Belangrike tegniese en veiligheidsnota: Hierdie is ’n argiefopvoedkundige teks, nie ’n statiese berekening, konstruksie-ontwerp of werkverrigtinghandleiding nie. Formules, ondersteuningsmodelle en tekeninge is van die oorspronklike inhoud oorgedra sonder professionele verifikasie of aanpassing by vandag se regulasies. Die dravermoë, stabiliteit, vragte, materiale, lasse en fondasie vir ’n spesifieke voorwerp moet bepaal word deur ’n gesertifiseerde siviele ingenieur gebaseer op geldige standaarde, geotegniese data en die werklike toestand van die struktuur. Die illustrasies is opvoedkundig en verteenwoordig nie bevestigde projekte van Savo Kusić nie.
Statiese berekeninge en ontwerp van ondersteunende strukture is nie deel van die maatskappy se nuwe openbare aanbod nie. Die huidige produksiefokus bestaan uit houtvensters, hout-aluminium vensters en pasgemaakte deure. Vir ’n spesifieke venster- of deurprojek kan jy versoek om kwotasie.
Struktuur en verdeling van die draer
Ondersteuningselemente: interne en eksterne stabiliteit
Die draerelemente is:
Eenvoudige stawe wat slegs trek- of drukkragte kan oordra waarvan die aanvallyn met die as van die staaf saamval. Dit vereis dat die stokke in die knope met wrywingvrye gewrigte vasgemaak word, en dat eksterne kragte die knope aanval. Stutte wat slegs uit eenvoudige stawe bestaan, word kappe genoem.
Stekke wat weerstand bied teen buiging - balke - kan beide kragte oordra waarvan die aanvalslyne met die as van die staaf saamval, en kragte waarvan die aanvalslyne parallel met die as van die staaf is of arbitrêr daartoe geneig is. Balke ontvang normale kragte, dwarskragte, buigmomente en, in die gegewe geval, torsiemomente. Dié in knope kan met skarniere of met stewige hoeke vasgemaak word.
Steuntjies en klampe verhoed dat die steun na vaste punte in die vliegtuig of ruimte beweeg. Elke ondersteuning is in staat om ’n krag in ’n sekere rigting oor te dra wat deur die opgeskorte nodus gaan. As daar net een ondersteuning in die ondersteunde nodus is - ondersteuningspunt - word dit ’n verskuifbare peiling van die ruimtelike ondersteuning genoem. As die nodus deur twee stutte ondersteun word, word dit ’n onbeweegbare bed van ’n plat steun, of ruimtedraerlynbed genoem. Die stilstaande bed van die ruimtelike ondersteuning benodig drie stutte.
Elke knyp van ’n buigbestande staaf is in staat om ’n knypmoment wat in ’n sekere vlak lê, oor te dra. In die meeste gevalle word ’n onbeweegbare laer aan die klem gekoppel, sodat daar in die geval van ’n plat steun twee stutte en een klem is, en in die geval van ’n ruimtelike steun is daar drie steune en drie klemme. Bewegings en rotasies van ’n sekere grootte kan voorkom by plekke van ondersteuning en knyp.
Die vereiste aantal elemente vir die stabiliteit van die ondersteuning word verkry uit die voorwaardes vir interne en eksterne stabiliteit. ’n Steun is intern stabiel wanneer die tussenkamerposisie van die steunnodes verseker word deur ’n voldoende aantal stawe sodat dit slegs verander kan word wanneer sommige of al die stawe van lengte verander. ’n Interne stabiele plat steun word ’n rigiede plaat genoem. Die ondersteuning is ekstern of heeltemal stabiel wanneer die tussenposisie van die nodusse en hul posisie volgens die vaste punte van die vlak, of ruimte slegs kan verander in die mate van die veranderinge in die lengte van die stawe, die beweging van die stutte of die rotasie van die klem.
