Қабықтар деп ортаңғы беті жазық емес, айқын дөңес болатын беттік көтергіштер аталады. Олардың статикалық жұмысы тақтаның жұмысынан едәуір өзгеше. Қолайлы пішіні болғанда, олардың кернеуі айтарлықтай аз болады, қаттылығы тиісінше жоғарырақ болады, ал есептеу көп жағдайда жеңілірек.
Әр қабықтың кернеуі екі бөлікке бөлінеді: мембраналық кернеу және иілу. Мембраналық кернеулер, жазықтығында жүктелген пластинадағы кернеулер сияқты, жанама жазықтықтағы қима күштері арқылы да өрнектелуі мүмкін — мысалы, x=const. қимасында қалыпты күш _Nx=_σx*t және ығыстырушы күш _Nxy=_τxy*t, мұнда t — қабық қалыңдығы. Иілу салдарынан пайда болатын кернеулер пластиналардағыдай және оларды иілу моменттері Mx, бұраушы моменттер Mxy және ығыстырушы күштер Qx арқылы көрсетуге болады.
Қабықтардың маңызды қасиеттері, әдетте, иілу салдарынан пайда болатын кернеулердің мембраналық кернеулердің шамасы мен маңызына ие еместігіне, сондықтан оларды көбіне толықтай елемеуге болатынына негізделеді. Бұл жағдайда барлық кернеулер қабық қалыңдығы бойынша біркелкі бөлінеді және ортаңғы бетке жанама бағытта әсер етеді. Осы жорамалдарға негізделген есептеулер қабықтардың мембраналық теориясы шеңберіне кіреді.
Айнымалы симметриялы қабықтардың айналу симметриялы жүктеме кезіндегі мембраналық теориясы
Жалпы формулалар
Координаталық сызықтар ретінде қабықтың ортаңғы бетінде меридиандар мен параллель шеңберлер алынады, сондықтан координаталар: азимут ϑ («географиялық бойлық») және симметрия осіне перпендикуляр жазықтыққа қатысты меридианға жанама сызықтың еңкею бұрышы φ (сур. 1a). Осыған сәйкес қималық күштер: меридиан бағытындағы нормаль күш Nφ және сақина бағытындағы нормаль күш Nϑ (сур. 1b). Nφϑ ығысу күштері айналу симметриялы кернеу кезінде пайда болмайды. Бірлік ауданға түсетін жүктеме келесі түрде белгіленеді (сур. 1b): Y меридианға жанама, φ өсетін бағытта оң, Z қабыққа нормаль, симметрия осіне қарай оң.
Сур. 1
Сур. 2
Меридиан қисықтығының радиусы r1 болсын. Ол φ бұрышының функциясы болғандықтан, _r1=r1(_φ) теңдеуімен меридианның пішіні анықталады. Мұны меридиан теңдеуі деп қарастыруға болады және ол, мысалы, былай жазылады.
шеңбер үшін r1=a=const.
парабола үшін r1=a/cos3__φ
эллипс үшін r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Меридиан бағыты бойынша N__φ қалыпты күшін есептеу үшін φ параллель шеңберінен жоғары орналасқан қабық бөлігінің тепе-теңдік шартын қою керек (сур. 2). Осы бөлікті әсер ететін Y және Z жүктемелерінің нәтижесі симметрияны ескере отырып, тік бағытталған. Оның мәні қабық беті бойынша φ’=0-ден φ’=φ дейін интегралдау арқылы табылады. Қабық элементінің ауданы dF=r1d__φ’*rd__ϑ, сондықтан жүктеменің тік құраушысы (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. φ’ және φ’+dφ’ шеңберлерінің арасында орналасқан бүкіл сақина тәрізді қабық бөлігі үшін сыртқы жүктеменің нәтижесі:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
осыдан φ’ бойынша қабықтың φ’=φ параллель шеңберінен жоғары орналасқан бөлігі үшін интегралдау арқылы мынаны аламыз:
Тең. 1
Бұл жүктемені меридиан бағытындағы нормаль күштер қабылдайды, олар байқалған шеңбердің бойымен әсер етеді; осы күштердің теңәсерлі күшінің тік құраушысы 2__πr * N__φ sin__φ, болады, сондықтан осыдан теңестіру арқылы ізделінген нормаль күш алынады
Тең. 2
Егер қабықтың жоғарғы бөлігі φ=φ0 шеңбері бойынша кесілсе (мысалы, күмбездегі жарық түсіру ойығы), интегралдың төменгі шегі, әрине, нөл емес, φ0 болады. Егер осылай пайда болған қабықтың жиегінде R0 жүктемесі де әсер етсе, оны да нәтижелік күшке R қосу керек (сур. 3).
