Važna tehnička i sigurnosna napomena: Ovo je arhivski obrazovni tekst, a ne statički proračun, građevinski projekat ili priručnik za performanse. Formule, modeli podrške i crteži prebačeni su iz originalnog sadržaja bez stručne provjere ili prilagođavanja današnjim propisima. Nosivost, stabilnost, opterećenja, materijale, spojeve i temelje za određeni objekat mora odrediti ovlašteni građevinski inženjer na osnovu važećih standarda, geotehničkih podataka i stvarnog stanja objekta. Ilustracije su edukativne i ne predstavljaju potvrđene projekte Save Kusića.
Statički proračuni i projektovanje nosećih konstrukcija nisu dio nove javne ponude kompanije. Trenutni fokus proizvodnje sastoji se od drveni prozori, drveni-aluminijski prozori i vrata po mjeri. Za određeni projekat prozora ili vrata, možete poslati zahtjev za ponudu.
Struktura i podjela prevoznika
Potporni elementi: unutrašnja i vanjska stabilnost
Elementi podrške su:
Jednostavni štapovi sposobni da prenose samo vlačne ili tlačne sile čija se linija napada poklapa sa osom štapa. To znači da su štapovi u čvorovima vezani spojevima u kojima nema trenja, te da vanjske sile napadaju čvorove. Nosači koji se sastoje samo od jednostavnih šipki nazivaju se rešetkama.
Štapovi otporni na savijanje - grede - mogu prenositi kako sile čije se linije napada poklapaju sa osom štapa, tako i sile čije su linije napada paralelne sa osom štapa ili proizvoljno nagnute prema njoj. Grede primaju normalne sile, poprečne sile, momente savijanja i, u datom slučaju, momente torzije. Oni u čvorovima mogu se vezati šarkama ili čvrstim uglovima.
Nosioci i stezaljke sprečavaju pomeranje nosača prema fiksnim tačkama u ravni ili prostoru. Svaki oslonac je sposoban prenijeti silu u određenom smjeru koja prolazi kroz ovjesni čvor. Ako postoji samo jedan oslonac u oslonjenom čvoru - tačka oslonca - to se naziva pokretni ležaj prostornog oslonca. Ako je čvor oslonjen na dva oslonca, naziva se nepokretni ležaj ravnog nosača, ili ležište linije nosača prostora. Stacionarni ležaj prostornog nosača zahteva tri oslonca.
Svako štipanje šipke otporne na savijanje može prenijeti moment štipanja koji leži u određenoj ravni. U većini slučajeva na stezaljku se spaja nepokretni ležaj, tako da kod ravnog nosača postoje dva nosača i jedna stezaljka, a kod prostornog nosača tri oslonca i tri stege. Pokreti i rotacije određene veličine mogu se pojaviti na mjestima oslonca i štipanja.
Potreban broj elemenata za stabilnost nosača dobija se iz uslova unutrašnje i spoljne stabilnosti. Nosač je interno stabilan kada je međuprostorni položaj čvorova nosača osiguran dovoljnim brojem šipki tako da se može mijenjati samo kada neki ili svi štapovi promijene dužinu. Unutrašnjost stabilna ravna potpora naziva se kruta ploča. Nosač je spolja ili potpuno stabilan kada se međupoložaj čvorova i njihov položaj prema fiksnim tačkama ravni, odnosno prostora mogu mijenjati samo do mjere promjene dužine šipki, kretanja oslonaca ili rotacije stezanja.
Ravne zagrade
Minimalni broj šipki potreban za unutrašnju stabilnost i minimalni broj šipki i potpora potrebnih za vanjsku stabilnost rešetke sa s šipkama, a nosačima i k čvorovima je:
s = 2k – 3
s + a = 2k, (3 ≤ a)
Prvi uslov je ispunjen kada se oslonac formira počevši od jednog štapa povezivanjem daljih čvorova sa po dva štapa, pri čemu štapovi na koje je jedan čvor povezan ne smiju ležati na istoj pravoj liniji.
