Statique structurelle : supports et équilibre

Note professionnelle et de sécurité importante : Il s’agit d’un texte éducatif d’archives, et non d’un calcul statique, d’un projet de construction ou d’un manuel d’instructions. Les formules, les modèles de support et les dessins ont été transférés du contenu original sans vérification professionnelle ni adaptation aux réglementations actuelles. La capacité portante, la stabilité, les charges, les matériaux, les joints et les fondations d’un objet spécifique doivent être déterminés par un ingénieur civil certifié sur la base de normes valides, de données géotechniques et de l’état réel de la structure. Les illustrations sont pédagogiques et ne représentent pas des projets confirmés de Savo Kusić.

Les calculs statiques et la conception des structures porteuses ne font pas partie de la nouvelle offre publique de l’entreprise. L’accent de production actuel se compose de fenêtres en bois, fenêtres en bois-aluminium et portes sur mesure. Pour un projet de fenêtre ou de porte spécifique, vous pouvez envoyer demande de devis.

Structure et répartition des supports

Éléments de support : stabilité interne et externe

Les éléments du support sont :

Tiges simples capables de transmettre uniquement des efforts de traction ou de compression dont la ligne d’attaque coïncide avec l’axe de la tige. Cela nécessite que les tiges des nœuds soient liées avec des joints sans friction et que des forces extérieures attaquent les nœuds. Les supports constitués uniquement de tiges simples sont appelés fermes.

Bâtons résistants à la flexion - poutres - peuvent transmettre aussi bien des forces dont les lignes d’attaque coïncident avec l’axe de la tige, que des forces dont les lignes d’attaque sont parallèles à l’axe de la tige ou arbitrairement inclinées vers celui-ci. Les poutres reçoivent des efforts normaux, des efforts transversaux, des moments de flexion et, dans le cas présent, des moments de torsion. Ceux en nœuds peuvent être noués avec des charnières ou avec des angles rigides.

Supports et pinces empêchent le support de se déplacer vers des points fixes dans le plan ou l’espace. Chaque support est capable de transmettre une force dans une certaine direction qui traverse le nœud suspendu. S’il n’y a qu’un seul support dans le nœud supporté - le point d’appui - on l’appelle un appui mobile du support spatial. Si le nœud est soutenu par deux supports, on l’appelle un lit immobile d’un support plat, ou un lit de ligne de support spatial. Le lit stationnaire du support spatial nécessite trois supports.

Chaque pincement d’une tige résistante à la flexion est capable de transmettre un moment de pincement se trouvant dans un certain plan. Dans la plupart des cas, un palier fixe est relié à la pince, de sorte que dans le cas d’un support plat il y a deux supports et une pince, et dans le cas d’un support spatial il y a trois supports et trois pinces. Des mouvements et des rotations d’une certaine ampleur peuvent se produire aux endroits d’appui et de pincement.

Le nombre d’éléments requis pour la stabilité du support est obtenu à partir des conditions de stabilité interne et externe. Le support est intérieurement stable lorsque la position inter-pièces des noeuds du support est assurée par un nombre suffisant de tiges pour qu’il ne puisse être modifié que lorsque certaines ou la totalité des tiges changent de longueur. Un support plat intérieurement stable est appelé une plaque rigide. Le support est extérieurement ou complètement stable lorsque la position intermédiaire des nœuds et leur position selon les points fixes du plan, ou de l’espace, ne peuvent changer que dans la mesure des changements de longueur des tiges, du mouvement des supports ou de la rotation du serrage.

Supports plats

Le nombre minimum de tiges requis pour la stabilité interne et le nombre minimum de tiges et de supports requis pour la stabilité externe d’une ferme avec s tiges, a supports et k nœuds est :

s = 2k – 3

s + a = 2k, (3 ≤ a)

La première condition est remplie lorsque le support est formé à partir d’une tige en reliant d’autres nœuds avec chacun deux tiges, les tiges auxquelles un nœud est attaché ne devant pas se trouver sur la même ligne droite.

