Важлива професійна примітка та примітка щодо безпеки: Це архівний навчальний текст, а не статичний розрахунок, будівельний проект чи інструкція з експлуатації. Формули, опорні моделі та креслення були перенесені з оригінального вмісту без професійної перевірки чи адаптації до сучасних норм. Несучу здатність, стійкість, навантаження, матеріали, з’єднання та фундамент для конкретного об’єкта повинен визначити сертифікований інженер-будівельник на основі чинних стандартів, геотехнічних даних і фактичного стану конструкції. Ілюстрації мають навчальний характер і не представляють підтверджені проекти Саво Кусича.
Статичні розрахунки та проектування несучих конструкцій не входять до нової публічної пропозиції компанії. Поточний фокус виробництва складається з дерев’яних вікон, дерев’яно-алюмінієвих вікон та дверей на замовлення. Для конкретного проекту вікна чи двері ви можете надіслати запит на пропозицію.
Структура та поділ опор
Опорні елементи: внутрішня та зовнішня стабільність
Елементами підтримки є:
Прості стрижні здатні передавати лише сили розтягу або стиснення, лінія атаки яких збігається з віссю стрижня. Це означає, що стрижні у вузлах зв’язані з’єднаннями, де немає тертя, і що зовнішні сили діють на вузли. Опори, які складаються лише з простих стрижнів, називаються фермами.
Палиці стійкі до згинання - балки - можуть передавати як сили, лінії атаки яких збігаються з віссю стрижня, так і сили, лінії атаки яких паралельні осі стрижня або довільно нахилені до неї. Балки сприймають нормальні сили, поперечні сили, згинальні моменти і, в даному випадку, крутильні моменти. Ті, що у вузлах, можна зав’язати петлями або жорсткими кутами.
Опори та затискачі запобігають переміщенню опори до фіксованих точок площини або простору. Кожна опора здатна передавати силу в певному напрямку, яка проходить через підвішений вузол. Якщо в опорному вузлі є лише одна опора – опорна точка – вона називається рухомою опорою просторової опори. Якщо вузол підтримується двома опорами, він називається нерухомим ложем плоскої опори, або просторовим опорним ліжком. Стаціонарна станина просторової опори потребує трьох опор.
Кожне защемлення стійкого до вигину стержня здатне передавати затискаючий момент, що лежить в певній площині. У більшості випадків до хомута приєднується нерухома опора, так у плоскої опори дві опори і один хомут, а у просторової — три опори і три хомути. У місцях опори та защемлення можуть відбуватися рухи та повороти певного розміру.
Потрібна кількість елементів для стійкості опори виходить з умов внутрішньої та зовнішньої стійкості. Опора є внутрішньо стабільною, коли міжкімнатне положення вузлів опори забезпечується достатньою кількістю стрижнів, так що його можна змінювати лише тоді, коли деякі або всі стрижні змінюють довжину. Внутрішня стабільна плоска опора називається твердою пластиною. Опора зовні або повністю стійка, коли проміжне положення вузлів і їх положення за фіксованими точками площини або простору може змінюватися тільки в міру зміни довжини стрижнів, руху опор або повороту затиску.
Плоскі дужки
Мінімальна кількість стрижнів, необхідних для внутрішньої стійкості, і мінімальна кількість стрижнів і опор, необхідних для зовнішньої стійкості ферми з s стержнями, a опорами та k вузлами:
s = 2k – 3
s + a = 2k, (3 ≤ a)
Перша умова виконується, коли опора формується, починаючи з одного стрижня, з’єднуючи подальші вузли двома стрижнями кожен, при цьому стрижні, до яких прикріплений один вузол, не повинні лежати на одній прямій.