Nosač sa s1 jednostavni štapići, s2 šipke otporne na savijanje, e kruti uglovi, a1 podržava, a2 štipanja i k čvorova je interno ili eksterno stabilno kada:
s1+ s2+ e ≥ 2k -3
s1+ s2+ e + a1+ a2 ≥2k, (a=a1+ a2≥3)
Sl.1
Svaki kruti ugao može se zamijeniti jednostavnom šipkom. Ako su u jednom čvoru i štapovi međusobno čvrsto povezani, broj krutih uglova u tom čvoru je i-1. Kada se prepusti šipki (konzole) računaju kao šipke, slobodni krajevi treba da se računaju kao čvorovi. Nosač na sl.1sa s1=9, s2=7, e=5(označeno na slici) i k=12interno je stabilan. Kada su kruti uglovi4i5zamijenimo ga spojnicama i jednostavnim šipkama koje su na slici označene isprekidanim linijama, zatim s1=11, s2=7, e=3, dok broj čvorova ostaje nepromijenjen.
Sl.2i ja2b
Ako se u jednom nosaču sa potrebnim minimalnim brojem oslonaca pojedine šipke ili kruti uglovi zamijene osloncima ili stezaljkama, oslonac gubi unutrašnju stabilnost, sl.2a, b. Za takve nosače postoje i druge mogućnosti testiranja stabilnosti. Ako je p broj krutih ploča oslonca bez unutrašnje stabilnosti, pri čemu treba napomenuti da jedna jednostavna šipka ili šipka otporna na savijanje ispunjava uslove unutrašnje stabilnosti i može se shvatiti kao kruta ploča, a ako je z broj međureakcija u spojevima, za eksternu stabilnost je potrebno: a≥ + z 3p. Broj međureakcija u spoju u koji je ploča pričvršćena (sl.3,4,5) je z=2(_i-_1).
Sl.3i4, odnosno
Sl.5
Okvir na sl.6je šest puta statički neodređeno. Ako se prepusti, koji nemaju uticaja na stepen statičke neodređenosti, računaju kao šipke, treba uzeti u obzir i krute uglove sa kojima su pričvršćeni za sistem i slobodne krajeve prepusta računati kao čvorove (s=7, e=6, a=9, k=8). Za ove vrste nosača odgovarajući oblik uslova za ispitivanje unutrašnje i spoljašnje stabilnosti je:
3_s_ ≥3k-3;3s+a ≥3k, (a≥3).
U isto vrijeme, dodaci se ne smiju računati u štapićima. Često je u takvim slučajevima najbrži način da se dođe do zaključka o stupnju statičke neodređenosti oslonca rezanjem šipki ili isključivanjem statičkih veličina sve dok ne ostane nesumnjivo stabilan, statički određen oslonac. Sa tri sekcije prikazane na sl. 7 tri statičke veličine su isključene (normalna sila, poprečna sila, moment savijanja).
Ako su u jednom n0-puta statički neodređene ravne rešetke svi štapovi u čvorovima kruto povezani, stepen statičke neodređenosti je
n = n0 + 2s – k.
Sl. 6
Sl. 7
Razmaknice
Minimalni broj oslonaca za prostorne mreže je a=6. Sljedeći uslovi važe za unutrašnju i vanjsku stabilnost:
s ≥ 3k – 6; s + a ≥ 3k, (a≥6).
Uslov unutrašnje stabilnosti je ispunjen kada su, počevši od jedne trouglaste ploče, dalji čvorovi u prostoru povezani sa po tri štapa, koji ne smiju ležati u jednoj ravni. Na taj način se stvara prostorna rešetka prve vrste čija je karakteristika da uvijek sadrži barem jedan čvor u kojem su vezana samo tri štapa, te da zadržava ovu osobinu čak i kada se taj čvor sa odgovarajućim šipkama ukloni.
Nadalje, prostorne mreže se mogu formirati spajanjem trouglastih ploča na način da su dvije i dvije ploče povezane sa šest šipki, pri čemu je svaki čvor povezan sa susjednim pločama sa po dva štapa. Povezivanje dvije ploče ili dvije unutrašnje stabilne prostorne mreže može se ostvariti pomoću jednog spoja i tri šipke koje ne prolaze kroz taj spoj. Na kraju se mogu spojiti tri trokutaste ploče12štapića i to sa po4štap između svake ploče. Za unutrašnju ili vanjsku stabilnost prostornih oslonaca gdje su sve šipke čvrsto vezane za savijanje i uvijanje, moraju biti ispunjeni uslovi
6s ≥6(k-1);6s + a ≥6k
Stoga, nosač na sl.8je24vremena statički neodređena, što se, kao i do sada, najlakše može provjeriti kada se odsijeku četiri horizontalna štapa i na taj način se u svakom rezu isključi šest nepoznatih (1normalna sila,2poprečne sile,2 msavijanje omenta i1torzioni moment). Ako uklonimo f spojeve umetanjem spojeva u šipke ili njihove spojeve, tada su uvjeti stabilnosti:
6s – f ≥6(k-1);6s – f + a ≥6k.