La poutre avec s1 tiges simples, s2 tiges résistantes à la flexion, e angles rigides, a1 supports, a2 pinces et k nœuds est interne, resp. extérieurement stable quand :

s1 + s2 + e ≥ 2k – 3

s1 + s2 + e + a1 + a2 ≥ 2k, (a=a1 + a2 ≥ 3)

Fig. 1

Chaque angle solide peut être remplacé par une simple tige. Si dans un nœud i les tiges sont reliées rigidement les unes aux autres, le nombre d’angles rigides dans ce nœud est i-1. Lorsque les surplombs des tiges (consoles) sont comptés comme des tiges, les extrémités libres doivent être comptées comme des nœuds. Le support de la fig. 1 avec s1=9, s2=7, e=5 (marqué sur l’image) et k=12 ​​​​est stable en interne. Lorsque l’on remplace les angles rigides 4 et 5 par des joints et des tiges simples, qui sont marqués de lignes pointillées sur la photo, alors s1=11, s2=7, e=3, tandis que le nombre de nœuds reste inchangé.

Fig. 2a et 2b

Si dans un support avec le nombre minimum de supports requis, des tiges individuelles ou des angles rigides sont remplacés par des supports ou des pinces, le support perd sa stabilité interne, fig. 2a, b. Pour de tels supports, il existe d’autres possibilités pour tester la stabilité. Si p est le nombre de plaques rigides du support sans stabilité interne, alors qu’il faut noter qu’une seule tige simple ou résistante à la flexion remplit les conditions de stabilité interne et peut être comprise comme une plaque rigide, et si z est le nombre de réactions intermédiaires dans les articulations, la stabilité externe nécessite que : a + z ≥ 3p. Le nombre de réactions intermédiaires dans l’articulation où est fixée la plaque (fig. 3, 4, 5) est z=2(_i-_1).

Fig. 3 et 4, respectivement

Fig. 5

Cadre sur la fig. 6 est statiquement indéterminé six fois. Si les surplombs, qui n’ont aucune influence sur le degré d’indétermination statique, sont comptés comme des tiges, il faut également prendre en compte les angles rigides avec lesquels ils sont fixés au système et les extrémités libres des surplombs doivent être comptées comme des nœuds (s=7, e=6, a=9, k=8). Dans le cas de ces types de supports, la forme appropriée des conditions pour les tests de stabilité interne et externe est :

3_s_ ≥ 3k-3; 3s+a ≥ 3k, (a≥3).

Par ailleurs, les passes ne doivent pas être comptées en bâtons. Souvent, dans de tels cas, le moyen le plus rapide de parvenir à une conclusion sur le degré d’indétermination statique du support est de couper les tiges ou d’exclure des quantités statiques jusqu’à ce qu’il reste un support sans aucun doute stable et déterminé statiquement. Avec les trois sections indiquées à la fig. 7 trois grandeurs statiques sont exclues (force normale, force transversale, moment fléchissant).

Si dans un réseau plat n0-fois statiquement indéterminé, toutes les tiges des nœuds sont connectées rigidement, le degré d’indétermination statique est

n = n0 + 2s – k.

Fig. 6

Fig. 7

Espace entre parenthèses

Le nombre minimum de supports pour les grilles spatiales est a=6. Les conditions suivantes s’appliquent à la stabilité interne et externe :

s ≥ 3k – 6; s + a ≥ 3k, (a≥6).

La condition de stabilité interne est remplie lorsque, à partir d’une plaque triangulaire, d’autres nœuds de l’espace sont reliés chacun par trois tiges, qui ne doivent pas se trouver dans un seul plan. De cette manière, un treillis spatial du premier type est créé, dont la caractéristique est qu’il contient toujours au moins un nœud dans lequel seulement trois tiges sont liées, et qu’il conserve cette caractéristique même lorsque ce nœud avec les tiges correspondantes est supprimé.

De plus, des grilles spatiales peuvent être formées en connectant des plaques triangulaires de telle sorte que deux et deux plaques soient reliées par six tiges, où chaque nœud est connecté aux plaques adjacentes avec chacune deux tiges. La connexion de deux plaques ou de deux grilles spatiales stables internes peut être réalisée au moyen d’un joint et de trois tiges qui ne traversent pas ce joint. Enfin, trois plaques triangulaires peuvent être reliées avec des tiges 12, avec une tige 4 entre chaque plaque. Pour la stabilité interne ou externe des supports spatiaux où toutes les tiges sont rigidement liées à la flexion et à la torsion, les conditions

6s ≥ 6(k-1); 6s + a ≥ 6k

Par conséquent, le support de la fig. 8 est 24 fois statiquement indéterminé, ce qui, comme précédemment, peut être vérifié plus facilement en coupant quatre barres horizontales et en excluant ainsi six inconnues dans chaque section (1 force normale, 2 force transversale, 2 mmoment de flexion et 1 moment de torsion). Si l’on supprime les connexions f en insérant des joints dans les tiges ou leurs connexions, alors les conditions de stabilité sont :

6s – f ≥ 6(k-1); 6s – f + a ≥ 6k.

