Contingut expert arxivístic: l’article conserva procediments històrics, fórmules, taules i dibuixos en l’àmbit de les estructures estàtiques, però no és un projecte, càlcul estàtic, prova de capacitat de càrrega, plànol de muntatge o valoració d’un edifici existent. Els suports, vans, càrregues, combinacions d’accions, geometria, materials, connexions, estabilitat, fatiga, sismicitat i fases de construcció s’han de determinar per a un objecte concret segons normes vigents. Les estructures de càrrega estan dissenyades i verificades per enginyers autoritzats responsables.
Avui, Savo Kusić se centra en finestres de fusta, finestres de fusta-alumini, finestres personalitzades, porta i sol·licituds de pressupost. Aquest article es manté com a arxiu històric i no representa una oferta de disseny, càlcul o execució d’estructures d’edificis.
Fórmules i marques: les expressions matemàtiques del text s’han transferit digitalment des d’una font escanejada i poden contenir errors tipogràfics o OCR. No s’han d’introduir en un càlcul sense comparar-los amb una font autoritzada, comprovant unitats, senyals, supòsits i condicions de límit.
Feix senzill
Les reaccions de suport, els moments de flexió, les deformacions i els moments estàtics de la superfície M0\ per a alguns casos de càrrega freqüents es mostren a la taula 1.
Càrrega constant amb forces concentrades
Amb càrrega simètrica (Fig.1) el càlcul és més fàcil de realitzar mitjançant dues columnes d’addició en forma de taula. Basat en la relació entre càrrega, força transversal i moment
_Qn = Qn+1+ Pn i Mn+1/_λ _= Mn/_λ + Qn+1
primer es determina la força transversal en el camp n, començant per la força transversal al mig de la biga, i després els moments de flexió en determinats punts a partir del valor Mi/λ.
Fig.1amb taules auxiliars.
Quan la càrrega és asimètrica i les distàncies de força són iguals, les taules següents són adequades per al càlcul (fig.2). Qualsevol càrrega asimètrica pot ser segons la fig.3substituir per una càrrega antimètrica, que sovint és molt útil en el càlcul. En lloc de les forces Pi i P’i en el cas de càrrega simètrica, les forces (Pi+P’i)/2als punts i i i’, i en el cas antimètric de càrrega, la força (Pi-P’i)/2al punt i i força -(Pi-P’i)/2al punt i’. Quan les reaccions de suport es determinen sota càrrega antimètrica, també es poden determinar a la taula les forces transversals i els moments de flexió.
Fig. 2.
Fig. 3.
Càrrega en moviment
El moment flector a la ubicació i s’obté gràficament utilitzant el polígon de força i el polígon de cadena per a una càrrega determinada. Es pot dibuixar un polígon en cadena tal com es mostra a la fig.4. Per tal de determinar la posició més desfavorable de la càrrega del moment al lloc i, el suport es mou sota la càrrega (Fig.5) fins que es determina el valor max η__i, a partir del qual s’obté max_Mi_ = H * max_η__i_. La força transversal més gran al punt i s’obté quan es mou la càrrega de manera que la primera força arribi al punt i. Es pot obtenir a partir del polígon de forces de la fig.6: max_Oi_ =1_/l_ * ∑Pibi. El polígon A és un polígon en cadena amb espai entre pols H = l, dibuixat per a un sistema mòbil de forces concentrades quan la primera força es troba sobre el suport b.
Fig. 4.
Fig.5.
Fig.6.
Càrregues mòbils: la selecció de la posició rellevant i la combinació de càrregues mòbils depèn de la finalitat de l’estructura, el model d’acció, les influències dinàmiques i la normativa aplicable. El procediment gràfic històric no és una prova suficient de l’estat més desfavorable de la construcció moderna.
Suport amb juntes
Càrrega constant
En primer lloc, les reaccions dels suports i les forces a les articulacions es determinen a partir de les condicions d’equilibri i les condicions de les articulacions. A continuació, es poden determinar els moments de flexió i les forces transversals per a plaques de suport individuals com per a bigues simples o bigues amb voladissos. Sl.7mostra el resultat de carregar tres plaques amb forces concentrades. La línia de forces transversals passa per sobre de les articulacions com a constant, i la línia del moment sense trencaments, si no hi ha força concentrada a l’articulació.
Fig.7.
