Importante nota professionale e di sicurezza: Questo è un testo didattico d’archivio, non un calcolo statico, un progetto di costruzione o un manuale di istruzioni. Formule, modelli di supporto e disegni sono stati trasferiti dal contenuto originale senza verifica professionale o adeguamento alle normative odierne. La capacità portante, la stabilità, i carichi, i materiali, i giunti e le fondamenta per un oggetto specifico devono essere determinati da un ingegnere civile certificato sulla base di standard validi, dati geotecnici e condizioni effettive della struttura. Le illustrazioni sono didattiche e non rappresentano progetti confermati di Savo Kusić.
Calcoli statici e progettazione delle strutture portanti non fanno parte della nuova offerta pubblica dell’azienda. L’attuale focus produttivo è costituito da finestre in legno, finestre in legno-alluminio e porte su misura. Per un progetto specifico di finestre o porte, puoi inviare richiesta di preventivo.
Struttura e divisione dei supporti
Elementi di supporto: stabilità interna ed esterna
Gli elementi del supporto sono:
Aste semplici capaci di trasmettere solo forze di trazione o compressione la cui linea di attacco coincide con l’asse dell’asta. Ciò significa che le aste dei nodi sono legate con giunti dove non c’è attrito e che le forze esterne attaccano i nodi. I supporti costituiti solo da semplici aste sono chiamati capriate.
Bastoni resistenti alla flessione - travi - possono trasmettere sia forze le cui linee di attacco coincidono con l’asse dell’asta, sia forze le cui linee di attacco sono parallele all’asse dell’asta o arbitrariamente inclinate rispetto ad esso. Le travi ricevono forze normali, forze trasversali, momenti flettenti e, nel caso specifico, momenti di torsione. Quelli con nodi possono essere legati con cerniere o con angolari rigidi.
Supporti e morsetti impediscono al supporto di spostarsi verso punti fissi nel piano o nello spazio. Ogni supporto è in grado di trasmettere una forza in una determinata direzione che passa attraverso il nodo sospeso. Se c’è un solo supporto nel nodo supportato - punto di supporto - viene chiamato cuscinetto mobile del supporto spaziale. Se il nodo è sostenuto da due supporti, si chiama letto immobile di un supporto piano, o letto di linea portante spaziale. Il letto stazionario del supporto spaziale richiede tre supporti.
Ogni pizzicamento di un’asta resistente alla flessione è in grado di trasmettere un momento di pizzicamento che giace su un determinato piano. Nella maggior parte dei casi, un supporto inamovibile è collegato al morsetto, per cui nel caso di un supporto piano ci sono due supporti e un morsetto, e nel caso di un supporto spaziale ci sono tre supporti e tre morsetti. Movimenti e rotazioni di una certa entità possono verificarsi nei punti di appoggio e di pizzicamento.
Il numero di elementi richiesto per la stabilità del supporto si ottiene dalle condizioni di stabilità interna ed esterna. Il supporto è internamente stabile quando la posizione intercamera dei nodi del supporto è assicurata da un numero di aste sufficiente in modo da poter essere modificata solo quando alcune o tutte le aste cambiano lunghezza. Un supporto piano internamente stabile è chiamato piastra rigida. Il supporto è esternamente o completamente stabile quando la posizione intermedia dei nodi e la loro posizione rispetto ai punti fissi del piano, o dello spazio, può cambiare solo nella misura delle variazioni della lunghezza delle aste, del movimento dei supporti o della rotazione del bloccaggio.
Parentesi piatte
Il numero minimo di barre necessarie per la stabilità interna e il numero minimo di barre e supporti necessari per la stabilità esterna di una trave reticolare con s barre, a supporti e k nodi è:
s = 2k – 3
s + a = 2k, (3 ≤ a)
La prima condizione è soddisfatta quando il sostegno è formato partendo da un’asta collegando ulteriori nodi con due aste ciascuno, per cui le aste a cui è attaccato un nodo non devono giacere sulla stessa retta.
