Ważna uwaga profesjonalna i dotycząca bezpieczeństwa: Jest to archiwalny tekst edukacyjny, a nie obliczenia statyczne, projekt budowlany ani instrukcja obsługi. Wzory, modele pomocnicze i rysunki zostały przeniesione z oryginalnej treści bez profesjonalnej weryfikacji i dostosowania do współczesnych przepisów. Nośność, stateczność, obciążenia, materiały, złącza i fundament dla konkretnego obiektu musi zostać określona przez uprawnionego inżyniera budownictwa w oparciu o obowiązujące normy, dane geotechniczne i rzeczywisty stan konstrukcji. Ilustracje mają charakter edukacyjny i nie przedstawiają potwierdzonych projektów Savo Kusića.
Obliczenia statyczne i projektowanie konstrukcji wsporczych nie są częścią nowej oferty publicznej spółki. Obecna produkcja koncentruje się na oknach drewnianych, oknach drewniano-aluminiowych i drzwiach wykonywanych na zamówienie. W przypadku konkretnego projektu okna lub drzwi możesz wysłać zapytanie o wycenę.
Konstrukcja i podział podpór
Elementy wsporcze: stabilność wewnętrzna i zewnętrzna
Elementami podpory są:
Pręty proste zdolne do przenoszenia jedynie sił rozciągających lub ściskających, których linia natarcia pokrywa się z osią pręta. Wymaga to, aby pręty w węzłach były wiązane za pomocą połączeń pozbawionych tarcia, a siły zewnętrzne atakowały węzły. Podpory składające się wyłącznie z prostych prętów nazywane są kratownicami.
Patyczki odporne na zginanie - belki - mogą przenosić zarówno siły, których linie natarcia pokrywają się z osią pręta, jak i siły, których linie natarcia są równoległe do osi pręta lub dowolnie do niej nachylone. Na belki działają siły normalne, siły poprzeczne, momenty zginające i w danym przypadku momenty skręcające. Te z węzłami można wiązać za pomocą zawiasów lub sztywnych kątowników.
Podpory i zaciski zapobiegają przesuwaniu się podpory w kierunku stałych punktów w płaszczyźnie lub przestrzeni. Każda podpora jest w stanie przenieść siłę w określonym kierunku, która przechodzi przez zawieszony węzeł. Jeżeli w podpartym węźle występuje tylko jedna podpora – punkt podparcia – nazywa się to podporą ruchomą podpory przestrzennej. Jeśli węzeł jest wsparty na dwóch podporach, nazywany jest nieruchomym łóżkiem płaskiej podpory lub łóżkiem linii nośnej kosmicznej. Stacjonarne łoże podpory przestrzennej wymaga trzech podpór.
Każde zaciśnięcie pręta odpornego na zginanie jest w stanie przenieść moment ściskający leżący w określonej płaszczyźnie. W większości przypadków do zacisku połączone jest łożysko nieruchome, tak że w przypadku podpory płaskiej są to dwie podpory i jedna docisk, a w przypadku podpory przestrzennej trzy podpory i trzy dociski. W miejscach podparcia i uszczypnięcia mogą wystąpić ruchy i obroty o określonej wielkości.
Wymaganą liczbę elementów zapewniających stateczność podpory wyznacza się z warunków stateczności wewnętrznej i zewnętrznej. Podpora jest stabilna wewnętrznie, gdy międzypomieszczeniowe położenie węzłów podpory jest zapewnione przez wystarczającą liczbę prętów, tak że można ją zmienić tylko w przypadku zmiany długości niektórych lub wszystkich prętów. Wewnętrznie stabilna płaska podpora nazywana jest sztywną płytą. Podpora jest zewnętrznie lub całkowicie stabilna, gdy pośrednie położenie węzłów i ich położenie zgodnie z ustalonymi punktami płaszczyzny lub przestrzeni może się zmieniać tylko w zakresie zmian długości prętów, ruchu podpór lub obrotu mocowania.
