Nota tècnica i de seguretat important: Aquest és un text educatiu d’arxiu, no un manual de càlcul estàtic, disseny de construcció o rendiment. Es van transferir fórmules, models de suport i dibuixos del contingut original sense verificació professional ni adaptació a la normativa actual. La capacitat de càrrega, l’estabilitat, les càrregues, els materials, les juntes i la fonamentació d’un objecte específic han de ser determinats per un enginyer civil certificat en funció de normes vigents, dades geotècniques i l’estat real de l’estructura. Les il·lustracions són educatives i no representen projectes confirmats de Savo Kusić.
Els càlculs estàtics i el disseny d’estructures de suport no formen part de la nova oferta pública de l’empresa. El focus de producció actual consisteix en finestres de fusta, finestres de fusta-alumini i portes personalitzades. Per a un projecte específic de finestra o porta, podeu enviar una sol·licitud de pressupost.
Estructura i divisió del transportista
Elements de suport: estabilitat interna i externa
Els elements portadors són:
Barres simples capaços de transmetre només forces de tracció o compressió la línia d’atac de les quals coincideix amb l’eix de la vareta. Això vol dir que les varetes dels nusos estan lligades amb juntes on no hi ha fricció, i que les forces externes ataquen els nusos. Els suports que consisteixen només en varetes simples s’anomenen encavallades.
Sticks resistents a la flexió -bigues- poden transmetre tant forces les línies d’atac de les quals coincideixen amb l’eix de la vareta, com forces les línies d’atac de les quals són paral·leles a l’eix de la vareta o inclinades arbitràriament a aquest. Les bigues reben forces normals, forces transversals, moments de flexió i, en el cas donat, moments de torsió. Els que tenen nusos es poden lligar amb frontisses o amb angles rígids.
Suports i pinces impedeixen que el suport es desplaci cap a punts fixos en el pla o l’espai. Cada suport és capaç de transmetre una força en una direcció determinada que passa pel node suspès. Si només hi ha un suport al node suportat - punt de suport - s’anomena coixinet mòbil del suport espacial. Si el node està suportat per dos suports, s’anomena llit immòbil d’un suport pla, o llit de línia portadora espacial. El llit estacionari del suport espacial requereix tres suports.
Cada pessigament d’una vareta resistent a la flexió és capaç de transmetre un moment de pessigament situat en un pla determinat. En la majoria dels casos, a la pinça es connecta un coixinet inamovible, de manera que en el cas d’un suport pla hi ha dos suports i una pinça, i en el cas d’un suport espacial hi ha tres suports i tres pinces. Es poden produir moviments i rotacions d’una mida determinada en llocs de suport i pessigament.
El nombre d’elements necessaris per a l’estabilitat del suport s’obté de les condicions d’estabilitat interna i externa. El suport és estable internament quan la posició interhabitació dels nodes del suport està assegurada per un nombre suficient de varetes perquè només es pugui canviar quan algunes o totes les varetes canvien de longitud. Un suport pla internament estable s’anomena placa rígida. El suport és exteriorment o completament estable quan la posició intermèdia dels nodes i la seva posició segons els punts fixos del pla, o l’espai només poden canviar en la mesura dels canvis en la longitud de les barres, el moviment dels suports o la rotació de la subjecció.
Parèntesis plans
El nombre mínim de varetes necessaris per a l’estabilitat interna i el nombre mínim de varetes i suports necessaris per a l’estabilitat externa d’una armadura amb varetes s, suports a i nodes k és:
s =2k -3
s + a =2k, (3 ≤ a)
La primera condició es compleix quan el suport es forma a partir d’una vareta connectant altres nodes amb dues varetes cadascun, per la qual cosa les varetes a les quals està connectat un node no han de situar-se en la mateixa línia recta.