La trave con s1 tiranti semplici, s2 tiranti resistenti alla flessione, e angolari rigidi, a1 supporti, a2 morsetti e k nodi è interna, risp. esternamente stabile quando:
s1 + s2 + e ≥ 2k – 3
s1 + s2 + e + a1 + a2 ≥ 2k, (a=a1 + a2 ≥ 3)
Fig. 1
Ogni angolo solido può essere sostituito da una semplice asta. Se in un nodo i le aste sono rigidamente collegate tra loro, il numero di angoli rigidi in quel nodo è i-1. Quando le sporgenze delle aste (mensole) vengono conteggiate come aste, le estremità libere devono essere contate come nodi. La staffa di fig. 1 con s1=9, s2=7, e=5 (contrassegnato nell’immagine) e k=12 è internamente stabile. Quando sostituiamo gli angoli rigidi 4 e 5 con giunti e aste semplici, che sono contrassegnati con linee tratteggiate nell’immagine, allora s1=11, s2=7, e=3, mentre il numero di nodi rimane invariato.
Fig. 2ae 2b
Se in un supporto con il numero minimo di supporti richiesto, singole aste o angoli rigidi vengono sostituiti da supporti o morsetti, il supporto perde la sua stabilità interna, fig. 2a, b. Per tali supporti esistono altre possibilità su come testare la stabilità. Se p è il numero di piastre rigide del supporto privo di stabilità interna, mentre è da notare che una sola asta semplice o resistente a flessione soddisfa le condizioni di stabilità interna e può essere intesa come piastra rigida, e se z è il numero di reazioni intermedie nei giunti, la stabilità esterna richiede che: a + z ≥ 3p. Il numero di reazioni intermedie nel giunto su cui è fissata la piastra (fig. 3, 4, 5) è z=2(_i-_1).
Fig. 3 e 4, rispettivamente
Fig. 5
Cornice in fig. 6 è staticamente indeterminato sei volte. Se gli sbalzi, che non influiscono sul grado di indeterminatezza statica, vengono conteggiati come tiranti, occorre tenere conto anche degli angoli rigidi con cui sono fissati al sistema e le estremità libere degli sbalzi vanno contate come nodi (s=7, e=6, a=9, k=8). Nel caso di questi tipi di supporti, la forma appropriata delle condizioni per le prove di stabilità interna ed esterna è:
3_s_ ≥ 3k-3; 3s+a ≥ 3k, (a≥3).
Allo stesso tempo, i passaggi non devono essere conteggiati nei bastoncini. Spesso, in questi casi, il modo più rapido per giungere ad una conclusione sul grado di indeterminatezza statica del supporto è tagliare le aste o escludere quantità statiche fino a quando rimane un supporto indubbiamente stabile e staticamente determinato. Con le tre sezioni indicate in fig. 7 sono escluse tre grandezze statiche (forza normale, forza trasversale, momento flettente).
Se in un n0-volte reticolo piatto staticamente indeterminato tutte le aste nei nodi sono rigidamente connesse, il grado di indeterminazione statica è
n = n0 + 2s – k.
Fig. 6
Fig. 7
Parentesi spaziali
Il numero minimo di supporti per le griglie spaziali è a=6. Le seguenti condizioni si applicano alla stabilità interna ed esterna:
s ≥ 3k – 6; s + a ≥ 3k, (a≥6).
La condizione di stabilità interna è soddisfatta quando, partendo da una piastra triangolare, ulteriori nodi nello spazio sono collegati con tre aste ciascuno, che non devono giacere su un piano. Si crea in questo modo un reticolo spaziale del primo tipo, la cui caratteristica è di contenere sempre almeno un nodo in cui sono legate solo tre aste, e di mantenere questa caratteristica anche quando viene rimosso quel nodo con le aste corrispondenti.
Inoltre, le griglie spaziali possono essere formate collegando piastre triangolari in modo tale che due e due piastre siano collegate con sei aste, dove ciascun nodo è collegato alle piastre adiacenti con due aste ciascuna. Il collegamento di due piastre o di due griglie spaziali stabili interne può essere realizzato mediante un giunto e tre aste che non passano attraverso tale giunto. Infine, tre piastre triangolari possono essere collegate con aste 12, con un’asta 4 tra ciascuna piastra. Per la stabilità interna o esterna dei supporti spaziali in cui tutte le aste sono rigidamente legate alla flessione e alla torsione, devono essere soddisfatte le condizioni
6s ≥ 6(k-1); 6s + a ≥ 6k
Pertanto la staffa di fig. 8 è 24 volte staticamente indeterminato, il che, come prima, può essere verificato più facilmente tagliando quattro barre orizzontali ed escludendo così sei incognite in ciascuna sezione (1 forza normale, 2 forza trasversale, 2 m momento flettente e 1 momento torsionale). Se rimuoviamo le connessioni f inserendo giunti nelle aste o nelle loro connessioni, allora le condizioni di stabilità sono:
6s – f ≥ 6(k-1); 6s – f + a ≥ 6k.