Wsporniki płaskie
Minimalna liczba prętów wymagana do zapewnienia stateczności wewnętrznej oraz minimalna liczba prętów i podpór wymaganych do zapewnienia stateczności zewnętrznej kratownicy z s prętami, a podporami i k węzłami wynosi:
s = 2k – 3
s + a = 2k, (3 ≤ a)
Pierwszy warunek jest spełniony, gdy podporę formuje się rozpoczynając od jednego pręta poprzez połączenie kolejnych węzłów po dwa pręty każdy, przy czym pręty, do których mocowany jest jeden węzeł, nie mogą leżeć na tej samej linii prostej.
Belka z s1 prętami prostymi, s2 prętami odpornymi na zginanie, e kątownikami sztywnymi, a1 podporami, a2 zaciskami i k węzłami jest wewnętrzna, odpowiednio. zewnętrznie stabilny, gdy:
s1 + s2 + e ≥ 2k – 3
s1 + s2 + e + a1 + a2 ≥ 2k, (a=a1 + a2 ≥ 3)
Rys. 1
Każdy kąt bryłowy można zastąpić prostym prętem. Jeżeli w jednym węźle i pręty są ze sobą sztywno połączone, to liczba kątów sztywnych w tym węźle wynosi i-1. Gdy zwisy prętów (konsoli) liczone są jako pręty, wolne końce należy liczyć jako węzły. Wspornik na rys. 1 z s1=9, s2=7, e=5 (zaznaczone na rysunku) i k=12 jest wewnętrznie stabilny. Kiedy zastępujemy kątowniki sztywne 4 i 5 przegubami i prostymi prętami, które na rysunku zaznaczono liniami przerywanymi, wówczas s1=11, s2=7, e=3, natomiast liczba węzłów pozostaje niezmieniona.
Rys. 2a i 2b
Jeżeli w jednej podporze o wymaganej minimalnej liczbie podpór pojedyncze pręty lub sztywne kątowniki zostaną zastąpione podporami lub zaciskami, podpora traci swoją stabilność wewnętrzną, rys. 2a, ur. W przypadku takich podpór istnieją inne możliwości testowania stabilności. Jeżeli p jest liczbą sztywnych płyt podpory bez stateczności wewnętrznej, należy natomiast zauważyć, że pojedynczy pręt prosty lub pręt odporny na zginanie spełnia warunki stateczności wewnętrznej i można go rozumieć jako płytę sztywną, a jeśli z jest liczbą reakcji pośrednich w przegubach, to stateczność zewnętrzna wymaga, aby: a + z ≥ 3p. Liczba reakcji pośrednich w złączu, do którego przymocowana jest płyta (rys. 3, 4, 5) wynosi z=2(_i-_1).
Rys. Odpowiednio 3 i 4
Rys. 5
Rama na rys. 2 6 jest statycznie niewyznaczalne sześć razy. Jeżeli nawisy, które nie mają wpływu na stopień nieokreśloności statycznej, są liczone jako pręty, należy uwzględnić również kąty sztywne, za pomocą których są one mocowane do układu, a wolne końce nawisów należy liczyć jako węzły (s=7, e=6, a=9, k=8). W przypadku tego typu podpór odpowiednią formą warunków badania stabilności wewnętrznej i zewnętrznej jest:
3_s_ ≥ 3k-3; 3s+a ≥ 3k, (a≥3).
Jednocześnie podań nie należy liczyć w kijach. Często w takich przypadkach najszybszym sposobem na stwierdzenie stopnia nieokreśloności statycznej podpory jest przecięcie prętów lub wykluczenie wielkości statycznych, aż pozostanie niewątpliwie stabilna, statycznie określona podpora. Z trzema sekcjami wskazanymi na ryc. 7 wykluczone są trzy wielkości statyczne (siła normalna, siła poprzeczna, moment zginający).
Jeśli w jednej n0-razy statycznie niewyznaczalnej płaskiej sieci wszystkie pręty w węzłach są sztywno połączone, stopień statycznej niewyznaczalności wynosi
n = n0 + 2s – k.
