ელასტიურობის თეორია - გარსები

გარსებს ეწოდება ზედაპირული მატარებლები, რომელთა შუა ზედაპირი არ არის ბრტყელი, არამედ თვალსაჩინოდ ამოზნექილია. მათი სტატიკური ქცევა მნიშვნელოვნად განსხვავდება ფირფიტის ქცევისგან. როდესაც მათ შესაფერისი ფორმა აქვთ, მათი დაძაბულობა მნიშვნელოვნად ნაკლებია, სიმყარე შესაბამისი ზომით უფრო დიდია, ხოლო გაანგარიშება უმეტეს შემთხვევაში უფრო მარტივი.

ნებისმიერი გარსის დაძაბულობა შეიძლება დაიყოს ორ ნაწილად: მემბრანულ დაძაბულობად და მოხრად. მემბრანული დაძაბულობები, ისევე როგორც ფირფიტის შემთხვევაში, როდესაც იგი თავის სიბრტყეში იტვირთება, შეიძლება გამოიხატოს ჭრილის სიბრტყეში არსებული შიდა ძალებით – ესენია, მაგალითად, ჭრილში x=const. ნორმალური ძალა _Nx=_σx*t და წანაცვლებითი ძალა _Nxy=_τxy*t, სადაც t გარსის სისქეა. მოხრის შედეგად წარმოქმნილი დაძაბულობები ისეთივეა, როგორც ფირფიტებში და შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მოხრის მომენტებით Mx, ტორსიული მომენტებით Mxy და წანაცვლებითი ძალებით Qx.

გარსების არსებითი თვისებები ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ წესისამებრ მოხრის შედეგად წარმოქმნილ დაძაბულობებს არა აქვთ მემბრანული დაძაბულობების მსგავსი სიდიდე და მნიშვნელობა, ამიტომ ისინი ხშირად სრულიად უგულებელყოფადია. ამ შემთხვევაში ყველა დაძაბულობა თანაბრად არის განაწილებული გარსის სისქეზე და მოქმედებს საშუალო ზედაპირის ტანგენციურად. ამ ვარაუდებზე დაფუძნებული გამოთვლები გარსების მემბრანული თეორიის ფარგლებში ხვდება.

მემბრანული თეორია ბრუნვით სიმეტრიული გარსების ბრუნვით სიმეტრიული დატვირთვის ქვეშ

ზოგადი ფორმულები

კოორდინატულ ხაზებად მიღებულია მერიდიანები და პარალელური წრეები გარსის შუა ზედაპირზე, ამიტომ კოორდინატებია: აზიმუტი ϑ („გეოგრაფიული სიგრძე“) და მერიდიანისადმი ტანგენტის დახრა φ სიმეტრიის ღერძისადმი მართობულ სიბრტყესთან (სურ. 1a). შესაბამისად, კვეთის ძალებია: ნორმალური ძალა Nφ მერიდიანის მიმართულებით და ნორმალური ძალა Nϑ რგოლში (სურ. 1b). მჭრელი ძალები Nφϑ არ გვხვდება ბრუნვით-სიმეტრიული დაძაბულობის დროს. ერთეულ ზედაპირზე დატვირთვა აღინიშნება შემდეგნაირად (სურ. 1b): Y მერიდიანისადმი ტანგენციურად, დადებითი იმ მიმართულებით, რომლისკენაც იზრდება φ, Z — გარსისადმი ნორმალურად, დადებითი სიმეტრიის ღერძისკენ.

სლ.1

სლ.2

ვივარაუდოთ, რომ მერიდიანის მრუდის რადიუსია r1. იგი არის კუთხის φ ფუნქცია, ამიტომ განტოლებით _r1=r1(_φ) განისაზღვრება მერიდიანის ფორმა. ეს შეიძლება ჩაითვალოს მერიდიანის განტოლებად და, მაგალითად, ასე იწერება.

წრისთვის                                       r1=a=const.

