Qobiq deb o‘rta sirti tekis bo‘lmagan, balki sezilarli darajada qavariq bo‘lgan yuzaviy tashuvchilar ataladi. Ularning statik xulqi plitaning xulqidan sezilarli darajada farq qiladi. Mos shaklga ega bo‘lganda, ularning zo‘riqishi ancha kam, qattiqligi esa mos ravishda kattaroq bo‘ladi, hisoblash esa ko‘pchilik hollarda sodda bo‘ladi.
Har bir qobiqdagi kuchlanish ikki qismga bo‘linishi mumkin: membranaviy kuchlanish va egilish. Membranaviy kuchlanishlar, o‘z tekisligida yuklangan plastinadagi kuchlanishlar singari, tangensial tekislikdagi kesish kuchlari yordamida ifodalanishi mumkin — masalan, x=const. kesimida normal kuch _Nx=_σx*t va kesuvchi kuch _Nxy=_τxy*t, bu yerda t qobiq qalinligi. Eglishdan kelib chiqadigan kuchlanishlar plastinalardagidek bo‘lib, egilish momentlari Mx, burilish momentlari Mxy va kesuvchi kuchlar Qx bilan ifodalanishi mumkin.
Qobiqlarning muhim xossalari shundan iboratki, odatda egilishdan kelib chiqadigan kuchlanishlar membranaviy kuchlanishlar kattaligiga ham, ahamiyatiga ham ega bo‘lmaydi, shuning uchun ularni ko‘pincha butunlay e’tiborsiz qoldirish mumkin. Bunday holda barcha kuchlanishlar qobiq qalinligi bo‘ylab bir tekis taqsimlanadi va o‘rta sirtga tangensial yo‘nalishda ta’sir qiladi. Ushbu farazlarga asoslangan hisob-kitoblar qobiqlarning membrana nazariyasi doirasiga kiradi.
Aylanish simmetriyali qobiqlarning aylanish simmetriyali yuklama ostidagi membrana nazariyasi
Umumiy formulalar
Koordinata chiziqlari sifatida qobiqning o‘rta sirtidagi meridianlar va parallel aylana chiziqlar qabul qilinadi, shuning uchun koordinatalar: azimut ϑ (“geografik uzunlik”) va φ — meridianga urinmaning simmetriya o‘qiga perpendikulyar tekislikka nisbatan og‘ish burchagi (rasm 1a). Shunga ko‘ra kesuvchi kuchlar: Nφ normal kuchi meridian yo‘nalishida va Nϑ normal kuchi halqa bo‘ylab (rasm 1b). Nφϑ siljish kuchlari aylanish jihatidan simmetrik kuchlanishda yuzaga kelmaydi. Birlik yuzaga to‘g‘ri keladigan yuk quyidagicha belgilanadi (rasm 1b): Y meridianga urinma bo‘ylab, φ ortadigan yo‘nalishda musbat, Z esa qobiqqa normal bo‘lib, simmetriya o‘qiga tomon musbat.
Rasm 1
Rasm 2
Meridian egrilik radiusi r1 bo‘lsin. U φ burchak funksiyasi bo‘lib, _r1=r1(_φ) tenglama bilan meridianning shakli aniqlanadi. Buni meridianning tenglamasi deb ham qarash mumkin va, masalan, quyidagicha yoziladi.
doira uchun r1=a=const.