Rys. 6
Rys. 7
Nawiasy spacyjne
Minimalna liczba podpór dla siatek przestrzennych wynosi a=6. Następujące warunki mają zastosowanie do stabilności wewnętrznej i zewnętrznej:
s ≥ 3k – 6; s + a ≥ 3k, (a≥6).
Warunek stateczności wewnętrznej jest spełniony, gdy zaczynając od jednej płyty trójkątnej, kolejne węzły w przestrzeni łączy się za pomocą trzech prętów każdy, które nie mogą leżeć w jednej płaszczyźnie. W ten sposób powstaje krata przestrzenna pierwszego rodzaju, której cechą charakterystyczną jest to, że zawsze zawiera co najmniej jeden węzeł, w którym są zawiązane tylko trzy pręty i zachowuje tę cechę nawet po usunięciu tego węzła z odpowiadającymi mu prętami.
Ponadto siatki przestrzenne można tworzyć łącząc płyty trójkątne w taki sposób, że dwie i dwie płyty są połączone sześcioma prętami, przy czym każdy węzeł jest połączony z sąsiednimi płytami po dwa pręty każdy. Połączenie dwóch płyt lub dwóch wewnętrznych stabilnych siatek przestrzennych można zrealizować za pomocą jednego złącza i trzech prętów, które nie przechodzą przez to złącze. Wreszcie, trzy trójkątne płytki można połączyć za pomocą prętów 12, z jednym prętem 4 pomiędzy każdą płytką. W przypadku wewnętrznej lub zewnętrznej stateczności podpór przestrzennych, gdzie wszystkie pręty są sztywno związane z zginaniem i skręcaniem, muszą być spełnione warunki
6s ≥ 6(k-1); 6s + a ≥ 6k
Dlatego wspornik na rys. 8 jest 24 razy statycznie niewyznaczalne, co, jak poprzednio, można najłatwiej zweryfikować przecinając cztery poziome pręty i wykluczając w ten sposób sześć niewiadomych w każdym przekroju (siła normalna 1, siła poprzeczna 2, moment zginający 2 m i moment skręcający 1). Jeśli usuniemy połączenia f poprzez wstawienie przegubów do prętów lub ich połączeń, wówczas warunki stateczności będą wynosić:
6s – f ≥ 6(k-1); 6s – f + a ≥ 6k.
Śl. 8
Obciążenie i reakcje: zadania statyczne
W przypadku podpór płaskich siły zewnętrzne muszą leżeć w płaszczyźnie podpory, w przypadku podpór przestrzennych mogą mieć dowolne położenie. W przypadku kratownic zakłada się, że obciążenie atakuje węzły.
Siły czynne powodują opory elementów zewnętrznych, reakcje podpór C w podporach i momenty ściskające E w ściskaniu. Opory elementów wewnętrznych podpory - siły przekrojowe - to: siły osiowe S w prostych prętach; w prętach odpornych na zginanie i skręcanie sił normalnych lub wzdłużnych N, momentów zginających M, momentów skręcających lub momentów skręcających T i sił poprzecznych Q. Opór elementów może również powodować zmiany temperatury i poluzowanie podpór.
Wymiarowanie poszczególnych elementów i określenie napięć jakie w nich występują to zadanie Material Resistance. Przy określaniu wartości statycznych zastosowany materiał jest ważny tylko w takim stopniu, w jakim zależy od niego obciążenie stałe. Pozostałe właściwości materiału są brane pod uwagę jedynie w przypadku wpływu ruchu podpory, zmian temperatury (skurcz, płynięcie) lub konieczności obliczenia odkształceń. Ogólnie rzecz biorąc, dźwigary należy badać dla różnych przypadków obciążeń, które nie muszą występować jednocześnie (obciążenie stałe, obciążenie użytkowe, obciążenie wiatrem, obciążenie śniegiem). Zakładając, że odkształcenia sprężyste są na tyle małe, że można je pominąć w odniesieniu do wymiarów układu – a tak się zwykle dzieje – obowiązuje zasada superpozycji, zgodnie z którą poszczególne przypadki obciążeń i inne wpływy można badać oddzielnie, a obliczone wartości wielkości statycznych lub geometrycznych sumować, z pewną korektą wartości poprzez częściowe współczynniki bezpieczeństwa dla obciążeń stałych i zmiennych (korzystne lub niekorzystne).
