Pomembna strokovna in varnostna opomba: To je arhivsko izobraževalno besedilo, ne statični izračun, konstrukcijski projekt ali priročnik z navodili. Formule, nosilni modeli in risbe so bili preneseni iz originalne vsebine brez strokovne preverbe ali prilagoditve današnjim predpisom. Nosilnost, stabilnost, obremenitve, materiale, spoje in temelje za določen objekt mora določiti pooblaščeni inženir gradbeništva na podlagi veljavnih standardov, geotehničnih podatkov in dejanskega stanja konstrukcije. Ilustracije so izobraževalne in ne predstavljajo potrjenih projektov Sava Kusića.
Statični izračuni in projektiranje nosilnih konstrukcij niso del nove javne ponudbe podjetja. Trenutni fokus proizvodnje so lesena okna, leseno-aluminijasta okna in vrata po meri. Za določen projekt oken ali vrat lahko pošljete povpraševanje za ponudbo.
Struktura in delitev nosilcev
Podporni elementi: notranja in zunanja stabilnost
Elementi podpore so:
Enostavne palice z zmožnostjo prenosa samo nateznih ali tlačnih sil, katerih napadalna linija sovpada z osjo palice. To zahteva, da so palice v vozlih povezane s spoji brez trenja in da zunanje sile napadajo vozle. Nosilci, ki so sestavljeni samo iz preprostih palic, se imenujejo rešetke.
Na upogibanje odporne palice - nosilci - lahko prenašajo tako sile, katerih vpadne črte sovpadajo z osjo palice, kot sile, katerih vpadne črte so vzporedne z osjo palice ali poljubno nagnjene nanjo. Na nosilce delujejo normalne sile, prečne sile, upogibni momenti in v danem primeru torzijski momenti. Tiste v vozlih je mogoče zavezati s tečaji ali s togimi koti.
Oporniki in objemke preprečujejo premikanje nosilca proti fiksnim točkam v ravnini ali prostoru. Vsaka podpora je sposobna prenašati silo v določeni smeri, ki poteka skozi viseče vozlišče. Če je v podprtem vozlišču samo ena podpora - podporna točka - se imenuje gibljivo ležišče prostorske podpore. Če je vozlišče podprto z dvema podporama, se imenuje nepremična postelja ravne podpore ali postelja vesoljske nosilne linije. Stacionarna postelja prostorske podpore zahteva tri podpore.
Vsako stiskanje palice, odporne na upogibanje, lahko prenese moment stiskanja, ki leži v določeni ravnini. Največkrat je na vpenjalo vezano nepremično ležišče, tako da sta pri ploščatem nosilcu dva nosilca in ena vpetje, pri prostorskem nosilcu pa trije nosilci in tri vpenjala. Na mestih opore in stiskanja se lahko pojavijo premiki in rotacije določene velikosti.
Potrebno število elementov za stabilnost nosilca dobimo iz pogojev za notranjo in zunanjo stabilnost. Podpora je notranje stabilna, ko je medprostorna lega podpornih vozlišč zagotovljena z zadostnim številom palic, tako da jo je mogoče spreminjati šele, ko nekatere ali vse palice spremenijo dolžino. Notranje stabilna ploščata podpora se imenuje toga plošča. Nosilec je navzven ali popolnoma stabilen, ko se lahko vmesni položaj vozlišč in njihov položaj glede na fiksne točke ravnine ali prostora spreminja le v obsegu sprememb dolžine palic, premikanja nosilcev ali rotacije vpenjanja.
Ploski oklepaji
Najmanjše število palic, potrebnih za notranjo stabilnost, in najmanjše število palic in podpor, potrebnih za zunanjo stabilnost nosilca z s palicami, a podporami in k vozlišči je:
s = 2k – 3
s + a = 2k, (3 ≤ a)
Prvi pogoj je izpolnjen, ko je opora oblikovana iz ene palice s povezovanjem nadaljnjih vozlišč s po dvema palicama, pri čemer palice, na katere je pritrjen en vozel, ne smejo ležati na isti premici.