პარაბოლისთვის                                   r1=a/cos3__φ

ელიფსისთვის          r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2

მერიდიანის მიმართულებით ნორმალური ძალის N__φ გამოსათვლელად უნდა დაისვას წონასწორობის პირობა იმ გარსის ნაწილისთვის, რომელიც პარალელური წრის φ ზემოთ მდებარეობს (სურ. 2). ამ ნაწილის მიმართ მოქმედი დატვირთვების Y და Z შედეგი R ვერტიკალურია სიმეტრიის გამო. მისი სიდიდე მიიღება გარსის ზედაპირზე ინტეგრირებით φ’=0-დან φ’=φ-მდე. გარსის ელემენტის ფართობია dF=r1d__φ’*rd__ϑ, ამიტომ დატვირთვის ვერტიკალური კომპონენტია (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. მთელი რგოლური ნაწილისთვის, რომელიც მდებარეობს წრეებს φ’ და φ’+dφ’ შორის, გარე დატვირთვის შედეგია:

dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,

საიდანაც φ’-ით ინტეგრირებით იმ გარსის ნაწილისთვის, რომელიც მდებარეობს პარალელური წრის φ’=φ-ზე ზემოთ, მიიღება:

ფორმ. 1

ამ დატვირთვას იღებენ მერიდიანის მიმართულებით მოქმედი ნორმალური ძალები, რომლებიც დაკვირვებული წრის პერიმეტრზე მოქმედებენ; ამ ძალების შედეგის ვერტიკალური კომპონენტია 2__πr * N__φ sin__φ, და ამიტომ გათანაბრებით აქედან მიიღება მოთხოვნილი ნორმალური ძალა

გან. 2

თუ გარსი ზედა ნაწილში წრის φ=φ0 გასწვრივ არის მოჭრილი (მაგ., განათების ღიობი გუმბათში), ინტეგრალის ქვედა ზღვარი, რასაკვირველია, არის φ0, და არა ნული. თუ ამგვარად წარმოქმნილი გარსის კიდეზე მოქმედებს დატვირთვა R0, ისიც უნდა დაემატოს შედეგს R (ნახ. 3).

სლ.3

ნორმალური ძალის N__ϑ განსაზღვრისთვის უნდა დავაყენოთ გარსის ელემენტის წონასწორობის პირობა ტანგენციალურ სიბრტყეზე მართობულად (ნახ. 4). ამ მიმართულებით გარე დატვირთვის შედეგი ტოლია Z r1 d__φ r d__ϑ. ძალები N__φ*r d__ϑ, რომლებიც მერიდიანულ სიბრტყეში მდებარეობენ, ერთმანეთთან ქმნიან მცირე კუთხეს d__φ, ამიტომ მათი შედეგი გარსის ნორმალის მიმართულებით არის N__φ r d__ϑ*dφ. მსგავსად ამისა, ძალები Nϑ r1 dφ, რომლებიც ჰორიზონტალური წრის სიბრტყეში მდებარეობენ და ერთმანეთთან ქმნიან კუთხეს dϑ, აქვთ შედეგი Nϑ r1 dφ*dϑ, რომელიც ასევე ჰორიზონტალური წრის სიბრტყეში მდებარეობს და ამიტომ გარსის ნორმალთან ქმნის კუთხეს 0,5_π-φ_, ასე რომ წონასწორობის პირობაში შედის მხოლოდ მათი კომპონენტი Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. შესაბამისად, წონასწორობის პირობა ასე იწერება

ან, როდესაც გავყოფთ r r1 dϑ dφ-ზე:

ერთი.3

აქ r2=r/sinφ-ით აღნიშნულია ნაჭუჭის მრუდის მეორე მთავარი რადიუსი.

სლ.4

წრიული გუმბათი

როდესაც მერიდიანის ფორმა ანალიტიკურადაა მოცემული განტოლებით r1=r1(φ) და როდესაც დატვირთვებისთვის Y(φ) და Z(φ) მოცემულია ანალიტიკური გამოსახულებები, გარსში შიდა ძალები ყოველთვის შეიძლება განისაზღვროს დახურული სახით ინტეგრირებით ან რიცხვობრივად, Simpson-ის წესის გამოყენებით. წრიული გუმბათისთვის, დიამეტრით a, ქვემოთ მოცემულია შიდა ძალები ზოგიერთი დატვირთვის შემთხვევისთვის:

ბოლო ფორმულა, რომელიც φ=0-სთვის უსასრულოდ დიდ განივ ძალებს იძლევა, ძალის მოქმედების წერტილიდან გარკვეულ დაშორებაზეა მხოლოდ ვარგისი. ძალის მოქმედების ადგილის უშუალო მიდამოში, მაშინაც კი, როცა ის განაწილებულია საბოლოო, მაგრამ მცირე დიამეტრის მქონე წრის ზედაპირზე, დატვირთვა ძირითადად მოღუნვით გადაიცემა.