Parèntesi amb s1 pals simples, s2 varetes resistents a la flexió, e angles rígids, a1 suports, a2 pessiga i k nodes és intern o externament estable quan:
s1+ s2+ e ≥ 2k -3
s1+ s2+ e + a1+ a2 ≥2k, (a=a1+ a2≥3)
Sl.1
Cada angle rígid es pot substituir per una vareta simple. Si en un node i les barres estan connectades rígidament entre si, el nombre d’angles rígids en aquest node és i-1. Quan els voladissos de les varetes (consoles) es compten com a varetes, els extrems lliures s’han de comptar com a nodes. El suport de la fig.1amb s1=9, s2=7, e=5(marcat a la imatge) i k=12internament és estable. Quan angles rígids4i5substituïm-lo per juntes i varetes simples, que estan marcades amb línies trencades a la imatge, i després s1=11, s2=7, e=3, mentre que el nombre de nodes es manté sense canvis.
Sl.2i jo2b
Si en un suport amb el nombre mínim de suports requerit, es substitueixen barres individuals o angles rígids per suports o pinces, el suport perd la seva estabilitat interna, fig.2a, b. Per a aquests suports hi ha altres possibilitats de com es pot provar l’estabilitat. Si p és el nombre de plaques rígides del suport sense estabilitat interna, mentre que cal tenir en compte que una sola vareta simple o resistent a la flexió compleix les condicions d’estabilitat interna i es pot entendre com una placa rígida, i si z és el nombre d’interaccions a les articulacions, l’estabilitat externa requereix que: a + z ≥3p. El nombre de reaccions intermèdies a l’articulació a la qual s’uneix la placa (fig.3,4,5) és z=2(_i-_1).
Sl.3i4, respectivament
Sl.5
El marc de la fig.6és sis vegades estàticament indeterminat. Si els voladissos, que no tenen cap influència en el grau d’indeterminació estàtica, es compten com a varetes, també s’han de tenir en compte els angles rígids amb què estan units al sistema i els extrems lliures dels voladissos s’han de comptar com a nodes (s=7, e=6, a=9, k=8). Per a aquests tipus de suports, la forma adequada de condicions per provar l’estabilitat interna i externa és:
3_s_ ≥3k-3;3s+a ≥3k, (a≥3).
Al mateix temps, les passades no s’han de comptar com a pals. Sovint, en aquests casos, la manera més ràpida d’arribar a una conclusió sobre el grau d’indeterminació estàtica del suport és tallant les varetes o excloent quantitats estàtiques fins que quedi un suport, sens dubte, estàticament determinat. Amb els tres trams indicats a la fig.7S’exclouen tres magnituds estàtiques (força normal, força transversal, moment flector).
Si en un n0-times la gelosia plana estàticament indeterminada, totes les barres dels nodes estan connectades rígidament, el grau d’indeterminació estàtica és
n = n0+2s – k.
Fig. 6
Sl.7
Suports espacials
El nombre mínim de suports per a quadrícules espacials és a=6. Les condicions següents s’apliquen a l’estabilitat interna i externa:
s ≥3k -6; s + a ≥3k, (a≥6).
La condició d’estabilitat interna es compleix quan, a partir d’una placa triangular, es lliguen més nodes de l’espai amb tres varetes cadascuna, que no s’han de situar en un pla. D’aquesta manera, es crea una quadrícula espacial de primer tipus, la característica de la qual és que conté sempre almenys un node en el qual només s’hi lliguen tres varetes, i que conserva aquesta característica fins i tot quan s’elimina aquell node amb les varetes corresponents.
A més, es poden formar quadrícules espacials connectant plaques triangulars de manera que dues i dues plaques es connectin amb sis barres, on cada node està connectat a les plaques adjacents amb dues barres cadascuna. La connexió de dues plaques o dues reixetes espacials estables internes es pot realitzar mitjançant una junta i tres barres que no passen per aquesta unió. Finalment, es poden connectar tres plaques triangulars12de pals i que amb po4vareta entre cada placa. Per a l’estabilitat interna o externa dels suports espacials on totes les barres estan rígidament lligades a la flexió i la torsió, s’han de complir les condicions
6s ≥6(k-1);6s + a ≥6k
Per tant, el portador de la fig.8és24vegades estàticament indeterminat, cosa que, com abans, es pot comprovar amb més facilitat quan es tallen quatre varetes horitzontals i d’aquesta manera s’exclouen sis incògnites en cada tall (1força normal,2forces transversals,2 mflexió oment i1moment de torsió). Si eliminem les connexions f inserint juntes en varetes o les seves connexions, aleshores les condicions d’estabilitat són:
6s – f ≥6(k-1);6s – f + a ≥6k.