Nosilec z s1 enostavnimi palicami, s2 palicami odpornimi na upogibanje, e togimi kotniki, a1 nosilci, a2 sponami in k vozlišči je notranji oz. navzven stabilen, ko:
s1 + s2 + e ≥ 2k – 3
s1 + s2 + e + a1 + a2 ≥ 2k, (a=a1 + a2 ≥ 3)
Sl. 1
Vsak telesni kot lahko nadomestimo s preprosto palico. Če je v enem vozlišču i palic med seboj togo povezanih, je število togih kotov v tem vozlišču i-1. Ko se previsi palic (konzol) štejejo kot palice, je treba proste konce šteti kot vozlišča. Nosilec na sl. 1 z s1=9, s2=7, e=5 (označeno na sliki) in k=12 je notranje stabilen. Ko toga kota 4 in 5 zamenjamo s členki in enostavnimi palicami, ki so na sliki označeni s črtkano črto, potem je s1=11, s2=7, e=3, medtem ko število vozlišč ostane nespremenjeno.
Sl. 2a in 2b
Če v eni podpori z zahtevanim najmanjšim številom podpor posamezne palice ali togi koti zamenjamo s podporami ali objemkami, podpora izgubi notranjo stabilnost, sl. 2a, b. Za take podpore obstajajo druge možnosti, kako se lahko testira stabilnost. Če je p število togih plošč nosilca brez notranje stabilnosti, pri čemer je treba upoštevati, da ena preprosta palica ali palica, odporna na upogibanje, izpolnjuje pogoje notranje stabilnosti in jo lahko razumemo kot togo ploščo, in če je z število vmesnih reakcij v sklepih, zunanja stabilnost zahteva, da: a + z ≥ 3p. Število vmesnih reakcij v spoju, kjer je plošča pritrjena (sl. 3, 4, 5), je z=2(_i-_1).
Sl. 3 oziroma 4
Sl. 5
Okvir na sl. 6 je šestkrat statično nedoločen. Če previse, ki nimajo vpliva na stopnjo statične nedoločenosti, štejemo kot palice, je treba upoštevati tudi toge kote, s katerimi so pritrjeni na sistem, in proste konce previsov šteti kot vozle (s=7, e=6, a=9, k=8). V primeru teh vrst nosilcev je ustrezna oblika pogojev za testiranje notranje in zunanje stabilnosti:
3_s_ ≥ 3k-3; 3s+a ≥ 3k, (a≥3).
Hkrati se podaje ne smejo šteti v palicah. Pogosto v takih primerih najhitreje pridemo do zaključka o stopnji statične nedoločenosti nosilca tako, da prerežemo palice ali izločimo statične količine, dokler ne ostane nedvomno stabilen, statično določen nosilec. S tremi odseki, prikazanimi na sl. 7 tri statične količine so izključene (normalna sila, prečna sila, upogibni moment).
Če so v eni n0-krat statično nedoločeni ravni mreži vse palice v vozliščih togo povezane, je stopnja statične nedoločenosti
n = n0 + 2s – k.
Sl. 6
Sl. 7
Presledki oklepaji
Najmanjše število nosilcev za prostorske mreže je a=6. Za notranjo in zunanjo stabilnost veljajo naslednji pogoji:
s ≥ 3k – 6; s + a ≥ 3k, (a≥6).
Pogoj za notranjo stabilnost je izpolnjen, ko se izhajajoč iz ene trikotne plošče nadaljnja vozlišča v prostoru povežejo s po tremi palicami, ki ne smejo ležati v eni ravnini. Na ta način nastane prostorska mreža prve vrste, katere značilnost je, da vedno vsebuje vsaj eno vozlišče, v katerem so vezane samo tri palice, in da to lastnost ohrani tudi, ko to vozlišče s pripadajočimi palicami odstranimo.
Nadalje lahko prostorske mreže oblikujemo s povezovanjem trikotnih plošč na način, da sta dve in dve plošči povezani s šestimi palicami, pri čemer je vsak vozel povezan s sosednjimi ploščami s po dvema palicama. Povezavo dveh plošč ali dveh notranjih stabilnih prostorskih mrež lahko izvedemo z enim spojem in tremi palicami, ki ne potekajo skozi ta spoj. Končno lahko tri trikotne plošče povežete s palicami 12, z eno palico 4 med vsako ploščo. Za notranjo ali zunanjo stabilnost prostorskih nosilcev, kjer so vse palice togo vezane na upogibanje in zvijanje, morajo biti izpolnjeni pogoji
6s ≥ 6(k-1); 6s + a ≥ 6k
Zato nosilec na sl. 8 je 24-krat statično nedoločen, kar lahko, tako kot prej, najlažje preverimo tako, da prerežemo štiri vodoravne palice in tako izločimo šest neznank v vsakem preseku (1 normalna sila, 2 prečna sila, 2 mupogibni moment in 1 torzijski moment). Če odstranimo f povezave z vstavljanjem spojev v palice ali njihove povezave, potem so pogoji stabilnosti:
6s – f ≥ 6(k-1); 6s – f + a ≥ 6k.
