Важное примечание по техническим вопросам и технике безопасности: Это архивный учебный текст, а не статический расчет, конструктивное проектирование или руководство по эксплуатации. Формулы, опорные модели и чертежи были перенесены из исходного содержания без профессиональной проверки или адаптации к сегодняшним нормам. Несущая способность, устойчивость, нагрузки, материалы, соединения и фундамент для конкретного объекта должны определяться сертифицированным инженером-строителем на основании действующих стандартов, геотехнических данных и фактического состояния конструкции. Иллюстрации носят образовательный характер и не представляют собой подтвержденные проекты Саво Кусича.
Статические расчеты и проектирование несущих конструкций не входят в новое публичное предложение компании. Текущее производство сосредоточено на деревянных окнах, дерево-алюминиевые окна и нестандартные двери. Для конкретного проекта окна или двери вы можете отправить запрос цен.
Конструкция и разделение опор
Опорные элементы: внутренняя и внешняя устойчивость
Элементами опоры являются:
Простые стержни способны передавать только растягивающие или сжимающие усилия, линия действия которых совпадает с осью стержня. Для этого необходимо, чтобы стержни в узлах были связаны соединениями без трения и чтобы на узлы воздействовали внешние силы. Опоры, состоящие только из простых стержней, называются фермами.
Палочки, устойчивые к изгибу - балки - могут передавать как силы, линии атаки которых совпадают с осью стержня, так и силы, линии атаки которых параллельны оси стержня или произвольно наклонены к ней. Балки испытывают нормальные силы, поперечные силы, изгибающие моменты и, в данном случае, крутящие моменты. Узлы можно завязать с помощью петель или жестких уголков.
Опоры и зажимы предотвращают перемещение опоры к фиксированным точкам в плоскости или пространстве. Каждая опора способна передавать в определенном направлении силу, проходящую через подвешиваемый узел. Если в опорном узле имеется только одна опора - точка опоры - ее называют подвижным подшипником пространственной опоры. Если узел поддерживается двумя опорами, его называют неподвижным основанием плоской опоры, или пространством несущей линии. Стационарное основание пространственной опоры требует трех опор.
Каждый зажим устойчивого к изгибу стержня способен передавать зажимающий момент, лежащий в определенной плоскости. В большинстве случаев к зажиму присоединяется неподвижный подшипник, так что в случае плоской опоры - две опоры и один зажим, а в случае пространственной опоры - три опоры и три зажима. В местах опоры и защемления могут возникать движения и вращения определенной величины.
Необходимое количество элементов устойчивости опоры получается из условий внутренней и внешней устойчивости. Опора является внутренне устойчивой, когда межкомнатное положение узлов опоры обеспечивается достаточным количеством стержней, так что его можно изменить только при изменении длины некоторых или всех стержней. Внутренне устойчивая плоская опора называется жесткой пластиной. Опора является внешне или полностью устойчивой, когда промежуточное положение узлов и их положение относительно неподвижных точек плоскости, или пространства могут изменяться только в пределах изменения длины стержней, перемещения опор или вращения зажима.
Плоские скобки
Минимальное количество стержней, необходимое для внутренней устойчивости, и минимальное количество стержней и опор, необходимое для внешней устойчивости фермы с s стержнями, а опорами и к узлами составляет:
с =2к -3
с + а =2к, (3 ≤ а)
Первое условие выполняется, когда опору формируют, начиная с одного стержня, путем соединения дальнейших узлов по два стержня в каждом, при этом стержни, к которым присоединяется один узел, не должны лежать на одной прямой.