Sl. 8
Učitavanje i reakcije: statički zadaci
Kod ravnih oslonaca vanjske sile moraju ležati u ravni oslonca, a kod prostornih mogu imati proizvoljan položaj. U rešetkama se pretpostavlja da opterećenje napada na čvorove.
Aktivne sile izazivaju otpore spoljnih elemenata, reakcije oslonaca C u osloncima i momente štipanja E u štipaljkama. Otpori unutrašnjih elemenata oslonca - sile poprečnog presjeka - su: aksijalne sile S u jednostavnim šipkama; u šipkama otpornim na savijanje i uvijanje normalne ili uzdužne sile N, momente savijanja M, momente uvijanja ili torzione momente T i poprečne sile Q. Otpor elemenata također može uzrokovati promjene temperature i labavljenje nosača.
Dimenzioniranje pojedinačnih elemenata i određivanje napona koji se pojavljuju u njima je zadatak otpornosti materijala. Pri određivanju statičkih vrijednosti primijenjeni materijal je važan samo u onoj mjeri u kojoj o njemu ovisi trajno opterećenje. Ostala svojstva materijala uzimaju se u obzir samo kada je u pitanju uticaj kretanja nosača ili promene temperature (skupljanje, tečenje) ili kada je potrebno izračunati deformacije. Općenito, nosače treba testirati na različite slučajeve opterećenja koji se ne moraju pojaviti istovremeno (trajno opterećenje, korisno opterećenje, opterećenje vjetrom, opterećenje snijegom). Uz pretpostavku da su elastične deformacije toliko male da se mogu zanemariti u odnosu na dimenzije sistema - a to je obično slučaj - primjenjuje se princip superpozicije prema kojem se pojedinačni slučajevi opterećenja i drugi utjecaji mogu ispitati odvojeno, a izračunate vrijednosti za statičke ili geometrijske veličine zbrajati, uz određenu korekciju vrijednosti kroz parcijalni sigurnosni koeficijent nepovoljan).
Statički određeni nosači
Nepoznate i dostupne jednadžbe
U statički određenoj rešetki, a reakcije oslonaca i s aksijalne sile su nepoznate, čije je određivanje dostupno kada rešetka ima k čvorova2_k_ jednadžba (∑X=0i ∑Y=0) u ravni i3k jednačina u prostoru. U ravnom nosaču, nepoznanice se mogu svesti na s1 aksijalne sile jednostavnih šipki, s2 normalne sile štapova otpornih na savijanje, e momenti savijanja u krutim uglovima, a1 reakcija oslonaca i a2 momenti stezanja. Poprečne sile treba odrediti iz momenata na krajevima šipki i vanjskih sila koje djeluju između čvorova. U čvoru iz kojeg i kruto spojeni štapovi kreću do susjednih čvorova, dovoljno je znati i-1 moment - koji odgovara broju krutih uglova - jer za određivanje drugog nepoznatog momenta u svakom takvom čvoru postoji uslov ravnoteže ∑M=0. Za određivanje s1 + s2 + e + a1 + a2 nepoznanica i dalje ostaje2_k_ uslovi ravnoteže.
Uslovi za ravnotežu vanjskih sila na ravnim osloncima
Reakcije pločastih oslonaca oslonjenih na jedan fiksni i jedan pokretni ležaj (sl. 9) se dobijaju grafički korišćenjem poligona sila. Napadna linija sile B je poznata i ima smjer oslonca u toj tački, a linija napada sile Ka mora proći kroz sjecište sila B i P. Računski, iz uslova Ma = 0, H = 0 i Mb = 0, sile B, C i A su postepeno određene. Oslonac ploče na tri pokretna ležaja (sl. 10) je ispravan samo kada se linije napada ne sijeku u jednoj tački. Reakcije se određuju grafički korištenjem poligona sila ili računski korištenjem jednadžbi momenata u odnosu na tačke gdje se seku dvije i dvije linije napada.
