Belangrijke professionele en veiligheidsopmerking: Dit is een educatieve archieftekst, geen statische berekening, bouwproject of handleiding. Formules, ondersteuningsmodellen en tekeningen werden overgenomen van de originele inhoud zonder professionele verificatie of aanpassing aan de huidige regelgeving. Het draagvermogen, de stabiliteit, de belastingen, de materialen, de verbindingen en de fundering van een specifiek object moeten worden bepaald door een gecertificeerd civiel ingenieur op basis van geldige normen, geotechnische gegevens en de werkelijke staat van de constructie. De illustraties zijn educatief en vertegenwoordigen geen bevestigde projecten van Savo Kusić.
Statische berekeningen en ontwerp van ondersteunende structuren maken geen deel uit van het nieuwe openbare bod van het bedrijf. De huidige productiefocus bestaat uit houten ramen, houten-aluminium ramen en op maat gemaakte deuren. Voor een specifiek raam- of deurproject kunt u offerteaanvraag sturen.
Structuur en verdeling van steunen
Steunelementen: interne en externe stabiliteit
Elementen van de steun zijn:
Eenvoudige staven die alleen trek- of drukkrachten kunnen overbrengen waarvan de aanvalslijn samenvalt met de as van de staaf. Dit betekent dat de staven in de knopen met verbindingen zijn verbonden waar er geen wrijving is, en dat externe krachten de knopen aanvallen. Steunen die alleen uit eenvoudige staven bestaan, worden spanten genoemd.
Stokken die bestand zijn tegen buigen - balken - kunnen zowel krachten overbrengen waarvan de aanvalslijnen samenvallen met de as van de staaf, als krachten waarvan de aanvalslijnen evenwijdig zijn aan de as van de staaf of er willekeurig naar hellen. Balken ontvangen normaalkrachten, dwarskrachten, buigmomenten en, in het gegeven geval, torsiemomenten. Degenen die in knopen zitten, kunnen worden vastgebonden met scharnieren of met stijve hoeken.
Steunen en klemmen voorkomen dat de steun naar vaste punten in het vlak of de ruimte beweegt. Elke steun is in staat een kracht in een bepaalde richting over te brengen die door het hangende knooppunt gaat. Als er slechts één steunpunt in het ondersteunde knooppunt is - steunpunt - wordt dit een beweegbaar steunpunt van het ruimtelijke steunpunt genoemd. Als het knooppunt wordt ondersteund door twee steunen, wordt het een onbeweegbaar bed van een platte steun of een ruimtedraaglijnbed genoemd. Het stationaire bed van de ruimtelijke ondersteuning vereist drie steunen.
Elke knijpbeweging van een buigvaste staaf kan een knelmoment overbrengen dat in een bepaald vlak ligt. In de meeste gevallen is aan de klem een vast lager verbonden, zodat er bij een vlakke steun twee steunen en één klem zijn, en bij een ruimtelijke steun drie steunen en drie klemmen. Op steun- en knelpunten kunnen bewegingen en rotaties van een bepaalde omvang optreden.
Het vereiste aantal elementen voor de stabiliteit van de steun wordt verkregen uit de voorwaarden voor interne en externe stabiliteit. De steun is intern stabiel wanneer de positie tussen de knooppunten van de steun tussen de kamers wordt gewaarborgd door een voldoende aantal stangen, zodat deze alleen kan worden gewijzigd wanneer sommige of alle stangen van lengte veranderen. Een inwendig stabiele vlakke steun wordt een stijve plaat genoemd. De steun is uitwendig of volledig stabiel wanneer de tussenpositie van de knooppunten en hun positie volgens de vaste punten van het vlak, of de ruimte, alleen kan veranderen in de mate van de veranderingen in de lengte van de staven, de beweging van de steunen of de rotatie van de klemming.