Брус з s1 простими стержнями, s2 стійкими до вигину стержнями, e жорсткими кутниками, a1 опорами, a2 затискачами та k вузлами є внутрішніми, відп. зовні стабільний, коли:
s1 + s2 + e ≥ 2k – 3
s1 + s2 + e + a1 + a2 ≥ 2k, (a=a1 + a2 ≥ 3)
Мал. 1
Кожен тілесний кут можна замінити простим стержнем. Якщо в одному вузлі i стрижнів жорстко з’єднані між собою, то кількість жорстких кутів у цьому вузлі дорівнює i-1. Коли звиси стрижнів (консолей) зараховують за стрижні, вільні кінці слід зараховувати за вузли. Кронштейн на рис. 1 з s1=9, s2=7, e=5 (позначено на малюнку) і k=12 є внутрішньо стабільним. Коли ми замінимо тверді кути 4 та 5 на з’єднання та прості стрижні, які на малюнку позначені пунктирними лініями, тоді s1=11, s2=7, e=3, а кількість вузлів залишається незмінною.
Мал. 2a та 2b
Якщо в одній опорі з необхідною мінімальною кількістю опор окремі стрижні або жорсткі кутники замінюються опорами або затискачами, опора втрачає свою внутрішню стійкість, рис. 2a, b. Для таких опор існують інші можливості перевірки стабільності. Якщо p кількість жорстких пластин опори без внутрішньої стійкості, при цьому слід зазначити, що окремий простий стрижень або стійкий до вигину стрижень відповідає умовам внутрішньої стійкості і може бути зрозумілий як жорстка пластина, а якщо z кількість проміжних реакцій у з’єднаннях, то зовнішня стійкість вимагає, щоб: a + z ≥ 3p. Кількість проміжних реакцій у з’єднанні, де прикріплена пластина (рис. 3, 4, 5), становить z=2(_i-_1).
Мал. 3 та 4, відповідно
Мал. 5
Рамка на рис. 6 є статично невизначеним шість разів. Якщо звиси, які не впливають на ступінь статичної невизначеності, вважаються стрижнями, то жорсткі кути, якими вони прикріплені до системи, також слід враховувати, а вільні кінці звисів слід вважати вузлами (s=7, e=6, a=9, k=8). У випадку цих типів опор відповідна форма умов для внутрішнього та зовнішнього випробування стабільності:
3_s_ ≥ 3k-3; 3s+a ≥ 3k, (a≥3).
При цьому передачі не повинні рахуватися в стіках. Часто в таких випадках найшвидшим способом прийти до висновку про ступінь статичної невизначеності опори є розрізання стрижнів або виключення статичних величин до тих пір, поки не залишиться безсумнівно стабільна, статично визначена опора. З трьома секціями, зазначеними на рис. 7 три статичні величини виключені (нормальна сила, поперечна сила, згинальний момент).
Якщо в одній n0-разів статично невизначеній плоскій решітці всі стрижні у вузлах жорстко з’єднані, то ступінь статичної невизначеності дорівнює
n = n0 + 2s – k.
Мал. 6
Мал. 7
Пробільні дужки
Мінімальна кількість опор для просторових сіток становить a=6. Наступні умови стосуються внутрішньої та зовнішньої стабільності:
s ≥ 3k – 6; s + a ≥ 3k, (a≥6).
Умова внутрішньої стійкості виконується, коли, починаючи з однієї трикутної пластини, подальші вузли в просторі з’єднуються трьома стрижнями кожен, які не повинні лежати в одній площині. Таким чином створюється просторова решітка першого роду, характеристика якої полягає в тому, що вона завжди містить принаймні один вузол, у якому зв’язані лише три стрижні, і що вона зберігає цю особливість, навіть коли цей вузол із відповідними стрижнями видалено.
Крім того, просторові сітки можна сформувати шляхом з’єднання трикутних пластин таким чином, що дві та дві пластини з’єднані шістьма стрижнями, де кожен вузол з’єднаний із сусідніми пластинами двома стрижнями кожна. З’єднання двох пластин або двох внутрішніх стійких просторових сіток можна здійснити за допомогою одного з’єднання і трьох стрижнів, які не проходять через це з’єднання. Нарешті, три трикутні пластини можна з’єднати стрижнями 12, з одним стрижнем 4 між кожною пластиною. Для внутрішньої або зовнішньої стійкості просторових опор, де всі стрижні жорстко прив’язані до вигину та скручування, повинні бути виконані умови
6s ≥ 6(k-1); 6s + a ≥ 6k
Тому кронштейн на рис. 8 є 24 разів статично невизначеним, що, як і раніше, можна найлегше перевірити, розрізавши чотири горизонтальні стрижні та таким чином виключивши шість невідомих у кожному перерізі (1 нормальна сила, 2 поперечна сила, 2 mзгинальний момент і 1 крутний момент). Якщо ми видаляємо f-з’єднання, вставляючи з’єднання в стрижні або їх з’єднання, то умови стабільності такі:
6s – f ≥ 6(k-1); 6s – f + a ≥ 6k.