Per a una càrrega igualment distribuïda sobre tot el suport, s’obtenen unes grans diferències entre els moments sobre els suports i els moments màxims en els camps, segons les relacions d’envergadura i la posició de les juntes, fig.8. Si es tracta de suports amb juntes amb més de dues obertures (fig.9) i amb rangs iguals l dels camps mitjans escolliu el rang de camps finals l1=0,8535_l_ i posició conjunta c=0,1465_l_, llavors amb una càrrega igualment distribuïda, s’obté que els valors límit dels moments sobre els suports i en els camps són mútuament iguals, M=0,0625_gl_2. Si els camps finals també tenen un rang de l, aleshores max_M_= per a ells0,0957_gl_2.
Fig.8.
Fig.9.
Línies d’influència
Segons la fig. 10 les línies d’influència per a Mi i Qi entre els punts a i b són les mateixes que les línies d’influència d’un feix simple. El curs posterior de la línia d’influència ve determinat per la posició dels suports i juntes que representen els pols principals i intermedis de la cadena cinemàtica creada eliminant la quantitat estàtica en el punt i. De manera similar, les línies d’influència per a Mr i Qr es determinen a partir de la biga recolzada als punts g1 i c. La càrrega de la biga amb voladís a la part ag1 no té cap efecte sobre els moments i les forces transversals al punt r. Les línies d’influència dels moments i les forces transversals en els punts de volada (k i v) s’obtenen amb més facilitat quan es determinen les ordenades de la posició de la càrrega a l’articulació.
Fig. 10.
Model de suports i juntes: la rigidesa real de les juntes, l’assentament dels suports, els espais lliures, la fricció, les imperfeccions i l’ordre de muntatge poden canviar la distribució de forces en comparació amb el model idealitzat. Els supòsits s’han de relacionar amb els detalls de la construcció i s’han de comprovar per a totes les fases rellevants.
Arc de tres articulacions
En la càrrega arbitrària de l’arc en tres juntes, les reaccions dels suports es poden determinar gràficament. R1 resultant de forces actives que segons la fig. 11 que actua sobre la placa esquerra ha d’estar en equilibri amb la reacció Kb1, la línia d’atac de la qual ha de passar per l’articulació g, i la reacció Ka1. De la mateixa manera, hi ha Ka2 i Kb2, a causa de R2. Amb l’acció simultània R1 i R2 s’obtenen mitjançant el desplaçament paral·lel i l’apilament de les forces de reacció finals Ka i Kb i la pressió d’articulació G.
Fig.11.
Amb la solució analítica, és convenient realitzar el càlcul especialment per a càrregues horitzontals i especialment per a càrregues verticals.
Càrrega horitzontal
La càrrega horitzontal de la fig.12provoca reaccions
Fig.12.
on C i D són els components de la reacció en la direcció que uneixen els punts a i b. ∑H = C*cos_a_ – D_cos_a + ∑W =0. Les forces de tall en el seu lloc són:
Ni = -Asin__φ__i – Ccos(φ__i-a) – Wmcos__φ__i_,_
Qi = +Acos__φ__i – Csin(φ__i-a) – Wmsin__φ__i,
Mi = A__x__i _– Ccosa*_y__i – Wm(hi-hm).
Càrrega vertical
La càrrega vertical de l’arc sobre les tres juntes de la fig.13provoca reaccions A0i B0, que són iguals a les reaccions d’un feix simple d’envergadura l, i l’empenta horitzontal C=cosa = Dcosa = H = Mg0/f (1), on Mg0 moment en una biga simple a la secció g. Amb components verticals C i D les components verticals finals de les reaccions són A = A0 + H_tg_a; B = B0 – H_tg_a. Si l’eix de l’arc és una paràbola quadrada, yi = f xi x’i/la lb, aleshores per a una càrrega completa igualment dividida g t/m (Fig.14) Mi=0, Qi=0.
Fig.13.
Fig.14.
Línies d’influència
Línies d’influència per a les reaccions A0 i B0 són les mateixes que les línies d’influència d’un feix simple. La línia d’influència per a l’empenta horitzontal H s’obté segons l’equació (1) a partir de la línia d’influència per al moment Mg0 de la biga simple, fig. 15. La línia d’influència per al moment flector Mi consta de les línies d’influència amb Mi0 i H, on aquesta última es multiplica per -yi. Aquestes dues línies influents es superposen a la recta ab’ com una línia zero, a partir de la qual es dibuixen les seccions aa’ = xi i bb’ = -lb yi/f. La diferència mostrada pel moviment ai’g’b representa la línia d’influència final per a Mi. El divisor o punt zero de la línia d’influència corresponent al pol principal de la placa ig s’obté per la intersecció de les línies ai i bg. També es pot utilitzar per a la construcció de la línia d’influència, on s’introdueix una biga simple de llum a – n. En el cas d’un arc l’eix del qual és una paràbola quadrada, la càrrega igualment distribuïda no provoca moments de flexió, de manera que l’àrea total de la línia d’influència ha de ser igual a zero.