parabola uchun r1=a/cos3__φ
ellipsa uchun r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Meridian yo‘nalishidagi N__φ normal kuchni hisoblash uchun φ parallel aylanasidan yuqorida joylashgan qobiq qismining muvozanat shartini qo‘yish kerak (2-rasm). Ushbu qismga ta’sir qiluvchi Y va Z yuklarning natijaviy R kuchi simmetriya tufayli vertikal bo‘ladi. Uning miqdori qobiq yuzasi bo‘ylab φ’=0 dan φ’=φ gacha integrallash orqali topiladi. Qobiq elementining yuzasi dF=r1d__φ’*rd__ϑ bo‘lgani uchun yukning vertikal tarkibiy qismi (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF ga teng. φ’ va φ’+dφ’ aylanalari orasida joylashgan qobiqning butun halqasimon qismi uchun tashqi yukning natijasi quyidagicha bo‘ladi:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
bundan φ’ bo‘yicha integrallash orqali φ’=φ paralel doiradan yuqorida joylashgan qobiq qismi uchun quyidagi olinadi:
Teng. 1
Bu yukni meridian yo‘nalishidagi normal kuchlar qabul qiladi, ular kuzatilgan doira aylana bo‘ylab ta’sir etadi; bu kuchlar natijasining vertikal tarkibiy qismi 2__πr * N__φ sin__φ, bo‘lib, tenglashtirish orqali shu yerdan kerakli normal kuch olinadi
Teng. 2
Agar qobiqning yuqori qismi φ=φ0 bo‘ylab aylana kesimi bilan kesilgan bo‘lsa (masalan, gumbazdagi yoritish teshigi), integralning quyi chegarasi, albatta, nol emas, φ0 bo‘ladi. Agar shu tarzda hosil bo‘lgan qobiq chetiga R0 yuk ham ta’sir etsa, uni ham R natijaviy kuchiga qo‘shish kerak (rasm 3).
Rasm 3
Normal kuch N__ϑ ni aniqlash uchun tangensial tekislikka perpendikulyar bo‘lgan qobiq elementi muvozanati sharti qo‘yiladi (rasm 4). Ushbu yo‘nalishdagi tashqi yuklamaning teng ta’sir etuvchisi Z r1 d__φ r d__ϑ ga teng. Meridional tekislikda yotuvchi N__φ*r d__ϑ kuchlar o‘zaro kichik d__φ burchak hosil qiladi, shuning uchun qobiq normali yo‘nalishidagi ularning teng ta’sir etuvchisi N__φ r d__ϑ*dφ ga teng. Xuddi shuningdek, gorizontal doira tekisligida yotuvchi va o‘zaro dϑ burchak hosil qiluvchi Nϑ r1 dφ kuchlarning teng ta’sir etuvchisi Nϑ r1 dφ*dϑ bo‘lib, u ham gorizontal doira tekisligida yotadi va shuning uchun qobiq normali bilan 0,5_π-φ_ burchak hosil qiladi; demak, muvozanat shartiga faqat uning Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ tarkibiy qismi kiradi. Shunday qilib, muvozanat sharti quyidagicha bo‘ladi
yoki, r r1 dϑ dφ ga bo‘linganda:
Bir.3
Bu yerda r2=r/sinφ bilan qobiqning egilish radiusining ikkinchi asosiy yarim diametri belgilangan.
Rasm. 4
Doirasimon gumbaz
Meridian shakli analitik ravishda r1=r1(φ) tenglama bilan berilganda va Y(φ) hamda Z(φ) yuklar uchun analitik ifodalar berilganda, qobiqdagi kesuvchi kuchlarni har doim yopiq shaklda integrallash orqali yoki Simpson- qoidasidan foydalanib sonli usulda aniqlash mumkin. Diametri a bo‘lgan aylana gumbaz uchun quyida ayrim yuklanish holatlaridagi kesuvchi kuchlar keltiriladi:
Oxirgi formula, φ=0 da cheksiz katta kesuvchi kuchlarni beradigan, faqat kuch ta’sir nuqtasidan ma’lum masofada amal qiladi. Kuch ta’sir etayotgan joyning bevosita atrofida, hatto u cheklangan, ammo kichik diametrli doira yuzasi bo‘ylab taqsimlangan bo‘lsa ham, yuk asosan egilish orqali uzatiladi.
Yuqori qismidan ochiq qobiq shakllari avvalgi shakllardan hosil qilinishi mumkin, agar haqiqiy yuklamaga cho‘qqida shunday o‘lchamli sun’iy yuk P qo‘shilsa, u holda qobiqning yuqori chetida meridian yo‘nalishida ta’sir etuvchi umumiy normal kuch φ=φ0 ga Nφ=0 bo‘lsa yoki qobiq bu yerda qabul qilayotgan tashqi kuchlar bilan aniqlangan qandaydir qiymatga teng bo‘lsa.