Сл. 8
Навантаження та реакції: статичні завдання
Для плоских опор зовнішні сили повинні лежати в площині опори, для просторових опор вони можуть мати довільне положення. Для ферм передбачається, що навантаження діє на вузли.
Активні сили викликають опори зовнішніх елементів, реакції опор C в опорах і моменти защемлення E в защемленнях. Опір внутрішніх елементів опори - сили поперечного перерізу - це: осьові сили S в простих стержнях; у стрижнях, стійких до нормальних або поздовжніх сил згину та скручування N, згинальних моментів M, крутильних моментів або крутильних моментів T і поперечних сил Q. Опір елементів також може спричинити зміни температури та ослаблення опор.
Визначення розмірів окремих елементів і визначення напруги, що з’являється в них, є завданням опору матеріалу. При визначенні статичних значень застосовуваний матеріал важливий лише в тій мірі, в якій від нього залежить постійне навантаження. Інші властивості матеріалу враховуються лише тоді, коли йдеться про вплив руху опори чи зміни температури (усадка, текучість) або коли необхідно розрахувати деформації. Загалом, балки повинні бути випробувані на різні випадки навантаження, які не повинні мати місце одночасно (постійне навантаження, корисне навантаження, вітрове навантаження, снігове навантаження). Припускаючи, що пружні деформації настільки малі, що ними можна знехтувати по відношенню до розмірів системи - і це зазвичай так - застосовується принцип суперпозиції, згідно з яким окремі випадки навантаження та інші впливи можуть бути розглянуті окремо, а розрахункові значення для статичних або геометричних величин додані разом, з певною корекцією значень через часткові коефіцієнти безпеки для постійних і змінних навантажень (сприятливих або несприятливий).
Статично визначена підтримка
Невідомі та доступні рівняння
В одній статично визначеній ґратці a реакція опор і s осьові сили невідомі, для визначення яких, коли ґратка має k вузлів, рівняння 2_k_ (∑X=0 та ∑Y=0) у площині та 3k рівняння в просторі доступні. У плоскій опорі невідомі можна звести до s1 осьових сил простих стрижнів, s2 нормальних сил стрижнів, стійких до вигину, e згинальних моментів під твердими кутами, a1 опорних реакцій і a2 моментів затиску. Поперечні сили слід визначати з моментів на кінцях стрижнів і зовнішніх сил, що діють між вузлами. У вузлі, з якого i жорстко з’єднаних стрижнів починаються до сусідніх вузлів, достатньо знати i-1 mмоментів, що відповідає числу жорстких кутів, оскільки умова рівноваги ∑M=0 доступна для визначення іншого невідомого моменту в кожному такому вузлі. Щоб визначити s1 + s2 + e + a1 + a2 невідомі, залишаються 2_k_ умови рівноваги.
Умови рівноваги зовнішніх сил на плоских опорах
Реакції пластинчастих опор, що спираються на один нерухомий і один рухомий підшипник (рис. 9), отримані графічно за допомогою багатокутників сил. Лінія атаки сили B відома та має напрям опори в цій точці, а лінія атаки Ka має проходити через перетин сил B і P. Обчислювальним шляхом сили B, C і A поступово визначаються з умов Ma = 0, H = 0 та Mb = 0. Опора пластини на трьох рухомих підшипниках (рис. 10) є правильною лише тоді, коли лінії реакції не перетинаються в одній точці. Реакції визначаються графічно за допомогою багатокутників сил або обчислювальним шляхом за допомогою рівнянь моментів по відношенню до точок, де перетинаються дві та дві лінії атаки сил.