Fig. 15.
A la fig. Les línies d’influència 16 per a Qi i Ni es van obtenir mitjançant la superposició corresponent de línies d’influència per a Qi0 i H. Respecte a ab’ com a línia zero, ambdues línies d’influència són en aquest cas les línies d’influència d’un feix simple. Per a la construcció o control de línies influents, es poden utilitzar aquí les seccions nQ i nN de la línia bg i la línia traçada a través d’a en paral·lel, respectivament. normal a la tangent que sobreposa l’angle φ__i amb l’horitzontal. En el cas d’un arc parabòlic amb tres articulacions, l’àrea total de la línia d’influència de la força transversal ha de ser igual a zero.
Fig. 16.
Arcs i empenta horitzontal: la posició de les juntes, la geometria de l’eix, la rigidesa de la fonamentació i l’acceptació de reaccions horitzontals són determinants per al comportament del sistema. Canviar la fase de suport, tensió, penjador o muntatge pot canviar el flux de forces; un dibuix històricament idealitzat no és suficient per a l’execució o la rehabilitació.
Arc endurit amb una biga i un suport penjant
Càrrega vertical
Reaccions verticals durant la càrrega vertical de plaques rígides de suports d’arc determinats estàticament endurits amb una biga, suports penjants i arcs en tres juntes i tensió a la Fig.17a a f s’obtenen a partir de les equacions A0 =1/l * ∑Pnbn i B0 =1/l * ∑Pnan quan es posa A per als sistemes a i d_0 = A+K’‘l, B0 = B+K’’r i per a altres sistemes A = A0, B=B0. Aleshores, les reaccions A i B per als sistemes a i d es determinen a partir de:
A = A0 - K’’l = A0 – H(tgal-tg__δ)
B = B0 – K’’r = B0 – H(tgar+tg__δ)
Fig.17.
Per als sistemes a, d, e i f, la reacció horitzontal és C=0, i per al sistema b és E=0. L’empenta horitzontal, o la tensió horitzontal H del sistema a a d, la component horitzontal de la força en l’arc del sistema e i la força en la tensió del sistema f es determinen a partir de l’equació (1). La taula següent conté una visió general de les reaccions dels suports i les forces a les barres Sn i Zn per a sistemes individuals.
Càrrega horitzontal
Si una força horitzontal W actua sobre les plaques a una distància c de l’articulació g (fig.17i e) les reaccions de suports que provoca són:
Línies d’influència
Les línies d’influència per a les forces de tall s’obtenen a partir de la similitud en el comportament d’aquests sistemes i un simple arc de tres frontisses. Per a un arc de pal amb una biga de reforç sota l’arc (biga de Langer) a la fig.18Es mostren les línies influents per a U2, D4 i L4. Força al pal U2 s’obté a partir del moment puntual2cinturó superior: U2 = M2/h. A partir de la condició ∑V=0obtenim D4 = Q40/sin__φ – Mg0/f això4/son__φ. També de la condició ∑V=0segueix (càrrega al cinturó inferior) L4 = -Q50+ Mg0/f * això4.
Fig.18.
Si els nusos d’un arc de tres articulacions amb una biga de reforç sòlida (fig.19) es troben sobre una paràbola quadrada i si la junta es troba a l’eix de la biga, aleshores amb una càrrega igualment distribuïda g t/m els moments de flexió són M=0en llocs de penjadors, i M=g__λ__2/8al mig del camp entre els penjadors.
Fig.19.
Penjadors, tensors i rigiditzadors: aquests elements i les seves connexions poden ser sensibles a imperfeccions, tensions secundàries, fatiga, corrosió, pèrdua de pretensió i condicions de muntatge. La seva substitució, enduriment o retirada no es duu a terme sense un projecte estatal provisional i definitiu.
Suports de marc
Fig.20.
Sl.20mostra el diagrama de moments d’un marc de tres frontisses amb voladissos i bigues suspeses a causa d’una càrrega completa igualment distribuïda. La línia d’influència del moment Me s’obté a partir de l’expressió Me=-Hh + Mk, per superposició de la línia d’influència per a l’empenta horitzontal H (amb el multiplicador -h) i per al moment flexionant Mk sobre l’encavalcament.
