ഇലാസ്റ്റിസിറ്റി സിദ്ധാന്തം - ഷെല്ലുകൾ

ഷെല്ലുകൾ എന്നു വിളിക്കുന്നത് ഉപരിതല വഹകങ്ങളെയാണ്; അവയുടെ മധ്യ ഉപരിതലം സമതളമല്ല, മറിച്ച് വ്യക്തമായി ഉന്നതവളവുള്ളതാണ്. അവയുടെ സ്ഥിതിവിശേഷ പെരുമാറ്റം പലകയുടെ പെരുമാറ്റത്തിൽ നിന്ന് ഗണ്യമായി വ്യത്യസ്തമാണ്. അനുയോജ്യമായ ആകൃതിയുണ്ടെങ്കിൽ, അവയിലെ സമ്മർദ്ദം വളരെ കുറവായിരിക്കും, അവയുടെ കാഠിന്യം അനുയോജ്യമായി കൂടുതലായിരിക്കും, കൂടാതെ കണക്കുകൂട്ടൽ കൂടുതലായും കൂടുതൽ ലളിതമായിരിക്കും.

ഓരോ ഷെല്ലിലെയും സമ്മർദ്ദാവസ്ഥ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കാം: മെംബ്രെയിൻ സമ്മർദ്ദവും വളവുമും. തങ്ങളുടെ സമതലത്തിൽ ലോഡ് ഏൽക്കുന്ന പ്ലേറ്റിലെ സമ്മർദ്ദങ്ങളുപോലെ, മെംബ്രെയിൻ സമ്മർദ്ദങ്ങളും സ്പർശസമതലത്തിലെ കട്ടിബലങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ പ്രകടിപ്പിക്കാം – ഉദാഹരണത്തിന് x=const. എന്ന വിഭാഗത്തിൽ സാധാരണബലം _Nx=__σx*t_യും കത്രിക്കൽബലം _Nxy=__τxy*t_യും, ഇവിടെ t ഷെല്ലിന്റെ കനം ആണ്. വളവ് മൂലമുള്ള സമ്മർദ്ദങ്ങൾ പ്ലേറ്റുകളിലേതുപോലെ തന്നെയാണ്, അവയെ വളവ് മോമെന്റുകൾ Mx, ടോർഷൻ മോമെന്റുകൾ Mxy , കത്രിക്കൽ ബലങ്ങൾ Qx എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് പ്രതിനിധീകരിക്കാം.

ഷെല്ലുകളുടെ പ്രധാന സവിശേഷതകൾ ഈ വസ്തുതയിൽ അധിഷ്ഠിതമാണ്: പൊതുവെ വളവ് മൂലമുള്ള സമ്മർദ്ദങ്ങൾ മെംബ്രെയിൻ സമ്മർദ്ദങ്ങളുടെ വലുപ്പമോ പ്രാധാന്യമോ ഇല്ലാത്തതിനാൽ അവയെ പലപ്പോഴും പൂർണ്ണമായും അവഗണിക്കാം. അത്തരത്തിലുള്ള സാഹചര്യത്തിൽ എല്ലാ സമ്മർദ്ദങ്ങളും ഷെല്ലിന്റെ കട്ടിയിലുടനീളം സമാനമായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുകയും മധ്യപാദത്തിൽ സ്പർശദിശയിൽ പ്രവർത്തിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഈ അനുമാനങ്ങളിൽ അധിഷ്ഠിതമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഷെല്ലുകളുടെ മെംബ്രെയിൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പരിധിയിൽപ്പെടുന്നു.

ഭ്രമണ സമമിതമായ ഷെല്ലുകളുടെ, ഭ്രമണ സമമിതമായ ലോഡിംഗിനോടനുബന്ധിച്ച മെംബ്രേൻ സിദ്ധാന്തം