Мал. 9
Мал. 10
У випадку статично визначених опор без внутрішньої стійкості, крім умов рівноваги зовнішніх сил в цілому, також вводяться умови для з’єднань, які виражають вимогу, щоб з’єднання не могли сприймати згинальних моментів. Отже, лінія реакції Ka тришарнірної рами на рис. 11 mora проходить через з’єднання g, і права пластина може бути в рівновазі лише тоді, коли три сили, що діють на неї (P, Kb і сила в з’єднанні = Ka), перетинаються в одній точці. Щоб отримати умови рівноваги, що містять лише одне невідоме, зручно обчислювати вертикальні компоненти реакцій A і B і компоненти C і D уздовж лінії, що з’єднує точки опори. З умов Mb = 0 і Ma = 0 отримують сили A і B, а з умови для з’єднання Mg = 0 для сил, що діють на ліву пластину, отримують силу C, а для сил на праву пластину – силу D. Подібним чином визначаються реакції рамних опор на рис. 12. Для вказаного тут навантаження найшвидший спосіб отримати результат – графічно. Кронштейн із з’єднаннями згідно рис. 13. Горизонтальні компоненти зовнішніх сил, які атакують опору, сприймаються нерухомим ліжком, сила F отримується з ∑H=0. Пластина II знаходиться в точках g1 і g2 на пластинах I і III, а пластина IV в точках g3 на III. Вертикальні сили в з’єднаннях G1, G2, G3 і реакція E визначаються з умови рівноваги пластини II або IV, а потім крок за кроком визначаються реакції A, B, C і D визначений.
Мал. 11 та 12, відповідно
Мал. 13
Визначення внутрішніх статичних розмірів
Осьові сили S простих стрижнів, як правило, вважають додатними, коли вони є силами розтягу, і від’ємними, коли вони є силами стиснення. Подібним чином визначається знак нормальної сили N в балці. Нормальна сила Ni в точці i є складовою, паралельною дотичній до осі балки в точці i рівнодіючої R всіх сил, що діють на балку з одного боку від точки i. Поперечна сила Qi є складовою, нормальною до осі стрижня в точці, яка дорівнює результуючій, а згинальний момент Mi є моментом результуючої (рис. 14). Визначення величин N, Q і M виконується регулярно з окремих сил та їх компонентів, паралельних і перпендикулярних осі стрижня, без визначення результуючої R. Умовність позитивних напрямків показано на рис. 15.
Мал. 14 та 15 відповідно
Оскільки опорні реакції визначаються графічно, нормальні сили, згинальні моменти та поперечні сили можна визначити з багатокутника сил і плану, на якому сили задані за положенням. Наприклад, у лівій колонці тришарнірної рами на рис. 11 вертикальна складова сили Ka є нормальною силою (негативною), горизонтальна складова — поперечною силою (негативною), а Mi = Kari згинаючий момент, негативний, коли моменти, що викликають напругу всередині, вважаються позитивними.
У кожному вузлі, де шарнірно з’єднані стрижні, мають бути виконані умови ∑X=0, ∑Y=0. Сітки, які утворюються найпростішим способом - з’єднанням вузлів з двома стержнями кожен - завжди мають принаймні один вузол, де зустрічаються лише два стрижні. Видаляючи такі вузли, ця функція зберігається. Розрахунок осьових зусиль у стрижнях можна здійснити шляхом поступового розв’язання двох рівнянь із двома невідомими кожне.
Графічне рішення отримано шляхом побудови силового плану (_плану Кремана) за рис. 16. Зовнішні сили P1 до P6 знаходяться в рівновазі. Зусилля в стрижнях Si визначаються поступово, починаючи з точки 1 і переходячи від вузла до вузла в порядку, в якому вони позначені. Позначення сил також виконується відповідно до порядку їх визначення. Кожному вузлу відповідає багатокутник сил із безперервним напрямком стрілки, з якого випливають знаки сил у стрижнях. Якщо через опору зробити розріз і якщо в місцях перерізу стрижнів сили, що діють у цих стрижнях, прикладені як зовнішні сили, то кожна частина решітки знаходиться в рівновазі. На цьому записана процедура Culmann, за допомогою якої сила в довільному стрижні може бути визначена графічно незалежно від інших сил.