Сур. 3
N__ϑ нормаль күшін анықтау үшін қабықша элементінің тангенциал жазықтыққа перпендикуляр тепе-теңдік шартын қою керек (сур. 4). Осы бағыттағы сыртқы жүктеменің тең әсерлі күші Z r1 d__φ r d__ϑ болады. Меридиан жазықтығында жатқан N__φ*r d__ϑ күштері өзара d__φ кіші бұрышын жасайды, сондықтан олардың қабықша нормалі бағытындағы тең әсерлі күші N__φ r d__ϑ*dφ болады. Сол сияқты, горизонталь шеңбер жазықтығында жатқан және өзара dϑ бұрышын құрайтын Nϑ r1 dφ күштерінің тең әсерлі күші Nϑ r1 dφ*dϑ да горизонталь шеңбер жазықтығында жатады және демек қабықша нормалімен 0,5_π-φ_ бұрышын жасайды, сондықтан тепе-теңдік шартында олардың тек Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ құраушысы ескеріледі. Демек, тепе-теңдік шарты былай жазылады
немесе r r1 dϑ dφ-ге бөлгенде:
Бір.3
Мұнда r2=r/sinφ арқылы қабықтың қисықтығының екінші негізгі радиусы белгіленген.
Сур. 4
Дөңгелек күмбез
Меридианның пішіні аналитикалық түрде r1=r1(φ) теңдеуімен берілгенде және Y(φ) мен Z(φ) күштері үшін аналитикалық өрнектер берілгенде, қабықтағы қима күштерін әрқашан жабық түрде интегралдау арқылы немесе Simpson-ның ережесін қолданып сандық түрде анықтауға болады. Диаметрі a дөңгелек күмбез үшін төменде кейбір жүктеме жағдайларына арналған қима күштері келтіріледі:
φ=0 болғанда шексіз үлкен қиғаш күштер беретін соңғы формула тек күштің түсу нүктесінен белгілі бір қашықтықта ғана жарамды. Күш әсер ететін орынға тікелей жақын аймақта, тіпті ол белгілі, бірақ шағын диаметрлі шеңбердің беті бойынша таралған болса да, жүктеме негізінен ию арқылы беріледі.
Үстіңгі бөлігінде ашық қабықшалардың пішіндерін алдыңғылардан шығаруға болады, егер нақты жүктемеге төбесінде ойдан шығарылған P жүктемесі қосылса және оның шамасы қабықшаның жоғарғы жиегінде меридиан бағыты бойынша әсер ететін толық нормаль күш φ=φ0 Nφ=0 болғанда, не қабықша осы жерде қабылдайтын сыртқы күштермен анықталған қандай да бір мәнге тең болғанда осылай белгіленеді.
Конустық қабық
Сур. 5
Конус қабықта меридиан еңісін φ координата ретінде қолдануға болмайды, өйткені оның барлық нүктеде мәні бірдей. Оның орнына жасаушысы бойымен өлшенетін күмбез төбесінен қашықтық s енгізіледі (сур. 5). Соған сәйкес меридиан бағытындағы нормаль күш Ns деп белгіленеді. Қажетті формулаларды шекті көшу жасалған кезде жоғарыда 1 берілгендерден алуға болады. (2) теңдеуінен осылайша
теңдеуінен (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Ең маңызды жүктеме жағдайлары үшін мына формулалар қолданылады:
Меридианның кез келген пішіні үшін графикалық тәсіл
Cурет. 6
Егер меридиан қисығы аналитикалық өрнекпен берілмесе, керісінше, мысалы, графикалық түрде берілсе, қисықтық радиусын анықтау тым қиын әрі тым дәлсіз болады. Мұндай жағдайда графикалық тәсілді қолдану қолайлырақ (сур. 6).
Қабық φ=const. болатын бірнеше жазықтыққа бөлінеді, олардың арасындағы сақиналы аймақтардың салмақтары Δ_R_ есептеледі және оларды дереу 2_π_ мәніне бөлу ең қолайлы. Бұл күштер ΔR/2π күштер жоспарына түсіріледі (сур. 6b). Егер содан кейін, мысалы, бөлу нүктесі 7 арқылы меридианның 7 нүктесіндегі жанамасына параллель түзу жүргізілсе, күштер жоспарының жоғарғы нүктесі арқылы өтетін горизонталь онда R1/2π sinφ7 кесіндісін қияды, одан (2) теңдеуіне сүйеніп, тиісті r мәніне бөлу арқылы меридиан бағыты бойынша сәйкес нормаль күш алынады.