Скобка с _s1_простые палочки,с2 стержни устойчивы к изгибу, е жесткие уголки, а1 поддерживает, а2 зажимы и k узлы являются внутренними или внешне стабильными, когда:
с1+ с2+ е ≥ 2к -3
с1+ с2+ е + а1+ а2 ≥2к, (а=а1+ а2≥3)
Рис. 1
Каждый телесный угол можно заменить простым стержнем. Если в одном узле i стержней жестко соединены друг с другом, то количество жестких углов в этом узле равно i-1. При учете свесов стержней (консолей) за стержни, свободные концы следует считать за узлы. Кронштейн на рис. 1 с s1=9, s2=7, e=5 (отмечено на рисунке) и k=12 является внутренне стабильным. Если заменить жесткие углы 4 и 5 шарнирами и простыми стержнями, которые на рисунке отмечены пунктирными линиями, то s1=11, s2=7, e=3, при этом количество узлов остаётся неизменным.
Рис. 2a и 2b
Если в одной опоре с необходимым минимальным количеством опор отдельные стержни или жесткие уголки заменены опорами или зажимами, то опора теряет внутреннюю устойчивость, рис. 2а, б. Для таких опор существуют другие возможности проверки устойчивости. Если р - число жестких пластин опоры без внутренней устойчивости, при этом следует отметить, что одиночный простой стержень или стержень, устойчивый к изгибу, удовлетворяет условиям внутренней устойчивости и может пониматься как жесткая пластина, а если z - число промежуточных реакций в соединениях, то внешняя устойчивость требует, чтобы: a + z ≥ 3p. Число промежуточных реакций в суставе, где крепится пластина (рис. 3, 4, 5) равно z=2(_i-_1).
Рис. 3 и 4 соответственно
Рис. 5
Кадр на рис. 6 статически неопределим шесть раз. Если свесы, не влияющие на степень статической неопределенности, считать стержнями, то следует учитывать также жесткие углы, которыми они прикреплены к системе, а свободные концы свесов считать узлами (s=7, e=6, a=9, k=8). В случае этих типов опор подходящей формой условий для испытаний на внутреннюю и внешнюю устойчивость является:
3_s_ ≥ 3k-3; 3s+a ≥ 3k, (a≥3).
При этом передачи не должны засчитываться в стиках. Зачастую в таких случаях быстрее всего прийти к выводу о степени статической неопределенности опоры можно путем разрезания стержней или исключения статических величин до тех пор, пока не останется несомненно устойчивая, статически определенная опора. С тремя секциями, указанными на рис. 7 исключены три статические величины (нормальная сила, поперечная сила, изгибающий момент).
Если в одной n0-раз статически неопределимой плоской решетке все стержни в узлах жестко связаны, то степень статической неопределенности равна
n = n0 + 2s – k.
Рис. 6
Рис. 7
Пробелные скобки
Минимальное количество опор для пространственных сеток — a=6. Следующие условия применяются к внутренней и внешней стабильности:
s ≥ 3k – 6; s + a ≥ 3k, (a≥6).
Условие внутренней устойчивости выполняется, когда, начиная с одной треугольной пластины, дальнейшие узлы в пространстве соединяются тремя стержнями каждый, которые не должны лежать в одной плоскости. Таким образом создается пространственная решетка первого рода, характеристикой которой является то, что она всегда содержит хотя бы один узел, в котором связаны только три стержня, и что она сохраняет эту особенность даже при удалении этого узла с соответствующими стержнями.
Кроме того, пространственные сетки можно формировать путем соединения треугольных пластин таким образом, что две и две пластины соединяются шестью стержнями, причем каждый узел соединяется с соседними пластинами двумя стержнями каждая. Соединение двух пластин или двух внутренних устойчивых пространственных решеток может быть реализовано посредством одного шарнира и трех стержней, не проходящих через этот сустав. Наконец, три треугольные пластины можно соединить стержнями 12, по одному стержню 4 между каждой пластиной. Для внутренней, или внешней устойчивости пространственных опор, где все стержни жестко связаны на изгиб и кручение, должны выполняться условия
6s ≥ 6(k-1); 6s + a ≥ 6k
Поэтому кронштейн на рис. 8 является 24 раз статически неопределимым, что, как и раньше, легче всего проверить, разрезав четыре горизонтальные стержни и исключив таким образом шесть неизвестных в каждом сечении (1 нормальная сила, 2 поперечная сила, 2 m изгибающий момент и 1 крутящий момент). Если удалить f связей, вставив соединения в стержни или их соединения, то условия устойчивости будут:
6s – f ≥ 6(k-1); 6s – f + a ≥ 6k.