Platte beugels
Het minimum aantal staven dat nodig is voor interne stabiliteit en het minimum aantal staven en steunen dat nodig is voor externe stabiliteit van een spant met s staven, a steunen en k knooppunten is:
s = 2k – 3
s + a = 2k, (3 ≤ a)
Aan de eerste voorwaarde is voldaan wanneer de steun wordt gevormd uitgaande van één staaf door verdere knooppunten met elk twee staven te verbinden, waarbij de staven waaraan één knooppunt is bevestigd niet op dezelfde rechte lijn mogen liggen.
De balk met s1 eenvoudige staven, s2 buigbestendige staven, e stijve hoeken, a1 steunen, a2 klemmen en k knooppunten is intern, resp. extern stabiel wanneer:
s1 + s2 + e ≥ 2k – 3
s1 + s2 + e + a1 + a2 ≥ 2k, (a=a1 + a2 ≥ 3)
Afb. 1
Elke vaste hoek kan worden vervangen door een eenvoudige staaf. Als in één knooppunt i staven star met elkaar verbonden zijn, is het aantal starre hoeken in dat knooppunt i-1. Wanneer de overhangen van de stangen (consoles) als stangen worden geteld, moeten de vrije uiteinden als knooppunten worden geteld. De beugel in afb. 1 met s1=9, s2=7, e=5 (gemarkeerd in de afbeelding) en k=12 is intern stabiel. Wanneer we de stijve hoeken 4 en 5 vervangen door verbindingen en eenvoudige staven, die op de afbeelding met stippellijnen zijn gemarkeerd, dan s1=11, s2=7, e=3, terwijl het aantal knooppunten ongewijzigd blijft.
Afb. 2a en 2b
Als in een steun met het vereiste minimum aantal steunen individuele stangen of stijve hoeken worden vervangen door steunen of klemmen, verliest de steun zijn interne stabiliteit, afb. 2a, b. Voor dergelijke steunen zijn er andere mogelijkheden om de stabiliteit te testen. Als p het aantal stijve platen van de steun is zonder interne stabiliteit, terwijl opgemerkt moet worden dat een enkele eenvoudige staaf of staaf die bestand is tegen buigen voldoet aan de voorwaarden van interne stabiliteit en kan worden opgevat als een stijve plaat, en als z het aantal tussenreacties in de verbindingen is, vereist de externe stabiliteit dat: a + z ≥ 3p. Het aantal tussenreacties in het gewricht waar de plaat is bevestigd (fig. 3, 4, 5) is z=2(_i-_1).
Afb. 3 en 4 respectievelijk
Afb. 5
Frame in afb. 6 is zes keer statisch onbepaald. Als de overhangen, die geen invloed hebben op de mate van statische onbepaaldheid, als staven worden geteld, moet er ook rekening worden gehouden met de stijve hoeken waarmee ze aan het systeem zijn bevestigd en moeten de vrije uiteinden van de overhangen als knooppunten worden geteld (s=7, e=6, a=9, k=8). In het geval van dit soort ondersteuningen is de geschikte vorm van voorwaarden voor interne en externe stabiliteitstests:
3_s_ ≥ 3k-3; 3s+a ≥ 3k, (a≥3).
Tegelijkertijd mogen passen niet in sticks worden geteld. Vaak is in dergelijke gevallen de snelste manier om tot een conclusie te komen over de mate van statische onbepaaldheid van de steun het doorsnijden van de staven of het uitsluiten van statische grootheden totdat er een ongetwijfeld stabiele, statisch bepaalde steun overblijft. Met de drie secties aangegeven in Fig. 7 drie statische grootheden zijn uitgesloten (normaalkracht, dwarskracht, buigmoment).
Als in één n0-maal statisch onbepaald vlak rooster alle staven in de knooppunten star verbonden zijn, is de mate van statische onbepaaldheid
n = n0 + 2s – k.
Afb. 6
Afb. 7
Afstandsbeugels
Het minimumaantal steunen voor ruimtelijke rasters is a=6. Voor interne en externe stabiliteit gelden de volgende voorwaarden:
s ≥ 3k – 6; s + a ≥ 3k, (a≥6).
