Testaceis appellantur portantes superficies, quarum superficies media non est plana sed manifeste convexa. Eorum se gerendi ratio statica a tabulae ratione multum differt. Cum aptam formam habent, eorum tensiones multo minores sunt, rigiditas eorum proportionate maior, et calculatio in plerisque casibus simplicior.
Stressus cuiusque testae in duo partes dividi potest: stressum membranaceum et flexionem. Stressus membranacei, simili modo ac stressus in lamina in sua superficie onusta, per vires sectionis in plano tangentiali exprimi possunt – hi sunt, e.g. in sectione x=const. vis normalis _Nx=_σx*t et vis secans _Nxy=_τxy*t, ubi t est crassitudo testae. Stressus ex flexione idem sunt ac in laminis et repraesentari possunt momentis flexionis Mx, momentis torsionalibus Mxy et viribus secantibus Qx.
Praecipuae proprietates testarum in eo positae sunt quod, ut regula, stressus ex flexione neque magnitudine neque momento aequant stressus membranaceos, ita ut saepe prorsus neglegi possint. In hoc casu omnes stressus per crassitudinem testae aequaliter distribuuntur et tangentialiter ad superficiem mediam agunt. Calculi qui super his suppositis innituntur intra ambitum theoriae membranaceae testarum cadunt.
Theoria membranacea testarum rotatione symmetricarum sub onere rotatione symmetrico
Formulae generales
Pro lineis coordinatarum sumuntur meridiani et circuli paralleli in superficie media testae, ita ut coordinatae sint: azimut ϑ (“longitudo geographica”) et inclinatio φ tangentis ad meridianum versus planum axem symmetriae perpendiculare (fig. 1a). Itaque vires sectionis sunt: vis normalis Nφ in directione meridiani et vis normalis Nϑ in annulo (fig. 1b). Vires secantes Nφϑ non apparent in tensione rotatione symmetrica. Onus per unitatem superficiei ita indicatur (fig. 1b): Y tangentialiter ad meridianum, positivum in directione qua φ crescit, Z normale ad testam, positivum versus axem symmetriae.
SI.1
SI.2
Sit radius curvaturae meridiani r1. Is functio anguli φ est, itaque formula _r1=r1(_φ) formam meridiani definit. Haec sumi potest tamquam aequatio meridiani et, exempli gratia, sic sonat.
pro circulo r1=a=const.
pro parabola r1=a/cos3__φ
pro ellipsi r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Ad computandam vim normalem N__φ in directione meridiani ponenda est conditio aequilibrii partis testae quae iacet supra circulum parallelum φ (fig. 2). Resultans R onerum Y et Z, quae hanc partem impetunt, verticalis est, ratione symmetriae. Eius magnitudo obtinetur integratione per superficiem testae ab φ’=0 usque ad φ’=φ. Superficies elementi testae est dF=r1d__φ’*rd__ϑ, ita ut pars verticalis oneris (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF sit. Pro tota parte annuliformi testae quae iacet inter circulos φ’ et φ’+dφ’ resultantia oneris externi est:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
unde, integratione secundum φ’ pro parte testae quae iacet supra circulum parallelum φ’=φ, obtinetur:
Sent. 1
Hoc onus recipiunt vires normales in directione meridiani, quae per circumferentiam circuli observati agunt; componentis verticalis resultantiae harum virium est 2__πr * N__φ sin__φ, itaque ex aequatione inde obtinetur vis normalis quaesita
Sent. 2
Si testudo in parte superiore secatur per circulum φ=φ0 (ex. apertura ad illuminationem in cupola), inferior terminus integralis est, utique, φ0, non autem nullus. Si in margine testudinis hoc modo effectae etiam onus R0 agit, etiam id resultanti R addendum est (fig. 3).
SI.3
Ad determinandam vim normalem N__ϑ ponenda est condicio aequilibrii elementi testae perpendiculariter ad planum tangentiale (fig. 4). Resultans oneris externi in hac directione est Z r1 d__φ r d__ϑ. Vires N__φ*r d__ϑ quae iacent in plano meridiano angulum parvum d__φ inter se claudunt, ideo earum resultans in directione normae ad testam est N__φ r d__ϑ*dφ. Similiter vires Nϑ r1 dφ quae iacent in plano circuli horizontalis et inter se angulum dϑ formant habent resultantem Nϑ r1 dφ*dϑ, quae quoque iacet in plano circuli horizontalis et proinde cum norma ad testam angulum 0,5_π-φ_ claudit, ita ut in condicionem aequilibrii tantum ingrediatur eorum pars Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. Condicio igitur aequilibrii sic sonat
vel, cum dividitur per r r1 dϑ dφ:
Unius.3
Hic per r2=r/sinφ significatur secundus radius principalis curvaturae testae.
