Ljuskama disebut panahan permukaan, anu permukaan tengahna henteu datar tapi écés ngembung. Paripolah statisna jauh béda ti paripolah piring. Lamun bentukna pas, teganganna jauh leuwih leutik, kakakuanana leuwih gedé sasuai, sarta itung-itungan dina kalolobaan kasus leuwih basajan.
Tegangan unggal cangkang bisa diuraikeun jadi dua bagian: tegangan membran jeung ngabengkok. Tegangan membran, sarupa jeung tegangan dina plat anu dibebankeun dina bidangna, bisa diéksprésikeun ngaliwatan gaya pangirisan dina bidang tangensial – contona dina panampang x=const. gaya normal _Nx=_σx*t jeung gaya geser _Nxy=_τxy*t, di mana t nyaéta kandelna cangkang. Tegangan akibat ngabengkok sarua jeung dina plat sarta bisa digambarkeun ku momén ngabengkok Mx, momén torsi Mxy jeung gaya geser Qx.
Sipat-sipat penting cangkang dumasar kana kanyataan yén biasana tegangan akibat ngabengkok teu boga gedéna jeung harti saperti tegangan membran, sahingga mindeng bisa diabaikan sakabéhna. Dina kaayaan kitu, sakabéh tegangan kabagi rata sapanjang kandel cangkang jeung meta sacara tangensial kana beungeut tengah. Itungan anu dumasar kana anggapan ieu asup kana kerangka téori membran cangkang.
Téori mémbran tina cangkang simétris rotasi dina beban simétris rotasi
Rumus umum
Pikeun garis koordinat digunakeun méridian jeung bunderan sajajar dina permukaan tengah cangkang, jadi koordinatna: azimut ϑ (“bujur geografis”) jeung sudut φ tina tangén ka méridian kana bidang anu jejeg kana sumbu simétri (gbr. 1a). Ku kituna gaya potongan nyaéta: gaya normal Nφ dina arah méridian jeung gaya normal Nϑ dina arah cincin (gbr. 1b). Gaya geser Nφϑ teu muncul dina tegangan simétris rotasi. Beban per satuan luas ditepikeun ku cara kieu (gbr. 1b): Y tangensial kana méridian, positif dina arah ningkatna φ, Z normal kana cangkang, positif ka arah sumbu simétri.
Gbr. 1
Gbr. 2
Misalkeun radius kelengkungan meridian r1. Éta mangrupa fungsi sudut φ ku kituna ku persamaan _r1=r1(_φ) wangun meridian ditangtukeun. Ieu bisa dianggap minangka persamaan meridian sarta nyebutkeun, misalna.
pikeun bunderan r1=a=const.
pikeun parabola r1=a/cos3__φ
pikeun elips r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Pikeun ngitung gaya normal N__φ dina arah meridian kudu dipasrahkeun sarat kasaimbangan pikeun bagian cangkang anu ayana di luhur bunderan paralel φ (gbr. 2). Résultan R tina beban Y jeung Z anu mangaruhan bagian ieu sipatna vertikal, lantaran simétri. Gedéna meunang ku ngaintegralkeun kana permukaan cangkang ti φ’=0 nepi ka φ’=φ. Luas unsur cangkang nyaéta dF=r1d__φ’*rd__ϑ, ku kituna komponén vertikal tina beban (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Pikeun sakabéh bagian cingcin cangkang anu aya di antara bunderan φ’ jeung φ’+dφ’, résultan beban luar nyaéta:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
ti dinya ku ngaintegrasikeun dumasar kana φ’ pikeun bagian cangkang anu aya di luhur bunderan paralel φ’=φ dihontal:
Jén. 1
Beban ieu ditampung ku gaya normal dina arah méridian, anu gawé sapanjang bunderan anu ditingali; komponén vertikal tina resultan gaya-gaya ieu nyaéta 2__πr * N__φ sin__φ, sahingga ku nyaruakeun ti dieu meunang gaya normal anu dipikahoyong
Pang. 2
Lamun kulit di bagian luhur dipotong sapanjang bunderan φ=φ0 (misalna bukaan pikeun cahaya dina kubah), wates handap integral, tangtu waé, nyaéta φ0, lain nol. Lamun dina tepi kulit anu kabentuk ku cara kitu ogé nimpuh beban R0, éta ogé kudu ditambahkeun kana hasilna R (gbr. 3).