Plat hakies
Die minimum aantal stokke wat benodig word vir interne stabiliteit en die minimum aantal stokke en stutte wat benodig word vir eksterne stabiliteit van ’n vakwerk met s stange, a stutte en k nodusse is:
s =2k -3
s + a =2k, (3 ≤ a)
Die eerste voorwaarde word vervul wanneer die ondersteuning vanaf een staaf gevorm word deur verdere nodusse met twee stawe elk te verbind, waardeur die stawe waaraan een nodus verbind is nie op dieselfde reguit lyn moet lê nie.
Hakie met s1 eenvoudige stokke, s2 stange bestand teen buiging, e rigiede hoeke, a1 ondersteun, a2 knype en k nodusse is intern, of ekstern stabiel wanneer:
s1+ s2+ e ≥ 2k -3
s1+ s2+ e + a1+ a2 ≥2k, (a=a1+ a2≥3)
Sl.1
Elke rigiede hoek kan deur ’n eenvoudige staaf vervang word. As in een knoop i stawe styf aan mekaar verbind is, is die aantal rigiede hoeke in daardie knoop i-1. Wanneer die oorhange van die stokke (konsoles) as stokke getel word, moet die vrye punte as nodusse getel word. Die hakie in fig.1met s1=9, s2=7, e=5(gemerk in die prentjie) en k=12intern is dit stabiel. Wanneer rigiede hoeke4en5kom ons vervang dit met gewrigte en eenvoudige stawe, wat met gebroke lyne in die prentjie gemerk is, dan s1=11, s2=7, e=3, terwyl die aantal nodusse onveranderd bly.
Sl.2en ek2b
As in een ondersteuning met die vereiste minimum aantal stutte, individuele stawe of stewige hoeke deur stutte of klampe vervang word, verloor die ondersteuning sy interne stabiliteit, fig.2a, b. Vir sulke ondersteunings is daar ander moontlikhede van hoe stabiliteit getoets kan word. As p die aantal rigiede plate van die ondersteuning sonder interne stabiliteit is, terwyl daar kennis geneem moet word dat ’n enkele eenvoudige staaf of staaf wat bestand is teen buig voldoen aan die voorwaardes van interne stabiliteit en verstaan kan word as ’n rigiede plaat, en as z die aantal interreaksies in die gewrigte is, vereis die eksterne stabiliteit dat: a + z3p. Die aantal tussenreaksies in die gewrig waarin die plaat geheg is (fig.3,4,5) is z=2(_en-_1).
Sl.3en4, onderskeidelik
Sl.5
Die raam in fig.6is ses keer staties onbepaald. Indien die oorhange, wat geen invloed op die mate van statiese onbepaaldheid het nie, as stawe getel word, moet die rigiede hoeke waarmee dit aan die sisteem geheg word ook in ag geneem word en die vrye punte van die oorhange moet as nodusse getel word (s=7, e=6, a=9, k=8). Vir hierdie tipe ondersteunings is die toepaslike vorm van toestande vir die toets van interne en eksterne stabiliteit:
3_s_ ≥3k-3;3s+a ≥3k, (a≥3).
Passe moet terselfdertyd nie as stokke getel word nie. Dikwels, in sulke gevalle, is die vinnigste manier om tot ’n gevolgtrekking te kom oor die mate van statiese onbepaaldheid van die ondersteuning deur die stawe te sny of statiese hoeveelhede uit te sluit totdat ’n ongetwyfeld stabiele, staties-bepaalde ondersteuning oorbly. Met die drie afdelings wat in fig.7drie statiese groothede (normale krag, dwarskrag, buigmoment) word uitgesluit.
As in een n0-keer staties onbepaalde plat traliewerk is al die stawe in die nodusse styf verbind, die mate van statiese onbepaaldheid is
n = n0+2s – k.
Fig. 6
Sl.7
Ruimtelike ondersteunings
Die minimum aantal ondersteunings vir ruimtelike roosters is a=6. Die volgende voorwaardes geld vir interne en eksterne stabiliteit:
s ≥3k -6; s + a ≥3k, (a≥6).