SI.4
Cupola circularis
Cum figura meridiani analytice datur aequatione r1=r1(φ) et cum pro oneribus Y(φ) et Z(φ) expressiones analyticae dantur, vires sectionales in cortice semper determinari possunt integratione in forma clausa vel numerice, regulam Simpson adhibentes. Pro testudine circulari diametri a sequentes vires sectionales pro quibusdam casibus oneris dantur:
Formula ultima, quae pro φ=0 vires sectionales infinite magnas dat, tantum ad certum intervallum a puncto impingente vis valet. In propinqua regione loci ubi vis agit, etiam cum per superficiem circuli diametri finiti sed parvi distribuitur, onus praecipue flectendo transfertur.
Formae pro conchis in parte superiore apertis ex praecedentibus deduci possunt, si oneri reali addatur onus ficticium P in vertice, cuius magnitudo ita determinatur si vis normalis totalis in directione meridiani quae in margine superiore conchae agit φ=φ0 est Nφ=0, aut aequalis cuidam valori a viribus externis definito quas concha hic recipit.
Testa conica
SI.5
In testa conica inclinatio meridiani φ uti coordinata non potest, quia in omnibus punctis eandem valorem habet. Loco eius introducitur distantia s a vertice cupolae mensa per directricem (fig. 5). Vis normalis in directione meridiani proinde notatur Ns. Formulae necessariae ex illis supra sub 1 obtineri possunt, cum transitus ad limen peragitur. Ex aequatione (2) ita obtinetur
et ex aequatione (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Pro casibus oneris maxime momentis hae formulae valent:
Modus graphicus pro quovis meridiani forma
SI.6
Cum curva meridiana non datur expressione analytica, sed, exempli gratia, graphice, determinatio radii curvaturae nimis difficilis et nimis inexacta est. In hoc casu utilius est methodo graphica uti (fig. 6).
Testa dividitur pluribus planis φ=const., pondera Δ_R_ zonarum anularium quae inter plana iacent computantur et utiliter statim dividuntur per 2_π_. Hae vires ΔR/2π in planum virium inducuntur (fig. 6b). Si deinde, exempli gratia, per punctum divisionis 7 linea ducatur tangenti in parallela ad meridianum in puncto meridiani 7, horizontale per superiorem punctum plani virium eam secabit in longitudine R1/2π sinφ7 ex qua, secundum aequationem (2), divisione per respondentem r obtinetur correspondens vis normalis in directione meridiani.
Ad determinandas vires in annulis valet condicio aequilibrii virium horizontalium in uno elemento corticis. Si tantum onera verticalia agunt, haec condicio ita se habet (fig. 4):
Cum hic dφ substituitur differentia finita Δφ, quae partitioni receptae testae respondet, et cum loco r1 dφ longitudo Δs elementi meridiani inducitur, hinc obtinetur
In clausula ad dextram partem stat segmentum in linea horizontali in plano virium. Totus latus dexter igitur segmenta inter puncta divisionis in hac linea repraesentat. Ut ea satis accurate legere possimus, planum virium diligenter et in satis magna scala delineandum est.
Anuli tensi et pressi
Quaelibet testa rotatione symmetrica uno vel duobus circulis horizontalibus terminatur (fig. 7). In his marginibus, principialiter, talia tantum onera et reactiones sustentaculorum recipere potest, quae directionem tangentis ad meridianum habent. Si vires externae aliam habent directionem, ut e.g. onus P ex parte superiore structurae vel reactio S fundi reservoiris in fig. 97 depicti, hae vires, ut in imagine demonstratur, in partes resolvendae sunt in directione circuli horizontalis et tangentis ad meridianum. Pars P/sinφ0 vel S/sinφu aequalis est vi normali in directione meridiani Nφ, quae ibi agit, dum ad recipiendam vim horizontalem Pctgφ0 vel Sctgφu annulus requiritur qui tensionem, scilicet pressionem, recipiat, et in quo hoc onus radiale vim normalem + P r0 ctgφ0, scilicet -S ru ctgφu, gignit. Tales annuli, praeter marginibus testae, etiam in omnibus locis ponendi sunt ubi curva meridiana flexuram habet. Hi semper perturbationem status tensionis membranaceae efficiunt.
SI.7
Tensiones ex flexione in testis rotative symmetricis
Formae theoriae membranaceae numerum satis magnum constantium integrationis non continent, ut omnes conditiones in limite, quae re vera quaestioni propositae respondent, impleri possint. Praesertim apud testas rotationaliter symmetricas non potest, per aliquam idoneam electionem constantium integrationis, effici ut dilatatio εϑ = Nϑ/Et in directione annuli per marginem testae aequalis sit dilatationi respondenti alterius partis structurae, quae eo loco cum ea firme coniuncta est. Idem valet etiam de testis in quibus per unum circulum horizontalem curvatura meridiani, crassitudo testae aut onus per unitatem superficiei repente mutantur. Et cum testa per aliquam marginem annulo non rigidificetur, sed hoc loco viribus oneretur quae componentem in directionem normalem ad testam habent (exempli gratia onus P in fig. 7 cum fingitur annulum remotum esse), huiusmodi onera solis viribus membranaceis recipere non potest. In talibus casibus vis secans et momenta flexionis (fig. 8) munus praecipuum in distributione virium in testa agunt, quod in calculo statico considerandum est.
