Važna tehnička i sigurnosna napomena: Ovo je arhivski obrazovni tekst, a ne statički izračun, građevinski projekt ili priručnik o izvedbi. Formule, potporni modeli i crteži preneseni su iz izvornog sadržaja bez stručne provjere ili prilagodbe današnjim propisima. Nosivost, stabilnost, opterećenja, materijale, spojeve i temelje za određeni objekt mora odrediti ovlašteni inženjer građevinarstva na temelju važećih normi, geotehničkih podataka i stvarnog stanja građevine. Ilustracije su edukativne i ne predstavljaju potvrđene projekte Save Kusića.
Statički proračuni i projektiranje nosivih konstrukcija nisu dio nove javne ponude tvrtke. Trenutačni fokus proizvodnje sastoji se od drvenih prozora, drveno-aluminijskih prozora i vrata po narudžbi. Za određeni projekt prozora ili vrata možete poslati zahtjev za ponudu.
Struktura podrške i podjela
Elementi podrške: unutarnja i vanjska stabilnost
Elementi podrške su:
Jednostavne šipke koje mogu prenositi samo vlačne ili tlačne sile čija se linija napada podudara s osi šipke. To znači da su šipke u čvorovima vezane zglobovima gdje nema trenja, te da vanjske sile napadaju čvorove. Oslonci koji se sastoje samo od jednostavnih šipki nazivaju se rešetke.
Štapovi otporni na savijanje - grede - mogu prenositi kako sile čije se linije napada poklapaju s osi štapa, tako i sile čije su linije napada paralelne s osi štapa ili proizvoljno nagnute prema njoj. Na grede djeluju normalne sile, poprečne sile, momenti savijanja i, u danom slučaju, momenti uvijanja. One u čvorovima mogu se vezati šarkama ili krutim kutovima.
Nosači i stezaljke sprječavaju pomicanje nosača prema fiksnim točkama u ravnini ili prostoru. Svaki nosač je sposoban prenijeti silu u određenom smjeru koja prolazi kroz viseći čvor. Ako u poduprtom čvoru postoji samo jedan oslonac - oslonska točka - naziva se pokretni ležaj prostornog oslonca. Ako je čvor poduprt s dva nosača, naziva se nepokretna postelja ravnog nosača ili prostorna nosiva linija. Stacionarni krevet prostorne potpore zahtijeva tri potpore.
Svako ukliještenje šipke otporne na savijanje može prenijeti moment uklještenja koji leži u određenoj ravnini. Za stegu je najčešće spojen nepomični ležaj, tako da kod ravnog nosača postoje dva oslonca i jedna steza, a kod prostornog nosača tri oslonca i tri stege. Na mjestima oslonca i uklještenja mogu se pojaviti pokreti i rotacije određene veličine.
Potreban broj elemenata za stabilnost nosača dobiva se iz uvjeta za unutarnju i vanjsku stabilnost. Oslonac je unutarnje stabilan kada je međuprostorni položaj čvorova nosača osiguran dovoljnim brojem šipki tako da se može mijenjati samo kada neke ili sve šipke promijene duljinu. Unutrašnji stabilni ravni nosač naziva se kruta ploča. Nosač je izvana ili potpuno stabilan kada se međupoložaj čvorova i njihov položaj prema fiksnim točkama ravnine, odnosno prostora može mijenjati samo u mjeri u kojoj se mijenjaju duljine šipki, pomicanje oslonaca ili rotacija stezanja.
Ravne zagrade
Minimalni broj šipki potrebnih za unutarnju stabilnost i minimalni broj šipki i oslonaca potrebnih za vanjsku stabilnost rešetke sa s šipki, a potpora i k čvorova je:
s = 2k – 3
s + a = 2k, (3 ≤ a)
Prvi uvjet je ispunjen kada se oslonac formira počevši od jedne šipke povezivanjem daljnjih čvorova sa po dvije šipke, pri čemu šipke na koje je jedan čvor spojen ne smiju ležati na istoj ravnoj liniji.