Podpory wyznaczane statycznie
Nieznane i dostępne równania
W jednej statycznie wyznaczonej sieci nieznana jest a reakcja podpór i s sił osiowych, do wyznaczenia której, gdy siatka ma k węzłów, służy równanie 2_k_ (∑X=0 i ∑Y=0) w płaszczyźnie i Dostępne są równania 3k w przestrzeni. W podporze płaskiej niewiadome można sprowadzić do s1 sił osiowych prostych prętów, s2 sił normalnych prętów odpornych na zginanie, e momentów zginających pod kątami sztywnymi, a1 reakcji podporowych i a2 momentów zaciskających. Siły poprzeczne należy wyznaczać na podstawie momentów na końcach prętów oraz sił zewnętrznych działających pomiędzy węzłami. W węźle, z którego i sztywno połączone pręty rozpoczynają się w sąsiednich węzłach, wystarczy znać i-1 mmomenty - co odpowiada liczbie kątów sztywnych - ponieważ warunek równowagi ∑M=0 jest dostępny do wyznaczenia kolejnego nieznanego momentu w każdym takim węźle. Aby wyznaczyć niewiadome s1 + s2 + e + a1 + a2, pozostają 2_k_ warunki równowagi.
Warunki równowagi sił zewnętrznych na podporach płaskich
Reakcje podpór płytowych spoczywających na jednym łożysku nieruchomym i jednym łożysku ruchomym (rys. 9) wyznacza się graficznie za pomocą wielokątów sił. Linia ataku siły B jest znana i ma w tym punkcie kierunek podparcia, a linia ataku siły Ka musi przechodzić przez przecięcie sił B i P. Obliczeniowo siły B, C i A są stopniowo wyznaczane na podstawie warunków Ma = 0, H = 0 i Mb = 0. Podparcie płyty na trzech ruchomych łożyskach (rys. 10) jest prawidłowe tylko wtedy, gdy linie reakcji nie przecinają się w jednym punkcie. Reakcje określa się graficznie za pomocą wielokątów sił lub obliczeniowo za pomocą równań momentów w odniesieniu do punktów, w których przecinają się dwie i dwie linie ataku sił.
Rys. 9
Rys. 10
W przypadku podpór wyznaczanych statycznie bez stateczności wewnętrznej, oprócz warunków bilansu sił zewnętrznych jako całości, wprowadzone są również warunki dla połączeń, które wyrażają wymóg, aby złącza nie mogły przyjmować momentów zginających. Zatem linia ataku reakcji Ka ramy trójprzegubowej z rys. 11 mora przechodzi przez złącze g, a prawa płyta może znajdować się w równowadze tylko wtedy, gdy trzy działające na nią siły (P, Kb i siła w przegubie = Ka) przecinają się w jednym punkcie. Aby otrzymać warunki równowagi zawierające tylko jedną niewiadomą każdy, wygodnie jest obliczyć składowe pionowe reakcji A i B oraz składowe C i D wzdłuż linii łączącej punkty podparcia. Z warunków Mb = 0 i Ma = 0 uzyskuje się siły A i B, a z warunku dla złącza Mg = 0 dla sił działających na lewą płytę otrzymuje się siłę C, a dla sił na prawą płytę siłę D. W podobny sposób wyznacza się reakcje podpór ramy na rys. 2. 12. Dla podanego tutaj obciążenia najszybszym sposobem uzyskania wyniku jest metoda graficzna. Wspornik z przegubami wg rys. 13. Składowe poziome sił zewnętrznych działających na podporę przejmuje łoże stacjonarne, siłę F uzyskuje się z ∑H=0. Płyta II spoczywa w punktach g1 i g2 na płytach I i III, a płyta IV w g3 na III. Siły pionowe w złączach G1, G2, G3 oraz reakcję E wyznacza się z warunku równowagi płyty II lub IV, a następnie krok po kroku wyznacza się reakcje A, B, C i D.