Sl. 8
Carico e reazioni: compiti statici
Per gli appoggi piani, le forze esterne devono giacere nel piano dell’appoggio, per gli appoggi spaziali possono avere una posizione arbitraria. Con le capriate si presuppone che il carico attacchi ai nodi.
Le forze attive causano resistenze di elementi esterni, reazioni dei supporti C nei supporti e momenti di bloccaggio E nei pizzicamenti. Le resistenze degli elementi interni del supporto - le forze trasversali - sono: forze assiali S nelle aste semplici; nelle aste resistenti a forze normali o longitudinali di flessione e torsione N, momenti flettenti M, momenti torcenti o torcenti T e forze trasversali Q. La resistenza degli elementi può provocare anche sbalzi termici e allentamenti dei supporti.
Il dimensionamento dei singoli elementi e la determinazione delle tensioni che compaiono in essi è compito di Material Resistance. Nel determinare i valori statici, il materiale applicato è importante solo nella misura in cui da esso dipende il carico permanente. Altre proprietà del materiale vengono prese in considerazione solo quando si tratta dell’influenza del movimento del supporto o delle variazioni di temperatura (ritiro, flusso) o quando è necessario calcolare le deformazioni. In generale, le travi dovrebbero essere testate per diversi casi di carico che non devono verificarsi contemporaneamente (carico permanente, carico utile, carico del vento, carico della neve). Supponendo che le deformazioni elastiche siano così piccole da poter essere ignorate in relazione alle dimensioni del sistema - e questo è solitamente il caso - si applica il principio di sovrapposizione, secondo il quale i singoli casi di carico e altre influenze possono essere esaminati separatamente e i valori calcolati per quantità statiche o geometriche sommati insieme, con una certa correzione dei valori attraverso coefficienti parziali di sicurezza per carichi permanenti e variabili (favorevoli o sfavorevoli).
Supporti determinati staticamente
Equazioni sconosciute e disponibili
In un reticolo determinato staticamente, sono sconosciute a reazione dei supporti e s forze assiali, per la cui determinazione quando il reticolo ha k nodi, l’equazione 2_k_ (∑X=0 e ∑Y=0) nel piano e l’equazione 3k nello spazio sono disponibile. In un vincolo piano, le incognite possono essere ridotte a s1 forze assiali di aste semplici, s2 forze normali di aste resistenti a flessione, e momenti flettenti ad angoli rigidi, a1 reazioni del supporto e a2 momenti di bloccaggio. Le forze trasversali dovrebbero essere determinate dai momenti alle estremità delle aste e dalle forze esterne agenti tra i nodi. In un nodo da cui partono i aste rigidamente collegate ai nodi vicini, è sufficiente conoscere i-1 mmomenti - che corrispondono al numero di angoli rigidi - perché è disponibile la condizione di equilibrio ∑M=0 per determinare un altro momento sconosciuto in ciascuno di tali nodi. Per determinare le s1 + s2 + e + a1 + a2, rimangono 2_k_ condizioni di equilibrio.
Condizioni per l’equilibrio delle forze esterne su supporti piani
Le reazioni dei supporti della piastra appoggiati su un cuscinetto fisso e uno mobile (fig. 9) sono ottenute graficamente utilizzando i poligoni delle forze. La linea di attacco della forza B è nota e ha la direzione di supporto in quel punto, e la linea di attacco della forza Ka deve passare attraverso l’intersezione delle forze B e P. Computazionalmente, le forze B, C e A vengono gradualmente determinate dalle condizioni Ma = 0, H = 0 e Mb = 0. L’appoggio della piastra su tre cuscinetti mobili (fig. 10) è corretto solo quando le linee di reazione non si intersecano in un punto. Le reazioni vengono determinate graficamente utilizzando poligoni di forza o computazionalmente utilizzando equazioni del momento in relazione ai punti in cui si intersecano due e due linee di forza di attacco.