Sl. 8
Obremenitev in reakcije: statične naloge
Pri ravnih nosilcih morajo zunanje sile ležati v ravnini nosilca, pri prostorskih nosilcih pa imajo lahko poljuben položaj. Pri rešetkah se predpostavlja, da obremenitev napade vozlišča.
Dejavne sile povzročajo upore zunanjih elementov, reakcije nosilcev C v nosilcih in ščipne momente E v ščipih. Upori notranjih elementov nosilca - presečne sile - so: osne sile S v enostavnih palicah; v palicah, odpornih na upogibne in zvijalne normalne ali vzdolžne sile N, upogibne momente M, zvijalne momente ali torzijske momente T in prečne sile Q. Odpornost elementov lahko povzroči tudi spremembe temperature in zrahljanje nosilcev.
Dimenzioniranje posameznih elementov in določanje napetosti, ki se v njih pojavljajo, je naloga Materialne upornosti. Pri določanju statičnih vrednosti je uporabljeni material pomemben le toliko, kolikor je od njega odvisna trajna obremenitev. Druge lastnosti materiala se upoštevajo le, ko gre za vpliv gibanja nosilca ali temperaturnih sprememb (krčenje, tečenje) ali ko je treba izračunati deformacije. Na splošno je treba nosilce preskusiti za različne obremenitve, ki se ne pojavljajo hkrati (stalna obremenitev, koristna obremenitev, obremenitev vetra, obremenitev snega). Ob predpostavki, da so elastične deformacije tako majhne, da jih je glede na dimenzije sistema mogoče zanemariti - kar je običajno tako - velja načelo superpozicije, po katerem lahko posamezne primere obremenitev in druge vplive obravnavamo ločeno ter izračunane vrednosti za statične ali geometrijske količine seštevamo, z določeno korekcijo vrednosti preko parcialnih varnostnih koeficientov za stalne in spremenljive obremenitve (ugodne oz. neugodno).
Statično določene podpore
Neznane in razpoložljive enačbe
V eni statično določeni mreži ni znana a reakcija nosilcev in s aksialne sile, za določitev katerih, ko ima mreža k vozlišč, velja enačba 2_k_ (∑X=0 in ∑Y=0) v ravnini in 3k enačba v vesolju je na voljo. V ravnem nosilcu lahko neznanke zmanjšamo na s1 osne sile preprostih palic, s2 normalne sile palic, odpornih na upogibanje, e upogibne momente pri togih kotih, a1 reakcije podpore in a2 momente vpenjanja. Prečne sile je treba določiti iz momentov na koncih palic in zunanjih sil, ki delujejo med vozlišči. V vozlišču, iz katerega se i togo povezanih palic začne v sosednja vozlišča, je dovolj, da poznamo i-1 mmomentov - kar ustreza številu togih kotov -, ker je na voljo ravnotežni pogoj ∑M=0 za določitev drugega neznanega momenta v vsakem takem vozlišču. Za določitev neznank s1 + s2 + e + a1 + a2 ostajajo 2_k_ pogoji ravnotežja.
Pogoji za ravnotežje zunanjih sil na ravnih nosilcih
Reakcije ploščatih nosilcev, ki ležijo na enem mirujočem in enem premičnem ležaju (slika 9), so pridobljene grafično z uporabo poligonov sil. Napadna črta sile B je znana in ima na tej točki smer nosilca, udarna črta sile Ka pa mora potekati skozi presečišče sil B in P. Računsko se sile B, C in A postopoma določijo iz pogojev Ma = 0, H = 0 in Mb = 0. Podpora plošče na treh premičnih ležajih (slika 10) je pravilna le, če se reakcijski črti ne sekata v eni točki. Reakcije se določijo grafično z uporabo poligonov sil ali računsko z uporabo momentnih enačb glede na točke, kjer se sekata dve in dve napadalni liniji sil.
