Lupine so površinski nosilci, katerih srednja površina ni ravna, temveč je opazno izbočena. Njihovo statično obnašanje precej odstopa od obnašanja plošče. Kadar imajo primeren obliko, je njihova obremenitev precej manjša, njihova togost pa ustrezno večja, izračun pa v večini primerov enostavnejši.
Obremenitev vsake lupine lahko razdelimo na dva dela: membransko obremenitev in upogibanje. Membranske napetosti je mogoče podobno kot napetosti pri plošči, obremenjeni v svoji ravnini, izraziti s prečnimi silami v tangencialni ravnini – to so npr. v prerezu x=const. normalna sila _Nx=_σx*t in strižna sila _Nxy=_τxy*t, kjer je t debelina lupine. Napetosti zaradi upogibanja so enake kot pri ploščah in jih lahko predstavimo z upogibnimi momenti Mx, torzijskimi momenti Mxy in strižnimi silami Qx.
Bistvene lastnosti lupin temeljijo na dejstvu, da praviloma napetosti zaradi upogibanja nimajo niti velikosti niti pomena membranskih napetosti, tako da jih je pogosto mogoče popolnoma zanemariti. V tem primeru so vse napetosti enakomerno porazdeljene po debelini lupine in delujejo tangencialno na srednjo površino. Izračuni, ki temeljijo na teh predpostavkah, sodijo v okvir membranske teorije lupin.
Membranska teorija rotacijsko simetričnih lupin pri rotacijsko simetrični obtežitvi
Splošni obrazci
Za koordinatne črte se sprejmejo meridiani in vzporedniki na srednji ploskvi lupine, zato so koordinate: azimut ϑ (“geografska dolžina”) in naklon φ tangente na meridian glede na ravnino, pravokotno na os simetrije (sl. 1a). Zato so presečne sile: normalna sila Nφ v smeri meridiana in normalna sila Nϑ v obroču (sl. 1b). Strižne sile Nφϑ se pri rotacijsko simetričnem naprezanju ne pojavljajo. Obtežba na enoto površine je označena na naslednji način (sl. 1b): Y tangencialno na meridian, pozitivno v smeri, v kateri φ narašča, Z normalno na lupino, pozitivno proti osi simetrije.
Slika 1
Slika 2
Naj bo polmer ukrivljenosti meridiana r1. Ta je funkcija kota φ, zato je z enačbo _r1=r1(_φ) določen oblik meridiana. To lahko obravnavamo kot enačbo meridiana in se glasi, npr.
za krog r1=a=const.
za parabolo r1=a/cos3__φ
za elipso r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Za izračun normalne sile N__φ v smeri meridiana je treba postaviti pogoj ravnotežja dela lupine, ki leži nad vzporednim krogom φ (sl. 2). Rezultanta R bremen Y in Z, ki delujejo na ta del, je zaradi simetrije navpična. Njena velikost se dobi z integracijo po površini lupine od φ’=0 do φ’=φ. Površina elementa lupine je dF=r1d__φ’*rd__ϑ, zato je navpična komponenta obtežbe (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Za celotni obročasti del lupine, ki leži med krogoma φ’ in φ’+dφ’, je rezultanta zunanje obtežbe:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
od koder se z integriranjem po φ’ za del lupine, ki leži nad vzporednim krogom φ’=φ, dobi:
Stav. 1
To obremenitev prevzamejo normalne sile v smeri meridiana, ki delujejo po obodu opazovanega kroga; vertikalna komponenta rezultante teh sil je 2__πr * N__φ sin__φ, zato se z izenačitvijo od tod dobi iskana normalna sila
Enač. 2
Če je lupina v zgornjem delu odrezana po krogu φ=φ0 (npr. odprtina za osvetlitev v kupoli), je spodnja meja integrala seveda φ0, in ne nič. Če na robu lupine, ki je nastala na ta način, deluje tudi obtežba R0, jo je treba prav tako prišteti rezultanti R (sl. 3).