Gmbr. 3
Pikeun nangtukeun gaya normal N__ϑ perlu ditetepkeun syarat kasaimbangan unsur cangkang anu jejeg kana bidang tangensial (sl. 4). Resultan beban luar dina arah ieu nyaéta Z r1 d__φ r d__ϑ. Gaya N__φ*r d__ϑ anu perenahna dina bidang meridional ngabentuk sudut leutik d__φ antara silih, ku kituna resultanna dina arah normal kana cangkang nyaéta N__φ r d__ϑ*dφ. Kitu deui gaya Nϑ r1 dφ anu perenahna dina bidang bunderan horisontal jeung antara silih ngabentuk sudut dϑ boga resultan Nϑ r1 dφ*dϑ anu ogé aya dina bidang bunderan horisontal, sahingga jeung normal kana cangkang ngabentuk sudut 0,5_π-φ_, jadi dina syarat kasaimbangan ngan komponénna Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ nu diasupkeun. Ku kituna syarat kasaimbangan téh nyebutkeun
atawa, lamun dipibagi ku r r1 dϑ dφ:
Hiji.3
Di dieu ku r2=r/sinφ ditandaan radius utama kadua tina kelengkungan cangkang.
Gbr. 4
Kubah buleud
Nalika wangun meridian sacara analitik dibéré ku persamaan r1=r1(φ) jeung nalika pikeun beban Y(φ) jeung Z(φ) geus dibéré éksprési analitik, gaya potong dina cangkang salawasna bisa ditangtukeun ku ngaintegrasikeun dina wangun katutup atawa sacara numerik, maké aturan Simpson-. Pikeun kubah buleud kalayan diaméter a, dina bagian satuluyna dipidangkeun gaya potong pikeun sababaraha kasus bebanan:
Rumusan pamungkas, anu pikeun φ=0 méré gaya geser anu kacida gedéna, ngan lumaku dina jarak tangtu ti titik nimpuh gaya. Di sabudeureun langsung tempat gaya nimpuh, sanajan lamun éta disebarkeun dina permukaan bunderan kalayan diaméter nu tangtu tapi leutik, beban utamana dipindahkeun ku cara meliuk.
Bentuk pikeun cangkang anu kabuka di bagian luhur bisa diturunkeun tina nu saméméhna, lamun dina beban nyata ditambahan beban fiktif P di pucukna, anu gedéna ditangtukeun ku cara kieu: lamun gaya normal total dina arah meridian anu nimpah kana sisi luhur cangkang φ=φ0 nyaeta Nφ=0, atawa sarua jeung sababaraha nilai anu ditangtukeun ku gaya luar anu ditampa cangkang di dieu.
Cangkang kerucut
Gbr. 5
Dina cangkang kerucut, kemiringan méridian φ henteu bisa dipaké minangka koordinat, sabab di sadaya titik miboga nilai anu sarua. Gantina éta diwanohkeun jarak s ti pucuk kubah nu diukur sapanjang garis pembangkit (gbr. 5). Gaya normal dina arah méridian saluyu jeung éta dilambangkeun ku Ns. Bentuk-bentuk nu diperlukeun bisa dihontal tina anu dipasihkeun dina 1 nalika dilakukeun wates perpindahan. Tina persamaan (2) ku cara éta dihontal
tina persamaan (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Pikeun kasus-kasus beban anu pang pentingna, dipaké rumus-rumus ieu:
Prosedur grafis pikeun bentuk méridian sakahayang
Gbr. 6
Lamun kurva meridian henteu dibéré ku éksprési analitis, tapi misalna sacara grafis, nangtukeun radius kelengkungan jadi kacida héséna jeung kacida teu taliti. Dina hal éta leuwih merenah ngagunakeun padika grafis (gbr. 6).
Cangkang dibagi ku jumlah bidang φ=const. anu leuwih loba, beurat Δ_R_ zona cincin anu perenahna di antara bidang-bidang éta diitung, sarta panghadéna langsung dibagi ku 2_π_. Gaya-gaya ieu ΔR/2π diasupkeun kana plan gaya (gbr. 6b). Lamun saterusna, contona, ngaliwatan titik bagi 7 ditarik garis sajajar jeung tangen kana méridian dina titik méridian 7, garis horizontal ngaliwatan titik luhur plan gaya bakal motong dina éta sapanjang R1/2π sinφ7 anu dumasar kana persamaan (2) ku ngabagi ku r nu saluyu meunang gaya normal nu luyu dina arah méridian.