Sl. 8
Càrrega i reaccions: tasques estàtiques
En el cas de suports plans, les forces externes han de situar-se en el pla del suport, en el cas de suports espacials, poden tenir una posició arbitrària. En encavallades, se suposa que la càrrega ataca als nodes.
Les forces actives provoquen resistències dels elements externs, reaccions dels suports C en suports i moments de pessigament E en pessics. Les resistències dels elements interns del suport -les forces de secció transversal- són: forces axials S en varetes simples; en varetes resistents a les forces normals o longitudinals de flexió i torsió N, moments de flexió M, moments de torsió o moments de torsió T i forces transversals Q. La resistència dels elements també pot provocar canvis de temperatura i afluixament dels suports.
Dimensionar elements individuals i determinar les tensions que hi apareixen és la tasca de la Resistència del Material. A l’hora de determinar els valors estàtics, el material aplicat és important només en la mesura en què la càrrega permanent en depèn. Altres propietats del material només es tenen en compte quan es tracta de la influència del moviment del suport o dels canvis de temperatura (contracció, flux) o quan cal calcular les deformacions. En general, les bigues s’han de provar per a diferents casos de càrrega que no s’han de produir simultàniament (càrrega permanent, càrrega útil, càrrega de vent, càrrega de neu). Suposant que les deformacions elàstiques són tan petites que es poden ignorar en relació amb les dimensions del sistema, i això sol ser el cas, s’aplica el principi de superposició, segons el qual els casos de càrrega individuals i altres influències es poden examinar per separat i els valors calculats per a magnituds estàtiques o geomètriques sumats, amb una certa correcció dels valors mitjançant coeficients de seguretat parcials o desfavorables (permanents i variables favorables).
Suports determinats estàticament
Equacions desconegudes i disponibles
En una gelosia determinada estàticament, es desconeixen a reaccions dels suports i s forces axials, la determinació de les quals està disponible quan la xarxa té k nodes.2equació k (∑X=0i ∑Y=0) en el pla i3k equació a l’espai. En un suport pla, les incògnites es poden reduir a s1 forces axials de varetes simples, s2 forces normals de varetes resistents a la flexió, e moments de flexió en angles rígids, a1 reacció dels suports i a2 moments de subjecció. Les forces transversals s’han de determinar a partir dels moments als extrems de les varetes i de les forces externes que actuen entre els nusos. En un node des del qual surten i barres rígidament connectades fins als nodes veïns, n’hi ha prou amb saber i-1 moment -que correspon al nombre d’angles rígids- perquè per a la determinació d’un altre moment desconegut en cada node hi ha una condició d’equilibri ∑M=0. Per determinar s1 + s2 + e + a1 + a2 encara queden incògnites2_k_ condicions d’equilibri.
Condicions per a l’equilibri de forces externes sobre suports plans
Reaccions dels suports de plaques recolzats sobre un coixinet estacionari i un coixinet mòbil (fig.9) s’obtenen gràficament utilitzant polígons de força. La línia d’atac de la força B és coneguda i té la direcció del suport en aquest punt, i la línia d’atac de la força Ka ha de passar per la intersecció de les forces B i P. Es calcula a partir de la condició Ma =0, H =0i Mb =0estan determinats gradualment per les forces B, C i A. Reposar la placa sobre tres coixinets mòbils (fig.10) només és correcta quan les línies de reacció no es tallen en un punt. Les reaccions es determinen gràficament utilitzant polígons de forces o computacionalment utilitzant equacions de moment relatius als punts on es tallen dues i dues línies de forces d’atac.