Sl. 8

Charge et réactions : tâches statiques

Pour les supports plats, les forces extérieures doivent se situer dans le plan du support, pour les supports spatiaux elles peuvent avoir une position arbitraire. Avec les fermes, on suppose que la charge attaque au niveau des nœuds.

Les forces actives provoquent des résistances des éléments extérieurs, des réactions des appuis C dans les appuis et des moments de pincement E dans les pincements. Les résistances des éléments internes du support - les efforts transversaux - sont : les efforts axiaux S en tiges simples ; dans les tiges résistant aux efforts normaux ou longitudinaux de flexion et de torsion N, aux moments de flexion M, aux moments de torsion ou moments de torsion T et aux efforts transversaux Q. La résistance des éléments peut également provoquer des changements de température et un relâchement des supports.

Le dimensionnement des éléments individuels et la détermination des tensions qui y apparaissent est la tâche de la résistance matérielle. Lors de la détermination des valeurs statiques, le matériau appliqué n’a d’importance que dans la mesure où la charge permanente en dépend. Les autres propriétés du matériau ne sont prises en compte que lorsqu’il s’agit de l’influence du mouvement du support ou des changements de température (retrait, écoulement) ou lorsqu’il faut calculer des déformations. En général, les poutres doivent être testées pour différents cas de charge qui ne doivent pas nécessairement se produire simultanément (charge permanente, charge utile, charge de vent, charge de neige). En supposant que les déformations élastiques sont si petites qu’elles peuvent être ignorées par rapport aux dimensions du système - et c’est généralement le cas - le principe de superposition s’applique, selon lequel les cas de charge individuels et d’autres influences peuvent être examinés séparément et les valeurs calculées pour les grandeurs statiques ou géométriques additionnées, avec une certaine correction des valeurs par des coefficients partiels de sécurité pour les charges permanentes et variables (favorables ou défavorables).

Supports déterminés statiquement

Équations inconnues et disponibles

Dans un réseau déterminé statiquement, a réaction des supports et s forces axiales sont inconnues, pour la détermination desquelles lorsque le réseau a k nœuds, l’équation 2_k_ (∑X=0 et ∑Y=0) dans le plan et l’équation 3k dans des places sont disponibles. Dans un support plan, les inconnues peuvent se réduire à s1 efforts axiaux des tiges simples, s2 efforts normaux des tiges résistantes à la flexion, e moments de flexion aux angles rigides, a1 réactions d’appui et a2 moments de serrage. Les forces transversales doivent être déterminées à partir des moments aux extrémités des tiges et des forces externes agissant entre les nœuds. Dans un nœud à partir duquel i tiges connectées rigidement partent vers les nœuds voisins, il suffit de connaître i-1 mmoments - qui correspond au nombre d’angles rigides - car la condition d’équilibre ∑M=0 est disponible pour déterminer un autre moment inconnu dans chacun de ces nœuds. Pour déterminer les s1 + s2 + e + a1 + a2 inconnues, il reste 2_k_ conditions d’équilibre.

Conditions d’équilibre des forces extérieures sur supports plats

Les réactions des supports de plaques reposant sur un roulement fixe et un roulement mobile (fig. 9) sont obtenues graphiquement à l’aide de polygones de force. La ligne d’attaque de force B est connue et a la direction d’appui en ce point, et la ligne d’attaque de force Ka doit passer par l’intersection des forces B et P. Par calcul, les forces B, C et A sont progressivement déterminées à partir des conditions Ma = 0, H = 0 et Mb = 0. L’appui du plateau sur trois paliers mobiles (fig. 10) n’est correct que lorsque les lignes de réaction ne se coupent pas en un point. Les réactions sont déterminées graphiquement à l’aide de polygones de force ou par calcul à l’aide d’équations de moment par rapport aux points d’intersection de deux et deux lignes de forces d’attaque.