Die voorwaarde vir interne stabiliteit word nagekom wanneer, vanaf een driehoekige plaat, verdere nodusse in die spasie met drie stawe elk vasgemaak word, wat nie in een vlak moet lê nie. Op hierdie manier word ’n ruimtelike rooster van die eerste soort geskep, waarvan die kenmerk is dat dit altyd ten minste een nodus bevat waarin slegs drie stawe vasgemaak is, en dat dit hierdie kenmerk behou selfs wanneer daardie nodus met die ooreenstemmende stawe verwyder word.
Verder kan ruimtelike roosters gevorm word deur driehoekige plate so te verbind dat twee en twee plate met ses stawe verbind word, waar elke nodus met twee stawe elk aan die aangrensende plate verbind word. Die verbinding van twee plate of twee interne stabiele ruimtelike roosters kan gerealiseer word deur middel van een las en drie stawe wat nie deur daardie las gaan nie. Ten slotte kan drie driehoekige plate verbind word met12van stokke en dit met po4staaf tussen elke plaat. Vir interne, of die uitwendige stabiliteit van ruimtelike ondersteunings waar alle stawe stewig aan buiging en draaiing vasgemaak is, moet die voorwaardes nagekom word
6s ≥6(k-1);6s + a ≥6k
Daarom is die draer in fig.8is24keer staties onbepaald, wat, soos voorheen, die maklikste geverifieer kan word wanneer vier horisontale stawe gesny word en op hierdie manier word ses onbekendes in elke snit uitgesluit (1normale krag,2dwarskragte,2 mbuig voorteken en1draaimoment). As ons f-verbindings verwyder deur gewrigte in stawe of hul verbindings in te voeg, dan is die stabiliteitstoestande:
6s – f ≥6(k-1);6s – f + a ≥6k.
Sl. 8
Vrag en reaksies: statiese take
In die geval van plat stutte moet die eksterne kragte in die vlak van die ondersteuning lê, in die geval van ruimtelike ondersteunings kan hulle ’n arbitrêre posisie hê. By kappe word aanvaar dat die vrag by die nodusse aanval.
Aktiewe kragte veroorsaak weerstande van eksterne elemente, reaksies van stutte C in stutte en knypmomente E in knyp. Die weerstande van die interne elemente van die ondersteuning - die dwarssnitkragte - is: aksiale kragte S in eenvoudige stawe; in stawe wat bestand is teen buig- en draai-normale of longitudinale kragte N, buigmomente M, draaimomente of torsiemomente T en dwarskragte Q. Die weerstand van die elemente kan ook veranderinge in temperatuur en losmaak van die stutte veroorsaak.
Dimensionering van individuele elemente en die bepaling van die spannings wat daarin voorkom, is die taak van Materiaalweerstand. By die bepaling van die statiese waardes is die toegepaste materiaal slegs belangrik in die mate dat die permanente las daarvan afhang. Ander eienskappe van die materiaal word slegs in ag geneem wanneer dit kom by die invloed van ondersteuningsbeweging of temperatuurveranderinge (krimp, vloei) of wanneer vervormings bereken moet word. Oor die algemeen moet balke getoets word vir verskeie vraggevalle wat nie gelyktydig hoef te voorkom nie (permanente las, nuttige las, windlas, sneeuvrag). As aanvaar word dat die elastiese vervormings so klein is dat dit geïgnoreer kan word in verhouding tot die afmetings van die stelsel - en dit is gewoonlik die geval - geld die beginsel van superposisie, waarvolgens individuele lasgevalle en ander invloede afsonderlik ondersoek kan word en die berekende waardes vir statiese of geometriese groothede saamgevoeg kan word, met ’n sekere regstelling van die waardes deur middel van permanente en veranderlike veiligheidskoëffisiënte of las ongunstig).