SI.8
Exacta computatio testae ad flexionem, praeter simplicissimum casum specialem testae cylindricae, valde difficilis est. Pro testis cum parietibus tenuibus potest construi simplex et valde utilis theoria approximata, quae innititur facto e theoria rigida noto, quod tensiones ex flexione ad zonam relative angustum iuxta marginem limitantur et cum incremento distantiae a margine celeriter minuuntur. Hoc efficit ut numerus magnus terminorum in aequatione differentiali exacta neglegatur, unde ea formam simpliciorem accipit.
Si intra zonam marginalem, quae sola interest κ, valor medius substituatur, quod fere semper fieri potest, aequationis solutio est
Aequ. 4 et 5
ubi a1, b1, a2, b2 constantes integrationis sunt. Quia solutio tantum in vicinia marginis φ=φ0 interest, opportunum est distantiam angularis ω=φ0-φ vel ω=φ-φ0 ab hoc margine tamquam coordinatam inducere, atque transformatione solutionis supra dictae altera expressio indicata obtinetur. Hic tantum duae constantes integrationis A, B vel C, ψ apparent, quia secunda pars solutionis, quae factorum eκω continet, et ideo crescente ω non decrescit, ex consideratione excludi potest.
Ex aequatione 5 obtinentur sequentia valores pro viribus sectionis et torsione κ tangentis meridiani:
Tensiones ex flexione in receptaculis formae cylindri circularis
Sit receptaculum cylindricum altitudinis h aqua plenum (fig. 9), tum ad altitudinem x supra fundum receptaculi pressio aquae est p=γ(h-x). Si ad hanc altitudinem ex duobus sectionibus horizontalibus intervallo dx inter se distantibus annulus e receptaculo secetur et hic per diametrum in duas partes dividatur, condicio aequilibrii unius earum vim membranaceam in annulo dat Nφ=pa. Si crassitudo receptaculi in hoc loco t est, extensio in annulo est εφ=Nφ/Et et ideo augmentum radii receptaculi (deflexio) est
In margine inferiore x=0 est igitur
SI.9
Neutrum ex duobus, ut regula, cum condicionibus limitibus congruit, quia deformatio parietis impeditur ob nexum cum fundo receptaculi. In nexu inter fundum et parietem cylindri apparent vires transversales Qx0 et momenta Mx0 (fig. 11), quorum magnitudinem ita determinare oportet, ut una cum nuper computatis viribus membranaceis in testa hanc deformationem in margine testae efficiant, quam fundus permittit.
Fig. 10, 11, 12, respective
In fig. 11 ostenditur elementum testae dx*a dφ cum viribus quae in id agunt. Conditio aequilibrii virium in directione normali ad testam dat
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
unde per divisionem per dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Ex condicione quod momentum circa tangentem horizontalem ad cylindrum nullum est, obtinetur:
dM/dx = M’x = Qx
Eliminatione virium transversarum Qx ex his duabus aequationibus sequitur
a M’’x + Nφ = p a.
Sent. 6
In hac aequatione hae incognitae vires sectionales per deflexionem w exprimi possunt. Pro Nφ iam inventum est Nφ=Etw/a, et momentum curvaturae meridiani w’’ proportionale est, id est Mx=Kw’’, ubi, sicut in tabulis, K=Et3/12(1-μ2) rigiditas testae est, quae ab x variabilis esse potest. Si hae expressiones pro viribus mediis in aequationem (6) inseruntur, obtinetur aequatio differentialis theoriae receptaculi:
Pro receptaculo cuius crassitudo parietis est immutabilis, solutio est:
Unius.7
ubi λ4=3(1-μ2)/a2t2. Si λh magnum est (exempli gratia, maius quam 3), expeditius est loco functionum hyperbolicarum functiones exponentiales introducere, atque est:
Unius.8
Tunc constantes A1, B1 independenter ab invicem ex conditionibus in limite inferiore determinari possunt, atque constantes A2, B2 ex conditionibus in limite superiore, quo plerumque obtinetur A2=B2=0. Ex aequatione (8) et (7) vires secantes obtinentur, cum calculus in sensu contrario peragitur et ubique aequatio (8) et (7); ita, exempli gratia, pro A2=B2=0:
Cum parietes receptaculi in tabulam rigide inseruntur, ad fundum receptaculi satis crassum ut rigidum haberi possit, constantes A1, B1 determinandae sunt ex condicionibus quod x=0, w=0 et w’=0, atque obtinetur:
Si fundus receptaculi est lamina elastica vel testa, vires transversae Qx et momenta Mx per circulum marginis inter fundum et parietem cylindri methodis theoriae systematum statice indeterminatarum determinari debent, ex postulatione ut Mx et w’ pro utraque parte eandem valorem habeant.