Pikeun nangtukeun gaya dina cingcin dipaké sarat kasaimbangan gaya horizontal dina hiji unsur cangkang. Lamun ngan aya beban vertikal, sarat ieu nyebutkeun (sl. 4):
Lamun di dieu dφ diganti ku bédana ahir Δφ, anu saluyu jeung pembagian cangkang anu diadopsi, sarta lamun tinimbang r1 dφ diasupkeun panjang Δs unsur méridiana, ti dieu dimeunangkeun
Dina kurung di sisi katuhu aya potongan dina garis horizontal dina gambar gaya. Ku kituna sakabéhna sisi katuhu ngagambarkeun potongan antara titik-titik bagi dina garis ieu. Supaya bisa dibaca kalayan cukup taliti, gambar gaya kudu digambar kalayan ati-ati jeung dina skala anu cukup gedé.
Cincin tarikan jeung cincin tekenan
Unggal cangkang simétris rotasi diwatesan ku hiji atawa dua bunderan horisontal (gbr. 7). Dina tepi ieu sacara prinsipna ngan bisa nampa beban jeung réaksi tumpuan anu arahna sapanjang garis singgung kana méridian. Lamun gaya luar miboga arah séjén, misalna beban P tina bagian luhur konstruksi atawa réaksi S tina dasar waduk anu dipidangkeun dina gbr. 97, gaya-gaya ieu kudu, sakumaha dipidangkeun dina gambar, diuraikeun jadi komponén dina arah bunderan horisontal jeung garis singgung kana méridian. Komponén P/sinφ0 atawa S/sinφu sarua jeung gaya normal dina arah méridian Nφ anu meta di dinya, sedengkeun pikeun nampa gaya horisontal Pctgφ0 atawa Sctgφu diperlukeun cingcin anu nampa tarik, atawa tekanan, sarta di mana beban radial ieu nyababkeun gaya normal + P r0 ctgφ0, atawa -S ru ctgφu. Cingcin saperti kitu, salian ti di tepi cangkang, kudu dipasang ogé di sakumna tempat anu kurva méridian boga patahan. Ieu sok nyababkeun kagangguanana kaayaan tegangan membran.
Gbr. 7
Tegangan alatan ngabengkok dina cangkang simétri rotasi
Bentuk-bentuk tiori mémbran henteu ngamuat jumlah konstanta integrasi nu cukup sangkan bisa nyumponan sakabéh kaayaan wates anu sabenerna saluyu jeung tugas anu ditangtukeun. Hususna dina cangkang simétris rotasi, teu mungkin ku pilihan konstanta integrasi nu merenah pikeun ngahontal supaya dilatasi εϑ = Nϑ/Et dina arah cingcin sapanjang tepi cangkang sarua jeung dilatasi anu saluyu tina bagian konstruktif séjén nu dina tempat éta dihijikeun pageuh jeung éta. Hal nu sarua ogé lumaku pikeun cangkang nu sapanjang hiji bunderan horizontal kurvatur méridian, kandelna cangkang, atawa beban per hijian luas robah sacara ngadadak. Malah nalika cangkang sapanjang hiji tepi henteu dikokohkeun ku cingcin, tapi di tempat ieu dibéré beban ku gaya nu boga komponén dina arah normal kana cangkang (misalna beban P dina gbr. 7 lamun diasumsikeun cingcinna dicabut), éta henteu bisa narima beban saperti kitu ngan liwat gaya mémbran. Dina kasus-kasus saperti kitu, gaya geser jeung momen ngabengkok (gbr. 8) maénkeun peran penting dina sebaran gaya dina cangkang, anu dina itungan statik kudu diperhatikeun.
Gbr. 8
Itungan anu tepat pikeun cangkang dina pembengkokan, iwal dina kasus husus pangbasajanna nyaéta cangkang silinder, mangrupa tugas anu kacida héséna. Pikeun cangkang berdinding ipis bisa disusun hiji téori pendekatan anu basajan tur pisan gunana, dumasar kana kanyataan anu dipikawanoh tina téori ketat, yén tegangan alatan pembengkokan diwatesan kana zona sempit di gigir sisi jeung gancang nurun sabanding jeung nambahanana jarak tina sisi. Ieu ngamungkinkeun loba pisan suku dina persamaan diferensial anu pas diabaikan, sahingga éta meunang wangun anu disederhanakeun.
Lamun di jero zona wates anu ngan éta nu dipikaresep κ diganti ku nilai rata-rata, sarta ieu ampir sok mungkin, solusi persamaanna nyaéta
Pers. 4 jeung 5
di mana a1, b1, a2, b2 mangrupa konstanta integrasi. Ku sabab solusi ieu pikaresepeun ngan di deukeut tepi φ=φ0, hadé lamun jarak sudut ω=φ0-φ atawa ω=φ-φ0 ti tepi ieu dijadikeun koordinat, tuluy ku transformasi solusi di luhur dipikagaduh éksprési kadua anu disebatkeun. Di dieu ngan muncul dua konstanta integrasi A, B atawa C, ψ, sabab bagian kadua tina solusi anu ngandung faktor eκω, jeung ku kituna ku nambahan ω henteu turun, bisa disingkirkeun tina pertimbangan.