Konus qobig‘i
Rasm. 5
Konus qobiqda meridian nishabi φ ni koordinata sifatida ishlatib bo‘lmaydi, chunki u barcha nuqtalarda bir xil qiymatga ega. Uning o‘rniga hosil chizig‘i bo‘ylab o‘lchanadigan cho‘qqidan s masofa kiritiladi (rasm 5). Shunga ko‘ra meridian yo‘nalishidagi normal kuch Ns bilan belgilanadi. Zarur shakllarni yuqorida 1 berilgan ifodalardan chegara o‘tish amalga oshirilganda olish mumkin. (2) tenglamadan shu tarzda
va tenglamadan (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Eng muhim yuklanish hollari uchun quyidagi ifodalar amal qiladi:
Meridianning istalgan shakli uchun grafik usul
Fig. 6
Agar meridian egri chizig‘i analitik ifoda bilan emas, balki, masalan, grafik tarzda berilgan bo‘lsa, egilish radiusini aniqlash haddan tashqari qiyin va haddan tashqari noaniq bo‘ladi. Bunday holda grafik usuldan foydalanish ma’qulroq (sl. 6).
Qobiq bir nechta φ=const. tekisliklar bilan bo‘linadi, ular orasida joylashgan halqasimon zonalarning og‘irliklari Δ_R_ hisoblab chiqiladi va ularni darhol 2_π_ ga bo‘lish ma’qul. Ushbu kuchlar ΔR/2π kuchlar planiга (rasm 6b) qo‘yiladi. So‘ng, masalan, bo‘luvchi nuqta 7 orqali meridianning 7 nuqtasidagi tangensga parallel to‘g‘ri chiziq o‘tkazilsa, kuchlar planining yuqori nuqtasi orqali o‘tuvchi gorizontal unda R1/2π sinφ7 kesmani kesib o‘tadi; undan (2) tenglama asosida mos r ga bo‘lish orqali meridian yo‘nalishidagi tegishli normal kuch olinadi.
Halqalardagi kuchlarni aniqlash uchun qobiqning bitta elementi ustidagi gorizontal kuchlar muvozanati sharti xizmat qiladi. Agar faqat vertikal yuklar ta’sir etsa, bu shart quyidagicha bo‘ladi (rasm 4):
Bu yerda dφ ni qabul qilingan qobiq bo‘linishiga mos keladigan yakuniy farq Δφ ga almashtirganda va r1 dφ o‘rniga meridian elementi uzunligi Δs kiritilganda, bundan quyidagisi olinadi
O‘ng tomondagi qavs ichida kuchlar rejasidagi gorizontal chiziqdagi kesma ko‘rsatilgan. Demak, butun o‘ng tomon shu chiziqdagi bo‘linish nuqtalari orasidagi kesmalarni ifodalaydi. Ularni yetarlicha aniq o‘qish uchun kuchlar rejasi ehtiyotkorlik bilan va yetarlicha katta masshtabda chizilishi kerak.
Cho‘zilgan va siqilgan halqalar
Har bir aylanishga nisbatan simmetrik qobiq bir yoki ikkita gorizontal aylana bilan chegaralanadi (7-rasm). Ushbu qirralarda u prinsipial jihatdan faqat meridian tangentasi yo‘nalishiga ega bo‘lgan shunday yuklar va tayanch reaksiyalarini qabul qila oladi. Agar tashqi kuchlar boshqa yo‘nalishga ega bo‘lsa, masalan, konstruksiyaning yuqori qismidan keluvchi P yuk yoki 97-rasmda ko‘rsatilgan rezervuar tubining S reaksiyasi bo‘lsa, bu kuchlar, rasmda ko‘rsatilganidek, gorizontal aylana yo‘nalishi va meridian tangentasi bo‘yicha tarkibiy qismlarga ajratilishi kerak. P/sinφ0 yoki S/sinφu komponenti shu joyda ta’sir qiluvchi Nφ meridian yo‘nalishidagi normal kuchga teng bo‘ladi, gorizontal kuch Pctgφ0 yoki Sctgφu ni qabul qilish uchun esa tortilishni, ya’ni siqishni qabul qiluvchi va bu radial yuklanish unda + P r0 ctgφ0, ya’ni -S ru ctgφu normal kuch hosil qiladigan halqa zarur bo‘ladi. Bunday halqalar, qobiq qirralaridan tashqari, meridian egri chizig‘i sinish hosil qiladigan barcha joylarda ham o‘rnatilishi kerak. Ular har doim membranaviy kuchlanish holatining buzilishiga olib keladi.