Sl.9
Fig. 10
En cas de suports determinats estàticament sense estabilitat interna, a més de les condicions per a l’equilibri de les forces externes en el seu conjunt, també s’introdueixen condicions per a les juntes, que expressen el requisit que les juntes no puguin rebre moments de flexió. Per tant, la línia d’atac de reacció Ka del marc de tres frontisses de la figura 11 mora passa per l’articulació g, i la placa dreta només pot estar en equilibri quan les tres forces que actuen sobre ella (P, Kb i força a l’articulació = Ka) es tallen en un punt. Per obtenir condicions d’equilibri que contenen només una incògnita cadascuna, és convenient calcular amb les components verticals de les reaccions A i B i les components C i D al llarg de la línia que uneix els punts de suport. A partir de les condicions Mb = 0 i Ma = 0 s’obtenen les forces A i B, i de la condició per a l’articulació Mg = 0, per a les forces que ataquen la placa esquerra s’obté la força C, i per a les forces sobre la placa dreta, la força D. De manera similar es determinen les reaccions dels suports del quadre a les figures. 12. Per a la càrrega indicada aquí, la manera més ràpida d’obtenir el resultat és gràficament. Suport amb articulacions segons fig. 13. Els components horitzontals de les forces externes que ataquen el suport són rebuts pel llit estacionari, la força F s’obté a partir de ∑H=0. La placa II descansa als punts g1 i g2 de les plaques I i III, i la placa IV a g3 a III. Les forces verticals a les articulacions G1, G2, G3 i la reacció E es determinen a partir de la condició d’equilibri de la placa II o IV, i després pas a pas les reaccions A,_,__C determinat.
Fig. 11 i 12, respectivament
Fig. 13
Determinació de mides estàtiques internes
Les forces axials S de varetes simples es consideren, per regla general, positives quan són forces de tracció, i negatives quan són forces de compressió. De manera similar, es determina el signe de la força normal N a la biga. La força normal Ni en el punt i és la component paral·lela a la tangent a l’eix de la biga en el punt i de la resultant R de totes les forces que actuen sobre la biga en un costat del punt i. La força transversal Qi és la component normal a l’eix de la vareta en el punt i el mateix i la resultant, i el moment de flexió Mi és el moment de la resultant (fig. 14). La determinació de les magnituds N, Q i M es fa regularment a partir de forces individuals i les seves components paral·leles i perpendiculars a l’eix de la vareta sense determinar la resultant R. La convenció de les direccions positives es mostra a la fig. 15.
Fig. 14 i 15, respectivament
Com que les reaccions de suport es determinen gràficament, es poden determinar forces normals, moments de flexió i forces transversals a partir del polígon de forces i del plànol en què es donen les forces per posició. Per exemple, a la columna esquerra del marc de tres frontisses de la fig. 11 la component vertical de la força Ka és la força normal (negativa), la component horitzontal és la força transversal (negativa) i Mi = Kari el moment flector, negatiu quan es consideren positius els moments que provoquen tensió a l’interior.
A tots els nodes on les barres estan articulades, s’han de complir les condicions ∑X=0, ∑Y=0. Les quadrícules que es formen de la manera més senzilla -en connectar nodes amb dues barres cadascuna- tenen sempre almenys un node on només es troben dues barres. En eliminar aquests nodes, aquesta característica es manté. El càlcul de les forces axials en varetes es pot dur a terme resolent gradualment dues equacions amb dues incògnites cadascuna.
La solució gràfica s’obté mitjançant la construcció d’un pla de força (pla de Cremana) segons la fig. 16. Les forces externes P1 a P6 estan en equilibri. Les forces a les varetes Si es determinen gradualment a partir del punt 1 i anant de node a node en l’ordre en què es marquen. El marcatge de forces també es fa segons l’ordre en què es determinen. Cada node correspon a un polígon de forces amb una direcció de fletxa contínua, del qual segueixen els signes de les forces a les varetes. Si es fa una secció a través del suport i si als llocs on es tallen les varetes s’apliquen les forces que actuen en aquestes varetes com a forces externes, cada part de la xarxa està en equilibri. En això, es registra el procediment de Culmann, mitjançant el qual la força en una vareta arbitrària es pot determinar gràficament independentment d’altres forces.