Aan de voorwaarde voor interne stabiliteit wordt voldaan wanneer, beginnend vanaf één driehoekige plaat, verdere knooppunten in de ruimte worden verbonden met elk drie staven, die niet in één vlak mogen liggen. Op deze manier wordt een ruimtelijk rooster van de eerste soort gecreëerd, waarvan het kenmerk is dat het altijd minstens één knooppunt bevat waarin slechts drie staven zijn vastgemaakt, en dat dit kenmerk behouden blijft, zelfs als dat knooppunt met de bijbehorende staven wordt verwijderd.
Bovendien kunnen ruimtelijke rasters worden gevormd door driehoekige platen zo te verbinden dat twee en twee platen met zes staven zijn verbonden, waarbij elk knooppunt met elk twee staven met de aangrenzende platen is verbonden. De verbinding van twee platen of twee interne stabiele ruimtelijke roosters kan worden gerealiseerd door middel van één gewricht en drie stangen die niet door dat gewricht gaan. Tenslotte kunnen drie driehoekige platen worden verbonden met 12 staven, met één 4 staaf tussen elke plaat. Voor interne of externe stabiliteit van ruimtelijke steunen waarbij alle staven stevig zijn vastgemaakt om te buigen en te draaien, moet aan de voorwaarden
6s ≥ 6(k-1); 6s + een ≥ 6k
Daarom is de beugel in afb. 8 is 24 statisch onbepaald, wat, net als voorheen, het gemakkelijkst kan worden geverifieerd door vier horizontale staven door te snijden en dus zes onbekenden in elke sectie uit te sluiten (1 normaalkracht, 2 dwarskracht, 2 mbuigmoment en 1 torsiemoment). Als we f-verbindingen verwijderen door verbindingen in staven of hun verbindingen te plaatsen, zijn de stabiliteitsvoorwaarden:
6s – f ≥ 6(k-1); 6s – f + a ≥ 6k.
Sl. 8
Belasting en reacties: statische taken
Voor platte steunpunten moeten de externe krachten in het vlak van de steun liggen, voor ruimtelijke steunpunten kunnen ze een willekeurige positie hebben. Bij spanten wordt aangenomen dat de belasting de knooppunten aanvalt.
Actieve krachten veroorzaken weerstanden van externe elementen, reacties van steunen C bij steunen en knijpmomenten E bij knijpen. De weerstanden van de interne elementen van de steun – de dwarsdoorsnedekrachten – zijn: axiale krachten S in eenvoudige staven; in staven die bestand zijn tegen normale of longitudinale krachten N, buigende en torsiemomenten, buigmomenten M, torsiemomenten of torsiemomenten T en dwarskrachten Q. De weerstand van de elementen kan ook temperatuurveranderingen en het loskomen van de steunen veroorzaken.
Het dimensioneren van individuele elementen en het bepalen van de spanningen die daarin voorkomen, is de taak van Materiaalweerstand. Bij het bepalen van de statische waarden is het toegepaste materiaal alleen van belang voor zover de permanente belasting ervan afhangt. Andere eigenschappen van het materiaal worden alleen in aanmerking genomen als het gaat om de invloed van ondersteuningsbewegingen of temperatuurveranderingen (krimp, vloei) of als er vervormingen moeten worden berekend. Over het algemeen moeten liggers worden getest op verschillende belastingsgevallen die niet gelijktijdig hoeven voor te komen (permanente belasting, nuttige belasting, windbelasting, sneeuwbelasting). Ervan uitgaande dat de elastische vervormingen zo klein zijn dat ze kunnen worden genegeerd in relatie tot de afmetingen van het systeem - en dat is meestal het geval - is het principe van superpositie van toepassing, volgens welke individuele belastingsgevallen en andere invloeden afzonderlijk kunnen worden onderzocht en de berekende waarden voor statische of geometrische grootheden bij elkaar kunnen worden opgeteld, met een zekere correctie van de waarden via partiële veiligheidscoëfficiënten voor permanente en variabele belastingen (gunstig of ongunstig).