Sl. 9
Sl. 10
Kod statički određenih oslonaca bez unutrašnje stabilnosti, pored uslova za ravnotežu vanjskih sila u cjelini, uvode se i uvjeti za spojeve koji izražavaju zahtjev da spojevi ne mogu primiti momente savijanja. Dakle, linija reakcije Ka trozglobnog okvira na slici 11 mora prolazi kroz zglob g, a desna ploča može biti u ravnoteži samo kada se tri sile koje na nju djeluju (P, Kb i sila u zglobu = Ka) seku u jednoj tački. Da bi se dobili ravnotežni uslovi koji sadrže samo po jednu nepoznatu, pogodno je izračunati sa vertikalnim komponentama reakcija A i B i komponentama C i D duž linije koja spaja tačke oslonca. Iz uslova Mb = 0 i Ma = 0 dobijaju se sile A i B, a iz uslova za spoj Mg = 0 za sile koje napadaju lijevu ploču dobija se sila C, a za sile na desnoj ploči sila D. Na sličan način se određuju i reakcije oslonaca fig. 12. Za opterećenje koje je ovdje navedeno, najbrži način da dobijete rezultat je grafički. Nosač sa spojevima prema sl. 13. Horizontalne komponente vanjskih sila koje napadaju oslonac prima stacionarni ležaj, sila F se dobija iz ∑H=0. Ploča II leži u tačkama g1 i g2 na pločama I i III, a ploča IV na g3 na III. Vertikalne sile u spojevima G1, G2, G3 i reakciji E određuju se iz uslova ravnoteže ploče II ili IV, a zatim se korak po korak određuju reakcije A, B, C i D.
Sl. 11 i 12, respektivno
Sl. 13
Određivanje unutrašnjih statičkih veličina
Aksijalne sile S jednostavnih šipki općenito se smatraju pozitivnim kada su sile zatezanja, a negativnim kada su sile kompresije. Na sličan način određuje se predznak normalne sile N u gredi. Normalna sila Ni u tački i je komponenta paralelna s tangentom na os grede u tački i rezultantne R svih sila koje djeluju na gredu s jedne strane tačke i. Poprečna sila Qi je komponenta normalna na osu štapa u tački i ista i rezultanta, a moment savijanja Mi je moment rezultante (sl. 14). Određivanje veličina N, Q i M vrši se redovno iz pojedinačnih sila i njihovih komponenti paralelnih i okomitih na os štapa bez određivanja rezultante R. Konvencija pozitivnih pravaca prikazana je na sl. 15.
Sl. 14 i 15, respektivno
Budući da su reakcije oslonca određene grafički, normalne sile, momenti savijanja i poprečne sile mogu se odrediti iz poligona sila i plana u kojem su sile date položajem. Na primjer, u lijevom stupcu okvira sa tri zgloba na sl. 11 vertikalna komponenta sile Ka je normalna sila (negativna), horizontalna komponenta je poprečna sila (negativna), a Mi = Kari moment savijanja, negativan kada se momenti koji izazivaju napetost iznutra smatraju pozitivnim.
U svakom čvoru gdje su šipke zglobne, moraju biti ispunjeni uslovi ∑X=0, ∑Y=0. Mreže koje se formiraju na najjednostavniji način - povezivanjem čvorova sa po dva štapa - uvijek imaju barem jedan čvor gdje se spajaju samo dva štapa. Uklanjanjem takvih čvorova, ova karakteristika se održava. Proračun aksijalnih sila u šipkama može se izvršiti postupnim rješavanjem dvije jednadžbe sa dvije nepoznate.
Grafičko rješenje se dobija izradom plana sila (Cremana plan) prema sl. 16. Vanjske sile P1 do P6 su u ravnoteži. Sile u štapovima Si se određuju postepeno počevši od tačke 1 i idući od čvora do čvora redoslijedom kojim su označene. Obilježavanje snaga se također vrši prema redoslijedu kojim su određene. Svaki čvor odgovara poligonu sila sa neprekidnim smjerom strelice, iz kojeg slijede predznaci sila u štapovima. Ako se napravi presjek kroz oslonac i ako se na mjestima preseka šipki sile koje djeluju na te šipke primjenjuju kao vanjske sile, svaki dio rešetke je u ravnoteži. Na ovome je zabilježena Culmannova procedura kojom se sila u proizvoljnom štapu može grafički odrediti neovisno o drugim silama.