Sl. 9
Sl. 10
Pri statično določenih nosilcih brez notranje stabilnosti so poleg pogojev za ravnotežje zunanjih sil kot celote uvedeni tudi pogoji za sklepe, ki izražajo zahtevo, da sklepi ne morejo sprejemati upogibnih momentov. Zato poteka udarna reakcijska črta Ka trizgibnega okvirja na sliki 11 mora skozi spoj g, desna plošča pa je lahko v ravnovesju le, ko se tri sile, ki delujejo nanjo (P, Kb in sila v sklepu = Ka), sekajo v eni točki. Da bi dobili ravnovesne pogoje, ki vsebujejo samo eno neznanko, je priročno izračunati z navpičnimi komponentami reakcij A in B ter komponentami C in D vzdolž črte, ki povezuje podporni točki. Iz pogojev Mb = 0 in Ma = 0 dobimo sili A in B, iz pogoja za spoj Mg = 0 pa dobimo za sile, ki napadajo levo ploščo, silo C, za sile na desno ploščo pa silo D. Na podoben način so določene reakcije nosilcev okvirja na sl. 12. Za tukaj navedeno obremenitev je rezultat najhitreje grafično. Nosilec s spoji po sl. 13. Horizontalne komponente zunanjih sil, ki napadajo oporo, sprejme nepremična postelja, sila F se dobi iz ∑H=0. Plošča II leži na točkah g1 in g2 na ploščah I in III, plošča IV pa na g3 na III. Navpične sile v sklepih G1, G2, G3 in reakcija E se določijo iz ravnotežnega stanja plošče II ali IV, nato pa se korak za korakom določijo reakcije A, B, C in D odločen.
Sl. 11 oziroma 12
Sl. 13
Določitev notranjih statičnih velikosti
Aksialne sile S enostavnih palic se praviloma štejejo za pozitivne, če gre za natezne sile, in za negativne, če gre za tlačne sile. Na podoben način se določi predznak normalne sile N v nosilcu. Normalna sila Ni v točki i je komponenta, vzporedna s tangento na os žarka v točki i rezultante R vseh sil, ki delujejo na nosilec na eni strani točke i. Prečna sila Qi je normalna komponenta na os palice v točki in je enaka rezultanti, upogibni moment Mi pa je moment rezultante (slika 14). Določanje količin N, Q in M poteka redno iz posameznih sil in njihovih komponent vzporedno in pravokotno na os palice brez določanja rezultante R. Konvencija pozitivnih smeri je prikazana na sl. 15.
Sl. 14 oziroma 15
Ker so reakcije nosilca določene grafično, lahko normalne sile, upogibne momente in prečne sile določimo iz poligona sil in načrta, v katerem so sile podane po legah. Na primer, v levem stolpcu okvirja s tremi tečaji na sl. 11 navpična komponenta sile Ka je normalna sila (negativna), vodoravna komponenta je prečna sila (negativna) in Mi = Kari upogibni moment, negativen, ko se momenti, ki povzročajo napetost v notranjosti, štejejo za pozitivne.
V vsakem vozlišču, kjer so palice tečajno pritrjene, morajo biti izpolnjeni pogoji ∑X=0, ∑Y=0. Mreže, ki so oblikovane na najenostavnejši način - s povezovanjem vozlišč s po dvema palicama - imajo vedno vsaj eno vozlišče, kjer se stikata le dve palici. Z odstranitvijo takih vozlišč se ta funkcija ohrani. Izračun aksialnih sil v palicah lahko izvedemo s postopnim reševanjem dveh enačb z dvema neznankama.
Grafično rešitev dobimo s sestavo načrta sile (Cremanov načrt) po sl. 16. Zunanje sile P1 do P6 so v ravnovesju. Sile v palicah Si se določajo postopoma, začenši s točko 1 in gredo od vozlišča do vozlišča v vrstnem redu, kot so označeni. Označevanje sil poteka tudi v vrstnem redu, v katerem so določene. Vsak vozel ustreza poligonu sil z neprekinjeno smerjo puščice, iz katere sledijo znaki sil v palicah. Če se skozi nosilec naredi prerez in če na mestih, kjer so palice prerezane, delujejo sile, ki delujejo v teh palicah, kot zunanje sile, je vsak del rešetke v ravnotežju. Na tem je zapisan Culmannov postopek, s katerim lahko določimo silo v poljubni palici grafično neodvisno od drugih sil.