Gred sa s1 jednostavnim šipkama, s2 šipkama otpornim na savijanje, e krutim kutovima, a1 nosačima, a2 stezaljkama i k čvorovima je unutarnji, odn. vanjski stabilan kada:
s1 + s2 + e ≥ 2k – 3
s1 + s2 + e + a1 + a2 ≥ 2k, (a=a1 + a2 ≥ 3)
Sl. 1
Svaki kruti kut može se zamijeniti jednostavnom šipkom. Ako je u jednom čvoru i šipki međusobno kruto povezano, broj krutih kutova u tom čvoru je i-1. Kada se prepusti šipki (konzola) računaju kao šipke, slobodni krajevi se trebaju računati kao čvorovi. Nosač na sl. 1 sa s1=9, s2=7, e=5 (označeno na slici) i k=12 je suštinski stabilan. Kada krute kutove 4 i 5 zamijenimo zglobovima i jednostavnim šipkama, koje su na slici označene isprekidanim linijama, tada je s1=11, s2=7, e=3, dok broj čvorova ostaje nepromijenjen.
Sl. 2a i 2b
Ako se u jednom nosaču s potrebnim minimalnim brojem nosača pojedinačne šipke ili kruti kutovi zamijene nosačima ili stezaljkama, nosač gubi svoju unutarnju stabilnost, sl. 2a, b. Za takve nosače postoje i druge mogućnosti testiranja stabilnosti. Ako je p broj krutih ploča nosača bez unutarnje stabilnosti, a treba napomenuti da jedna jednostavna šipka ili šipka otporna na savijanje ispunjava uvjete unutarnje stabilnosti i može se shvatiti kao kruta ploča, a ako je z broj međureakcija u zglobovima, za vanjsku stabilnost je potrebno: a + z ≥ 3p. Broj intermedijarnih reakcija u spoju na koji je ploča pričvršćena (sl. 3, 4, 5) je z=2(_i-_1).
Sl. 3 odnosno 4
Sl. 5
Okvir na sl. 6 je šest puta statički neodređen. Ako se prepusti, koji nemaju utjecaja na stupanj statičke neodređenosti, računaju kao šipke, treba uzeti u obzir i krute kutove kojima su pričvršćeni na sustav, a slobodne krajeve prepusta treba računati kao čvorove (s=7, e=6, a=9, k=8). Za ove vrste nosača, odgovarajući oblik uvjeta za ispitivanje unutarnje i vanjske stabilnosti je:
3_s_ ≥ 3k-3; 3s+a ≥ 3k, (a≥3).
Istovremeno, dodavanja se ne smiju brojati u palicama. Često se u takvim slučajevima najbrže može doći do zaključka o stupnju statičke neodređenosti nosača rezanjem šipki ili isključivanjem statičkih veličina dok ne ostane nedvojbeno stabilan, statički determiniran nosač. S tri odjeljka navedena na sl. 7 tri statičke veličine su isključene (normalna sila, poprečna sila, moment savijanja).
Ako su u jednoj n0-puta statički neodređenoj ravnoj rešetki sve šipke u čvorovima kruto povezane, stupanj statičke neodređenosti je
n = n0 + 2s – k.
Sl. 6
Sl. 7
Razmaknice
Minimalni broj nosača za prostorne rešetke je a=6. Sljedeći uvjeti vrijede za unutarnju i vanjsku stabilnost:
s ≥ 3k – 6; s + a ≥ 3k, (a≥6).
Uvjet za unutarnju stabilnost ispunjen je kada se, počevši od jedne trokutaste ploče, daljnji čvorovi u prostoru povežu sa po tri šipke koje ne smiju ležati u istoj ravnini. Na taj način nastaje prostorna rešetka prve vrste čija je karakteristika da uvijek sadrži barem jedan čvor u kojem su vezane samo tri šipke, te da to svojstvo zadržava čak i kada se taj čvor s pripadajućim šipkama ukloni.
Nadalje, prostorne rešetke mogu se formirati povezivanjem trokutastih ploča na način da su dvije i dvije ploče povezane sa šest šipki, pri čemu je svaki čvor povezan sa susjednim pločama sa po dvije šipke. Spoj dviju ploča ili dviju unutarnjih stabilnih prostornih rešetki može se ostvariti pomoću jedne spojnice i tri šipke koje ne prolaze kroz tu spojnicu. Konačno, tri trokutaste ploče mogu se spojiti šipkama 12 i jednom šipkom 4 između svake ploče. Za unutarnju ili vanjsku stabilnost prostornih oslonaca gdje su sve šipke kruto vezane na savijanje i uvijanje moraju biti ispunjeni uvjeti
6s ≥ 6(k-1); 6s + a ≥ 6k
Stoga, nosač na sl. 8 je 24 puta statički neodređen, što se, kao i prije, može najlakše provjeriti tako da se prerežu četiri vodoravne šipke i tako isključi šest nepoznanica u svakom presjeku (1 normalna sila, 2 transverzalna sila, 2 mmoment savijanja i 1 torzijski moment). Ako uklonimo f spojeve umetanjem zglobova u šipke ili njihove spojeve, tada su uvjeti stabilnosti:
6s – f ≥ 6(k-1); 6s – f + a ≥ 6k.