Сл. 8
Нагрузка и реакции: задачи по статике
Для плоских опор внешние силы должны лежать в плоскости опоры, для пространственных опор они могут иметь произвольное положение. При использовании ферм предполагается, что нагрузка воздействует на узлы.
Действующие силы вызывают сопротивления внешних элементов, реакции опор C в опорах и моменты защемления E в защемлениях. Сопротивлениями внутренних элементов опоры - поперечными силами - являются: осевые силы S в простых стержнях; в стержнях, устойчивых к изгибающим и скручивающим нормальным или продольным силам N, изгибающим моментам M, крутящим моментам или крутящим моментам T и поперечным силам Q. Сопротивление элементов также может стать причиной изменения температуры и ослабления опор.
Расчёт размеров отдельных элементов и определение возникающих в них напряжений является задачей Сопротивления Материалов. При определении статических значений применяемый материал важен лишь в той мере, в какой от него зависит постоянная нагрузка. Другие свойства материала учитываются только тогда, когда речь идет о влиянии перемещения опоры или изменении температуры (усадка, текучесть) или когда необходимо рассчитать деформации. Как правило, балки следует испытывать на различные нагрузки, которые не обязательно должны возникать одновременно (постоянная нагрузка, полезная нагрузка, ветровая нагрузка, снеговая нагрузка). Предполагая, что упругие деформации настолько малы, что их можно игнорировать по отношению к размерам системы - а это обычно так - применяется принцип суперпозиции, согласно которому отдельные варианты нагрузки и другие воздействия могут рассматриваться отдельно, а расчетные значения статических или геометрических величин суммируются с определенной коррекцией значений с помощью частичных коэффициентов безопасности для постоянных и переменных нагрузок (благоприятных или неблагоприятных).
Статически определяемые опоры
Неизвестные и доступные уравнения
В одной статически определенной решетке неизвестны a реакция опор и s осевые силы, для определения которых при наличии k узлов используются уравнение 2_k_ (∑X=0 и ∑Y=0) в плоскости и уравнение 3k в места имеются. В плоской опоре неизвестные могут быть сведены к s1 осевым силам простых стержней, s2 нормальным силам стержней, устойчивых к изгибу, e изгибающим моментам под жесткими углами, a1 опорным реакциям и a2 зажимным моментам. Поперечные силы следует определять по моментам на концах стержней и внешним силам, действующим между узлами. В узле, от которого к соседним узлам начинаются i жестко связанных стержней, достаточно знать i-1 mмоментов - что соответствует числу жестких углов - поскольку доступно условие баланса ∑M=⟦0 для определения еще одного неизвестного момента в каждом таком узле. Для определения s1 + s2 + e + a1 + a2 остаются 2_k_ условия равновесия.
Условия равновесия внешних сил на плоских опорах
Реакции пластинчатых опор, опирающихся на одну неподвижную и одну подвижную опору (рис. 9), получают графически с помощью силовых полигонов. Линия атаки силы B известна и имеет направление опоры в этой точке, а линия атаки силы Ka должна проходить через пересечение сил B и P. Расчетным путем силы B, C и A постепенно определяются из условий Ma = 0, H = 0 и Mb = 0. Опора пластины на три подвижных подшипника (рис. 10) правильна только тогда, когда линии реакции не пересекаются в одной точке. Реакции определяются графически с использованием силовых многоугольников или вычислительно с использованием уравнений моментов относительно точек пересечения двух и двух линий атаки сил.