Dumasar kana persamaan 5 dipikagaduh nilai-nilai ieu pikeun gaya panampang jeung puteran κ tina tangent meridian:
Tegangan alatan pabengkokan dina bak wangun silinder bunder
Hayu urang anggap hiji reservoir silindris jangkung h dieusian ku cai (sl. 9), tuluy dina jangkung x di luhur dua reservoir tekanan cai nyaéta p=γ(h-x). Lamun dina jangkung ieu, tina dua potongan horisontal nu jarakna dx. dipotong hiji cingcin tina reservoir ieu sarta dibagi sapanjang hiji diaméter jadi dua bagian, syarat kasaimbangan salah sahijina méré gaya mémbran dina cingcin Nφ=pa. Lamun kandel reservoir dina tempat ieu t, dilatasi dina cingcin nyaéta εφ=Nφ/Et sarta ku kituna nambahan radius reservoir (lendutan) nyaéta
Dina sisi handap x=0 ku kituna
Gbr. 9
Teu salah sahiji ogé biasana saluyu jeung kaayaan wates, sabab deformasi témbok dicegah ku hubungan jeung dasar bak. Dina éta tempat, dina sambungan antara dasar jeung témbok silinder muncul gaya transversal Qx0 jeung momen Mx0 (gbr. 11), anu gedéna kudu ditangtukeun sahingga babarengan jeung gaya mémbran anu kakara diitung dina cangkang nyababkeun deformasi ieu di sisi cangkang anu diidinan ku dasar.
Gbr. 10, 11, 12, masing-masing
Dina sl. 11 dipidangkeun unsur cangkang dx*a dφ jeung gaya-gaya anu nimpah kana éta. Sarat kasaimbangan gaya dina arah normal kana cangkang méré
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
sanggeusna ku ngabagi ku dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Tina sarat yén momen sabudeureun tangen horisontal kana silinder sarua jeung nol, dimeunangkeun:
dM/dx = M’x = Qx
Ku ngaleungitkeun gaya transversal Qx tina dua persamaan ieu, hasilna nyaéta
a M’’x + Nφ = p a.
Ekn. 6
Dina persamaan ieu gaya-gaya pangirisan anu teu dipikanyaho bisa diéksprésikeun ngaliwatan lendutan w. Pikeun Nφ geus kapanggih Nφ=Etw/a, jeung momén saimbang jeung kelengkungan méridian w’’, nyaéta Mx=Kw’’, sedengkeun, saperti dina plat, K=Et3/12(1-μ2) mangrupa kekakuan cangkang, anu bisa robah kalayan x. Lamun éksprési pikeun gaya rata-rata ieu diasupkeun kana persamaan (6), dipikolehi persamaan diferensial téori waduk:
Pikeun tank anu kandel témbokna teu robah, solusi-na nyaéta:
Hiji.7
dimana λ4=3(1-μ2)/a2t2. Lamun λh gedé (misalna, leuwih ti 3), leuwih merenah pikeun ngawanohkeun fungsi éksponénsial tibatan fungsi hiperbolik, mangka:
Hiji.8
Terus konstanta A1, B1 bisa ditangtukeun sacara mandiri hiji jeung nu séjén tina kaayaan wates di sisi handap, sedengkeun konstanta A2, B2 tina kaayaan wates di sisi luhur, kalawan biasana meunang A2=B2=0. Dumasar kana persamaan (8) jeung (7) dihontal gaya-gaya potong, lamun itungan dilaksanakeun sabalikna sarta di mana-mana diasupkeun persamaan (8) jeung (7); ku kituna, contona pikeun A2=B2=0:
Lamun témbok tank dipacek pageuh kana plat, dina dasar tank anu cukup kandel nepi ka bisa dianggap kaku, konstanta A1, B1 kudu ditangtukeun tina sarat yén x=0, w=0 jeung w’=0 sahingga dicandak:
Lamun dasar waduk mangrupa plat élastis atawa cangkang, gaya transversal Qx jeung momen Mx sapanjang bunderan tepi antara dasar jeung témbok silinder kudu ditangtukeun ku métode tiori sistem statis teu tangtu dumasar kana sarat yén Mx jeung w’ pikeun duanana bagian kudu miboga nilai anu sarua.