പൊതു മാതൃകകൾ

ഷെല്ലിന്റെ മദ്ധ്യ ഉപരിതലത്തിലെ മേരിഡിയന്മാരെയും സമാന്തര വൃത്തങ്ങളെയും കോർഡിനേറ്റ് രേഖകളായി സ്വീകരിക്കുന്നു, അതിനാൽ കോർഡിനേറ്റുകൾ: അസിമുത്ത് ϑ (“ഭൗഗോള രേഖാംശം”)യും, സമമിതിയുടെ അച്ചുതണ്ടിന് ലംബമായ സമതലത്തോടുള്ള മേരിഡിയനിലെ സ്പർശരേഖയുടെ ചരിവ് _φ_യും ആകുന്നു (sl. 1a). അതനുസരിച്ച്, ക്രോസ് സക്ഷൻ ബലങ്ങൾ: മേരിഡിയന്റെ ദിശയിലെ സാധാരണബലം _Nφ_യും വലയത്തിലെ സാധാരണബലം _Nϑ_യും ആണ് (sl. 1b). റോട്ടേഷനൽ സമമിതിയുള്ള സമ്മർദ്ദത്തിൽ തറച്ച് ബലങ്ങൾ Nφϑ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നില്ല. യൂണിറ്റ് ഉപരിതലത്തിലെ ഭാരം ഇങ്ങനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു (sl. 1b): Y മേരിഡിയനോട് സ്പർശരേഖാസമാന്തരമായി, φ ഉയരുന്ന ദിശയിൽ ധനാത്മകമായി, Z ഷെല്ലിന് ലംബമായി, സമമിതിയുടെ അച്ചുതണ്ടിലേക്കു ധനാത്മകമായി.

ചിത്രം 1

ചിത്രം. 2

മെറിഡിയൻ വളവിന്റെ അർദ്ധവ്യാസം r1 ആകട്ടെ. അത് കോണം φ യുടെ ഫംഗ്ഷൻ ആകുന്നതിനാൽ _r1=r1(_φ) എന്ന സമവാക്യം മെറിഡിയന്റെ ആകൃതി നിർണ്ണയിക്കുന്നു. ഇത് മെറിഡിയന്റെ സമവാക്യമായി കരുതാം, ഉദാഹരണത്തിന് ഇങ്ങനെ എഴുതാം.

വൃത്തത്തിനായി                                       r1=a=const.

പരബോളയ്ക്കായി                                  r1=a/cos3__φ

എലിപ്സിനായി          r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2

മേരിഡിയൻ ദിശയിൽ സാധാരണ ബലം N__φ കണക്കാക്കാൻ, സമാന്തര വൃത്തം φ (ചിത്രം 2)-ന് മുകളിൽ ഉള്ള ഷെൽ ഭാഗത്തിന്റെ സമതുല്യതാ വ്യവസ്ഥ സ്ഥാപിക്കണം. ഈ ഭാഗത്തെ ബാധിക്കുന്ന _Y_യും _Z_യും എന്ന ഭാരങ്ങളുടെ ഫലബലം R സമമിതിയെ പരിഗണിച്ച് ലംബമാണ്. അതിന്റെ അളവ് ഷെൽ ഉപരിതലത്തിലൂടെ φ’=0 മുതൽ φ’=φ വരെ സമാഹരിച്ച് ലഭിക്കുന്നു. ഷെൽ ഘടകത്തിന്റെ ഉപരിതലം dF=r1d__φ’*rd__ϑ ആണ്, അതിനാൽ ഭാരത്തിന്റെ ലംബ ഘടകം (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF ആണ്. _φ’_നും _φ’+dφ’_നും ഇടയിൽ ഉള്ള മുഴുവൻ വലയാകൃതിയിലുള്ള ഷെൽ ഭാഗത്തിനായുള്ള ബാഹ്യഭാരത്തിന്റെ ഫലബലം:

dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,

ഇവിടെ φ’ പ്രകാരം, φ’=φ എന്ന സമാന്തര വൃത്തത്തിന് മുകളിലായി കിടക്കുന്ന ഷെല്ലിന്റെ ഭാഗത്ത് സംയോജനം നടത്തി ലഭിക്കുന്നത്:

സമീ. 1

ഈ ഭാരം മെറിഡിയൻ ദിശയിലെ സാധാരണ ബലങ്ങൾ വഹിക്കുന്നു; അവ നിരീക്ഷിച്ച വൃത്തത്തിന്റെ പരിസരത്തുടനീളം പ്രവർത്തിക്കുന്നു; ഈ ബലങ്ങളുടെ ഫലബലത്തിന്റെ ലംബ ഘടകം 2__πr * N__φ sin__φ, ആകുന്നു, അതിനെ തുല്യമാക്കുന്നതിലൂടെ ആവശ്യമായ സാധാരണ ബലം ലഭിക്കുന്നു

സമീ. 2

ഉച്ചഭാഗത്ത് ഷെൽ φ=φ0 എന്ന വൃത്തരേഖയിലായി മുറിച്ചിരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ (ഉദാ. കൂപ്പോളയിലെ പ്രകാശ തുറവ്), സമന്വയത്തിന്റെ താഴത്തെ പരിധി സ്വാഭാവികമായും φ0 ആകും, പൂജ്യം അല്ല. ഈ രീതിയിൽ രൂപപ്പെട്ട ഷെല്ലിന്റെ അരികിൽ R0 എന്ന ഭാരവും പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അതും ഫലബലം R ലേക്ക് ചേർക്കണം (ചിത്രം 3).