Sl. 16
U analitičkom rješavanju problema postavljanja jednačina sa jednom nepoznatom, Ritterov postupak je od najveće važnosti. Rešetka je isečena tako da su tri štapa zahvaćena rezom. Sile u profilnim šipkama primjenjuju se na svaki dio rešetke kao sile zatezanja, od čvora do presjeka. Uslovi ravnoteže važe za svaki deo rešetke. Presjek dva i dva štapa koji se ukrštaju je momentna tačka pri određivanju sile u trećem štapu (Ritterova tačka). Ako je ri udaljenost sile Si od trenutne tačke i, a Mi moment aktivnih sila i reakcija oslonaca u odnosu na tačku i, tada je sila u štapu data izrazom
Si = ± Mi/ri
Sl. 17
Sl. 18
Prema sl. 17 i 18 sile u šipkama poprečnog presjeka su:
On = -Mn/rn; Un-1 = Mn-1/rn-1;
Dn = Md/rd; Ln = Mv/rv.
Kada grafička konstrukcija ne daje dovoljnu tačnost, moraju se izračunati pozicije trenutnih tačaka d i v i udaljenosti rd i rv. Za proračun sila D i L prikladniji su sljedeći izrazi u kojima se samo karakteristične tačke mreže pojavljuju kao momentne tačke (sl.19,18):
D = (Mu/hu – M(o)/ho) * (d/λd), (35)
Ln = ± Ql ± (Mn tgβn + M’n tgγn)/hn.
Za rešetke s paralelnim pojasevima, sile D i L mogu se dobiti direktno iz poprečne sile:
D = Q/sin__φ_; L=__±Q_
Sl.19
Pokretne linije opterećenja i uticaja
Ako je oslonac opterećen pokretnim opterećenjem, koncentriranim silama na konstantnoj međusobnoj udaljenosti, tada bi ispitivanja trebala biti izvedena na najnepovoljnijim položajima opterećenja. Za jednostavnu gredu na dva oslonca, najveća poprečna sila Qmax može se dobiti pomoću A-poligona, a najveći moment savijanja Mmax korištenjem lančanog poligona za sistem sila pod kojim se oslonac kreće.
Prilikom određivanja uticajne linije za jednu statičku ili geometrijsku veličinu, a za opterećenje Pm=1koja se kreće duž opterećene trake nosača, za svaki položaj opterećenja m se pod dejstvom sile, sa jedne nulte linije, primenjuje izračunata vrednost ηm tražene veličine. Prava koja spaja krajnje tačke ovih ordinata je linija uticaja. Utjecajne linije za moment savijanja Mi i poprečnu silu Qi u tački i grede oslonjene u tačkama a i b su prave linije ga i gb čiji su presjeci na vertikalama oslonaca aa’ = xi (=M’i= za1) i bb’ = x’i (=M’‘i za B=1) (sl.20). Linija utjecaja za silu A data je linijom gb, čija je ordinata na vertikalnoj osi a aa’=1.
Sl.20
Linija utjecaja za svaku statičku količinu statički određenog nosača sastoji se od ravnih linija koje odgovaraju krutim pločama prisilnog kinematičkog lanca nastalog isključivanjem tražene količine. Linije se sijeku na vertikalama kroz momentne tačke ili kroz tačke gdje su ploče spojene. Područje ograničeno nultom linijom, utjecajnom linijom i dvije ordinate naziva se područje utjecaja. Dividing (nulta tačka uticajne linije) deli pozitivne i negativne delove uticajne površine.
Kako ηm predstavlja uticaj pokretne sile Pm=1 na traženu veličinu Z, to je Pmηm uticaj sile Pm, dok sistem sila P izaziva uticaj Pη=∑. Granične vrijednosti uticaja maxZ i minZ dobiće se kada se pokretni sistem povezanih koncentrisanih sila postavi tako da se najveće sile pomnože sa najvećim ordinatama. Kada najnepovoljniji položaj nije sa sigurnošću poznat, uticaj od uticajne linije mora se izračunati jedan pored drugog za različite položaje opterećenja (iterativni proces).
Za djelomično jednako raspoređeno opterećenje p t/m je Z = _∫_p dx η = pF, gdje je F označena veličina relevantnog dijela utjecajne površine. Pri djelomičnom opterećenju ograničene dužine c i pravolinijskog oblika utjecajne linije (Sl.58) teret treba postaviti tako da η1 = η2 (c1= cxi/l; c2= cx’i/l), pa dobijamo Z = pc (ηi + η1)/2. U indirektnom prijenosu opterećenja, linija utjecaja je između ordinata ηn i ηn+1 promjene u pravoj liniji, sl.21.
Sl.21