Staties-bepaalde ondersteunings
Onbekende en beskikbare vergelykings
In ’n staties-bepaalde rooster is a reaksies van die steune en s aksiale kragte onbekend, waarvan die bepaling beskikbaar is wanneer die rooster k nodes het2_k_ vergelyking (∑X=0en ∑Y=0) in die vliegtuig i3k vergelyking in ruimte. In ’n plat ondersteuning kan die onbekendes tot s verminder word1 aksiale kragte van eenvoudige stawe, s2 normale kragte van stange wat weerstand bied teen buiging, e buigmomente in rigiede hoeke, a1 reaksie van ondersteuners en a2 klemmomente. Die dwarskragte moet bepaal word uit die momente aan die punte van die stawe en die eksterne kragte wat tussen die nodusse inwerk. In ’n knooppunt waarvandaan i styfgekoppelde stawe na die naburige nodusse begin, is dit genoeg om te weet i-1 mteken - wat ooreenstem met die aantal rigiede hoeke - want vir die bepaling van nog ’n onbekende moment in elke so ’n nodus is daar ’n ewewigstoestand ∑M=0. Om s te bepaal1 + s2 + e + a1 + a2 onbekendes bly steeds oor2_k_ ewewigstoestande.
Voorwaardes vir balans van eksterne kragte op plat stutte
Reaksies van plaatstutte wat op een vaste en een bewegende laer rus (Fig.9) word grafies verkry deur kragpoligone te gebruik. Die aanvalslyn van krag B is bekend en het die ondersteuningsrigting op daardie punt, en die aanvalslyn van krag Ka moet deur die snypunt van kragte B en P gaan. Dit word bereken uit die voorwaarde Ma =0, H =0en Mb =0word geleidelik bepaal deur die kragte B, C en A. Rus die plaat op drie beweegbare laers (fig.10) is slegs korrek wanneer die reaksielyne nie op een punt sny nie. Reaksies word grafies bepaal deur gebruik te maak van kragpoligone of berekening met behulp van momentvergelykings relatief tot die punte waar twee en twee aanvallyne van kragte sny.
Sl.9
Fig. 10
In die geval van staties-bepaalde ondersteunings sonder interne stabiliteit, word benewens die voorwaardes vir die balans van eksterne kragte as geheel ook toestande vir die gewrigte ingestel, wat die vereiste uitdruk dat die gewrigte nie buigmomente kan ontvang nie. Daarom gaan die aanvallyn van reaksie Ka van die drieskarnierraam in Fig. 11 mora deur die gewrig g, en die regterplaat kan slegs in ewewig wees wanneer die drie kragte wat daarop inwerk (P, Kb en krag in die gewrig = Ka) mekaar op een punt sny. Om ewewigstoestande te verkry wat slegs een onbekende elk bevat, is dit gerieflik om met die vertikale komponente van reaksies A en B en komponente C en D langs die lyn wat die steunpunte verbind, te bereken. Uit die toestande Mb = 0 en Ma = 0, word kragte A en B verkry, en uit die toestand vir die gewrig Mg = 0, vir die kragte wat die linkerplaat aanval, word krag C verkry, en vir die kragte op die regterplaat, krag D. Op ’n soortgelyke wyse word die ondersteuningsreaksies van die figuur bepaal. 12. Vir die vrag wat hier gegee word, is die vinnigste manier om die resultaat grafies te kry. Beugel met voege volgens fig. 13. Die horisontale komponente van die eksterne kragte wat die ondersteuning aanval, word deur die stilstaande bed ontvang, die krag F word verkry vanaf ∑H=0. Plaat II rus by punte g1 en g2 op plate I en III, en plaat IV by g3 op III. Die vertikale kragte in die gewrigte G1, G2, G3 en die reaksie E word bepaal uit die ewewigstoestand van die plaat II of IV, en dan stap vir stap is die reaksies B_A, _C en B_A. bepaal.