ചിത്രം 3

സാധാരണബലം N__ϑ നിർണ്ണയിക്കാൻ സ്പർശതലത്തോട് ലംബമായ ഷെൽ ഘടകത്തിന് സമതുല്യതാ വ്യവസ്ഥ സ്ഥാപിക്കണം (ചിത്രം 4). ഈ ദിശയിലെ ബാഹ്യഭാരത്തിന്റെ ഫലബലം Z r1 d__φ r d__ϑ ആണ്. മേരിഡിയൻ സമതലത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന N__φ*r d__ϑ ബലങ്ങൾ തമ്മിൽ ചെറിയ കോണം d__φ ഉൾക്കൊള്ളുന്നതിനാൽ, ഷെല്ലിനോടുള്ള ലംബദിശയിലെ അവയുടെ ഫലബലം N__φ r d__ϑ*dφ ആണ്. അതുപോലെ, കിടപ്പ് വൃത്തത്തിന്റെ സമതലത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുകയും തമ്മിൽ dϑ എന്ന കോണം രൂപപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്ന Nϑ r1 dφ ബലങ്ങൾക്ക് Nϑ r1 dφ*dϑ എന്ന ഫലബലം ഉണ്ടാകും; അത് കൂടി കിടപ്പ് വൃത്തത്തിന്റെ സമതലത്തിലാണ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത്, അതിനാൽ ഷെല്ലിനോടുള്ള ലംബത്തോടു 0,5_π-φ_ എന്ന കോണം രൂപപ്പെടുത്തുന്നു. അതിനാൽ സമതുല്യതാ വ്യവസ്ഥയിൽ അതിന്റെ Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ എന്ന ഘടകമേ ഉൾപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ സമതുല്യതാ വ്യവസ്ഥ ഇപ്രകാരം എഴുതാം

അല്ലെങ്കിൽ, r r1 dϑ dφ കൊണ്ട് വിഭജിക്കുമ്പോൾ:

ഒന്ന്.3

ഇവിടെ r2=r/sinφ എന്നതായി ഷെല്ലിന്റെ വളവിന്റെ രണ്ടാമത്തെ പ്രധാന അർദ്ധവ്യാസം സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ചിത്രം 4

വൃത്താകാര ഗുമ്ബളം

മെറിഡിയന്റെ ആകൃതി വിശകലനപരമായി r1=r1(φ) എന്ന സമീകരണത്തിലൂടെ നൽകിയിരിക്കുകയും ഭാരം Y(φ) ഉം Z(φ) ഉം സംബന്ധിച്ച വിശകലനപരമായ പ്രകടനങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുകയും ചെയ്താൽ, ഷെല്ലിലെ കട്ടിവെട്ട് ബലങ്ങൾ അടഞ്ഞ രൂപത്തിൽ സമന്വയത്തിലൂടെയോ അല്ലെങ്കിൽ Simpson-ന്റെ നിയമം ഉപയോഗിച്ച് സംഖ്യാത്മകമായോ എല്ലായ്പ്പോഴും നിർണ്ണയിക്കാം. വ്യാസം a ആയ വൃത്താകാര ഗുമ്ബത്തിനായി, താഴെ ചില ലോഡിംഗ് സാഹചര്യങ്ങളിലെ കട്ടിവെട്ട് ബലങ്ങൾ നൽകുന്നു:

φ_=0 ആയപ്പോൾ അനന്തമായി വലിയ ഷിയർ ബലങ്ങൾ നൽകുന്ന അവസാന രൂപം, ബലത്തിന്റെ പ്രയോഗബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ഒരു നിശ്ചിത അകലം കഴിഞ്ഞുള്ള ഭാഗത്ത് മാത്രമേ പ്രാബല്യമുള്ളൂ. ബലം പ്രവർത്തിക്കുന്ന സ്ഥലത്തിന്റെ തത്സമീപത്തിൽ, അത് പരിമിതമെങ്കിലും ചെറുവ്യാസമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ഉപരിതലത്തിലാകെ വിതരണം ചെയ്‌താലും, ഭാരം മുഖ്യമായും വളച്ചലിലൂടെയാണ് കൈമാറപ്പെടുന്നത്.