En el cas de la càrrega no simètrica de suports simètrics, sovint es pot simplificar el càlcul dividint la càrrega en càrrega simètrica i antisimètrica, fig.21. Això és especialment cert per als suports del marc de la fig.22i23, que mostren els diagrames de moments deguts a la força concentrada en un punt arbitrari del suport superior. La càrrega horitzontal a l’alçada de la bigueta es pot entendre com a antimètrica. Atès que la càrrega horitzontal del puntal secundari es pot considerar com una càrrega virtual per al càlcul dels desplaçaments horitzontals del puntal secundari, es pot concloure immediatament a partir del moment de les superfícies cap a quin costat es mou el puntal secundari durant la càrrega vertical. Aquests desplaçaments s’obtenen combinant estats d’equilibri antimètrics. Per tant, per als casos de la fig.22i23el subratllat es mou cap a la dreta.
Fig.21.
Fig.22.
Fig.23.
Estructures i desplaçaments: la conclusió de la direcció del desplaçament a partir d’un diagrama idealitzat no substitueix la comprovació de deformacions, efectes de segon ordre, estabilitat, rigidesa d’unions, fonamentacions i elements no portants. Els estats límit de càrrega i de servei es comproven al model complet.
Quadrícules espacials
Fig.24.
Cúpula de Schwedler (fig.24) i una piràmide de quadrícula amb vora (Fig.25), com a cas especial de la cúpula de Schwedler on els meridians no tenen trencaments, amb m pisos i n costats, consisteixen en m*n varetes meridionals S, (m+1)n varetes d’anells R i m*n varetes diagonals D. Com el nombre de nodes k=(m+1El suport )n es determina estàticament quan el nombre de suports a =3k-s =2n, és a dir, quan cada base del tema es recolza sobre un centre de gravetat lineal amb suport vertical i horitzontal. Si cauen les barres de l’anell inferior, cal un coixinet estacionari amb tres suports a cada vèrtex. S’ha d’examinar la usabilitat de la disposició dels suports horitzontals. Les direccions de suport a la fig.26s’han triat incorrectament perquè és possible dibuixar un plànol de pals no contradictori.
Fig.25.
Els trapezis formats per varetes de meridians i varetes d’anells es poden endurir amb farciment de K. Els nodes resultants s’han de considerar com a nodes d’una gelosia plana. Les càrregues només es poden transferir a través dels nodes principals. La càrrega vertical P que ataca al node es descompondrà en una component _Ks=Ps/_λ en la direcció del meridià i en una component horitzontal _H=Pa/_λ. La component horitzontal es descomposa encara més en components en la direcció de les barres d’anell _Kl=Hc/a=Pc/_λ _i Kr=Hb/a=Pb/_λ.
De la mateixa manera, es determinen les components Kl i Kr de la força horitzontal arbitrària W, de manera que l’esquema de càrrega mostrat a la fig.27. Els components X en direcció a les barres del meridian no es mostren a la imatge.
Fig.26i27, respectivament.
Quan el suport i la càrrega P són cíclicament simètrics, aleshores les forces Kl són iguals a les forces Kr, de manera que les diagonals no estan tensades mentre que les forces a les barres meridianes són:
_S1= -P1s/_λ; S2= -(Pàg1+P2)s/λ; S3= -(Pàg1+P2+P3)s/λ
i a les vares de l’anell:
_Ri = Pib/_λ
El càlcul de la cúpula de Schwedler es pot fer de la mateixa manera quan cada pis s’entén com una piràmide de gelosia. A part de les forces actives P i W, les forces a les barres S i D del pis superior s’han d’introduir com a forces externes, respectivament. els seus components en la direcció de la vareta meridià i les varetes de l’anell. Mentre que a la piràmide de gelosia la influència d’una força concentrada només es nota a les varetes de dues plaques adjacents, en el cas de la cúpula de Schwedler, la seva influència s’estén a un nombre significativament més gran de varetes. A la fig.24es marquen les varetes que estan tensades a causa de la força P a l’anell del vèrtex.
Encavallades i cúpules espacials: l’estabilitat d’aquests sistemes depèn del funcionament espacial, suport, imperfeccions geomètriques, pandeig de varetes, rigidesa dels nodes, compliment temporal i seqüència de muntatge. Un esbós pla o una equació individual no demostra l’estabilitat global, la reserva de càrrega o la seguretat durant l’aixecament.