ზედა ნაწილში გახსნილი გარსების ფორმები შეიძლება წინამორბედებიდან მივიღოთ, თუ ფაქტობრივ დატვირთვას მწვერვალში დაემატება გამოგონილი ტვირთი P, რომლის სიდიდეც ისე განისაზღვრება, რომ გარსის ზედა კიდეზე მოქმედი მერიდიანული მიმართულების სრული ნორმალური ძალა φ=φ0 იყოს Nφ=0, ან ტოლი იყოს რაიმე მნიშვნელობისა, რომელიც განსაზღვრულია იმ გარე ძალებით, რომლებსაც გარსი აქ იღებს.

კონუსური გარსი

სლ.5

კონუსური გარსის შემთხვევაში მერიდიანის დახრილობა φ ვერ გამოიყენება კოორდინატად, რადგან მას ყველა წერტილში ერთი და იგივე მნიშვნელობა აქვს. მის ნაცვლად შემოდის მანძილი s გუმბათის წვეროდან, გაზომილი წარმომქმნელი ხაზის გასწვრივ (სურ. 5). შესაბამისად, მერიდიანის მიმართულებით ნორმალური ძალა აღინიშნება Ns-ით. საჭირო ფორმულები შეიძლება მიღებულ იქნეს ზემოთ მოყვანილებიდან 1, როცა განხორციელდება ზღვრული გადასვლა. განტოლებიდან (2) ამით მიიღება

და განტოლებიდან (3)

Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.

დატვირთვის ყველაზე მნიშვნელოვანი შემთხვევებისთვის მოქმედებს შემდეგი ფორმულები:

მერიდიანის ნებისმიერი ფორმისთვის გრაფიკული მეთოდი

ნახ. 6

როდესაც მერიდიანის მრუდი ანალიტიკური გამოსახულებით არ არის მოცემული, არამედ, მაგალითად, გრაფიკულად, სიმრუდის რადიუსის განსაზღვრა ზედმეტად რთული და არაზუსტია. ასეთ შემთხვევაში უფრო მოსახერხებელია გრაფიკული მეთოდის გამოყენება (სურ. 6).

გარსი იყოფა φ=const. სიბრტყეების დიდი რაოდენობით, გამოითვლება მათ შორის მდებარე რგოლოვანი ზონების Δ_R_ წონები და უმჯობესია ისინი მაშინვე გავყოთ 2_π_-ზე. ეს ძალები ΔR/2π გადატანილია ძალთა გეგმაში (სურ. 6b). თუ შემდეგ, მაგალითად, გამყოფი წერტილიდან 7 გავატარებთ სწორ ხაზს, მერიდიანის 7 წერტილში მერიდიანის ტანგენტის პარალელურს, ძალთა გეგმის ზედა წერტილიდან გავლებული ჰორიზონტალი მასზე გადაჭრის სიგრძეს R1/2π sinφ7 რომლის საფუძველზეც განტოლების (2) მიხედვით შესაბამის r-ზე გაყოფით მიიღება შესაბამისი ნორმალური ძალა მერიდიანის მიმართულებით.