മുകളിൽ തുറന്ന ഷെല്ലുകളുടെ രൂപങ്ങൾ മുമ്പുള്ളവയിൽ നിന്ന്導ിക്കാം, യഥാർത്ഥ ഭാരംമേൽക്കലിൽ ശിഖരത്തിൽ ഒരു കൽപ്പിത ഭാരം P ചേർത്താൽ, അതിന്റെ മൂല്യം ഇപ്രകാരം നിശ്ചയിക്കപ്പെടുന്നു: ഷെല്ലിന്റെ മുകളിലെ അരികിൽ മേരിഡിയൻ ദിശയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന മൊത്തം സാധാരണ ബലം φ=φ0 ആയാൽ Nφ=0 ആയിരിക്കും, അല്ലെങ്കിൽ ഷെൽ ഇവിടെ ഏറ്റുവാങ്ങുന്ന ബാഹ്യബലങ്ങൾ നിശ്ചയിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും മൂല്യത്തിനോട് തുല്യമാകുന്നു.

കോൺ ആകൃതിയിലുള്ള ഷെൽ

ചി. 5

ശങ്ക്വാകൃതിയിലുള്ള ഷെല്ലിൽ മെറിഡിയന്റെ ചരിവായ φ നെ കോഓർഡിനേറ്റായി ഉപയോഗിക്കാനാവില്ല, കാരണം അതിന് എല്ലാ ബിന്ദുക്കളിലും ഒരേ മൂല്യമാണുള്ളത്. അതിന് പകരം ഉൽപ്പാദക രേഖയിലുടനീളം അളക്കുന്ന ഗുംബത്തിന്റെ ശിഖരത്തിൽ നിന്നുള്ള ദൂരം s അവതരിപ്പിക്കുന്നു (ചിത്രം 5). അതനുസരിച്ച് മെറിഡിയന്റെ ദിശയിലെ ലംബശക്തി Ns എന്നായി സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അതിരുസംക്രമണം നടത്തുമ്പോൾ മുകളിൽ നൽകിയ 1 ലെവയിൽ നിന്ന് ആവശ്യമായ മാതൃകകൾ ലഭിക്കും. സമവാക്യം (2) വഴി ഇങ്ങനെ ലഭിക്കുന്നു

മറ്റും സമവാക്യത്തിൽ (3)

Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.

ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഭാരം സംഭവങ്ങൾക്ക് താഴെ പറയുന്ന സൂത്രങ്ങൾ ബാധകമാണ്:

മെറിഡിയന്റെ ഏത് രൂപത്തിനുമുള്ള ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി

ചിത്രം. 6

മെറിഡിയൻ വക്രം വിശകലനപരമായൊരു പ്രകടനത്തിലല്ല, ഉദാഹരണത്തിന് ഗ്രാഫിക് രൂപത്തിലാണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത് എങ്കിൽ, വളവിന്റെ ആരം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് അത്യന്തം ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതും അത്രമേൽ അനിശ്ചിതവുമാണ്. അത്തരത്തിൽ ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി (sl. 6) ഉപയോഗിക്കുന്നത് കൂടുതൽ അനുയോജ്യമാണ്.

പടലം നിരവധി φ=const. സമതലങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു, അവയ്‌ക്കിടയിൽ ഉള്ള വളയാകാര മേഖലകളുടെ ഭാരങ്ങൾ Δ_R_ കണക്കാക്കുകയും അവയെ ഏറ്റവും നല്ലത് ഉടൻ തന്നെ 2_π_ കൊണ്ട് വിഭജിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഈ ബലങ്ങൾ ΔR/2π ബലം-ചിത്രത്തിലേക്ക് (ചിത്രം 6b) പ്രയോഗിക്കുന്നു. തുടർന്ന്, ഉദാഹരണത്തിന്, വിഭജനബിന്ദു 7 വഴി മേരിഡിയന്റെ ബിന്ദു 7യിലെ സ്പർശരേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമായ ഒരു രേഖ വരച്ചാൽ, ബലം-ചിത്രത്തിന്റെ മുകളിലെ ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുള്ള സമാന്തരരേഖ അതിൽ R1/2π sinφ7 എന്ന ദൈർഘ്യം മുറിക്കും; അതിൽ നിന്ന് സമവാക്യം (2) പ്രകാരം അനുയോജ്യമായ r കൊണ്ട് വിഭജിച്ച് മേരിഡിയന്റെ ദിശയിൽ അനുയോജ്യമായ ലംബബലം ലഭിക്കുന്നു.