Sl. 16
Pri analitičnem reševanju problema zastavljanja enačb z eno neznanko je najpomembnejši Ritterjev postopek. Rešetka je razrezana tako, da rez prizadene tri palice. Sile v prečnih palicah delujejo na vsak del nosilca kot natezne sile, od vozlišča do odseka. Pogoji ravnotežja veljajo za vsak del mreže. Presek dveh in dveh sekajočih se palic je trenutna točka pri določanju sile v tretji palici (Ritterjeva točka). Če je ri razdalja sile Si od trenutne točke i, Mi pa je moment aktivnih sil in reakcij nosilcev glede na točko i, potem je sila v palici podana z izrazom
Si = ± Mi/ri
Sl. 17
Sl. 18
Glede na sl. Sile 17 in 18 v palicah prečnega prereza so:
On = -Mn/rn; Un-1 = Mn-1/rn-1;
Dn = Md/rd; Ln = Mv/rv.
Kadar grafična konstrukcija ne zagotavlja zadostne natančnosti, je treba izračunati položaje trenutnih točk d in v ter razdalje rd in rv. Za izračun sil D in L sta bolj primerna naslednja izraza, v katerih se kot momentne točke pojavljajo le karakteristične točke mreže (sl. 19, 18):
D = (Mu/hu – M(o)/ho) * (d/λd), (35)
Ln = ± Ql ± (Mn tgβn + M’n tgγn)/hn.
Za rešetke z vzporednimi pasovi lahko sili D in L dobimo neposredno iz prečne sile:
D = Q/sin__φ_; L=__±Q_
Sl. 19
Premične obremenitve in vplivne črte
Če je nosilec obremenjen s premično obremenitvijo, koncentriranimi silami na konstantni medsebojni razdalji, je treba preskuse izvajati na najneugodnejših položajih obremenitve. Za preprost nosilec na dveh nosilcih lahko največjo prečno silo Qmax pridobimo z uporabo A-poligona, največji upogibni moment Mmax pa z uporabo verižnega poligona za sistem sil, pod katerimi se nosilec premika.
Pri določanju vplivne črte za eno statično ali geometrijsko količino in za obremenitev Pm=1, ki se premika po obremenjenem nosilnem traku, se za vsako lego obremenitve m izračunana vrednost ηm zahtevane količine uporabi pod silo, iz ene ničelne črte. Črta, ki povezuje končne točke teh ordinat, je vplivna črta. Vplivni črti za upogibni moment Mi in prečno silo Qi v točki i nosilca, podprtega v točkah a in b, sta premici ga in gb, katerih odseki na navpičnicah nosilcev so aa’ = xi (=M’i za A=1) in bb’ = x’i (=M’‘i za B=1) (sl. 20). Vplivna črta za silo A je podana s premico gb, katere ordinata na navpični osi je a aa’=1.
Sl. 20
Vplivna črta za vsako statično količino statično določene podpore je sestavljena iz ravnih črt, ki ustrezajo togim ploščam prisilne kinematične verige, ustvarjene z izključitvijo zahtevane količine. Črte se sekajo v navpičnicah skozi trenutne točke ali skozi točke, kjer so plošče pritrjene. Območje, ki ga omejujejo ničelna črta, vplivna črta in dve ordinati, se imenuje vplivno območje. Razdelitev (ničelna točka vplivne črte) deli pozitivni in negativni del vplivne površine.
Ker ηm predstavlja vpliv gibalne sile Pm=1 na zahtevano količino Z, je Pmηm vpliv sile Pm, sistem sil P pa povzroča vpliv Z=∑Pη. Mejne vrednosti vpliva maxZ in minZ dobimo, ko je gibljivi sistem povezanih zgoščenih sil nastavljen tako, da se največje sile pomnožijo z največjimi ordinatami. Kadar najbolj neugoden položaj ni znan z gotovostjo, je treba vpliv vplivne črte izračunati vzporedno za različne položaje obremenitve (iterativni postopek).
Za delno enakomerno porazdeljeno obremenitev p t/m je Z = _∫_p dx η = pF, kjer je F označena velikost ustreznega dela vplivne površine. V primeru delne obremenitve omejene dolžine c in ravne oblike vplivne črte (slika 58) je treba obremenitev nastaviti tako, da je η1 = η2 (c1 = cxi/l; c2 = cx’i/l), torej Z = pc (ηi + η1)/2. Pri posrednem prenosu obremenitve se vplivna črta med ordinatama ηn in ηn+1 spreminja v ravni črti, sl. 21.
Sl. 21