Kuoriksi kutsutaan pintakantavia rakenteita, joiden keskipinta ei ole tasainen vaan selvästi kupera. Niiden staattinen käyttäytyminen poikkeaa huomattavasti levyn käyttäytymisestä. Kun niiden muoto on sopiva, niiden jännitys on huomattavasti pienempi, jäykkyys vastaavasti suurempi ja laskenta useimmissa tapauksissa yksinkertaisempi.
Kunkin kuoren jännitystila voidaan jakaa kahteen osaan: kalvojännitykseen ja taivutukseen. Kalvojännitykset voidaan, samoin kuin levyyn sen tasossa kohdistuvien kuormitusten jännitykset, esittää tangentiaalitason leikkausvoimien avulla – nämä ovat esimerkiksi leikkauksessa x=const. normaalivoima _Nx=_σx*t ja leikkausvoima _Nxy=_τxy*t, missä t on kuoren paksuus. Taivutuksesta aiheutuvat jännitykset ovat samat kuin levyissä, ja ne voidaan esittää taivutusmomenteilla Mx, vääntömomenteilla Mxy ja leikkausvoimilla Qx.
Kuorien tärkeät ominaisuudet perustuvat siihen, että taivutuksesta aiheutuvilla jännityksillä ei yleensä ole kalvojännitysten suuruutta eikä merkitystä, joten ne voidaan usein kokonaan jättää huomiotta. Tällöin kaikki jännitykset jakautuvat tasaisesti kuoren paksuuden yli ja vaikuttavat tangentiaalisesti keskitasoon. Näihin oletuksiin perustuvat laskelmat kuuluvat kuorien kalvoteorian piiriin.
Pyörähdyssymmetristen kuorien membraaniteoria pyörähdyssymmetrisessä kuormituksessa
Yleiset kaavat
Koordinaattilinjoina käytetään säiliön keskipinnassa meridiaaneja ja rinnakkaisympyröitä, joten koordinaatit ovat: azimuutti ϑ (“maantieteellinen pituus”) ja meridiaaniin piirretyn tangentin kaltevuus φ suhteessa tasoon, joka on kohtisuorassa symmetria-akseliin nähden (kuv. 1a). Tämän mukaisesti leikkausvoimat ovat: normaalivoima Nφ meridiaanin suunnassa ja normaalivoima Nϑ renkaassa (kuv. 1b). Leikkausvoimat Nφϑ eivät esiinny rotaatiosymmetrisessä jännityksessä. Yksikköpinta-alan kuormitus merkitään seuraavasti (kuv. 1b): Y tangentin suuntaisesti meridiaaniin nähden, positiivisena siinä suunnassa, jossa φ kasvaa, Z kohtisuorasti säiliöön nähden, positiivisena kohti symmetria-akselia.
Kuva 1
Kuva. 2
Olkoon meridiaanin kaarevuussäde r1. Se on kulman φ funktio, joten yhtälöllä _r1=r1(_φ) määräytyy meridiaanin muoto. Tätä voidaan pitää meridiaanin yhtälönä, ja se kuuluu esimerkiksi:
ympyrälle r1=a=const.
parabelille r1=a/cos3__φ
ellipsille r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Normaalivoiman N__φ laskemiseksi meridiaanin suunnassa on asetettava tasapainoehto kuoren osalle, joka sijaitsee rinnakkaispiirin φ yläpuolella (kuva 2). Kuormien Y ja Z resultanttivoima R, jotka vaikuttavat tähän osaan, on symmetrian vuoksi pystysuuntainen. Sen suuruus saadaan integroimalla kuoren pinnan yli φ’=0:stä φ’=φ:ään. Kuorielementin pinta-ala on dF=r1d__φ’*rd__ϑ, joten kuormituksen pystysuuntainen komponentti on (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Koko rengasmaiselle kuoren osalle, joka sijaitsee piirien φ’ ja φ’+dφ’ välillä, ulkoisen kuormituksen resultantti on:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
josta integroimalla φ’:n suhteen kuoren osalle, joka sijaitsee rinnakkaisen ympyrän φ’=φ yläpuolella, saadaan:
Yht. 1
Tämän kuormituksen ottavat vastaan meridiaanin suuntaiset normaalivoimat, jotka vaikuttavat havaitun ympyrän kehällä; näiden voimien resultantin pystysuora komponentti on 2__πr * N__φ sin__φ, joten yhtälöistä saadaan etsitty normaalivoima
Yht. 2
Jos kuori on yläosasta leikattu ympyrää φ=φ0 pitkin (esim. kupolin valaistusaukko), integraalin alaraja on luonnollisesti φ0, ei nolla. Jos tällä tavoin syntyneen kuoren reunaan vaikuttaa myös kuorma R0, sekin on lisättävä resultanttivoimaan R (kuva 3).