Fig. 11 en 12, onderskeidelik
Fig. 13
Bepaling van interne statiese groottes
Asiale kragte S van eenvoudige stawe word, as ’n reël, as positief beskou as hulle spanningskragte is, en negatief wanneer hulle drukkragte is. Op ’n soortgelyke wyse word die teken van die normaalkrag N in die balk bepaal. Die normaalkrag Ni by die punt i is die komponent parallel aan die raaklyn aan die as van die balk by die punt i van die resultante R van al die kragte wat op die balk aan die een kant van die punt i inwerk. Die dwarskrag Qi is die komponent normaal tot die as van die staaf by die punt en dieselfde en die resultant, en die buigmoment Mi is die moment van die resultant (fig. 14). Bepaling van die hoeveelhede N, Q en M word gereeld gedoen vanaf individuele kragte en hul komponente parallel en loodreg op die as van die staaf sonder om die resultante R te bepaal. Die konvensie van positiewe rigtings word in fig. 15.
Fig. 14 en 15, onderskeidelik
Aangesien die ondersteuningsreaksies grafies bepaal word, kan normaalkragte, buigmomente en dwarskragte bepaal word uit die kragveelhoek en die plan waarin die kragte volgens posisie gegee word. Byvoorbeeld, in die linkerkolom van die drieskarnierraam in fig. 11 die vertikale komponent van die krag Ka is die normaalkrag (negatief), die horisontale komponent is die dwarskrag (negatief), en Mi = Kari die buigmoment, negatief wanneer momente wat spanning aan die binnekant veroorsaak as positief beskou word.
In elke nodus waar die stawe skarnier is, moet die voorwaardes ∑X=0, ∑Y=0 nagekom word. Roosters wat op die eenvoudigste manier gevorm word - deur nodusse met twee stawe elk te verbind - het altyd ten minste een nodus waar net twee stawe bymekaarkom. Deur sulke nodusse te verwyder, word hierdie kenmerk gehandhaaf. Berekening van aksiale kragte in stawe kan uitgevoer word deur twee vergelykings met twee onbekendes elk geleidelik op te los.
Die grafiese oplossing word verkry deur ’n kragplan (Cremana-plan) volgens fig. 16. Die eksterne kragte P1 tot P6 is in ewewig. Die kragte in die stawe Si word geleidelik bepaal vanaf die punt 1 en gaan van knoop tot knoop in die volgorde waarin hulle gemerk is. Merk van kragte word ook gedoen in die volgorde waarin dit bepaal word. Elke nodus stem ooreen met ’n veelhoek van kragte met ’n deurlopende pylrigting, waaruit die tekens van die kragte in die stawe volg. As ’n snit deur die steun gemaak word en as die kragte wat in daardie stawe inwerk op die plekke waar die stawe gesny word as eksterne kragte toegepas word, is elke deel van die rooster in ewewig. Hierop word Culmann\ se prosedure aangeteken, waardeur die krag in ’n arbitrêre staaf grafies onafhanklik van ander kragte bepaal kan word.
Fig. 16
In die analitiese oplossing van die probleem om vergelykings met een onbekende te stel, is Ritter se prosedure van die grootste belang. Die traliewerk word so gesny dat drie stokke deur die sny aangetas word. Die kragte in die snitstawe word op elke deel van die kapwerk toegepas as spanningskragte, vanaf die nodus tot by die snit. Ewewigstoestande geld vir elke deel van die rooster. Die snypunt van twee en twee kruisende stawe is die momentpunt wanneer die krag in die derde staaf (Ritter\ se punt) bepaal word. As ri die afstand is van die krag Si vanaf die momentpunt i, en Mi is die moment van die aktiewe kragte en reaksies van die stutte in verhouding tot die punt i, dan word die krag in die staaf gegee deur die uitdrukking
Si = ± Mi/ri
Fig. 17
Fig. 18
Volgens fig. 17 en 18 kragte in deursnee stawe is:
Aan = -Mn/rn; Un-1 = Mn-1/rn-1;
Dn = Md/rd; Ln = Mv/rv.