Fig. 9
Fig. 10
In caso di appoggi determinati staticamente senza stabilità interna, oltre alle condizioni per l’equilibrio delle forze esterne nel loro insieme, vengono introdotte anche condizioni per i giunti, che esprimono il requisito che i giunti non possano ricevere momenti flettenti. Pertanto, la linea di attacco della reazione Ka del telaio a tre cerniere in Fig. 11 mora passa attraverso il giunto g, e la piastra destra può essere in equilibrio solo quando le tre forze che agiscono su di essa (P, Kb e forza nel giunto = Ka) si intersecano in un punto. Per ottenere condizioni di equilibrio contenenti una sola incognita ciascuna, è conveniente calcolare con le componenti verticali delle reazioni A e B e le componenti C e D lungo la linea che collega i punti di appoggio. Dalle condizioni Mb = 0 e Ma = 0 si ottengono le forze A e B, e dalla condizione per il giunto Mg = 0, per le forze che attaccano la piastra sinistra si ottiene la forza C, e per le forze sulla piastra destra la forza D. In modo simile, le reazioni dei supporti del telaio sono determinate in fig. 12. Per il carico indicato qui, il modo più veloce per ottenere il risultato è graficamente. Staffa con giunti secondo fig. 13. Le componenti orizzontali delle forze esterne che attaccano il supporto vengono ricevute dal letto stazionario, la forza F si ottiene da ∑H=0. La piastra II poggia nei punti g1 e g2 sulle piastre I e III, e la piastra IV in g3 su III. Le forze verticali nei giunti G1, G2, G3 e la reazione E vengono determinate dalla condizione di equilibrio della piastra II o IV, quindi passo dopo passo vengono determinate le reazioni A, B, C e D.
Fig. 11 e 12, rispettivamente
Fig. 13
Determinazione dimensioni statiche interne
Le forze assiali S delle aste semplici sono, di regola, considerate positive quando sono forze di trazione e negative quando sono forze di compressione. In modo simile viene determinato il segno della forza normale N nella trave. La forza normale Ni al punto i è la componente parallela alla tangente all’asse della trave nel punto i della risultante R di tutte le forze agenti sulla trave da un lato del punto i. La forza trasversale Qi è la componente normale all’asse dell’asta nel punto e la stessa e la risultante, e il momento flettente Mi è il momento della risultante (fig. 14). La determinazione delle quantità N, Q e M viene effettuata regolarmente dalle singole forze e dalle loro componenti parallele e perpendicolari all’asse dell’asta senza determinare la risultante R. La convenzione delle direzioni positive è mostrata in fig. 15.
Fig. 14 e 15, rispettivamente
Poiché le reazioni vincolari sono determinate graficamente, le forze normali, i momenti flettenti e le forze trasversali possono essere determinati dal poligono delle forze e dal piano in cui le forze sono date per posizione. Ad esempio, nella colonna di sinistra del telaio a tre cerniere di fig. 11 la componente verticale della forza Ka è la forza normale (negativa), la componente orizzontale è la forza trasversale (negativa), e Mi = Kari il momento flettente, negativo quando i momenti che provocano tensione all’interno sono considerati positivi.
In ogni nodo dove sono incernierate le aste, devono essere soddisfatte le condizioni ∑X=0, ∑Y=0. Le griglie che si formano nel modo più semplice - collegando i nodi con due aste ciascuno - hanno sempre almeno un nodo dove si incontrano solo due aste. Rimuovendo tali nodi, questa funzionalità viene mantenuta. Il calcolo delle forze assiali nelle aste può essere effettuato risolvendo gradualmente due equazioni con due incognite ciascuna.
La soluzione grafica si ottiene costruendo un piano di forza (piano_Cremana_) secondo la fig. 16. Le forze esterne da P1 a P6 sono in equilibrio. Le forze nelle aste Si vengono determinate gradualmente partendo dal punto 1 e andando da nodo a nodo nell’ordine in cui sono contrassegnate. Anche la marcatura delle forze viene effettuata secondo l’ordine in cui vengono determinate. Ogni nodo corrisponde ad un poligono di forze con direzione a freccia continua, da cui seguono i segni delle forze nelle aste. Se si realizza una sezione attraverso il supporto e se nei punti in cui le aste vengono tagliate le forze agenti su tali aste vengono applicate come forze esterne, ciascuna parte del reticolo è in equilibrio. Su questo viene registrato il procedimento di Culmann, con il quale la forza in un’asta qualsiasi può essere determinata graficamente indipendentemente da altre forze.