რგოლებში ძალების განსაზღვრისთვის გამოიყენება ჰორიზონტალური ძალების წონასწორობის პირობა გარსის ერთ ელემენტზე. თუ მოქმედებს მხოლოდ ვერტიკალური დატვირთვები, ეს პირობა ასე გამოისახება (სურ. 4):

როდესაც აქ dφ შეიცვლება საბოლოო სხვაობით Δφ, რომელიც შეესაბამება გარსის მიღებულ დაყოფას, და როცა r1 dφ-ის ნაცვლად შეიტანება მერიდიანის ელემენტის სიგრძე Δs, აქედან მიიღება

მარჯვენა მხარეს ფრჩხილებში დგას კვეთი ძალთა გეგმაზე ჰორიზონტალურ სწორ ხაზზე. შესაბამისად, მთელი მარჯვენა მხარე წარმოადგენს ამ სწორ ხაზზე განყოფილ წერტილებს შორის მონაკვეთებს. მათი საკმარისად ზუსტად წასაკითხად ძალთა გეგმა უნდა იყოს ფრთხილად დახაზული და საკმარისად დიდ მასშტაბში.

გაჭიმული და დაჭიმული რგოლები

თითოეული ბრუნვით-სიმეტრიული გარსი შემოსაზღვრულია ერთი ან ორი ჰორიზონტალური წრით (სურ. 7). ამ კიდეებზე მას, პრინციპულად, შეუძლია მიიღოს მხოლოდ ისეთი ტვირთები და საყრდენების რეაქციები, რომელთა მიმართულებაც მერიდიანის ტანგენტის მიმართულებას ემთხვევა. თუ გარე ძალებს სხვა მიმართულება აქვთ, მაგალითად დატვირთვა P კონსტრუქციის ზედა ნაწილიდან ან სურ. 97-ზე ნაჩვენები რეზერვუარის ფსკერის რეაქცია S, ეს ძალები, როგორც სურათზეა ნაჩვენები, უნდა დაიშალოს კომპონენტებად ჰორიზონტალური წრის მიმართულებით და მერიდიანის ტანგენტის მიმართულებით. კომპონენტი P/sinφ0 ან S/sinφu უდრის მერიდიანის მიმართულებით მოქმედ ნორმალურ ძალას Nφ, ხოლო ჰორიზონტალური ძალის Pctgφ0 ან Sctgφu მისაღებად საჭიროა რგოლი, რომელიც იღებს გაჭიმვას, ანუ დაწოლას და რომელშიც ეს რადიული დატვირთვა იწვევს ნორმალურ ძალას + P r0 ctgφ0, ანუ -S ru ctgφu. ასეთი რგოლები, გარდა გარსის კიდეებისა, უნდა მოეწყოს ყველა იმ ადგილასაც, სადაც მერიდიანის მრუდს აქვს გადატეხა. ისინი ყოველთვის იწვევენ მემბრანული დაძაბულობის მდგომარეობის დარღვევას.

სლ.7

მოღუნვით წარმოქმნილი ძაბვები ბრუნვით სიმეტრიულ გარსებში

მემბრანული თეორიის ფორმულები არ შეიცავს საკმარისი რაოდენობის ინტეგრაციის მუდმივებს იმისათვის, რომ შესრულდეს ყველა ის სასაზღვრო პირობა, რომლებიც რეალურად შეესაბამება დასმულ ამოცანას. განსაკუთრებით ბრუნვით სიმეტრიული გარსების შემთხვევაში, ინტეგრაციის მუდმივების რაიმე შესაფერისი შერჩევით შეუძლებელია მიღწეულ იქნას, რომ გარსის კიდის გასწვრივ რგოლის მიმართულებით დილატაცია εϑ = Nϑ/Et იყოს იმავე ადგილზე მასთან მყარად დაკავშირებული სხვა კონსტრუქციული ნაწილის შესაბამისი დილატაციის ტოლი. იგივე ეხება იმ გარსებსაც, რომელთაც ერთ ჰორიზონტალურ წრეზე მყისიერად ეცვლებათ მერიდიანის სიმრუდე, გარსის სისქე ან დატვირთვა ერთეულის ფართობზე. მაშინაც კი, როდესაც გარსი რომელიმე კიდის გასწვრივ რგოლით არ არის გამაგრებული, მაგრამ ამ ადგილას დატვირთულია ძალებით, რომლებსაც კომპონენტი აქვთ გარსის ნორმალის მიმართულებით (მაგ., დატვირთვა P სურ. 7-ზე, როდესაც წარმოვიდგენთ, რომ რგოლი მოხსნილია), ის ასეთ დატვირთვებს მხოლოდ მემბრანული ძალებით ვერ იღებს. ასეთ შემთხვევებში ჭრითი ძალა და მოღუნვის მომენტები (სურ. 8) მნიშვნელოვან როლს ასრულებს გარსში ძალების განაწილებაში, რაც სტატიკურ გაანგარიშებაში აუცილებლად უნდა იყოს გათვალისწინებული.