Rasm 7
Aylanish simmetriyali qobiqlarda egilishdan kelib chiqadigan kuchlanishlar
Membran nazariyasi shakllarida berilgan vazifa uchun haqiqatan mos keladigan barcha chet shartlarini qondirish uchun yetarli miqdorda integrallash konstantalari mavjud emas. Ayniqsa, aylanishga nisbatan simmetrik qobiqlarda, integrallash konstantalarini qandaydir maqbul tanlash orqali qobiq cheti bo‘ylab halqa yo‘nalishidagi cho‘zilish εϑ = Nϑ/Et u bilan shu joyda qattiq bog‘langan boshqa konstruktiv qismning tegishli cho‘zilishiga teng bo‘lishiga erishib bo‘lmaydi. Bu, shuningdek, bir gorizontal aylana bo‘ylab meridian egriligi, qobiq qalinligi yoki sirt birligiga yuklama keskin o‘zgaradigan qobiqlarga ham taalluqlidir. Agar qobiqning biror cheti bo‘ylab halqa bilan qotirilmagan bo‘lsa, biroq ayni joyda qobiqqa normal yo‘nalishda tarkibiy qismi bo‘lgan kuchlar bilan yuklangan bo‘lsa (masalan, halqa olib tashlangan deb tasavvur qilinsa, 7 dagi P yuklama), u bunday yuklarni faqat membrana kuchlari orqali qabul qila olmaydi. Bunday hollarda kesuvchi kuch va egilish momentlari (rasm 8) qobiqdagi kuchlar taqsimotida muhim rol o‘ynaydi, buni statik hisobda inobatga olish kerak.
Rasm 8
Qobiqning egilishga nisbatan aniq hisobi, eng sodda maxsus holat — silindrsimon qobiqdan tashqari, juda murakkab vazifa hisoblanadi. Ingichka devorli qobiqlar uchun qat’iy nazariyadan ma’lum bo‘lgan bir faktga tayanuvchi oddiy va juda foydali yaqinlashma nazariya tuzish mumkin: egilishdan kelib chiqadigan kuchlanishlar chetga yaqin nisbatan tor zonada cheklanadi va chetdan uzoqlashgan sari tez kamayadi. Bu aniq differensial tenglamadagi ko‘plab hadlarni e’tiborga olmaslik imkonini beradi, natijada u soddalashtirilgan ko‘rinishga ega bo‘ladi.
Agar faqat qiziqtiruvchi chegara zonasida κ o‘rtacha qiymat bilan almashtirilsa, bu esa deyarli har doim mumkin bo‘lsa, tenglamaning yechimi
Teng. 4 va 5
bu yerda a1, b1, a2, b2 integratsion konstantalardir. Yechim faqat φ=φ0 chekkasiga yaqin qiziqarli bo‘lgani uchun, bu chekkadan burchak masofa ω=φ0-φ yoki ω=φ-φ0 ni koordinata sifatida kiritish qulay, shunda yuqoridagi yechimni o‘zgartirish orqali ikkinchi ko‘rsatilgan ifoda olinadi. Bu yerda faqat ikkita integratsion konstanta A, B yoki C, ψ paydo bo‘ladi, chunki eκω omilini o‘z ichiga olgan yechimning ikkinchi qismi, demak ω oshgani sari kamaymaydigan qismi, ko‘rib chiqishdan chiqarib tashlanishi mumkin.