Мал. 16
В аналітичному вирішенні задачі складання рівнянь з одним невідомим найбільше значення має процедура Ріттера. Решітку розрізають так, щоб зріз зачепив три палиці. Зусилля в стрижнях секцій прикладаються до кожної частини ферми як сили натягу від вузла до секції. Умови рівноваги застосовуються до кожної частини решітки. Перетин двох і двох стрижнів, що перетинаються, є моментом визначення сили в третьому стрижні (точка Ріттера). Якщо ri — відстань сили Si від точки моменту i, а Mi — момент активних сил і реакцій опор по відношенню до точки i, то сила в стрижні визначається виразом
Si = ± Mi/ri
Мал. 17
Мал. 18
Згідно рис. Сили 17 та 18 у стержнях поперечного перерізу:
On = -Mn/rn; Un-1 = Mn-1/rn-1;
Dn = Md/rd; Ln = Mv/rv.
Якщо графічна конструкція не забезпечує достатньої точності, необхідно обчислити положення точок моменту d і v і відстані rd і rv. Для розрахунку сил D і L більше підходять наступні вирази, в яких лише характерні точки сітки відображаються як моментні точки (рис. 19, 18):
D = (Mu/hu – M(o)/ho) * (d/λd), (35)
Ln = ± Ql ± (Mn tgβn + M’n tgγn)/hn.
Для решіток з паралельними поясами сили D і L можна отримати безпосередньо з поперечної сили:
D = Q/sin__φ_; L=__±Q_
Мал. 19
Рухомі лінії навантаження та впливу
Якщо балка навантажена рухомим навантаженням, зосередженими силами на постійній взаємній відстані, тоді випробування слід проводити в найбільш несприятливих положеннях навантаження. Для простої балки на двох опорах найбільшу поперечну силу Qmax можна отримати за допомогою A-полігона, а найбільший згинальний момент Mmax за допомогою ланцюгового багатокутника для системи сил, під дією якої рухається опора.
При визначенні лінії впливу для однієї статичної чи геометричної величини, а також для навантаження Pm=1, що рухається по навантаженій несучій стрічці, для кожного положення навантаження m, розраховане значення ηm необхідної величини прикладається під силою, від однієї нульової лінії. Лінія, що з’єднує кінцеві точки цих ординат, є лінією впливу. Впливаючими лініями для згинального моменту Mi і поперечної сили Qi в точці i балки, що підтримується в точках a і b, є прямі ga і gb, відрізки яких на вертикалях опор є aa’ = xi (=M’i для A=1) і bb’ = x’i (=M’‘i для B=1) (рис. 20). Лінія впливу сили A визначається лінією gb, ордината якої на вертикальній осі дорівнює a aa’=1.
Мал. 20
Лінія впливу для кожної статичної величини статично визначеної опори складається з прямих ліній, що відповідають жорстким пластинам примусового кінематичного ланцюга, створеного виключенням запитуваної величини. Лінії перетинаються по вертикалі через моментні точки або точки, де шарнірно з’єднані пластини. Область, обмежена нульовою лінією, лінією впливу і двома ординатами, називається зоною впливу. Поділ (нульова точка лінії впливу) розділяє позитивну та негативну частини поверхні впливу.
Оскільки ηm представляє вплив рухомої сили Pm=1 на запитувану величину Z, це Pmηm вплив сили Pm, тоді як система сил P викликає вплив Z=∑Pη. Граничні значення впливу maxZ і minZ будуть отримані, коли рухома система зв’язаних зосереджених сил буде встановлена так, що найбільші сили множаться на найбільші ординати. Якщо найбільш несприятливе положення невідоме з упевненістю, вплив лінії впливу необхідно обчислювати поруч для різних положень навантаження (ітераційний процес).
Для частково рівномірно розподіленого навантаження p t/m становить Z = _∫_p dx η = pF, де F позначений розмір відповідної частини поверхні впливу. У разі часткового навантаження обмеженої довжини c та прямої форми лінії впливу (рис. 58), навантаження має бути встановлено так, щоб η1 = η2 (c1 = cxi/l; c2 = cx’i/l), тому Z = pc (ηi + η1)/2. При непрямій передачі навантаження лінія впливу між ординатами ηn і ηn+1 змінюється по прямій, рис. 21.
Мал. 21