Rys. Odpowiednio 11 i 12
Rys. 13
Określanie wewnętrznych rozmiarów statycznych
Siły osiowe S prostych prętów są z reguły uważane za dodatnie, gdy są siłami rozciągającymi, i ujemne, gdy są siłami ściskającymi. W podobny sposób wyznacza się znak siły normalnej N w belce. Siła normalna Ni w punkcie i jest składową równoległą do stycznej do osi belki w punkcie i wypadkowej R wszystkich sił działających na belkę po jednej stronie punktu i. Siła poprzeczna Qi jest składową normalną do osi pręta w tym punkcie i jest tą samą oraz wypadkową, a moment zginający Mi jest momentem wypadkowym (rys. 14). Wyznaczanie wielkości N, Q i M odbywa się regularnie z poszczególnych sił i ich składowych równoległych i prostopadłych do osi pręta bez wyznaczania wypadkowej R. Konwencję kierunków dodatnich pokazano na ryc. 15.
Rys. Odpowiednio 14 i 15
Ponieważ reakcje podporowe są określane graficznie, siły normalne, momenty zginające i siły poprzeczne można określić na podstawie wielokąta sił i planu, w którym siły są określone przez położenie. Na przykład w lewej kolumnie ramy trójprzegubowej na ryc. 11 składowa pionowa siły Ka to siła normalna (ujemna), składowa pozioma to siła poprzeczna (ujemna), a Mi = Kari moment zginający, ujemny, gdy momenty wywołujące napięcie od wewnątrz są uważane za dodatnie.
W każdym węźle, w którym pręty są przegubowe, muszą być spełnione warunki ∑X=0, ∑Y=0. Siatki utworzone w najprostszy sposób - poprzez połączenie węzłów po dwa pręty każdy - zawsze mają przynajmniej jeden węzeł, w którym spotykają się tylko dwa pręty. Usunięcie takich węzłów pozwala zachować tę funkcję. Obliczenia sił osiowych w prętach można przeprowadzić stopniowo rozwiązując dwa równania z dwiema niewiadomymi każde.
Rozwiązanie graficzne uzyskuje się poprzez zbudowanie planu siłowego (planu Cremana) według rys. 16. Siły zewnętrzne P1 do P6 są w równowadze. Siły w prętach Si wyznaczane są stopniowo począwszy od punktu 1 i przechodząc od węzła do węzła w kolejności ich zaznaczania. Oznaczenie sił odbywa się również w kolejności, w jakiej są wyznaczane. Każdy węzeł odpowiada wielokątowi sił z ciągłym kierunkiem strzałki, z którego wynikają znaki sił w prętach. Jeśli przez podporę zostanie wykonany przekrój i w miejscach przecięcia prętów siły działające w tych prętach przyłożą się jako siły zewnętrzne, to każda część kraty znajduje się w równowadze. Na tym zapisano procedurę Culmanna, za pomocą której można graficznie określić siłę w dowolnym pręcie niezależnie od innych sił.
Rys. 16
W analitycznym rozwiązaniu problemu układania równań z jedną niewiadomą największe znaczenie ma procedura Rittera. Siatka jest cięta w taki sposób, że cięcie obejmuje trzy patyki. Siły w prętach przekroju przykładane są do każdej części kratownicy jako siły rozciągające, od węzła do przekroju. Warunki równowagi dotyczą każdej części sieci. Punktem przecięcia dwóch i dwóch przecinających się prętów jest moment wyznaczania siły w trzecim pręcie (punkt Rittera). Jeżeli ri jest odległością siły Si od punktu momentu i, a Mi jest momentem sił czynnych i reakcji podpór względem punktu i, to siłę w pręcie wyrażamy wzorem
Si = ± Mi/ri
Rys. 17
Rys. 18
Według rys. Siły 17 i 18 w prętach przekrojowych wynoszą:
On = -Mn/rn; Un-1 = Mn-1/rn-1;
Dn = Md/rd; Ln = Mv/rv.