Fig. 9

Fig. 10

Dans le cas d’appuis déterminés statiquement sans stabilité interne, en plus des conditions d’équilibre des forces externes dans leur ensemble, des conditions pour les articulations sont également introduites, qui expriment l’exigence que les articulations ne puissent pas recevoir de moments de flexion. Par conséquent, la ligne de réaction d’attaque Ka du cadre à trois charnières sur la figure 11 mora passe par l’articulation g, et la plaque droite ne peut être en équilibre que lorsque les trois forces agissant sur elle (P, Kb et force dans l’articulation = Ka) se croisent en un point. Afin d’obtenir des conditions d’équilibre ne contenant chacune qu’une seule inconnue, il convient de calculer avec les composantes verticales des réactions A et B et les composantes C et D le long de la ligne reliant les points d’appui. A partir des conditions Mb = 0 et Ma = 0, on obtient les forces A et B, et à partir de la condition pour l’articulation Mg = 0, pour les forces attaquant la plaque gauche, on obtient la force C, et pour les forces sur la plaque droite, la force D. De la même manière, les réactions des supports du cadre sont déterminées sur la fig. 12. Pour la charge indiquée ici, le moyen le plus rapide d’obtenir le résultat est graphique. Support avec joints selon fig. 13. Les composantes horizontales des forces extérieures qui attaquent le support sont reçues par le lit fixe, la force F est obtenue à partir de ∑H=0. La plaque II repose aux points g1 et g2 sur les plaques I et III, et la plaque IV aux g3 sur III. Les forces verticales dans les articulations G1, G2, G3 et la réaction E sont déterminées à partir de la condition d’équilibre de la plaque II ou IV, puis étape par étape les réactions A, B, C et D sont déterminées.

Fig. 11 et 12, respectivement

Fig. 13

Détermination des tailles statiques internes

Les forces axiales S des tiges simples sont, en règle générale, considérées comme positives lorsqu’il s’agit de forces de traction, et négatives lorsqu’il s’agit de forces de compression. De la même manière, le signe de la force normale N dans la poutre est déterminé. La force normale Ni au point i est la composante parallèle à la tangente à l’axe de la poutre au point i de la résultante R de toutes les forces agissant sur la poutre d’un côté du point i. La force transversale Qi est la composante normale à l’axe de la tige au point et identique à la résultante, et le moment de flexion Mi est le moment de la résultante (fig. 14). La détermination des grandeurs N, Q et M se fait régulièrement à partir des forces individuelles et de leurs composantes parallèles et perpendiculaires à l’axe de la tige sans déterminer la résultante R. La convention des directions positives est représentée sur la fig. 15.

Fig. 14 et 15, respectivement

Étant donné que les réactions d’appui sont déterminées graphiquement, les forces normales, les moments de flexion et les forces transversales peuvent être déterminées à partir du polygone de force et du plan dans lequel les forces sont données par position. Par exemple, dans la colonne de gauche du cadre à trois charnières de la fig. 11 ​​​​​​la composante verticale de la force Ka est la force normale (négative), la composante horizontale est la force transversale (négative), et Mi = Kari le moment de flexion, négatif lorsque les moments provoquant une tension à l’intérieur sont considérés comme positifs.

Dans chaque nœud où les tiges sont articulées, les conditions ∑X=0, ∑Y=0 doivent être remplies. Les grilles formées de la manière la plus simple - en reliant des nœuds avec deux tiges chacun - ont toujours au moins un nœud où seules deux tiges se rencontrent. En supprimant ces nœuds, cette fonctionnalité est conservée. Le calcul des forces axiales dans les tiges peut être effectué en résolvant progressivement deux équations à deux inconnues chacune.

La solution graphique est obtenue en construisant un plan de force (plan Cremana) selon la fig. 16. Les forces extérieures P1 à P6 sont en équilibre. Les forces dans les tiges Si sont déterminées progressivement à partir du point 1 et en allant de nœud en nœud dans l’ordre où elles sont marquées. Le marquage des forces s’effectue également dans l’ordre dans lequel elles sont déterminées. Chaque nœud correspond à un polygone de forces avec une direction de flèche continue, d’où découlent les signes des forces dans les tiges. Si une section est réalisée à travers le support et si aux endroits où les tiges sont coupées les forces agissant dans ces tiges sont appliquées comme forces extérieures, chaque partie du treillis est en équilibre. Sur ce point, la procédure de Culmann\ est enregistrée, par laquelle la force dans une tige arbitraire peut être déterminée graphiquement indépendamment des autres forces.