Fig. 16
En la solució analítica del problema d’establir equacions amb una incògnita, el procediment de Ritter és de gran importància. La gelosia es talla de manera que tres pals es veuen afectats pel tall. Les forces de les barres de secció s’apliquen a cada part de l’armadura com a forces de tensió, des del node fins a la secció. Les condicions d’equilibri s’apliquen a cada part de la xarxa. La intersecció de dues i dues barres que es tallen és el punt moment en determinar la força a la tercera vareta (punt de Ritter). Si ri és la distància de la força Si des del punt del moment i, i Mi és el moment de les forces actives i les reaccions dels suports en relació amb el punt i, aleshores la força a la barra ve donada per l’expressió
Si = ± Mi/ri
Fig. 17
Fig. 18
Segons la fig. Les forces 17 i 18 en barres de secció transversal són:
On = -Mn/rn; Un-1 = Mn-1/rn-1;
Dn = Md/rd; Ln = Mv/rv.
Quan la construcció gràfica no proporciona prou precisió, s’han de calcular les posicions dels punts de moment d i v i les distàncies rd i rv. Per al càlcul de forces D i L són més adequades les expressions següents, en què només els punts característics de la quadrícula apareixen com a punts de moment (fig. 19, 18):
D = (Mu/hu – M(o)/ho) * (d/λd), (35)
Ln = ± Ql ± (Mn tgβn + M’n tgγn)/hn.
Per a gelosies amb cinturons paral·lels, les forces D i L es poden obtenir directament a partir de la força transversal:
D = Q/sin__φ_; L=__±Q_
Fig. 19
Línies de càrrega i influència en moviment
Si la biga està carregada amb una càrrega mòbil, forces concentrades a una distància mútua constant, les proves s’han de dur a terme a les posicions de càrrega més desfavorables. Per a una biga simple sobre dos suports, la força transversal més gran Qmax es pot obtenir mitjançant el polígon A, i el moment de flexió més gran Mmax utilitzant el polígon de cadena per al sistema de forces sota el qual es mou el suport.
Quan es determina la línia d’influència per a una quantitat estàtica o geomètrica, i per a la càrrega Pm=1 que es mou a la cinta portadora carregada, per a cada posició de càrrega m, el valor calculat ηm de la quantitat requerida s’aplica sota la força, a partir d’una línia zero. La línia que uneix els extrems d’aquestes ordenades és la línia d’influència. The influencing lines for the bending moment Mi and the transverse force Qi at the point i of the beam supported at the points a and b are straight lines ga and gb whose segments on the verticals of the supports are aa’ = xi (=M’i for A=1) and bb’ = x’i (=M’‘i per a B=1) (fig. 20). La línia d’influència de la força A ve donada per la recta gb, l’ordenada de la qual sobre l’eix vertical és a aa’=1.
Fig. 20
La línia d’influència per a cada quantitat estàtica d’un suport determinat estàticament consta de línies rectes corresponents a les plaques rígides de la cadena cinemàtica forçada creada per l’exclusió de la quantitat sol·licitada. Les línies es tallen a les verticals a través dels punts de moment, o pels punts on les plaques estan articulades. L’àrea delimitada per la línia zero, la línia d’influència i dues ordenades s’anomena àrea d’influència. Divisió (punt zero de la línia d’influència) divideix les parts positives i negatives de la superfície d’influència.
Com que ηm representa la influència de la força en moviment Pm=1 sobre la quantitat sol·licitada Z, és Pmηm la influència de la força Pm, mentre que el sistema de forces P provoca la influència Z=∑Pη. Els valors límit de la influència maxZ i minZ s’obtindran quan el sistema mòbil de forces concentrades connectades s’estableixi de manera que les forces més grans es multipliquin per les ordenades més grans. Quan la posició més desfavorable no es coneix amb certesa, la influència de la línia d’influència s’ha de calcular una al costat de l’altra per a diferents posicions de càrrega (procés iteratiu).
Per a la càrrega parcialment distribuïda p t/m és Z = _∫_p dx η = pF, on F és la mida marcada de la part rellevant de la superfície d’influència. A càrrega parcial de longitud limitada c i forma rectilínia de la línia d’influència (Fig.58) la càrrega s’ha de col·locar de manera que η1 = η2 (c1= cxi/l; c2= cx’i/l), així que obtenim Z = pc (ηi + η1)/2. En la transferència indirecta de càrrega, la línia d’influència es troba entre les ordenades ηn i ηn+1 canvis en línia recta, fig.21.
Sl.21