Gdy konstrukcja graficzna nie zapewnia wystarczającej dokładności, należy obliczyć położenie punktów momentu d i v oraz odległości rd i rv. Do obliczenia sił D i L bardziej odpowiednie są wyrażenia, w których jako punkty momentowe pojawiają się jedynie punkty charakterystyczne siatki (rys. 19, 18):
D = (Mu/hu – M(o)/ho) * (d/λd), (35)
Ln = ± Ql ± (Mn tgβn + M’n tgγn)/hn.
W przypadku krat z pasami równoległymi siły D i L można uzyskać bezpośrednio z siły poprzecznej:
D = Q/sin__φ_; L=__±Q_
Rys. 19
Ruchome linie obciążenia i wpływu
Jeżeli dźwigar obciążony jest obciążeniem ruchomym, siłami skupionymi w stałej wzajemnej odległości, wówczas badania należy przeprowadzić w najbardziej niekorzystnych położeniach obciążenia. Dla prostej belki na dwóch podporach największą siłę poprzeczną Qmax można uzyskać stosując wielokąt _A, a największy moment zginający Mmax wykorzystując wielokąt łańcuchowy dla układu sił, pod jakim porusza się podpora.
Przy wyznaczaniu linii wpływu dla jednej wielkości statycznej lub geometrycznej i dla ładunku Pm=1 poruszającego się na obciążonej taśmie nośnej, dla każdego położenia obciążenia m, obliczona wartość ηm wymaganej wielkości jest przykładana pod siłę, od jednej linii zerowej. Linia łącząca punkty końcowe tych rzędnych to linia wpływu. Linie wpływu momentu zginającego Mi i siły poprzecznej Qi w punkcie i belki podpartej w punktach a i b to linie proste ga i gb, których odcinki na pionach podpór wynoszą aa’ = xi (=M’i dla A=1) i bb’ = x’i (=M’‘i dla B=1) (rys. 20). Linię wpływu siły A wyznacza prosta gb, której rzędna na osi pionowej wynosi a aa’=1.
Rys. 20
Linia wpływu dla każdej wielkości statycznej podpory wyznaczonej statycznie składa się z linii prostych odpowiadających sztywnym płytom wymuszonego łańcucha kinematycznego utworzonego przez wykluczenie żądanej wielkości. Linie przecinają się pionowo przez punkty natychmiastowe lub przez punkty, w których płyty są zawiasowo. Obszar ograniczony linią zerową, linią wpływu i dwiema rzędnymi nazywany jest obszarem wpływu. Podział (punkt zerowy linii wpływu) dzieli dodatnią i ujemną część powierzchni wpływu.
Ponieważ ηm reprezentuje wpływ poruszającej się siły Pm=1 na żądaną wielkość Z, jest to Pmηm wpływ siły Pm, natomiast układ sił P powoduje wpływ Z=∑Pη. Wartości graniczne wpływu maxZ i minZ otrzymamy, gdy ruchomy układ połączonych sił skupionych zostanie ustawiony w taki sposób, że największe siły zostaną pomnożone przez największe rzędne. Jeżeli nie jest znane z całą pewnością najbardziej niekorzystne położenie, wpływ linii wpływu należy obliczyć równolegle dla różnych pozycji obciążenia (proces iteracyjny).
Dla częściowo równomiernie rozłożonego obciążenia p t/m wynosi Z = _∫_p dx η = pF, gdzie F jest zaznaczonym rozmiarem odpowiedniej części powierzchni oddziałującej. W przypadku obciążenia częściowego o ograniczonej długości c i prostym kształcie linii wpływu (rys. 58) obciążenie należy ustawić tak, aby η1 = η2 (c1 = cxi/l; c2 = cx’i/l), czyli Z = pc (ηi + η1)/2. Podczas pośredniego przenoszenia obciążenia linia wpływu pomiędzy rzędnymi ηn i ηn+1 zmienia się w linii prostej, rys. 21.
Rys. 21