Slika 3
Za določitev normalne sile N__ϑ je treba postaviti pogoj ravnotežja elementa lupine, pravokotno na tangencialno ravnino (sl. 4). Rezultanta zunanje obtežbe v tej smeri znaša Z r1 d__φ r d__ϑ. Sile N__φ*r d__ϑ , ki ležijo v meridionalni ravnini, oklepajo med seboj majhen kot d__φ, zato je njihova rezultanta v smeri normale na lupino N__φ r d__ϑ*dφ. Podobno imajo tudi sile Nϑ r1 dφ, ki ležijo v ravnini horizontalnega kroga in med seboj tvorijo kot dϑ, rezultanto Nϑ r1 dφ*dϑ, ki prav tako leži v ravnini horizontalnega kroga in zato z normalo na lupino oklepa kot 0,5_π-φ_, tako da v pogoj ravnotežja vstopa le njuna komponenta Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. Pogoj ravnotežja zato se glasi
ali, ko se deli z r r1 dϑ dφ:
Eq. 3
Tu je z r2=r/sinφ označen drugi glavni polmer ukrivljenosti lupine.
Slika 4
Krožna kupola
Kadar je oblika meridiana analitično podana z enačbo r1=r1(φ) in kadar so za obtežbe Y(φ) in Z(φ) podani analitični izrazi, je mogoče prečne sile v lupini vedno določiti z integriranjem v zaprti obliki ali numerično, z uporabo Simpsonove-ga pravila. Za krožno kupolo s premerom a so v nadaljevanju podane prečne sile za nekatere primere obtežbe:
Zadnji obrazec, ki za φ=0 daje neskončno velike strižne sile, velja šele na določeni oddaljenosti od točke delovanja sile. V neposredni okolici mesta, kjer deluje sila, tudi kadar je ta porazdeljena po površini kroga končnega, vendar majhnega premera, se obtežba pretežno prenaša z upogibanjem.
Oblike za zgoraj odprte lupine je mogoče izpeljati iz prejšnjih, če se k dejanski obremenitvi doda namišljeno breme P v vrhu, katerega velikost se določi tako, da znaša skupna normalna sila v smeri meridiana, ki deluje na zgornjem robu lupine φ=φ0, Nφ=0, ali pa je enaka neki vrednosti, določeni z zunanjimi silami, ki jih lupina tu prevzema.
Stožčasta lupina
Slika 5
Pri stožčasti lupini naklona meridiana φ ni mogoče uporabiti kot koordinate, ker ima na vseh točkah enako vrednost. Namesto njega se uvede razdalja s od vrha kupole, merjena vzdolž generatorja (sl. 5). Normalna sila v smeri meridiana se zato označuje z Ns. Potrebne obrazce je mogoče dobiti iz navedenih pod 1, ko se izvede mejni prehod. Iz enačbe (2) se tako dobi
a iz enačbe (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Za najpomembnejše primere obtežbe veljajo naslednje formule:
Grafični postopek za poljubno obliko meridiana
Slika 6
Kadar krivulja meridiana ni podana z analitičnim izrazom, temveč na primer grafično, je določanje polmera ukrivljenosti prezahtevno in preveč nenatančno. V takem primeru je primerneje uporabiti grafični postopek (sl. 6).
Lupina se razdeli z več ravninami φ=const., izračunajo se teže Δ_R_ obročastih con, ki ležijo med ravninami, in najbolje jih je takoj deliti z 2_π_. Te sile ΔR/2π se nanesejo v silo-diagram (sl. 6b). Če nato, npr., skozi delilno točko 7 potegnemo premico vzporedno tangenti na meridian v točki meridiana 7, bo horizontala skozi zgornjo točko diagrama sil na njej odsekala dolžino R1/2π sinφ7, iz katere se na osnovi enačbe (2) z deljenjem z ustreznim r dobi ustrezna normalna sila v smeri meridiana.
