un tātad, pieaugot ω, nevis samazinās, var izslēgt no apsvēruma.
Pamatojoties uz vienādojumu 5, iegūst šādas vērtības šķērsgriezuma spēkiem un meridiāna pieskares κ rotācijai:
Spriegumi lieces dēļ apaļa cilindra formas rezervuāros
Pieņemsim, ka cilindrisks rezervuārs ar augstumu h ir piepildīts ar ūdeni (att. 9), tad augstumā x virs rezervuāra dibena ūdens spiediens ir p=γ(h-x). Ja šajā augstumā no diviem horizontāliem šķēlumiem attālumā dx no rezervuāra izgriež gredzenu un to sadala gar vienu diametru divās daļās, vienas no tām līdzsvara nosacījums dod membrānas spēku gredzenā Nφ=pa. Ja rezervuāra biezums šajā vietā ir t, tad gredzena dilatācija ir εφ=Nφ/Et un tātad rezervuāra rādiusa palielinājums (izliece) ir
Pie apakšējās malas x=0 tātad ir
Att. 9
Ne viens, ne otrs parasti nav saskaņā ar robežnosacījumiem, jo sienas deformāciju kavē saite ar tvertnes dibenu. Šajā vietā cilindriskā dibena un sienas savienojumā parādās šķērsspēki Qx0 un momenti Mx0 (att. 11), kuru lielums jānosaka tā, lai tie kopā ar tikko aprēķinātajiem membrānas spēkiem čaulā izraisītu šo deformāciju čaulas malā, ko pieļauj dibens.
Att. 10, 11, 12, attiecīgi
Sl. 11 parādīts čaulas elements dx*a dφ ar spēkiem, kas uz to iedarbojas. Spēku līdzsvara nosacījums čaulas normāles virzienā dod
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
no kurienes, dalot ar dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
No nosacījuma, ka moments ap horizontālo cilindram pieskari ir nulle, iegūstam:
dM/dx = M’x = Qx
Likvidējot šķērssilu Qx no šiem diviem vienādojumiem, izriet
a M’’x + Nφ = p a.
Vien. 6
Šajā vienādojumā šos nezināmos šķērsgriezuma spēkus var izteikt ar ielieces w palīdzību. Jau ir atrasts, ka Nφ=Etw/a, bet moments ir proporcionāls meridiāna izliekumam w’’, t.i., Mx=Kw’’, kur, tāpat kā plātnēm, K=Et3/12(1-μ2) ir apvalka stingums, kas var būt mainīgs atkarībā no x. Ja šīs vidējo spēku izteiksmes ievieto vienādojumā (6), iegūst rezervuāra teorijas diferenciālvienādojumu:
Tvertnei, kuras sienas biezums ir nemainīgs, risinājums ir:
Viens.7
kur λ4=3(1-μ2)/a2t2. Ja λh ir liels (teiksim, lielāks par 3), ērtāk ir hiperbolisko funkciju vietā lietot eksponenciālās, un tad:
Viens.8
Tad neatkarīgi vienu no otras var noteikt konstantes A1, B1 no robežnosacījumiem apakšējā malā, bet konstantes A2, B2 no robežnosacījumiem augšējā malā, un parasti iegūst A2=B2=0. Pamatojoties uz vienādojumu (8) un (7), iegūst šķērsspēkus, kad aprēķinu veic pretējā virzienā un visur ievieš vienādojumu (8) un (7); tā, piemēram, pie A2=B2=0:
Ja tvertnes sienas ir stingri iestiprinātas plātnē, tvertnes apakšā, kas ir pietiekami bieza, lai to varētu uzskatīt par stingru, konstantes A1, B1 jānosaka no nosacījumiem, ka x=0, w=0 un w’=0, un iegūst:
Ja rezervuāra dibens ir elastīga plātne vai čaula, šķērsspēki Qx un momenti Mx gar malas loku starp dibenu un cilindra sienu jānosaka ar statiski nenoteiktu sistēmu teorijas metodēm, balstoties uz prasību, ka Mx un w’ abām daļām ir vienāda vērtība.