വളയങ്ങളിലെ ബലങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ ഷെല്ലിന്റെ ഒരു ഘടകത്തിലെ കിടത്ത്ബലങ്ങളുടെ സമതുല്യതാ നിബന്ധന ഉപയോഗിക്കുന്നു. ലംബഭാരങ്ങൾ മാത്രം പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ഈ നിബന്ധന ഇങ്ങനെ ആണ് (sl. 4):

ഇവിടെ dφ നെ സ്വീകരിച്ച ഷെൽ വിഭജനത്തിന് അനുയോജ്യമായ അന്തിമ വ്യത്യാസമായ Δφ കൊണ്ടും, r1 dφ ന് പകരം മെറിഡിയൻ ഘടകത്തിന്റെ നീളം Δs കൊണ്ടും മാറ്റുമ്പോൾ, ഇതിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്നത്

വലത് വശത്തെ ബ്രാക്കറ്റിൽ ബലങ്ങളുടെ പ്ലാനിലെ കിടത്തായ രേഖയിൽ ഒരു അബ്സിസ്സ കാണിക്കുന്നു. അതിനാൽ മുഴുവൻ വലത് വശവും ഈ രേഖയിലെ വിഭാഗചിഹ്നങ്ങളുടെ ഇടവേളകളെയാണ് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത്. അവയെ മതിയായ കൃത്യതയിൽ വായിക്കാനാകാൻ, ബലങ്ങളുടെ പ്ലാൻ സൂക്ഷ്മമായി, മതിയായ വലുപ്പത്തിലുള്ള സ്കെയിലിൽ വരയ്ക്കണം.

നീട്ടിയതും അമർത്തിയതുമായ വലയങ്ങൾ

ഓരോ ഭ്രമണസമമിതിയുള്ള ഷെല്ലും ഒന്നോ രണ്ടോ കിടത്തുവൃത്തങ്ങളാൽ (ചിത്രം 7) പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. ഈ അറ്റങ്ങളിൽ, സിദ്ധാന്തപരമായി, മേരിഡിയനിലേക്കുള്ള സ്പർശരേഖയുടെ ദിശയിലുള്ള ഭാരംകളും ആധാരപ്രതികരണങ്ങളും മാത്രമേ അതിന് ഏറ്റുവാങ്ങാനാകൂ. പുറംബലങ്ങൾക്ക് മറ്റൊരു ദിശയുണ്ടെങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിന് നിർമ്മിതിയുടെ മുകളിലെ ഭാഗത്തിൽ നിന്നുള്ള ഭാരം P അല്ലെങ്കിൽ ചിത്രം 97-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ടാങ്കിന്റെ അടിത്തട്ടിലെ പ്രതികരണം S എന്നിവ, ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചതുപോലെ, അവയെ കിടത്തുവൃത്തത്തിന്റെ ദിശയിലും മേരിഡിയന്റെ സ്പർശദിശയിലും ഘടകങ്ങളാക്കി വേർതിരിക്കണം. ഘടകം P/sinφ0 അല്ലെങ്കിൽ S/sinφu മേരിഡിയന്റെ ദിശയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന സാധാരണബലം Nφ നോട് തുല്യമാണ്, അതേസമയം കിടത്തുബലം Pctgφ0 അല്ലെങ്കിൽ Sctgφu ഏറ്റുവാങ്ങാൻ വലിച്ചുനീട്ടലോ, യഥാക്രമം അമർദ്ദമോ സ്വീകരിക്കുന്ന ഒരു വളയം ആവശ്യമാണ്; അതിൽ ഈ വികിരണഭാരം + P r0 ctgφ0, യഥാക്രമം -S ru ctgφu എന്ന സാധാരണബലം സൃഷ്ടിക്കുന്നു. ഇത്തരത്തിലുള്ള വളയങ്ങൾ ഷെല്ലിന്റെ അറ്റങ്ങളിൽ മാത്രമല്ല, മേരിഡിയൻ വക്രങ്ങൾക്ക് വളവ് വരുന്ന എല്ലാ സ്ഥലങ്ങളിലും സ്ഥാപിക്കേണ്ടതാണ്. അവ എല്ലായ്പ്പോഴും മെംബ്രെയിൻ സമ്മർദ്ദാവസ്ഥയിൽ വ്യതിയാനം സൃഷ്ടിക്കുന്നു.