Za določanje sil v obročih služi pogoj ravnotežja horizontalnih sil na enem elementu lupine. Če delujejo samo vertikalne obtežbe, ta pogoj glasi (sl. 4):
Ko se tu dφ zamenja s končno razliko Δφ, ki ustreza sprejeti razdelitvi lupine, in ko se namesto r1 dφ vnese dolžina Δs elementa meridiana, se od tod dobi
V oklepaju na desni strani stoji presečišče na vodoravni premici v diagramu sil. Celotna desna stran zato predstavlja odseke med delilnimi točkami na tej premici. Da jih lahko dovolj natančno odčitamo, mora biti diagram sil natančno narisan in v dovolj velikem merilu.
Natezni in tlačni obroči
Vsaka rotacijsko simetrična lupina je omejena z enim ali dvema vodoravnima krogoma (sl. 7). Na teh robovih lahko načeloma prevzame samo take obremenitve in reakcije podpor, ki imajo smer tangente na meridian. Če imajo zunanje sile drugačno smer, npr. obremenitev P iz zgornjega dela konstrukcije ali reakcija S dna rezervoarja, prikazanega na sl. 97, je treba te sile, kot je prikazano na sliki, razstaviti na komponente v smeri vodoravnega kroga in tangente na meridian. Komponenta P/sinφ0 ali S/sinφu je enaka normalni sili v smeri meridiana Nφ, ki tam deluje, medtem ko je za prevzem vodoravne sile Pctgφ0 ali Sctgφu potreben obroč, ki prenaša nateg oziroma tlak in v katerem ta radialna obremenitev povzroča normalno silo + P r0 ctgφ0, oziroma -S ru ctgφu. Takšni obroči morajo biti poleg robov lupine postavljeni tudi na vseh mestih, kjer ima krivulja meridiana prelom. Vedno povzročajo motnjo membranskega napetostnega stanja.
Slika 7
Napetosti zaradi upogibanja v rotacijsko simetričnih lupinah
Oblike membranske teorije ne vsebujejo dovolj velikega števila integralnih konstant, da bi bilo mogoče izpolniti vse robne pogoje, ki dejansko ustrezajo zastavljeni nalogi. Zlasti pri rotacijsko simetričnih lupinah ni mogoče s primerno izbiro integralnih konstant doseči, da bi bil raztezek εϑ = Nϑ/Et v obročni smeri vzdolž roba lupine enak ustreznemu raztezku kakšnega drugega konstrukcijskega dela, ki je na tem mestu z njo togo povezan. Enako velja tudi za lupine, pri katerih se vzdolž enega vodoravnega kroga stopničasto spreminja krivina meridiana, debelina lupine ali obremenitev na enoto površine. Tudi kadar lupina vzdolž nekega roba ni utrjena z obročem, je pa na tem mestu obremenjena s silami, ki imajo komponento v smeri normale na lupino (npr. obremenitev P na sl. 7, če si predstavljamo, da je obroč odstranjen), takšnih obremenitev ne more prevzeti samo prek membranskih sil. V takšnih primerih imata strižna sila in upogibna momenta (sl. 8) bistveno vlogo pri porazdelitvi sil v lupini, kar je treba pri statičnem izračunu upoštevati.
Slika 8
Natančen izračun lupine na upogib, razen v najpreprostejšem posebnem primeru valjaste lupine, predstavlja zelo zahtevno nalogo. Za lupine s tankimi stenami je mogoče izdelati preprosto in zelo uporabno približno teorijo, ki temelji na dejstvu, znanem iz stroge teorije, da so napetosti zaradi upogiba omejene na razmeroma ozko območje ob robu in hitro padajo z naraščanjem razdalje od roba. To omogoča, da zanemarimo veliko število členov v natančni diferencialni enačbi, zato ta dobi poenostavljeno obliko.