სლ. 8

გარსის მოღუნვაზე ზუსტი გამოთვლა, ცილინდრული გარსის უმარტივესი სპეციალური შემთხვევის გარდა, ძალიან რთულ ამოცანას წარმოადგენს. თხელი კედლების მქონე გარსებისთვის შეიძლება შეიქმნას მარტივი და ძალიან გამოსადეგი მიახლოებითი თეორია, რომელიც ეყრდნობა ზუსტ თეორიაში ცნობილ ფაქტს, რომ მოღუნვით გამოწვეული ძაბვები შემოიფარგლება შედარებით ვიწრო ზონით კიდის მახლობლად და სწრაფად მცირდება კიდიდან დაშორების ზრდასთან ერთად. ეს შესაძლებელს ხდის ზუსტ დიფერენციალურ განტოლებაში წევრების დიდი რაოდენობის უგულებელყოფას, რის შედეგადაც იგი გამარტივებულ ფორმას იღებს.

თუ ზღვრული ფენის შიგნით, რომელიც ერთადერთია საინტერესო κ-სთვის, შევცვლით საშუალო მნიშვნელობით, ხოლო ეს თითქმის ყოველთვის შესაძლებელია, განტოლების ამონახსნი არის

განტ. 4 და 5

სადაც a1, b1, a2, b2 ინტეგრაციის მუდმივებია. რადგან გადაწყვეტა საინტერესოა მხოლოდ კიდის φ=φ0 მახლობლად, სასურველია ამ კიდიდან კუთხური დაშორება ω=φ0-φ ან ω=φ-φ0 როგორც კოორდინატი შემოვიღოთ, რის შედეგადაც ზემოაღნიშნული გადაწყვეტის გარდაქმნით მიიღება მეორე მითითებული გამოსახულება. აქ ჩნდება მხოლოდ ორი ინტეგრაციის მუდმივი A, B ან C, ψ, რადგან გადაწყვეტის მეორე ნაწილი, რომელიც შეიცავს eκω ფაქტორს და შესაბამისად ω-ს ზრდასთან ერთად არ მცირდება, შეიძლება განხილვიდან გამოირიცხოს.

განტოლება 5-ის საფუძველზე მიიღება შემდეგი მნიშვნელობები კვეთის ძალებისთვის და მერიდიანის ტანგენტის κ მოტრიალებისთვის:

მოხრის შედეგად წარმოქმნილი დაძაბულობები წრიული ცილინდრის ფორმის რეზერვუარებში

ვივარაუდოთ, რომ სიმაღლის h ცილინდრული რეზერვუარი სავსეა წყლით (ნახ. 9), მაშინ x სიმაღლეზე, რეზერვუარის ზედაპირიდან ზემოთ, წყლის წნევა არის p=γ(h-x). თუ ამ სიმაღლეზე ორი ჰორიზონტალური კვეთით, რომლებიც ერთმანეთისგან დაშორებულია dx., რეზერვუარიდან გამოიჭრება რგოლი და იგი ერთი დიამეტრის გასწვრივ ორ ნაწილად გაიყოფა, ერთ-ერთი მათგანის წონასწორობის პირობა რგოლში იძლევა მემბრანულ ძალას Nφ=pa. თუ ამ ადგილზე რეზერვუარის სისქე არის t, მაშინ რგოლში დეფორმაციაა εφ=Nφ/Et და შესაბამისად რეზერვუარის რადიუსის გაზრდა (ჩაღუნვა) არის

ქვედა კიდეზე x=0 შესაბამისად არის

სლ.9

არც ერთი და არც მეორე, როგორც წესი, არ შეესაბამება საზღვრულ პირობებს, რადგან კედლის დეფორმაცია რეზერვუარის ძირთან კავშირის გამო შეზღუდულია. ამ დროს ცილინდრის ძირსა და კედელს შორის კავშირზე ჩნდება განივი ძალები Qx0 და მომენტები Mx0 (ნახ. 11), რომელთა სიდიდეც ისე უნდა განისაზღვროს, რომ სწორედ გამოთვლილ მემბრანულ ძალებთან ერთად ნაჭუჭში გამოიწვიოს ნაჭუჭის კიდეზე ის დეფორმაცია, რომელსაც საფუძველი უშვებს.