Fig. 16

Dans la solution analytique du problème de la mise en équations à une inconnue, la procédure de Ritter est de la plus haute importance. Le treillis est coupé de manière à ce que trois bâtons soient affectés par la coupe. Les forces dans les barres de section sont appliquées à chaque partie de la ferme sous forme de forces de tension, du nœud à la section. Les conditions d’équilibre s’appliquent à chaque partie du réseau. L’intersection de deux et deux tiges qui se croisent est le point de moment lors de la détermination de la force dans la troisième tige (point de Ritter). Si ri est la distance de la force Si au point de moment i, et Mi est le moment des forces actives et des réactions des supports par rapport au point i, alors la force dans la tige est donnée par l’expression

Si = ± Mi/ri

Fig. 17

Fig. 18

Selon la fig. Les forces 17 et 18 dans les tiges transversales sont :

On = -Mn/rn;   Un-1 = Mn-1/rn-1;

Dn = Md/rd;      Ln = Mv/rv.

Lorsque la construction graphique ne fournit pas une précision suffisante, les positions des points de moment d et v et les distances rd et rv doivent être calculées. Pour le calcul des forces D et L, les expressions suivantes sont plus adaptées, dans lesquelles seuls les points caractéristiques de la grille apparaissent comme points de moment (fig. 19, 18) :

D = (Mu/hu – M(o)/ho) * (d/λd), (35)

Ln = ± Ql ± (Mn tgβn + M’n tgγn)/hn.

Pour les caillebotis à bandes parallèles, les forces D et L peuvent être obtenues directement à partir de la force transversale :

D = Q/sin__φ_ ;   L=__±Q_

Fig. 19

Charge mobile et lignes d’influence

Si la poutre est chargée avec une charge mobile, des forces concentrées à une distance mutuelle constante, alors les tests doivent être effectués aux positions de charge les plus défavorables. Pour une poutre simple sur deux supports, la plus grande force transversale Qmax peut être obtenue en utilisant le A-polygone, et le plus grand moment de flexion Mmax en utilisant le polygone de chaîne pour le système de force sous lequel le support se déplace.

Lors de la détermination de la ligne d’influence pour une grandeur statique ou géométrique, et pour la charge Pm=1 se déplaçant sur la courroie porteuse chargée, pour chaque position de charge m, la valeur calculée ηm de la grandeur requise est appliquée sous la force, à partir d’une ligne zéro. La ligne joignant les extrémités de ces ordonnées est la ligne d’influence. Les lignes d’influence du moment fléchissant Mi et de la force transversale Qi au point i de la poutre appuyée aux points a et b sont des droites ga et gb dont les segments sur les verticales des appuis sont aa’ = xi (=M’i pour A=1) et bb’ = x’i (=M’‘i pour B=1) (fig. 20). La ligne d’influence de la force A est donnée par la ligne gb, dont l’ordonnée sur l’axe vertical est a aa’=1.

Fig. 20

La ligne d’influence pour chaque grandeur statique d’un support déterminé statiquement est constituée de droites correspondant aux plaques rigides de la chaîne cinématique forcée créée par l’exclusion de la grandeur demandée. Les lignes se croisent aux verticales via des points instantanés ou via les points où les plaques sont articulées. La zone délimitée par la ligne zéro, la ligne d’influence et deux ordonnées est appelée zone d’influence. Dividing (point zéro de la ligne d’influence) divise les parties positives et négatives de la surface d’influence.

Comme ηm représente l’influence de la force mobile Pm=1 sur la grandeur demandée Z, c’est Pmηm l’influence de la force Pm, tandis que le système de forces P provoque l’influence Z=∑Pη. Les valeurs limites de l’influence maxZ et minZ seront obtenues lorsque le système mobile de forces concentrées connectées est réglé de manière à ce que les forces les plus importantes soient multipliées par les ordonnées les plus grandes. Lorsque la position la plus défavorable n’est pas connue avec certitude, l’influence de la ligne d’influence doit être calculée côte à côte pour différentes positions de charge (processus itératif).

Pour une charge partiellement également répartie, p t/m est Z = _∫_p dx η = pF, où F est la taille marquée de la partie pertinente de la surface d’influence. Dans le cas d’une charge partielle de longueur limitée c et d’une forme droite de la ligne d’influence (fig. 58), la charge doit être réglée de telle sorte que η1 = η2 (c1 = cxi/l; c2 = cx’i/l), donc Z = pc (ηi + η1)/2. Lors du transfert de charge indirect, la ligne d’influence entre les ordonnées ηn et ηn+1 change en ligne droite, fig. 21.

Fig. 21