Kuv. 3
Normaalivoiman N__ϑ määrittämiseksi on asetettava tasapainoehto kuoren elementille, joka on kohtisuorassa tangentiaalista tasoa vastaan (kuva 4). Ulkoisen kuormituksen resultanttivoima tähän suuntaan on Z r1 d__φ r d__ϑ. Voimat N__φ*r d__ϑ, jotka sijaitsevat meridiaanitasossa, muodostavat keskenään pienen kulman d__φ, joten niiden resultanttivoima kuoren normaalin suuntaan on N__φ r d__ϑ*dφ. Samoin voimat Nϑ r1 dφ, jotka sijaitsevat vaakaympyrän tasossa ja muodostavat keskenään kulman dϑ, saavat resultanttivoiman Nϑ r1 dφ*dϑ, joka sekin sijaitsee vaakaympyrän tasossa ja siksi muodostaa kuoren normaalin kanssa kulman 0,5_π-φ_, niin että tasapainoehtoon tulee vain niiden komponentti Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. Tasapainoehto on siis
tai, kun se jaetaan r r1 dϑ dφ:llä:
Yksi.3
Tässä r2=r/sinφ merkitsee kuoren kaarevuuden toista pääsäteittäistä kaarevuussädettä.
Kuv. 4
Pyöreä kupoli
Kun meridiaanin muoto on analyyttisesti annettu yhtälöllä r1=r1(φ) ja kun kuormille Y(φ) ja Z(φ) on annettu analyyttiset lausekkeet, kuoren leikkausvoimat voidaan aina määrittää integroimalla suljetussa muodossa tai numeerisesti käyttämällä Simpson-sääntöä. Ympyräkupolille, jonka halkaisija on a, esitetään seuraavassa leikkausvoimat joissakin kuormitustapauksissa:
Viimeinen kaava, joka antaa φ=0 tapauksessa äärettömän suuret leikkausvoimat, pätee vasta jonkin matkan päässä voiman vaikutuspisteestä. Voiman vaikutusalueen välittömässä läheisyydessä kuormitus välittyy pääasiassa taivutuksen kautta, vaikka voima olisi jakautunutkin ympyräpinnalle, jonka halkaisija on rajallinen mutta pieni.
Yläosastaan avoimille kuorirakenteille tarkoitetut muodot voidaan johtaa edellisistä lisäämällä todelliseen kuormitukseen fiktiivinen kuorma P huipulle, jonka suuruus määritetään siten, että kuoren yläreunaan vaikuttava kokonaisnormaalivoima meridiaanin suunnassa φ=φ0 on Nφ=0, tai se on yhtä suuri kuin jokin ulkoisten voimien määräämä arvo, jonka kuori tässä ottaa vastaan.
Kartiokuori
Kuva 5
Kartiokuoren tapauksessa meridiaanin kaltevuutta φ ei voida käyttää koordinaattina, koska sillä on kaikkialla sama arvo. Sen sijaan otetaan käyttöön etäisyys s kupolin kärjestä mitattuna pitkin generatriisia (kuv. 5). Meridiaanin suuntaista normaalivoimaa merkitään sen mukaisesti Ns. Tarvittavat muodot voidaan saada edellä mainituista 1, kun suoritetaan raja-arvosiirtymä. Yhtälöstä (2) saadaan näin
ja yhtälöstä (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Seuraavat kaavat pätevät tärkeimmissä kuormitustapauksissa:
Graafinen menettely mielivaltaisen meridiaanimuodon tapauksessa
Kuva. 6
Kun meridiaanikäyrää ei ole annettu analyyttisenä lausekkeena vaan esimerkiksi graafisesti, kaarevuussäteen määrittäminen on liian vaikeaa ja liian epätarkkaa. Siinä tapauksessa on tarkoituksenmukaisempaa käyttää graafista menetelmää (kuva 6).
Kuori jaetaan suuremmalla määrällä tasoja φ=const., lasketaan tasojen väliin jäävien rengasmaisten vyöhykkeiden painot Δ_R_ ja ne on parasta jakaa heti luvulla 2_π_. Nämä voimat ΔR/2π sijoitetaan voimapiirtoon (kuv. 6b). Jos sitten esimerkiksi jakopisteen 7 kautta vedetään suora, joka on yhdensuuntainen meridiaanin tangentin kanssa meridiaanin pisteessä 7, voimapiirron ylimmän pisteen kautta kulkeva vaakasuora leikkaa sillä kohdin pituudelta R1/2π sinφ7, josta yhtälön (2) perusteella jakamalla vastaavalla r:llä saadaan vastaava normaalivoima meridiaanin suunnassa.