ചി. 7

ഭ്രമണസമമിതി ഉള്ള ഷെല്ലുകളിലെ വളവുമൂലമുള്ള സമ്മർദ്ദങ്ങൾ

മെംബ്രെയ്ൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ മാതൃകകളിൽ, യഥാർത്ഥത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രശ്‌നത്തിന് അനുയോജ്യമായ എല്ലാ അതിരുനിബന്ധനകളും പാലിക്കാൻ മതിയായ എണ്ണം സംയോജനസ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ ഇല്ല. പ്രത്യേകിച്ച് ഭ്രമണസമമിതിയായ ഷെല്ലുകളിൽ, സംയോജനസ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ യോജിച്ചൊരു തെരഞ്ഞെടുപ്പിലൂടെ ഷെല്ലിന്റെ അരികിലുടനീളം വളയദിശയിലെ εϑ = Nϑ/Et എന്ന വിപുലീകരണം അതേ സ്ഥലത്ത് അതുമായി കഠിനമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന മറ്റൊരു ഘടനാ ഭാഗത്തിന്റെ അനുയോജ്യമായ വിപുലീകരണത്തോട് സമമാക്കാൻ കഴിയില്ല. ഒരേത് തന്നെ, ഒരു കിടത്തുദിക്കിനോടനുബന്ധിച്ച വൃത്തം boyunca മെറിഡിയന്റെ വളവിൽ, ഷെല്ലിന്റെ കട്ടിയിൽ അല്ലെങ്കിൽ യൂണിറ്റ് വിസ്തീർണ്ണത്തിലെ ഭാരത്തിൽ പെട്ടെന്നുള്ള മാറ്റമുള്ള ഷെല്ലുകൾക്കും ബാധകമാണ്. ഷെല്ല് ഒരു അരികിനോട് ചേർന്ന് ഒരു വളയം വഴി കാഠിന്യമാർജ്ജിച്ചിട്ടില്ലെങ്കിലും, ഈ സ്ഥലത്ത് ഷെല്ലിന്റെ സാധാരണ ദിശയ്ക്ക് ഘടകമുള്ള ശക്തികളാൽ അത് ഭാരംവഹിക്കുന്നുവെങ്കിൽ (ഉദാ. വളയം നീക്കം ചെയ്തതായി കരുതുമ്പോൾ ചിത്രം 7യിലെ P ഭാരം), മെംബ്രെയ്ൻ ശക്തികളിലൂടെ മാത്രം ഇത്തരം ഭാരം ഏറ്റെടുക്കാൻ അതിന് കഴിയില്ല. ഇത്തരത്തിലുള്ള സാഹചര്യങ്ങളിൽ ഷീയർ ഫോഴ്‌സും വളവ് മോമെന്റുകളും (ചിത്രം 8) ഷെല്ലിലെ ശക്തികളുടെ വിതരണത്തിൽ പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു; അതു സ്റ്റാറ്റിക് കണക്കിൽ പരിഗണിക്കണം.

ചിത്രം 8

വളവിൽ ഇഴചലനം ഉണ്ടാകുമ്പോൾ ഷെല്ലിന്റെ കൃത്യമായ കണക്കുകൂട്ടൽ, സിലിണ്ട്രാകാര ഷെല്ലിന്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ പ്രത്യേക സാഹചര്യത്തെ ഒഴികെ, വളരെ ദുഷ്കരമായ ഒരു പ്രവർത്തനമാണ്. നേർത്ത മതിലുകളുള്ള ഷെല്ലുകൾക്കായി, കർശന സിദ്ധാന്തത്തിൽ അറിയപ്പെടുന്ന ഈ സത്യത്തിൽ അധിഷ്ഠിതമായ ലളിതവും വളരെ പ്രയോജനപ്രദവുമായ ഒരു അനുമാന സിദ്ധാന്തം രൂപപ്പെടുത്താം: വളവുമൂലമുള്ള സമ്മർദങ്ങൾ അതിരിന് സമീപമുള്ള താരതമ്യേന ഇടുങ്ങിയ ഒരു മേഖലയിലേക്ക് മാത്രമേ പരിമിതമാകൂ, കൂടാതെ അതിരിൽ നിന്ന് അകലം കൂടുന്തോറും അവ വേഗത്തിൽ കുറയുന്നു. ഇതിലൂടെ കൃത്യമായ വ്യുത്പന്ന സമവാക്യത്തിലെ നിരവധി ഘടകങ്ങൾ അവഗണിക്കാനാകുകയും, അതുവഴി അത് ലളിതമായ രൂപം സ്വീകരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

അറ്റപ്രദേശത്ത് മാത്രമേ താൽപര്യമുള്ള κ നെ ശരാശരി മൂല്യത്തോടെ പകരുകയാണെങ്കിൽ, ഇത് സാധാരണയായി എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമാണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം ആണ്