Wanneer die grafiese konstruksie nie voldoende akkuraatheid verskaf nie, moet die posisies van die momentpunte d en v en die afstande rd en rv bereken word. Vir die berekening van kragte D en L is die volgende uitdrukkings meer geskik, waarin slegs die kenmerkende punte van die rooster as momentpunte voorkom (fig. 19, 18):
D = (Mu/hu – M(o)/ho) * (d/λd), (35)
Ln = ± Ql ± (Mn tgβn + M’n tgγn)/hn.
Vir roosters met parallelle bande kan die kragte D en L direk verkry word uit die dwarskrag:
D = Q/sin__φ_; L=__±Q_
Sl.19
Bewegende vrag- en invloedlyne
As die ondersteuning gelaai is met ’n bewegende las, gekonsentreerde kragte op ’n konstante afstand tussen mekaar, dan moet die toetse by die ongunstigste lasposisies uitgevoer word. Vir ’n eenvoudige balk op twee stutte kan die grootste dwarskrag Qmax verkry word deur die A-veelhoek te gebruik, en die grootste buigmoment Mmax deur die kettingpoligoon te gebruik vir die stelsel van kragte waaronder die steun beweeg.
By die bepaling van die invloedslyn vir een statiese of meetkundige grootheid, en vir die las Pm=1wat langs die gelaaide band van die draer beweeg, word vir elke lasposisie m toegepas onder die krag, vanaf een nullyn, die berekende waarde ηm van die vereiste grootte. Die lyn wat die eindpunte van hierdie ordinate verbind, is die invloedlyn. Die invloedlyne vir die buigmoment Mi en die dwarskrag Qi by die punt i van die balk wat by die punte a en b ondersteun word, is reguitlyne ga en gb waarvan die snitte op die vertikale van die stutte aa’ = _xi_ is (=M_i vir _A_1) en bb’ = x’i (=M’‘i vir B=1) (fig.20). Die invloedlyn vir die krag A word gegee deur die lyn gb, waarvan die ordinaat op die vertikale as a aa’= is1.
Sl.20
Die invloedlyn vir elke statiese hoeveelheid van ’n staties-bepaalde ondersteuning bestaan uit reguit lyne wat ooreenstem met die rigiede plate van die gedwonge kinematiese ketting wat geskep word deur die uitsluiting van die gevraagde hoeveelheid. Lyne sny op vertikale punte deur kitspunte, of deur die punte waar die plate skarnier is. Die area wat deur die nullyn, die invloedslyn en twee ordinate begrens word, word die invloedsarea genoem. Die deler (nulpunt van die invloedslyn) verdeel die positiewe en negatiewe dele van die invloedsoppervlak.
As ηm verteenwoordig die invloed van die bewegende krag Pm=1op die gevraagde hoeveelheid Z is dit Pmηm die invloed van die krag Pm, terwyl die stelsel van kragte P die invloed Z=∑Pη veroorsaak. Die grenswaardes van die invloed maxZ en minZ sal verkry word wanneer die bewegende stelsel van gekoppelde gekonsentreerde kragte so gestel word dat die grootste kragte met die grootste ordinate vermenigvuldig word. Wanneer die mees ongunstige posisie nie met sekerheid bekend is nie, moet die invloed van die invloedslyn langs mekaar vir verskillende lasposisies bereken word (iteratiewe proses).
Vir gedeeltelik ewe verspreide las is p t/m Z = _∫_p dx η = pF, waar F die gemerkte grootte van die betrokke deel van die beïnvloedende oppervlak is. By gedeeltelike lading van beperkte lengte c en reglynige vorm van die invloedslyn (Fig.58) moet die las so geplaas word dat η1 = η2 (c1= cxi/l; c2= cx’i/l), dus kry ons Z = pc (ηi + η1)/2. In indirekte lasoordrag is die invloedlyn tussen die ordinate ηn en ηn+1 veranderinge in ’n reguit lyn, fig.21.
Sl.21