Sormusten voimien määrittämisessä käytetään kuoren yhden elementin vaakasuuntaisten voimien tasapainoehtoa. Jos vaikuttavat vain pystysuuntaiset kuormat, tämä ehto on seuraava (kuv. 4):
Kun tässä dφ korvataan äärellisellä erotuksella Δφ, joka vastaa kuoren valittua jakoa, ja kun r1 dφ:n sijasta otetaan mukaan meridiaanielementin pituus Δs, saadaan tästä
Oikealla olevassa suluissa on poikkileikkaus vaakasuoralla suoralla voimapiirroksessa. Koko oikea puoli esittää siis tämän suoran jakopisteiden välisiä osia. Jotta ne voitaisiin lukea riittävän tarkasti, voimapiirros on piirrettävä huolellisesti ja riittävän suurena mittakaavana.
Vedetty ja puristettu rengas
Jokainen rotaatiosymmetrinen kuori rajoittuu yhteen tai kahteen vaakasuuntaiseen ympyrään (kuva 7). Näillä reunoilla se voi periaatteessa ottaa vastaan vain sellaisia kuormia ja tukireaktioita, joiden suunta on meridiaanin tangentti. Jos ulkoisilla voimilla on jokin muu suunta, kuten esimerkiksi kuorma P rakenteen yläosasta tai kuvan 97 esitetyn säiliön pohjan reaktio S, nämä voimat on, kuten kuvassa on esitetty, hajotettava komponentteihin vaakasuoran ympyrän ja meridiaanin tangentin suuntaan. Komponentti P/sinφ0 tai S/sinφu on yhtä suuri kuin meridiaanin suunnassa vaikuttava normaalivoima Nφ, kun taas vaakavoiman Pctgφ0 tai Sctgφu vastaanottamiseen tarvitaan rengas, joka ottaa vastaan vedon, eli puristuksen, ja jossa tämä radiaalinen kuormitus aiheuttaa normaalivoiman + P r0 ctgφ0, eli -S ru ctgφu. Tällaiset renkaat on kuoren reunojen lisäksi asennettava myös kaikkiin niihin kohtiin, joissa meridiaanikäyrä tekee taitteen. Ne aiheuttavat aina häiriön kalvojännitystilassa.
Kuv. 7
Taivutuksesta johtuvat jännitykset rotaatiosymmetrisissä kuorissa
Kalvoteorian muodoissa ei ole riittävästi integrointivakioita, jotta kaikki varsinaiseen tehtävään kuuluvat reunaehdot voitaisiin täyttää. Erityisesti pyörähdyssymmetrisissä kuorissa ei ole mahdollista saavuttaa sopivalla integrointivakioiden valinnalla sitä, että venymä εϑ = Nϑ/Et kuoren reunalla renkaan suuntaan olisi sama kuin jonkin muun rakenneosan vastaava venymä, joka on siinä kohdassa jäykästi siihen liitetty. Sama pätee myös kuoriin, joissa yhden vaakasuuntaisen ympyrän kohdalla meridiaanin kaarevuus, kuoren paksuus tai pinta-alayksikköä kohti kohdistuva kuormitus muuttuu äkillisesti. Myös silloin, kun kuoren reunaa ei ole jäykistetty renkaalla mutta siihen kohtaan kohdistuu voimia, joilla on komponentti kuoren normaaliin suuntaan (esim. kuormitus P kuv. 7, kun oletetaan, että rengas on poistettu), kuori ei voi vastaanottaa tällaisia kuormia pelkästään kalvojännitysten avulla. Tällaisissa tapauksissa leikkausvoimalla ja taivutusmomenteilla (kuv. 8) on olennainen rooli kuoren voimien jakautumisessa, mikä on otettava huomioon staattisessa laskennassa.
Kuva 8
Kuoren tarkka taivutuslaskenta on, yksinkertaisinta erikoistapausta, sylinterikuorta, lukuun ottamatta, hyvin vaikea tehtävä. Ohutseinäisille kuorille voidaan laatia yksinkertainen ja erittäin käyttökelpoinen likimääräinen teoria, joka perustuu tiukan teorian tuntemaan tosiasiaan, että taivutusjännitykset rajoittuvat suhteellisen kapealle vyöhykkeelle reunan läheisyydessä ja pienenevät nopeasti etäisyyden reunan kasvaessa. Tämä mahdollistaa sen, että suuri määrä täsmällisen differentiaaliyhtälön termejä voidaan jättää huomiotta, jolloin se saa yksinkertaistetun muodon.