Če se znotraj robnega tona, ki je edini pomemben κ, ta nadomesti s srednjo vrednostjo, kar je skoraj vedno mogoče, je rešitev enačbe
Stav. 4 in 5
kjer so a1, b1, a2, b2 integracijske konstante. Ker je rešitev zanimiva le v bližini roba φ=φ0, je primerno, da se kotna razdalja ω=φ0-φ ali ω=φ-φ0 od tega roba uvede kot koordinata, zato se s transformacijo zgoraj navedene rešitve dobi drugi navedeni izraz. Tu se pojavita le dve integracijski konstanti A, B ali C, ψ, ker se drugi del rešitve, ki vsebuje faktor eκω, in zato z naraščanjem ω ne pada, lahko izključi iz obravnave.
Na osnovi enačbe 5 dobimo naslednje vrednosti za presečne sile in obračanje κ tangente meridiana:
Napetosti zaradi upogibanja v rezervoarjih krožnocilindrične oblike
Naj bo valjasta posoda višine h napolnjena z vodo (sl. 9), tedaj je na višini x nad dnom tlak vode p=γ(h-x). Če se na tej višini z dveh vodoravnih prerezov na razdalji dx. iz posode izreže obroč in se ta vzdolž enega premera razdeli na dva dela, pogoj ravnovesja enega od njiju da membransko silo v obroču Nφ=pa. Če je debelina posode na tem mestu t, je dilatacija v obroču εφ=Nφ/Et in zato povečanje polmera posode (poves) je
Na spodnjem robu x=0 je torej
Slika 9
Niti eno niti drugo praviloma ni v skladu z robnimi pogoji, ker je deformacija stene preprečena zaradi zveze z dnom rezervoarja. Pri tem se na zvezi med dnom in steno valja pojavljajo prečne sile Qx0 in momenti Mx0 (sl. 11), katerih velikost je treba tako določiti, da skupaj ravno izračunanimi membranskimi silami v lupini povzročajo to deformacijo na robu lupine, ki jo dopušča dno.
Sl. 10, 11, 12, oziroma
Na sl. 11 je prikazan element lupine dx*a dφ s silami, ki nanj delujejo. Pogoj ravnotežja sil v smeri normale na lupino daje
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
od koder z deljenjem z dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Iz pogoja, da je moment okoli vodoravne tangente na valj enak nič, dobimo:
dM/dx = M’x = Qx
Z eliminacijo prečne sile Qx iz teh dveh enačb sledi
a M’’x + Nφ = p a.
Enač. 6
V tej enačbi lahko te neznane prečne sile izrazimo s pomočjo povesa w. Za Nφ je bilo že ugotovljeno Nφ=Etw/a, moment pa je sorazmeren ukrivljenosti meridiana w’’, tj. Mx=Kw’’, pri čemer je tako kot pri ploščah K=Et3/12(1-μ2) togost lupine, ki je lahko spremenljiva z x. Če se ti izrazi za povprečne sile vnesejo v enačbo (6), dobimo diferencialno enačbo teorije rezervoarja:
Za rezervoar, katerega debelina stene je nespremenljiva, se rešitev glasi:
Eq. 7
kjer je λ4=3(1-μ2)/a2t2. Če je λh velik (denimo večji od 3), je bolj primerno, da se namesto hiperboličnih funkcij uvedejo eksponentne, zato velja:
Eq. 8
Tedaj je mogoče neodvisno drug od drugega določiti konstante A1, B1 iz robnih pogojev na spodnjem, konstante A2, B2 pa iz robnih pogojev na zgornjem robu, pri čemer se praviloma dobi A2=B2=0. Na podlagi enačb (8) in (7) se dobijo prečne sile, kadar se račun izvede v obratni smeri in se povsod uvede enačba (8) in (7); tako je npr. za A2=B2=0:
Kadar so stene rezervoarja togo vkleščene v ploščo, je treba na dnu rezervoarja, ki je dovolj debelo, da ga lahko štejemo za togo, konstanti A1, B1 določiti iz pogojev, da je x=0, w=0 in w’=0, zato dobimo:
Če je dno rezervoarja elastična plošča ali lupina, je treba prečne sile Qx in momente Mx vzdolž obodnega kroga med dnom in steno valja določiti z metodami teorije statično nedoločenih sistemov na podlagi zahteve, da imata Mx in w’ za oba dela enako vrednost.