სურ. 10, 11, 12, შესაბამისად

ნახ. 11-ზე ნაჩვენებია გარსის ელემენტი dx*a dφ მასზე მოქმედი ძალებით. ძალთა წონასწორობის პირობა გარსისადმი ნორმალის მიმართულებით იძლევა

dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,

საიდანაც გაყოფით dx dφ:-ზე:

a Q’x + Nφ = p a.

იმ პირობისგან, რომ ცილინდრზე ჰორიზონტალური ტანგენტის მიმართ მომენტი ნულია, მივიღებთ:

dM/dx = M’x = Qx

ამ ორი განტოლებიდან ტრანსვერსალური ძალის Qx გამორიცხვით მივიღებთ

a M’’x + Nφ = p a.

ტოლ. 6

ამ განტოლებაში ეს უცნობი შიდა ძალები შეიძლება გამოისახოს გადახრა w-ის მეშვეობით. Nφ-სთვის უკვე ნაპოვნია Nφ=Etw/a, ხოლო მომენტი მერიდიანის სიმრუდეს პროპორციულია w’’, ანუ Mx=Kw’’, სადაც ფირფიტების მსგავსად K=Et3/12(1-μ2) გარსის სიმტკიცეა, რომელიც შეიძლება x-ის მიხედვით ცვლადი იყოს. თუ ამ საშუალო ძალების გამოსახულებები ჩაისმება განტოლებაში (6), მიიღება რეზერვუარის თეორიის დიფერენციალური განტოლება:

რეზერვუარისთვის, რომლის კედლის სისქე უცვლელია, ამოხსნა ასეთია:

ერთი.7

სადაც არის λ4=3(1-μ2)/a2t2. თუ λh დიდია (ვთქვათ, 3-ზე მეტი), უფრო მოსახერხებელია ჰიპერბოლიკური ფუნქციების ნაცვლად ექსპონენციალური ფუნქციების შემოტანა, ამიტომ:

ერთი.8

მაშინ ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად შეიძლება განისაზღვროს მუდმივები A1, B1 ქვედა კიდეზე არსებული სასაზღვრო პირობებიდან, ხოლო მუდმივები A2, B2 — ზედა კიდეზე არსებული სასაზღვრო პირობებიდან, ამასთან, წესისამებრ მიიღება A2=B2=0. განტოლებებიდან (8) და (7) მიიღება კვეთის ძალები, როდესაც გაანგარიშება უკუ მიმართულებით ტარდება და ყველგან გამოიყენება განტოლებები (8) და (7); მაგალითად, ასეა A2=B2=0:

როდესაც რეზერვუარის კედლები მყარადაა ჩაჭედილი ფილაში, ხოლო რეზერვუარის ფსკერი საკმარისად სქელია, რომ მყარად ჩაითვალოს, მუდმივები A1, B1 უნდა განისაზღვროს იმ პირობებიდან, რომ x=0, w=0 და w’=0, რის შედეგადაც მიიღება:

თუ რეზერვუარის ფსკერი ელასტიკური ფირფიტა ან გარსია, ტრანსვერსული ძალები Qx და მომენტები Mx ფსკერსა და ცილინდრის კედელს შორის კიდის წრეწირის გასწვრივ უნდა განისაზღვროს სტატიკურად განუსაზღვრელი სისტემების თეორიის მეთოდებით, იმ მოთხოვნიდან გამომდინარე, რომ Mx და w’ ორივე ნაწილისთვის ერთსა და იმავე მნიშვნელობას ჰქონდეს.