Statisch bepaalde steunpunten
Onbekende en beschikbare vergelijkingen
In één statisch bepaald rooster zijn a reactie van de steunen en s axiale krachten onbekend, voor de bepaling hiervan, wanneer het rooster k knooppunten heeft, de 2_k_ vergelijking (∑X=0 en ∑Y=0) in het vlak en de 3k-vergelijkingen in de ruimte zijn beschikbaar. Bij een vlakke ondersteuning kunnen de onbekenden worden teruggebracht tot s1 axiale krachten van eenvoudige staven, s2 normaalkrachten van staven die bestand zijn tegen buiging, e buigmomenten bij stijve hoeken, a1 steunreacties en a2 klemmomenten. De dwarskrachten moeten worden bepaald op basis van de momenten aan de uiteinden van de staven en de externe krachten die tussen de knooppunten werken. In een knooppunt van waaruit i star verbonden staven beginnen naar de aangrenzende knooppunten, is het voldoende om i-1 mmomenten te kennen - wat overeenkomt met het aantal starre hoeken - omdat de evenwichtsvoorwaarde ∑M=0 beschikbaar is om een ander onbekend moment in elk dergelijk knooppunt te bepalen. Om de s1 + s2 + e + a1 + a2 onbekenden te bepalen, blijven er 2_k_ evenwichtsomstandigheden over.
Voorwaarden voor balans van externe krachten op vlakke steunen
Reacties van plaatsteunen die op één stationair en één beweegbaar lager rusten (fig. 9) worden grafisch verkregen met behulp van krachtpolygonen. De aanvalslijn van kracht B is bekend en heeft de steunrichting op dat punt, en de aanvalslijn van kracht Ka moet door het snijpunt van krachten B en P gaan. Computationeel worden de krachten B, C en A geleidelijk bepaald uit de voorwaarden Ma = 0, H = 0 en Mb = 0. De ondersteuning van de plaat op drie beweegbare lagers (fig. 10) is alleen correct als de reactielijnen elkaar niet op één punt kruisen. Reacties worden grafisch bepaald met behulp van krachtpolygonen of computationeel met behulp van momentvergelijkingen in relatie tot de punten waar twee en twee aanvalslijnen elkaar kruisen.
Afb. 9
Afb. 10
In het geval van statisch bepaalde steunen zonder interne stabiliteit worden naast de voorwaarden voor het evenwicht van externe krachten als geheel ook voorwaarden voor de gewrichten geïntroduceerd, die de eis tot uitdrukking brengen dat de gewrichten geen buigmomenten kunnen ontvangen. Daarom loopt de reactielijn Ka van het driescharnierende frame in figuur 11 mora door het gewricht g, en de rechterplaat kan alleen in evenwicht zijn als de drie daarop inwerkende krachten (P, Kb en kracht in het gewricht = Ka) elkaar op één punt kruisen. Om evenwichtsomstandigheden te verkrijgen die elk slechts één onbekende bevatten, is het handig om te berekenen met de verticale componenten van reacties A en B en componenten C en D langs de lijn die de steunpunten verbindt. Uit de voorwaarden Mb = 0 en Ma = 0 worden krachten A en B verkregen, en uit de voorwaarde voor het gewricht Mg = 0 wordt voor de krachten die de linkerplaat aanvallen kracht C verkregen, en voor de krachten op de rechterplaat kracht D. Op soortgelijke wijze worden de reacties van de framesteunen bepaald in figuur 2. 12. Voor de hier gegeven belasting is de snelste manier om het resultaat grafisch te krijgen. Beugel met verbindingen volgens afb. 13. De horizontale componenten van de externe krachten die de steun aanvallen, worden opgevangen door het stationaire bed, de kracht F wordt verkregen uit ∑H=0. Plaat II rust op de punten g1 en g2 op de platen I en III, en plaat IV op g3 op III. De verticale krachten in de gewrichten G1, G2, G3 en de reactie E worden bepaald uit de evenwichtstoestand van de plaat II of IV, en vervolgens worden stap voor stap de reacties A, B, C en D bepaald.