Рис. 9
Рис. 10
В случае статически определяемых опор без внутренней устойчивости, кроме условий равновесия внешних сил в целом, вводятся также условия для соединений, выражающие требование неспособности соединений воспринимать изгибающие моменты. Поэтому линия атаки Ка трехшарнирной рамы на рис. 11 mora проходит через шарнир g, и правая пластина может находиться в равновесии только тогда, когда три действующие на нее силы (P, Kb и сила в шарнире = Ka) пересекаются в одной точке. Чтобы получить условия равновесия, содержащие только по одному неизвестному, удобно производить расчеты с вертикальными компонентами реакций А и В и компонентами С и D вдоль линии, соединяющей опорные точки. Из условий Mb = 0 и Ma = 0 получаются силы A и B, а из условия для соединения Mg = 0 для сил, действующих на левую пластину, получается сила C, а для сил на правую пластину - сила D. Аналогичным образом определяются реакции опор рамы на рис. 12. Для приведенной здесь нагрузки самый быстрый способ получить результат — графический. Кронштейн с шарнирами согласно рис. 13. Горизонтальные составляющие внешних сил, действующих на опору, воспринимаются неподвижным основанием, сила F получается из ∑H=0. Пластина II опирается на точки g1 и g2 на пластинах I и III, а пластина IV в точках g3 на III. Вертикальные силы в соединениях G1, G2, G3 и реакцию E определяются из состояния равновесия пластины II или IV, а затем поэтапно определяются реакции A, B, C и D.
Рис. 11 и 12 соответственно
Рис. 13
Определение внутренних статических размеров
Осевые силы S простых стержней, как правило, считаются положительными, когда они представляют собой силы растяжения, и отрицательными, когда они представляют собой силы сжатия. Аналогично определяется знак нормальной силы N в балке. Нормальная сила Ni в точке i представляет собой составляющую, параллельную касательной к оси балки в точке i равнодействующей R всех сил, действующих на балку по одну сторону от точки i. Поперечная сила Qi — это составляющая, нормальная к оси стержня в точке и равная и равнодействующая, а изгибающий момент Mi — момент равнодействующей (рис. 14). Определение величин N, Q и M производится регулярно по отдельным силам и их составляющим, параллельным и перпендикулярным оси стержня, без определения равнодействующей R. Условное обозначение положительных направлений показано на рис. 15.
Рис. 14 и 15 соответственно
Поскольку реакции опоры определяются графически, нормальные силы, изгибающие моменты и поперечные силы можно определить по многоугольнику сил и плану, на котором силы заданы по положению. Например, в левом столбце трехшарнирной рамы на рис. 11 вертикальная составляющая силы Ka представляет собой нормальную силу (отрицательную), горизонтальная составляющая представляет собой поперечную силу (отрицательную), а Mi = Kari изгибающий момент, отрицательный, когда моменты, вызывающие напряжение внутри, считаются положительными.
В каждом узле шарнирного соединения стержней должны выполняться условия ∑X=0, ∑Y=0. Сетки, образованные самым простым способом — соединением узлов с двумя стержнями в каждой, — всегда имеют хотя бы один узел, в котором сходятся только два стержня. При удалении таких узлов эта функция сохраняется. Расчет осевых сил в стержнях можно провести путем постепенного решения двух уравнений с двумя неизвестными каждое.
Графическое решение получено путем построения силового плана (плана_Креманы) по рис. 16. Внешние силы от P1 до P6 находятся в равновесии. Усилия в стержнях Si определяются постепенно, начиная с точки 1 и переходя от узла к узлу в порядке их маркировки. Маркировку сил также производят в том порядке, в котором они определены. Каждому узлу соответствует многоугольник сил с непрерывным направлением стрелки, от которого следуют знаки сил в стержнях. Если сечение выполнено через опору и если в местах разреза стержней силы, действующие в этих стержнях, приложены как внешние силы, то каждая часть решетки находится в равновесии. При этом записана процедура Кульмана, с помощью которой сила в произвольном стержне может быть определена графически независимо от других сил.
