स्टैटिक्स का अनुप्रयोग: बीम, मेहराब और ट्रस

अभिलेख विशेषज्ञ सामग्री: लेख स्थैतिक संरचनाओं के क्षेत्र में ऐतिहासिक प्रक्रियाओं, सूत्रों, तालिकाओं और चित्रों को संरक्षित करता है, लेकिन यह एक परियोजना, स्थैतिक गणना, भार क्षमता का प्रमाण, असेंबली योजना या मौजूदा इमारत का मूल्यांकन नहीं है। वैध मानकों के अनुसार किसी विशिष्ट वस्तु के लिए समर्थन, विस्तार, भार, क्रियाओं का संयोजन, ज्यामिति, सामग्री, कनेक्शन, स्थिरता, थकान, भूकंपीयता और निर्माण चरण निर्धारित किए जाने चाहिए। लोड-बेयरिंग संरचनाओं को जिम्मेदार अधिकृत इंजीनियरों द्वारा डिजाइन और जांचा जाता है।

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सूत्र और चिह्न: पाठ में गणितीय अभिव्यक्तियों को स्कैन किए गए स्रोत से डिजिटल रूप से स्थानांतरित किया गया है और इसमें टाइपोग्राफ़िकल या ओसीआर त्रुटियां हो सकती हैं। उन्हें किसी आधिकारिक स्रोत से तुलना किए बिना, इकाइयों, संकेतों, मान्यताओं और सीमा स्थितियों की जांच किए बिना गणना में शामिल नहीं किया जाना चाहिए।

सरल किरण

समर्थन प्रतिक्रियाएँ, झुकने के क्षण, विकृतियाँ और स्थिर क्षण एम0कुछ बार-बार होने वाले लोड मामलों के लिए -क्षेत्र तालिका में दिए गए हैं1.

संकेंद्रित बलों के साथ लगातार भार

सममित लोडिंग के साथ (चित्र।1) the calculation is easiest to carry out through two addition columns in the form of a table. भार, अनुप्रस्थ बल और क्षण के बीच संबंध के आधार पर

_Qn = Qn+1+ पीएन और एमएन+1/_λ _= Mn/_λ + Qn+1

क्षेत्र n में अनुप्रस्थ बल पहले निर्धारित किया जाता है, बीम के मध्य में अनुप्रस्थ बल से शुरू होता है, और फिर कुछ बिंदुओं पर झुकने का क्षण मान Mi/λ. से शुरू होता है।

चित्र। 1 सहायक तालिकाओं के साथ.

जब भार असममित होता है और बल की दूरी समान होती है, तो निम्नलिखित तालिकाएँ गणना के लिए उपयुक्त होती हैं (चित्र। 2)। कोई भी असममित भार चित्र के अनुसार हो सकता है। 3 को एक एंटीमेट्रिक लोड से बदलें, जो अक्सर गणना में बहुत उपयोगी होता है। बलों Pi और P’i के बजाय, सममित लोडिंग के मामले में, बल (Pi+P’i)/2 बिंदु i और i’ में दिखाई देते हैं, और एंटीमेट्रिक लोडिंग के मामले में, बल (Pi-P’i)/2 बिंदु i और बल में दिखाई देते हैं -(Pi-P’i)/2 बिंदु i’ में। जब समर्थन प्रतिक्रियाएं एंटीमेट्रिक लोडिंग के तहत निर्धारित की जाती हैं, तो अनुप्रस्थ बल और झुकने वाले क्षण भी तालिका में निर्धारित किए जा सकते हैं।

चित्र। 2.

अंजीर।3.

गतिशील भार

किसी दिए गए भार के लिए बल बहुभुज और श्रृंखला बहुभुज का उपयोग करके स्थान i पर झुकने का क्षण ग्राफिक रूप से प्राप्त किया जाता है। जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, एक श्रृंखला बहुभुज खींचा जा सकता है।4. स्थान i पर इस समय भार की सबसे प्रतिकूल स्थिति निर्धारित करने के लिए, समर्थन को भार के नीचे ले जाया जाता है (चित्र)।5) जब तक मान max η__i निर्धारित नहीं हो जाता, जिससे max_Mi_ = H * max_η__i_ प्राप्त होता है। बिंदु i पर सबसे बड़ा अनुप्रस्थ बल तब प्राप्त होता है जब भार को स्थानांतरित किया जाता है ताकि पहला बल बिंदु i तक पहुंच जाए। इसे अंजीर में बलों के बहुभुज से प्राप्त किया जा सकता है।6: max_Oi_ =1_/l_ * ∑Pibi. A-polygon is a chain polygon with pole spacing H = l, drawn for a moving system of concentrated forces when the first force is located over support b.