Fig. 16
Nella soluzione analitica del problema di stabilire equazioni ad una incognita, il procedimento di Ritter è della massima importanza. Il reticolo viene tagliato in modo tale che tre bastoncini siano interessati dal taglio. Le forze nei profilati vengono applicate a ciascuna parte della travatura reticolare come forze di tensione, dal nodo alla sezione. Le condizioni di equilibrio si applicano a ciascuna parte del reticolo. L’intersezione di due e due aste che si intersecano è il punto del momento quando si determina la forza nella terza asta (punto di Ritter). Se ri è la distanza della forza Si dal momento punto i, e Mi è il momento delle forze attive e delle reazioni dei supporti rispetto al punto i, allora la forza nell’asta è data dall’espressione
Si = ± Mi/ri
Fig. 17
Fig. 18
Secondo la fig. Le forze 17 e 18 nelle aste in sezione trasversale sono:
On = -Mn/rn; Un-1 = Mn-1/rn-1;
Dn = Md/rd; Ln = Mv/rv.
Quando la costruzione grafica non fornisce una precisione sufficiente, è necessario calcolare le posizioni dei punti del momento d e v e le distanze rd e rv. Per il calcolo delle forze D e L sono più adatte le seguenti espressioni, in cui compaiono come punti momento solo i punti caratteristici della griglia (fig. 19, 18):
D = (Mu/hu – M(o)/ho) * (d/λd), (35)
Ln = ± Ql ± (Mn tgβn + M’n tgγn)/hn.
Per reticoli con cinghie parallele, le forze D e L possono essere ottenute direttamente dalla forza trasversale:
D = Q/peccato__φ_; L=__±Q_
Fig. 19
Carico mobile e linee di influenza
Se la trave è caricata con un carico in movimento, forze concentrate a una distanza reciproca costante, le prove dovrebbero essere eseguite nelle posizioni di carico più sfavorevoli. Per una trave semplice su due supporti, la forza trasversale maggiore Qmax può essere ottenuta utilizzando il poligono A e il momento flettente maggiore Mmax utilizzando il poligono della catena per il sistema di forze sotto il quale si muove il supporto.
Quando si determina la linea di influenza per una quantità statica o geometrica e per il carico Pm=1 che si muove sul nastro trasportatore carico, per ciascuna posizione di carico m, il valore calcolato ηm della quantità richiesta viene applicato sotto la forza, da una linea zero. La linea che unisce i punti finali di queste ordinate è la linea di influenza. Le rette che influenzano il momento flettente Mi e la forza trasversale Qi nel punto i della trave appoggiata nei punti a e b sono rette ga e gb i cui segmenti sulle verticali degli appoggi sono aa’ = xi (=M’i per A=1) e bb’ = x’i (=M’‘i per B=1) (fig. 20). La linea di influenza per la forza A è data dalla linea gb, la cui ordinata sull’asse verticale è a aa’=1.
Fig. 20
La linea di influenza per ciascuna grandezza statica di un supporto staticamente determinato è costituita da linee rette corrispondenti alle piastre rigide della catena cinematica forzata creata dall’esclusione della grandezza richiesta. Le linee si intersecano sulle verticali attraverso punti momento, oppure attraverso i punti in cui le piastre sono incernierate. L’area delimitata dalla linea dello zero, dalla linea di influenza e dalle due ordinate è chiamata area di influenza. Divisione (punto zero della linea di influenza) divide le parti positive e negative della superficie di influenza.
Poiché ηm rappresenta l’influenza della forza mobile Pm=1 sulla quantità richiesta Z, è Pmηm l’influenza della forza Pm, mentre il sistema di forze P determina l’influenza Z=∑Pη. I valori limite dell’influenza maxZ e minZ saranno ottenuti quando il sistema mobile di forze concentrate collegate è impostato in modo tale che le forze maggiori siano moltiplicate per le ordinate maggiori. Quando la posizione più sfavorevole non è nota con certezza, l’influenza della linea di influenza deve essere calcolata fianco a fianco per diverse posizioni di carico (processo iterativo).
Per carico parzialmente equamente distribuito p t/m è Z = _∫_p dx η = pF, dove F è la dimensione marcata della parte rilevante della superficie interessata. Nel caso di un carico parziale di lunghezza limitata c e una forma diritta della linea di influenza (fig. 58), il carico dovrebbe essere impostato in modo tale che η1 = η2 (c1 = cxi/l; c2 = cx’i/l), quindi Z = pc (ηi + η1)/2. Durante il trasferimento indiretto del carico, la linea di influenza tra le ordinate ηn e ηn+1 cambia in linea retta, fig. 21.
Fig. 21