Sl. 8
Opterećenje i reakcije: statički zadaci
Za ravne oslonce vanjske sile moraju ležati u ravnini oslonca, za prostorne oslonce mogu imati proizvoljan položaj. U slučaju rešetki, pretpostavlja se da se opterećenje primjenjuje u čvorovima.
Aktivne sile uzrokuju otpore vanjskih elemenata, reakcije oslonaca C u osloncima i momente priklještenja E u priklještenjima. Otpori unutarnjih elemenata nosača - sile poprečnog presjeka - su: aksijalne sile S u prostim štapovima; u šipkama otpornim na normalne ili uzdužne sile savijanja i uvijanja N, momente savijanja M, momente uvijanja ili momente torzije T i poprečne sile Q. Otpor elemenata također može uzrokovati promjene temperature i labavljenje nosača.
Dimenzioniranje pojedinih elemenata i određivanje napona koji se u njima pojavljuju je zadatak Otpora materijala. Pri određivanju statičkih vrijednosti primijenjeni materijal je važan samo u onoj mjeri u kojoj o njemu ovisi trajno opterećenje. Ostala svojstva materijala uzimaju se u obzir samo kada je u pitanju utjecaj pomicanja nosača ili promjena temperature (skupljanje, tečenje) ili kada je potrebno izračunati deformacije. Općenito, nosače treba ispitati za različite slučajeve opterećenja koji se ne moraju pojaviti istovremeno (trajno opterećenje, korisno opterećenje, opterećenje vjetrom, opterećenje snijegom). Pod pretpostavkom da su elastične deformacije toliko male da se mogu zanemariti u odnosu na dimenzije sustava - a to je obično slučaj - vrijedi načelo superpozicije prema kojem se mogu posebno ispitivati pojedini slučajevi opterećenja i drugi utjecaji te zbrajati izračunate vrijednosti za statičke ili geometrijske veličine, uz određenu korekciju vrijednosti kroz parcijalne koeficijente sigurnosti za stalna i promjenljiva opterećenja (povoljnih ili nepovoljno).
Statički određene potpore
Nepoznate i dostupne jednadžbe
U jednoj statički određenoj rešetki nepoznata je a reakcija oslonaca i s aksijalne sile, za čije određivanje kada rešetka ima k čvorova, 2_k_ jednadžba (∑X=0 i ∑Y=0) u ravnini i Dostupne su 3k jednadžbe u prostoru. U ravnom nosaču, nepoznanice se mogu svesti na s1 aksijalne sile jednostavnih šipki, s2 normalne sile šipki otpornih na savijanje, e momente savijanja pod krutim kutovima, a1 reakcije potpore i a2 momente stezanja. Poprečne sile treba odrediti iz momenata na krajevima štapova i vanjskih sila koje djeluju između čvorova. U čvoru iz kojeg i kruto spojenih šipki kreće prema susjednim čvorovima dovoljno je znati i-1 mmomenata - što odgovara broju krutih kutova - jer je uvjet ravnoteže ∑M=0 dostupan za određivanje još jednog nepoznatog momenta u svakom takvom čvoru. Za određivanje s1 + s2 + e + a1 + a2 nepoznanica, ostaju 2_k_ uvjeti ravnoteže.
Uvjeti za ravnotežu vanjskih sila na ravnim nosačima
Reakcije pločastih oslonaca koji se oslanjaju na jedan fiksni i jedan pomični ležaj (sl. 9) dobivene su grafički pomoću poligona sila. Napadna linija sile B je poznata i ima smjer oslonca u toj točki, a napadne linija sile Ka mora proći kroz sjecište sila B i P. Računski se iz uvjeta Ma = 0, H = 0 i Mb = 0 postupno određuju sile B, C i A. Oslonac ploče na tri pomična ležaja (sl. 10) ispravan je samo kada se linije napada reakcija ne sijeku u jednoj točki. Reakcije se određuju grafički pomoću poligona sila ili računalno pomoću jednadžbi momenta u odnosu na točke u kojima se sijeku dvije i dvije linije napada sila.