Сақиналардағы күштерді анықтау үшін қабық элементіндегі горизонталь күштердің тепе-теңдік шарты қолданылады. Егер тек тік жүктемелер әсер етсе, бұл шарт мынадай болады (сур. 4):
Мұнда dφ орнына қабықтың қабылданған бөлінісіне сәйкес келетін шекті айырма Δφ енгізіліп, ал r1 dφ орнына меридиан элементінің ұзындығы Δs алынса, осыдан алынады
Оң жағындағы жақшада күштер жоспарының горизонталь түзуіндегі кесінді көрсетілген. Демек, оң жақтың толық бөлігі осы түзу бойындағы бөлу нүктелері арасындағы кесінділерді білдіреді. Оларды жеткілікті дәл оқи алу үшін күштер жоспары мұқият және жеткілікті үлкен масштабта сызылуы керек.
Керілген және сығылған сақиналар
Әрбір айналу осіне симметриялы қабық бір немесе екі горизонталь шеңбермен шектеледі (сур. 7). Осы жиектерде ол принципті түрде тек меридианға жанама бағытталған жүктемелер мен тірек реакцияларын ғана қабылдай алады. Егер сыртқы күштердің бағыты басқа болса, мысалы, конструкцияның жоғарғы бөлігінен түсетін P жүктемесі немесе сур. 97-де көрсетілген резервуар түбінің S реакциясы болса, бұл күштерді, суретте көрсетілгендей, горизонталь шеңбер мен меридианға жанаманың бағытындағы құрамдастарға жіктеу керек. P/sinφ0 немесе S/sinφu құрамдасы сол жерде әсер ететін меридиан бағытының Nφ қалыпты күшіне тең, ал Pctgφ0 немесе Sctgφu горизонталь күшін қабылдау үшін созылуды, тиісінше қысымды қабылдайтын және осы радиалды жүктеме онда + P r0 ctgφ0, тиісінше -S ru ctgφu қалыпты күшін тудыратын сақина қажет. Мұндай сақиналарды қабықтың жиектерінен басқа, меридиан қисығының иілісі болатын барлық жерлерге де орнату керек. Олар әрдайым мембраналық кернеу күйін бұзады.
Сур. 7
Айналу симметриялы қабықтардағы июден туындайтын кернеулер
Мембраналық теория формулаларында нақты қойылған есептің барлық шеткі шарттарын орындау үшін жеткілікті интегралдау тұрақтылары болмайды. Әсіресе айналу симметриялы қабықтарда интегралдау тұрақтыларын қолайлы таңдаумен қабық жиегі бойындағы εϑ = Nϑ/Et сақиналық бағыттағы созылу осы жерде онымен қатаң байланысқан басқа бір конструкциялық бөліктің сәйкес созылуына тең болуын қамтамасыз ету мүмкін емес. Бұл сондай-ақ меридиан қисықтығы, қабық қалыңдығы немесе бірлік ауданға түсетін жүктеме бір көлденең шеңбер бойымен секірмелі түрде өзгеретін қабықтарға да қатысты. Қабықтың қандай да бір жиегі бойында сақинамен қатайтылмаған, бірақ осы жерде қабыққа нормаль бағытында құраушысы бар күштермен жүктелген жағдайда да (мысалы, сақина алынып тасталды деп елестетілгендегі сур. 7-дағы P жүктемесі), ол мұндай жүктерді тек мембраналық күштер арқылы қабылдай алмайды. Мұндай жағдайларда қиюшы күш пен иілу моменттері (сур. 8) қабықтағы күштердің таралуында маңызды рөл атқарады, бұл статикалық есептеуде ескерілуі тиіс.
Сур. 8
Қабықшаны иілуге дәл есептеу, цилиндрлік қабықшаның ең қарапайым арнайы жағдайынан басқа, өте қиын міндет болып табылады. Жұқа қабырғалы қабықшалар үшін қатаң теориядан белгілі мына фактке сүйенетін қарапайым әрі өте пайдалы жуық теория құруға болады: иілу салдарынан туатын кернеулер жиегіне жақын салыстырмалы тар аймақпен шектеледі және жиектен қашықтық артқан сайын тез кемиді. Бұл дәл дифференциалдық теңдеудегі көптеген мүшелерді елемеуге мүмкіндік береді, сонда ол ықшамдалған түрге келеді.
Егер тек қана қызықты болатын шеткі аймақта κ орташа мәнмен алмастырылса, ал бұл дерлік әрқашан мүмкін болса, теңдеудің шешімі
Бір. 4 және 5
мұнда a1, b1, a2, b2 — интегралдау тұрақтылары. Шешім тек φ=φ0 шекарасының маңында қызықты болғандықтан, осы шекарадан бұрыштық арақашықтықты ω=φ0-φ немесе ω=φ-φ0 координата ретінде енгізу қолайлы, сонда жоғарыдағы шешімді түрлендіру арқылы екінші көрсетілген өрнек алынады. Мұнда тек екі интегралдау тұрақтысы A, B немесе C, ψ кездеседі, өйткені eκω факторын қамтитын және демек ω артқан сайын азаймайтын шешімнің екінші бөлігі талқылаудан шығарылуы мүмкін.