Afb. 11 en 12 respectievelijk
Afb. 13
Bepaling van interne statische afmetingen
Axiale krachten S van eenvoudige staven worden in de regel als positief beschouwd als het trekkrachten zijn, en negatief als het compressiekrachten zijn. Op soortgelijke wijze wordt het teken van de normaalkracht N in de balk bepaald. De normaalkracht Ni op het punt i is de component evenwijdig aan de raaklijn aan de as van de balk in het punt i van de resulterende R van alle krachten die op de balk inwerken aan één zijde van het punt i. De dwarskracht Qi is de component loodrecht op de as van de staaf op het punt en hetzelfde en de resultante, en het buigmoment Mi is het moment van de resultante (fig. 14). Het bepalen van de grootheden N, Q en M gebeurt regelmatig op basis van individuele krachten en hun componenten evenwijdig aan en loodrecht op de as van de staaf, zonder de resulterende R te bepalen. De conventie van positieve richtingen wordt getoond in Fig. 15.
Afb. 14 en 15 respectievelijk
Aangezien de steunreacties grafisch worden bepaald, kunnen normaalkrachten, buigmomenten en dwarskrachten worden bepaald uit de krachtenpolygoon en het plan waarin de krachten per positie worden gegeven. In de linkerkolom van het driescharnierende frame in Fig. 11 de verticale component van de kracht Ka is de normaalkracht (negatief), de horizontale component is de dwarskracht (negatief), en Mi = Kari het buigmoment, negatief wanneer momenten die spanning aan de binnenkant veroorzaken als positief worden beschouwd.
In elk knooppunt waar de stangen scharnierend zijn, moet aan de voorwaarden ∑X=0, ∑Y=0 worden voldaan. Rasters die op de eenvoudigste manier worden gevormd - door knooppunten met elk twee staven te verbinden - hebben altijd minstens één knooppunt waar slechts twee staven samenkomen. Door dergelijke knooppunten te verwijderen, blijft deze functie behouden. Berekening van axiale krachten in staven kan worden uitgevoerd door geleidelijk twee vergelijkingen met elk twee onbekenden op te lossen.
De grafische oplossing wordt verkregen door een krachtplan (_Cremana_plan) te construeren volgens figuur. 16. De externe krachten P1 tot P6 zijn in evenwicht. De krachten in de staven Si worden geleidelijk bepaald, beginnend vanaf het punt 1 en gaande van knooppunt tot knooppunt in de volgorde waarin ze zijn gemarkeerd. Het markeren van krachten gebeurt ook in de volgorde waarin ze worden bepaald. Elk knooppunt komt overeen met een veelhoek van krachten met een doorlopende pijlrichting, waaruit de tekens van de krachten in de staven volgen. Als er een doorsnede door de steun wordt gemaakt en als op de plaatsen waar de staven worden doorgesneden de krachten die in die staven werken als externe krachten worden uitgeoefend, is elk deel van het rooster in evenwicht. Hierop wordt de procedure van Culmann\ vastgelegd, waarmee de kracht in een willekeurige staaf grafisch onafhankelijk van andere krachten kan worden bepaald.
Afb. 16
Bij de analytische oplossing van het probleem van het opstellen van vergelijkingen met één onbekende is de procedure van Ritter van het grootste belang. Het rooster wordt zo gesneden dat drie stokjes door de snede worden beïnvloed. De krachten in de profielstaven worden als trekkrachten op elk deel van het vakwerk uitgeoefend, vanaf de knoop tot aan de sectie. Evenwichtsomstandigheden zijn van toepassing op elk deel van het rooster. Het snijpunt van twee en twee elkaar kruisende staven is het momentpunt bij het bepalen van de kracht in de derde staaf (Ritter’s punt). Als ri de afstand is van de kracht Si vanaf het momentpunt i, en Mi het moment is van de actieve krachten en reacties van de steunpunten in relatie tot het punt i, dan wordt de kracht in de staaf gegeven door de uitdrukking
Si = ± Mi/ri
Afb. 17
Afb. 18
Volgens afb. 17 en 18 krachten in dwarsdoorsnedestaven zijn:
Aan = -Mn/rn; Un-1 = Mn-1/rn-1;
Dn = Md/rd; Ln = Mv/rv.