Jos ainoastaan kiinnostavalla reuna-alueella κ korvataan keskiarvolla, mikä on lähes aina mahdollista, yhtälön ratkaisu on
Yht. 4 ja 5
jossa a1, b1, a2, b2 ovat integrointivakioita. Koska ratkaisu on kiinnostava vain lähellä reunaa φ=φ0, on tarkoituksenmukaista ottaa tämän reunan kulmaetäisyys ω=φ0-φ tai ω=φ-φ0 koordinaatiksi, jolloin edellä mainitun ratkaisun muunnoksesta saadaan toinen esitetty lauseke. Tässä esiintyy vain kaksi integrointivakiota A, B tai C, ψ, koska ratkaisun toinen osa, joka sisältää tekijän eκω ja joka ei siten pienene ω:n kasvaessa, voidaan jättää tarkastelun ulkopuolelle.
Yhtälön 5 perusteella saadaan seuraavat arvot leikkausvoimille ja meridiaanin tangentin kiertymälle κ:
Taivutusjännitykset pyöreän lieriön muotoisissa säiliöissä
Olkoon korkeudeltaan h oleva sylinterimäinen säiliö täynnä vettä (kuva 9); tällöin korkeudella x säiliön pohjasta veden paine on p=γ(h-x). Jos tällä korkeudella kahden toisistaan etäisyydellä dx. olevan vaakasuoran leikkauksen avulla leikataan säiliöstä rengas ja tämä jaetaan halkaisijaa pitkin kahteen osaan, yhden osan tasapainoehto antaa renkaassa kalvojännityksen Nφ=pa. Jos säiliön paksuus tässä kohdassa on t, renkaan venymä on εφ=Nφ/Et ja siten säiliön säteen kasvu (taipuma) on
Alareunalla x=0 on siten
Kuva 9
Kumpikaan ei yleensä ole reunaehtojen mukainen, koska seinämän muodonmuutos estyy säiliön pohjaan liittymisen vuoksi. Tällöin sylinterin pohjan ja seinämän liitokseen syntyy poikittaisvoimia Qx0 ja momentteja Mx0 (kuva 11), joiden suuruus on määritettävä niin, että ne yhdessä juuri lasketujen kalvojännitysten kanssa aiheuttavat tämän muodonmuutoksen kuoren reunalla, jonka pohja sallii.
Kuv. 10, 11, 12, vastaavasti
Kuvassa 11 on esitetty kuoriosaelementti dx*a dφ siihen vaikuttavine voimineen. Kuoreen normaalin suunnassa vaikuttavien voimien tasapainoehto antaa
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
josta jakamalla dx dφ:llä:
a Q’x + Nφ = p a.
Momentin ollessa nolla sylinterin vaakasuuntaisen tangenttisuoran ympäri saadaan:
dM/dx = M’x = Qx
Poistamalla poikittaisvoiman Qx näistä kahdesta yhtälöstä saadaan
a M’’x + Nφ = p a.
Lause 6
Tässä yhtälössä nämä tuntemattomat leikkausvoimat voidaan ilmaista taipuman w avulla. Suureelle Nφ on jo saatu Nφ=Etw/a, ja momentti on verrannollinen meridiaanin kaarevuuteen w’’, eli Mx=Kw’’, jolloin, kuten levyissäkin, K=Et3/12(1-μ2) on kuoren jäykkyys, joka voi vaihdella x:n mukaan. Kun nämä keskivoimien lausekkeet sijoitetaan yhtälöön (6), saadaan säiliöteorian differentiaaliyhtälö:
Säiliölle, jonka seinämän paksuus on muuttumaton, ratkaisu kuuluu:
Yksi.7
missä λ4=3(1-μ2)/a2t2. Jos λh on suuri (sanotaan, yli 3), on kätevämpää ottaa hyperbolisten funktioiden sijasta käyttöön eksponenttifunktiot, joten:
Yksi.8
Silloin voidaan toisistaan riippumatta määrittää vakiot A1, B1 alareunan reunaehdoista ja vakiot A2, B2 yläreunan reunaehdoista, jolloin tavallisesti saadaan A2=B2=0. Yhtälön (8) ja (7) perusteella saadaan leikkausvoimat, kun laskenta suoritetaan käänteisessä järjestyksessä ja kaikkialla otetaan käyttöön yhtälö (8) ja (7); niinpä esim. tapauksessa A2=B2=0:
Kun säiliön seinämät on jäykästi kiinnitetty levyyn, säiliön pohjassa, joka on riittävän paksu, jotta sitä voidaan pitää jäykkänä, vakiot A1, B1 on määrättävä ehdoista, että x=0, w=0 ja w’=0, jolloin saadaan:
Jos säiliön pohja on elastinen levy tai kuori, poikittaisvoimat Qx ja momentit Mx pohjan ja sylinterin seinämän välisen reunaympyrän pituudelta on määritettävä staattisesti määräämättömien järjestelmien teorian menetelmillä sen vaatimuksen perusteella, että Mx ja w’ ovat molemmissa osissa samat.