5 теңдеуінің негізінде қима күштері мен меридиан жанамасының κ бұрылуы үшін мына мәндер алынады:
Дөңгелек цилиндр пішінді резервуарларда майысудан туындайтын кернеулер
Биіктігі h цилиндрлік резервуар суға толтырылған болсын (сур. 9), онда x биіктігінде резервуар үстіндегі судың қысымы p=γ(h-x). Егер осы биіктікте екі горизонталь қима арқылы dx. қашықтықта резервуардан сақина кесіліп алынып, ол бір диаметр бойымен екі бөлікке бөлінсе, олардың біреуінің тепе-теңдік шарты сақинадағы мембраналық күшті Nφ=pa береді. Егер осы жердегі резервуар қабырғасының қалыңдығы t болса, сақинадағы салыстырмалы ұзару εφ=Nφ/Et болады, демек резервуар радиусының ұлғаюы (майысу)
Төменгі қырда x=0 болғандықтан,
Сур. 9
Екеуі де, әдетте, шеткі шарттарға сәйкес келмейді, өйткені резервуар түбімен байланысқа байланысты қабырғаның деформациясы бөгеледі. Бұл кезде цилиндр түбі мен қабырғасының түйіскен жерінде трансверсаль күштер Qx0 және моменттер Mx0 (сур. 11) пайда болады; олардың шамасын қабықтағы дәл есептелген мембраналық күштермен бірге түбінің рұқсат ететін осы деформацияны қабықтың жиегінде туындататындай етіп анықтау керек.
Сур. 10, 11, 12, тиісінше
11 суретінде оған әсер ететін күштері бар dx*a dφ қабықша элементі көрсетілген. Қабықшаға нормаль бағыттағы күштердің тепе-теңдік шарты береді
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
осыдан dx dφ-ге бөліп:
a Q’x + Nφ = p a.
Цилиндрге жүргізілген горизонталь жанамаға қатысты момент нөлге тең деген шарттан мынаны аламыз:
dM/dx = M’x = Qx
Осы екі теңдеуден көлденең күш Qx жойылғанда, мынандай нәтиже шығады
a M’’x + Nφ = p a.
Ес. 6
Бұл теңдеуде осы белгісіз қиюшы күштерді w иілуі арқылы өрнектеуге болады. Nφ үшін Nφ=Etw/a, екені бұрын табылған, ал момент меридианның w’’ қисықтығына пропорционал, яғни Mx=Kw’’, мұнда плиталардағы сияқты K=Et3/12(1-μ2) — қабықтың қатаңдығы, ол x-ке байланысты өзгермелі болуы мүмкін. Егер орташа күштер үшін осы өрнектер теңдеуге (6) енгізілсе, резервуарлар теориясының дифференциалдық теңдеуі алынады:
Қабырғасының қалыңдығы өзгермейтін резервуар үшін шешім мынадай:
Бір.7
мұнда λ4=3(1-μ2)/a2t2. Егер λh үлкен болса (мысалы, 3-ден артық), гиперболалық функциялардың орнына экспоненциалдық функцияларды енгізу ыңғайлырақ, сондықтан:
Бір.8
Сонда тәуелсіз түрде төменгі шеткі шарттардан A1, B1 тұрақтылары, ал жоғарғы шеткі шарттардан A2, B2 тұрақтылары анықталады, бұл кезде әдетте A2=B2=0_ алынады. (8) және (7) теңдеулерінің негізінде қиюшы күштер табылады, мұнда есеп кері бағытта жүргізіліп, барлық жерде (8) және (7) теңдеулері енгізіледі; мысалы, A2=B2=0_ үшін:
Резервуар қабырғалары плитаға қатаң бекітілгенде, ал резервуар түбі жеткілікті қалың болып, қатаң деп есептелгенде, A1, B1 тұрақтыларын x=0, w=0 және w’=0 шарттарынан анықтау керек, сонда:
Егер резервуардың түбі серпімді плита немесе қабық болса, онда түбі мен цилиндр қабырғасының арасындағы шеткі шеңбер бойымен өтетін Qx көлденең күштерін және Mx моменттерін статикалық анықталмаған жүйелер теориясының әдістерімен, екі бөлікте де Mx пен w’ бірдей мәнге ие болуы талабы негізінде анықтау керек.