Als de grafische constructie niet voldoende nauwkeurigheid biedt, moeten de posities van de momentpunten d en v en de afstanden rd en rv worden berekend. Voor de berekening van de krachten D en L zijn de volgende uitdrukkingen geschikter, waarbij alleen de karakteristieke punten van het raster verschijnen als momentpunten (fig. 19, 18):
D = (Mu/hu – M(o)/ho) * (d/λd), (35)
Ln = ± Ql ± (Mn tgβn + M’n tgγn)/hn.
Voor roosters met parallelle banden kunnen de krachten D en L rechtstreeks worden verkregen uit de dwarskracht:
D = Q/zonde__φ_; L=__±Q_
Afb. 19
Bewegende last- en invloedslijnen
Als de ligger wordt belast met een bewegende last, geconcentreerde krachten op een constante onderlinge afstand, dan moeten de tests worden uitgevoerd op de meest ongunstige lastposities. Voor een eenvoudige balk op twee steunpunten kan de grootste dwarskracht Qmax worden verkregen met behulp van de A-polygoon, en het grootste buigmoment Mmax met behulp van de kettingpolygoon voor het krachtsysteem waaronder de steun beweegt.
Bij het bepalen van de invloedslijn voor één statische of geometrische grootheid, en voor de last Pm=1 die beweegt op de belaste draagband, wordt voor elke lastpositie m de berekende waarde ηm van de vereiste hoeveelheid toegepast onder de kracht, vanaf één nullijn. De lijn die de eindpunten van deze coördinaten verbindt, is de invloedslijn. De invloedslijnen voor het buigmoment Mi en de dwarskracht Qi op het punt i van de balk ondersteund op de punten a en b zijn rechte lijnen ga en gb waarvan de segmenten op de verticale lijnen van de steunen aa’ = xi (=M’i voor A=1) en bb’ = x’i (=M’‘i voor B=1) (afb. 20). De invloedslijn voor de kracht A wordt gegeven door de lijn gb, waarvan de ordinaat op de verticale as a aa’=1.
Afb. 20
De invloedslijn voor elke statische grootheid van een statisch bepaalde steun bestaat uit rechte lijnen die overeenkomen met de stijve platen van de geforceerde kinematische keten die ontstaat door de uitsluiting van de gevraagde hoeveelheid. De lijnen snijden elkaar op de verticale punten door momentpunten, of door de punten waar de platen scharnieren. Het gebied dat wordt begrensd door de nullijn, de invloedslijn en twee ordinaten wordt het invloedsgebied genoemd. Dividing (nulpunt van de invloedslijn) verdeelt de positieve en negatieve delen van het invloedsoppervlak.
Aangezien ηm de invloed vertegenwoordigt van de bewegende kracht Pm=1 op de gevraagde grootheid Z, is het Pmηm de invloed van de kracht Pm, terwijl het krachtenstelsel P de invloed Z=∑Pη veroorzaakt. De grenswaarden van de invloed maxZ en minZ worden verkregen wanneer het bewegende systeem van verbonden geconcentreerde krachten zo wordt ingesteld dat de grootste krachten worden vermenigvuldigd met de grootste ordinaten. Wanneer de meest ongunstige positie niet met zekerheid bekend is, moet de invloed van de invloedslijn naast elkaar worden berekend voor verschillende lastposities (iteratief proces).
Voor gedeeltelijk gelijkmatig verdeelde belasting is p t/m Z = _∫_p dx η = pF, waarbij F de gemarkeerde grootte is van het relevante deel van het beïnvloedingsoppervlak. Bij een deellast met beperkte lengte c en een rechte vorm van de invloedslijn (fig. 58) dient de belasting zo te worden ingesteld dat η1 = η2 (c1 = cxi/l; c2 = cx’i/l), dus Z = pc (ηi + η1)/2. Tijdens indirecte lastoverdracht verandert de invloedslijn tussen de ordinaat ηn en ηn+1 in een rechte lijn, fig. 21.
Afb. 21