Sl. 9
Sl. 10
Kod statički određenih oslonaca bez unutarnje stabilnosti, osim uvjeta za ravnotežu vanjskih sila u cjelini, uvode se i uvjeti za spojeve koji izražavaju zahtjev da spojevi ne mogu primiti momente savijanja. Dakle, udarna linija reakcije Ka trozglobnog okvira na sl. 11 mora prolazi kroz zglob g, a desna ploča može biti u ravnoteži samo kada se tri sile koje na nju djeluju (P, Kb i sila u zglobu = Ka) sijeku u jednoj točki. Kako bi se dobili uvjeti ravnoteže koji sadrže samo po jednu nepoznanicu, pogodno je izračunati s okomitim komponentama reakcija A i B i komponentama C i D duž crte koja povezuje oslonske točke. Iz uvjeta Mb = 0 i Ma = 0 dobivaju se sile A i B, a iz uvjeta za spoj Mg = 0, za sile koje napadaju lijevu ploču dobiva se sila C, a za sile na desnu ploču sila D. Na sličan način određuju se reakcije okvirnih nosača na sl. 12. Za ovdje navedeno opterećenje, najbrži način za dobivanje rezultata je grafički. Nosač sa spojnicama prema sl. 13. Horizontalne komponente vanjskih sila koje napadaju oslonac prima nepokretni krevet, sila F se dobiva iz ∑H=0. Ploča II leži u točkama g1 i g2 na pločama I i III, a ploča IV na g3 na III. Vertikalne sile u zglobovima G1, G2, G3 i reakcija E određuju se iz uvjeta ravnoteže ploče II ili IV, a zatim se korak po korak određuju reakcije A, B, C i D.
Sl. 11 odnosno 12
Sl. 13
Određivanje unutarnjih statičkih veličina
Aksijalne sile S jednostavnih šipki općenito se smatraju pozitivnima kada su sile zatezanja, a negativnima kada su sile pritiska. Na sličan način se određuje predznak normalne sile N u gredi. Normalna sila Ni u točki i je komponenta paralelna s tangentom na os grede u točki i rezultante R svih sila koje djeluju na gredu s jedne strane točke i. Transverzalna sila Qi je komponenta normalna na os štapa u točki i jednaka je rezultanti, a moment savijanja Mi je moment rezultante (sl. 14). Određivanje veličina N, Q i M provodi se redovito iz pojedinačnih sila i njihovih komponenti paralelno i okomito na os štapa bez određivanja rezultante R. Konvencija pozitivnih smjerova prikazana je na sl. 15.
Sl. 14 odnosno 15
Budući da se reakcije nosača određuju grafički, normalne sile, momenti savijanja i poprečne sile mogu se odrediti iz poligona sila i plana u kojem su sile date položajem. Na primjer, u lijevom stupcu okvira s tri šarke na sl. 11 okomita komponenta sile Ka je normalna sila (negativna), vodoravna komponenta je poprečna sila (negativna), a Mi = Kari moment savijanja, negativan kada se momenti koji uzrokuju napetost iznutra smatraju pozitivnima.
U svakom čvoru gdje su šipke spojene, moraju biti ispunjeni uvjeti ∑X=0, ∑Y=0. Mreže koje se formiraju na najjednostavniji način - spajanjem čvorova s po dvije šipke - uvijek imaju barem jedan čvor u kojem se susreću samo dvije šipke. Uklanjanjem takvih čvorova ova značajka se održava. Proračun aksijalnih sila u štapovima može se provesti postupnim rješavanjem dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.
Grafičko rješenje dobiva se konstruiranjem plana sila (Cremana plan) prema sl. 16. Vanjske sile P1 do P6 su u ravnoteži. Sile u šipkama Si određuju se postupno počevši od točke 1 i idući od čvora do čvora redoslijedom kojim su označeni. Označavanje sila također se vrši prema redoslijedu kojim su utvrđene. Svakom čvoru odgovara poligon sila s neprekinutim smjerom strelice, iz kojeg slijede znakovi sila u štapovima. Ako se napravi presjek kroz nosač i ako se na mjestima gdje su šipke presječene sile koje djeluju u tim šipkama djeluju kao vanjske sile, svaki dio rešetke je u ravnoteži. Na tome je zabilježen Culmannov postupak kojim se sila u proizvoljnom štapu može odrediti grafički neovisno o drugim silama.