5 tenglama asosida kesuvchi kuchlar va meridian tangensining aylanishi κ uchun quyidagi qiymatlar olinadi:
Aylana silindr shaklidagi rezervuarlarda egilishdan kelib chiqadigan kuchlanishlar
Balandligi h bo‘lgan silindrsimon rezervuar suv bilan to‘ldirilgan bo‘lsin (rasm 9), unda x balandlikda, ikki rezervuar sathidan yuqorida, suv bosimi p=γ(h-x) bo‘ladi. Agar shu balandlikda dx masofadagi ikki gorizontal kesimdan rezervuardan halqa kesib olinib, u bir diametri bo‘ylab ikki qismga ajratilsa, ulardan birining muvozanat sharti halqadagi membrana kuchini Nφ=pa beradi. Agar shu joyda rezervuar qalinligi t bo‘lsa, halqadagi nisbiy cho‘zilish εφ=Nφ/Et bo‘ladi va demak rezervuar radiusining ortishi (egilish)
Quyi chekkada x=0 shunga ko‘ra
Rasm 9
Odatda bu ikkisining hech biri chegaraviy shartlarga mos kelmaydi, chunki devorning deformatsiyasi rezervuar tubi bilan bog‘liqligi sababli cheklanadi. Bunda silindr tubi bilan devori tutashgan joyda transversal kuchlar Qx0 va momentlar Mx0 (sl. 11) paydo bo‘ladi; ularning kattaligi shunday tanlanishi kerakki, ular endigina hisoblangan qobiqdagi membrana kuchlari bilan birga qobiq chetida tub ruxsat beradigan ushbu deformatsiyani yuzaga keltirsin.
Rasm 10, 11, 12, mos ravishda
11-rasmda qobiq elementining dx*a dφ ko‘rsatilgan bo‘lib, unga ta’sir etuvchi kuchlar bilan birga tasvirlangan. Qobiqka normal yo‘nalishdagi kuchlar muvozanati sharti beradi
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
bundan dx dφ ga bo‘lish orqali:
a Q’x + Nφ = p a.
Silindrga nisbatan gorizontal tangens atrofidagi moment nol ekanligi shartidan quyidagisi olinadi:
dM/dx = M’x = Qx
Ushbu ikki tenglamadan Qx kesuvchi kuchini yo‘qotib yuborish orqali quyidagi natija olinadi
a M’’x + Nφ = p a.
Bir. 6
Bu tenglamada ushbu noma’lum kesish kuchlari w egilishi yordamida ifodalanishi mumkin. Nφ uchun allaqachon Nφ=Etw/a, topilgan, moment esa meridianning egilishiga w’’ proporsional, ya’ni Mx=Kw’’, bunda plastinalardagidek K=Et3/12(1-μ2) qobiqning qattiqligi bo‘lib, u x ga ko‘ra o‘zgaruvchan bo‘lishi mumkin. Agar bu o‘rtacha kuchlar uchun ifodalar tenglama (6) ga kiritilsa, rezervuarlar nazariyasining differensial tenglamasi olinadi:
Devor qalinligi o‘zgarmas bo‘lgan rezervuar uchun yechim quyidagicha:
Bir.7
bu yerda λ4=3(1-μ2)/a2t2. Agar λh katta bo‘lsa (aytaylik, 3 dan katta), giperbolik funksiyalar o‘rniga eksponensial funksiyalarni kiritish qulayroq, shunda:
Bir.8
Shunda A1, B1 konstantalari quyi chet shartlaridan, A2, B2 konstantalari esa yuqori chet shartlaridan bir-biridan mustaqil ravishda aniqlanishi mumkin, bunda odatda A2=B2=0 olinadi. (8) va (7) tenglamalar asosida kesuvchi kuchlar olinadi, bunda hisob teskari yo‘nalishda bajarilib, hamma joyda (8) va (7) tenglamalar kiritiladi; masalan, A2=B2=0 uchun:
Rezervuar devorlari plastinaga qattiq mahkamlangan bo‘lsa, rezervuarning yetarlicha qalin va qattiq deb hisoblash mumkin bo‘lgan tubida A1, B1 konstantalari x=0, w=0 va w’=0 shartlaridan aniqlanishi kerak, natijada:
Agar rezervuar tubi elastik plita yoki qobiq bo‘lsa, tub va silindr devori orasidagi chekka aylana bo‘ylab ko‘ndalang kuchlar Qx va momentlar Mx statik noaniq tizimlar nazariyasi usullari bilan, Mx va w’ ning ikkala qism uchun ham bir xil qiymatga ega bo‘lishi talabi asosida aniqlanishi kerak.