1 4യും 5യും

ഇവിടെ a1, b1, a2, b2 സംയോജന സ്ഥിരാങ്കങ്ങളാണ്. പരിഹാരം φ=φ0 എന്ന അതിരിനടുത്ത് മാത്രമേ പ്രസക്തിയുള്ളൂ എന്നതിനാൽ, ആ അതിരിൽ നിന്നുള്ള കോണീയ അകലം ω=φ0-φ അല്ലെങ്കിൽ ω=φ-φ0 എന്നത് കോർഡിനേറ്റായി സ്വീകരിക്കുന്നത് അനുയോജ്യമാണ്; അങ്ങനെ മേൽപ്പറഞ്ഞ പരിഹാരത്തിന്റെ പരിവർത്തനത്തിലൂടെ രണ്ടാമതായി സൂചിപ്പിച്ച വ്യഞ്ജനം ലഭിക്കുന്നു. ഇവിടെ രണ്ട് സംയോജന സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ മാത്രം A, B അല്ലെങ്കിൽ C, ψ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു, കാരണം eκω എന്ന ഘടകം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന പരിഹാരത്തിന്റെ രണ്ടാം ഭാഗം, അതിനാൽ ω വർധിക്കുമ്പോൾ കുറഞ്ഞുവരാത്തത്, പരിഗണനയിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കാം.

സമീകരണം 5 അടിസ്ഥാനമാക്കി, ക്രോസ്-സെക്ഷണൽ ബലങ്ങൾക്കും മെറിഡിയൻ ടാൻജന്റിന്റെ κ വളവിനും താഴെപ്പറയുന്ന മൂല്യങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നു:

വൃത്താകാര സിലിണ്ടർ രൂപത്തിലുള്ള സംഭരണികളിലെ വളവിനെത്തുടർന്നുള്ള സമ്മർദ്ദങ്ങൾ

ഉയരം h ഉള്ള ഒരു സിലിണ്ട്രിക്കൽ റിസർവോയർ വെള്ളം നിറച്ചിരിക്കുന്നതായി കരുതുക (ചിത്രം 9); അപ്പോൾ x എന്ന ഉയരത്തിൽ, റിസർവോയറിന് മുകളിലെ വെള്ളമർദം p=γ(h-x) ആയിരിക്കും. ഈ ഉയരത്തിൽ dx അകലമുള്ള രണ്ട് കിടപ്പ് ക്രോസ്സെക്ഷനുകളിൽ നിന്ന് റിസർവോയറിൽ നിന്ന് ഒരു വളയം മുറിച്ച്, അതിനെ ഒരു വ്യാസരേഖയിലൂടെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളാക്കി വിഭജിച്ചാൽ, അവയിൽ ഒന്നിന്റെ സമതുല്യതാ വ്യവസ്ഥ വളയത്തിലെ മെംബ്രേൻ ബലം Nφ=pa നൽകുന്നു. ഈ സ്ഥലത്തെ റിസർവോയറിന്റെ കനം t ആണെങ്കിൽ, വളയത്തിലെ വികൃതി εφ=Nφ/Et ആയിരിക്കും; അതിനാൽ റിസർവോയറിന്റെ അർദ്ധവ്യാസ വർധനവ് (വളവ്) ആണ്

താഴത്തെ അതിരിൽ x=0 എന്നതിനാൽ

ചിത്രം 9

സാധാരണയായി ഇവ രണ്ടും അതിരു നിബന്ധനകൾക്ക് അനുസൃതമാകുന്നില്ല, കാരണം സംഭരണിയുടെ അടിത്തറയുമായുള്ള ബന്ധം കാരണം ഭിത്തിയുടെ രൂപവത്കരണം തടയപ്പെടുന്നു. ഇതിലൂടെ സിലിണ്ടറിന്റെ അടിത്തറയും ഭിത്തിയും തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിൽ രേഖാന്തരബലങ്ങൾ _Qx0_യും മോമന്റുകൾ _Mx0_യും (ചിത്രം 11) ഉണ്ടാകുന്നു; ഇവയുടെ വലുപ്പം ഇങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കണം: അവ ഇപ്പോൾ കണക്കാക്കിയ ഷെല്ലിലെ മെംബ്രേൻ ബലങ്ങളോടൊപ്പം, അടിത്തറ അനുവദിക്കുന്ന ഷെല്ലിന്റെ അരികിലെ ഈ രൂപവത്കരണത്തെ സൃഷ്ടിക്കണം.

ചിത്രം 10, 11, 12, യഥാക്രമം

sl. 11-ൽ dx*a dφ എന്ന ആവരണ ഘടകം അതിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ബലങ്ങളോടുകൂടെ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. ആവരണത്തിന് ലംബമായ ദിശയിലെ ബലസന്തുലനം നൽകുന്നത്

dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,

അവിടെ നിന്ന് dx dφ കൊണ്ട് ഭാഗിച്ചാൽ:

a Q’x + Nφ = p a.