Sl. 16
U analitičkom rješavanju problema postavljanja jednadžbi s jednom nepoznanicom od najveće je važnosti Ritterov postupak. Rešetka se reže tako da rezom budu zahvaćena tri štapa. Sile u profilnim šipkama primjenjuju se na svaki dio rešetke kao sile zatezanja, od čvora do presjeka. Uvjeti ravnoteže vrijede za svaki dio rešetke. Sjecište dva i dva štapa koji se sijeku je momentna točka pri određivanju sile u trećem štapu (Ritterova točka). Ako je ri udaljenost sile Si od momentne točke i, a Mi moment aktivnih sila i reakcija oslonaca u odnosu na točku i, tada je sila u štapu dana izrazom
Si = ± Mi/ri
Sl. 17
Sl. 18
Prema sl. 17 i 18 sile u šipkama poprečnog presjeka su:
On = -Mn/rn; Un-1 = Mn-1/rn-1;
Dn = Md/rd; Ln = Mv/rv.
Kada grafička konstrukcija ne pruža dovoljnu točnost, moraju se izračunati položaji trenutnih točaka d i v i udaljenosti rd i rv. Za proračun sila D i L prikladniji su sljedeći izrazi u kojima se samo karakteristične točke mreže pojavljuju kao momentne točke (sl. 19, 18):
D = (Mu/hu – M(o)/ho) * (d/λd), (35)
Ln = ± Ql ± (Mn tgβn + M’n tgγn)/hn.
Za rešetke s paralelnim pojasevima, sile D i L mogu se dobiti izravno iz poprečne sile:
D = Q/sin__φ_; L=__±Q_
Sl. 19
Pokretne linije opterećenja i utjecaja
Ako je nosač opterećen pokretnim opterećenjem, koncentriranim silama na konstantnoj međusobnoj udaljenosti, tada se ispitivanja trebaju provesti na najnepovoljnijim položajima opterećenja. Za jednostavnu gredu na dva oslonca najveća poprečna sila Qmax može se dobiti pomoću A-poligona, a najveći moment savijanja Mmax pomoću lančanog poligona za sustav sila pod kojim se oslonac kreće.
Pri određivanju utjecajne linije za jednu statičku ili geometrijsku veličinu, a za teret Pm=1 koji se kreće po opterećenoj nosivoj traci, za svaki položaj opterećenja m, izračunata vrijednost ηm tražene veličine primjenjuje se pod silom, iz jedne nulte linije. Pravac koji spaja krajnje točke ovih ordinata je crta utjecaja. Utjecajne linije za moment savijanja Mi i poprečnu silu Qi u točki i grede oslonjene u točkama a i b su ravne linije ga i gb čiji su presjeci na okomicama oslonaca aa’ = xi (=M’i za A=1) i bb’ = x’i (=M’‘i za B=1) (sl. 20). Utjecajna linija za silu A dana je linijom gb, čija je ordinata na okomitoj osi a aa’=1.
Sl. 20
Utjecajna linija za svaku statičku veličinu statički određenog nosača sastoji se od pravih linija koje odgovaraju krutim pločama prisilnog kinematičkog lanca stvorenog isključivanjem zahtijevane veličine. Linije se sijeku okomito kroz trenutne točke ili kroz točke u kojima su ploče spojene. Područje omeđeno nul-linijom, utjecajnom linijom i dvjema ordinatama naziva se utjecajno područje. Dividing (nulta točka utjecajne linije) dijeli pozitivne i negativne dijelove utjecajne površine.
Kako ηm predstavlja utjecaj gibajuće sile Pm=1 na traženu veličinu Z, to je Pmηm utjecaj sile Pm, dok sustav sila P uzrokuje utjecaj Z=∑Pη. Granične vrijednosti utjecaja maxZ i minZ dobit će se kada se pokretni sustav povezanih koncentriranih sila postavi tako da se najveće sile pomnože s najvećim ordinatama. Kada najnepovoljniji položaj nije sa sigurnošću poznat, utjecaj utjecajne linije mora se izračunati jedan pored drugog za različite položaje opterećenja (iterativni proces).
Za djelomično jednako raspodijeljeno opterećenje p t/m je Z = _∫_p dx η = pF, gdje je F označena veličina relevantnog dijela utjecajne površine. U slučaju djelomičnog opterećenja ograničene duljine c i ravnog oblika utjecajne linije (sl. 58), opterećenje treba postaviti tako da η1 = η2 (c1 = cxi/l; c2 = cx’i/l), pa Z = pc (ηi + η1)/2. Tijekom neizravnog prijenosa opterećenja, utjecajna linija između ordinata ηn i ηn+1 mijenja se u ravnoj liniji, sl. 21.
Sl. 21