Рис. 16
При аналитическом решении задачи постановки уравнений с одним неизвестным наибольшее значение имеет процедура Риттера. Решетка разрезается так, чтобы надрез затронул три палочки. Усилия в стержнях профиля прикладываются к каждой части фермы как силы растяжения, от узла к сечению. Условия равновесия применимы к каждой части решетки. Пересечение двух и двух пересекающихся стержней является моментом при определении силы в третьем стержне (точка Риттера). Если ri — расстояние силы Si от точки момента i, а Mi — момент действующих сил и реакций опор по отношению к точке i, то сила в стержне определяется выражением
Si = ± Mi/ri
Рис. 17
Рис. 18
Согласно рис. Усилия 17 и 18 в стержнях поперечного сечения составляют:
On = -Mn/rn; Un-1 = Mn-1/rn-1;
Dn = Md/rd; Ln = Mv/rv.
Когда графическое построение не обеспечивает достаточную точность, необходимо рассчитать положения моментных точек d и v и расстояния rd и rv. Для расчета сил D и L более подходят следующие выражения, в которых моментными точками являются только характерные точки сетки (рис. 19, 18):
D = (Mu/hu – M(o)/ho) * (d/λd), (35)
Ln = ± Ql ± (Mn tgβn + M’n tgγn)/hn.
Для решеток с параллельными поясами силы D и L можно получить непосредственно из поперечной силы:
D = Q/sin__φ_; L=__±Q_
Рис. 19
Линии подвижной нагрузки и влияния
Если балка нагружена подвижной нагрузкой, сосредоточенными силами на постоянном взаимном расстоянии, то испытания следует проводить при самых неблагоприятных положениях нагрузки. Для простой балки на двух опорах наибольшую поперечную силу Qmax можно получить с помощью A-многоугольника, а наибольший изгибающий момент Mmax с помощью цепного многоугольника для системы сил, под которой движется опора.
При определении линии влияния для одной статической или геометрической величины, а также для груза Pm=1, перемещающегося по нагруженному несущему ремню, для каждого положения нагрузки m расчетное значение ηm требуемой величины прикладывается под действием силы, от одной нулевой линии. Линия, соединяющая конечные точки этих ординат, является линией влияния. Линиями воздействия на изгибающий момент Mi и поперечную силу Qi в точке i балки, опертой в точках a и b, являются прямые ga и gb, отрезки которых на вертикалях опор равны aa’ = xi (=M’i для A=1) и bb’ = x’i (=M’‘i для B=1) (рис. 20). Линия влияния силы A определяется линией gb, ордината которой на вертикальной оси равна a aa’=1.
Рис. 20
Линия влияния для каждой статической величины статически определяемой опоры состоит из прямых линий_, соответствующих жестким пластинам вынужденной кинематической цепи, созданной путем исключения запрошенной величины. Линии пересекаются по вертикалям через мгновенные точки или через точки шарнирного соединения пластин. Область, ограниченная нулевой линией, линией влияния и двумя ординатами, называется зоной влияния. Dividing (нулевая точка линии влияния) разделяет положительную и отрицательную части поверхности влияния.
Поскольку ηm представляет влияние движущей силы Pm=1 на запрошенную величину Z, это Pmηm влияние силы Pm, тогда как система сил P вызывает влияние Z=∑Pη. Предельные значения влияния maxZ и minZ будут получены при настройке движущейся системы связанных сосредоточенных сил так, чтобы наибольшие силы умножались на наибольшие ординаты. Если наиболее неблагоприятное положение точно не известно, влияние линии влияния необходимо рассчитывать параллельно для различных положений нагрузки (итерационный процесс).
Для частично равномерно распределенной нагрузки p t/m составляет Z = _∫_p dx η = pF, где F — обозначенный размер соответствующей части воздействующей поверхности. В случае частичной нагрузки ограниченной длины c и прямой формы линии влияния (рис. 58) нагрузку следует устанавливать так, чтобы η1 = η2 (c1 = cxi/l; c2 = cx’i/l), поэтому Z = pc (ηi + η1)/2. При непрямой передаче нагрузки линия влияния между ординатами ηn и ηn+1 меняется на прямую, рис. 21.
Рис. 21