സിലിണ്ടറിലെ കിടത്തുതാങ്ങിനുചുറ്റുമുള്ള മോമെന്റ് ശൂന്യമാണെന്ന വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്നത്:

dM/dx = M’x = Qx

ഈ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ട്രാൻസ്വേഴ്സൽ ബലം Qx ഇല്ലാതാക്കുമ്പോൾ ലഭിക്കുന്നത്

a M’’x + Nφ = p a.

സമവാക്യം 6

ഈ സമീകരണത്തിൽ ഈ അറിയാത്ത കട്ടിമുറൽബലങ്ങളെ വലക്കം w ഉപയോഗിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കാം. _Nφ_യ്ക്കായി ഇതിനകം Nφ=Etw/a, എന്ന് കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ട്, കൂടാതെ മോമെന്റ് മേരിഡിയന്റെ വളവിന് അനുപാതമാണ് w’’, അഥവാ Mx=Kw’’, ഇവിടെ പ്ലേറ്റുകളിലെപ്പോലെ തന്നെയാണ് K=Et3/12(1-μ2) എന്നത് ഷെല്ലിന്റെ കാഠിന്യം, അത് x നുസരിച്ച് മാറാവുന്നതാണ്. ശരാശരി ബലങ്ങൾക്കായുള്ള ഈ പ്രകടനങ്ങൾ സമീകരണത്തിൽ (6) ഉൾപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, ടാങ്ക് സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ വ്യുത്പന്ന സമീകരണം ലഭിക്കുന്നു:

ഭിത്തിയുടെ കനം മാറ്റമില്ലാത്ത ഒരു ടാങ്കിനായി പരിഹാരം ഇങ്ങനെ ആണ്:

ഒന്ന്.7

ഇവിടെ λ4=3(1-μ2)/a2t2 ആണ്. λh വലുതായിരിക്കുകയാണെങ്കിൽ (ഉദാഹരണത്തിന്, 3-നേക്കാൾ കൂടുതൽ), ഹൈപ്പർബോളിക് ഫങ്ഷനുകൾക്ക് പകരം എക്സ്പൊണൻഷ്യൽ ഫങ്ഷനുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്, അതിനാൽ:

ഒന്ന്.8

അപ്പോൾ താഴെയുള്ള അതിരുനിബന്ധനകളിൽ നിന്ന് A1, B1 എന്ന സ്ഥിരാങ്കങ്ങളെ പരസ്പരം സ്വതന്ത്രമായി നിർണ്ണയിക്കാം, ხოლო മുകളിലെ അതിരുനിബന്ധനകളിൽ നിന്ന് A2, B2 എന്ന സ്ഥിരാങ്കങ്ങളെ നിർണ്ണയിക്കാം; സാധാരണയായി A2=B2=0_ ലഭിക്കുന്നു. സമവാക്യം (8)യും (7)യും അടിസ്ഥാനമാക്കി ക്രോസ് ഫോഴ്സുകൾ ലഭിക്കുന്നു, കണക്കുകൂട്ടൽ വിപരീത ദിശയിൽ നടത്തുകയും എല്ലായിടത്തും സമവാക്യം (8)യും (7)യും ഉപയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ; ഉദാഹരണത്തിന് A2=B2=0_ എന്നതിനായി:

ടാങ്കിന്റെ ഭിത്തികൾ പ്ളേറ്റിൽ കട്ടിയായി പതിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നപ്പോൾ, മതി കട്ടിയുള്ളതായതിനാൽ കട്ടിയായതായി കരുതാവുന്ന ടാങ്കിന്റെ അടിയിൽ, A1, B1 എന്ന സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ x=0, w=0 ഒപ്പം w’=0 എന്ന നിലകളിൽ നിന്ന് നിർണയിക്കണം; അങ്ങനെ ലഭിക്കുന്നത്:

റിസർവോയറിന്റെ അടിത്തറ ഇളക്കമുള്ള ഒരു പ്ലേറ്റ് അല്ലെങ്കിൽ ഷെൽ ആണെങ്കിൽ, അടിയും സിലിണ്ടർ മതിലും തമ്മിലുള്ള കരയരികിലെ വൃത്തരേഖയിലുടനീളം Qx എന്ന അടി-അതിര്‍ ശക്തികളും Mx എന്ന മോമെന്റുകളും, ഇരുഭാഗങ്ങൾക്കുമുള്ള Mx യും w’ യും ഒരേ മൂല്യമാകണം എന്ന ആവശ്യത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, സ്റ്റാറ്റിക്കലി ഇൻഡിറ്റർമിനേറ്റ് സിസ്റ്റം സിദ്ധാന്തത്തിലെ രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കണം.