अंजीर।4.

चित्र। 5.

अंजीर।6.

चल भार: प्रासंगिक स्थिति का चयन और गतिशील भार का संयोजन संरचना के उद्देश्य, कार्रवाई के मॉडल, गतिशील प्रभावों और वैध नियमों पर निर्भर करता है। ऐतिहासिक ग्राफिक प्रक्रिया आधुनिक निर्माण की सबसे प्रतिकूल स्थिति का पर्याप्त प्रमाण नहीं है।

जोड़ों के साथ ब्रैकेट

लगातार लोड

सबसे पहले, जोड़ों में समर्थन और बलों की प्रतिक्रियाएं संतुलन की स्थिति और जोड़ों की स्थितियों से निर्धारित होती हैं। फिर, व्यक्तिगत समर्थन प्लेटों के लिए झुकने वाले क्षणों और अनुप्रस्थ बलों को साधारण बीम, या ओवरहैंग वाले बीम के रूप में निर्धारित किया जा सकता है। क्र.सं.7संकेंद्रित बलों के साथ तीन प्लेटों को लोड करने का परिणाम दिखाता है। अनुप्रस्थ बलों की रेखा जोड़ों के ऊपर से एक स्थिरांक के रूप में गुजरती है, और यदि जोड़ में कोई संकेंद्रित बल नहीं है, तो क्षण रेखा बिना टूटे गुजरती है।

अंजीर।7.

पूरे समर्थन पर समान रूप से वितरित भार के लिए, स्पैन अनुपात और जोड़ों की स्थिति के अनुसार, समर्थन पर क्षणों और क्षेत्रों में अधिकतम क्षणों के बीच कुछ बड़े अंतर प्राप्त होते हैं, अंजीर।8. यदि दो से अधिक खुलेपन वाले जोड़ों वाले समर्थन के मामले में (चित्र)।9) और मध्य क्षेत्रों की समान श्रेणियों l के साथ अंतिम क्षेत्रों की श्रेणी चुनें l1=0,8535_l_ और संयुक्त स्थिति c=0,1465_एल_, फिर समान रूप से वितरित भार के साथ, यह प्राप्त होता है कि समर्थन पर और क्षेत्रों में क्षणों के सीमा मान परस्पर बराबर हैं, एम=0,0625_gl_2. यदि अंतिम फ़ील्ड की सीमा भी l है, तो उनके लिए max_M_= है0,0957_gl_2.

अंजीर।8.

अंजीर।9.

प्रभाव रेखाएँ

अंजीर के अनुसार.10बिंदु a और b के बीच Mi और Qi के लिए प्रभाव रेखाएं एक साधारण किरण के प्रभाव की रेखाओं के समान होती हैं। प्रभाव रेखा का आगे का मार्ग समर्थन और जोड़ों की स्थिति से निर्धारित होता है जो बिंदु i पर स्थिर मात्रा को हटाकर बनाई गई गतिज श्रृंखला के मुख्य ध्रुवों और मध्यवर्ती ध्रुवों का प्रतिनिधित्व करते हैं। इसी तरह, Mr और Qr के लिए प्रभाव रेखाएं g बिंदु पर समर्थित बीम से शुरू करके निर्धारित की जाती हैं1 और सी. ag भाग पर ओवरहैंग के साथ बीम का भार1 का बिंदु r पर क्षणों और अनुप्रस्थ बलों पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। Influence lines for moments and transverse forces at the overhang points (k and v) are most easily obtained when the ordinates for the position of the load in the joint are determined.

अंजीर।10.

Model of supports and joints: actual stiffness of joints, settlement of supports, clearances, friction, imperfections and sequence of assembly can change the distribution of forces compared to the idealized model. मान्यताओं का निर्माण विवरण के साथ मिलान किया जाना चाहिए और सभी प्रासंगिक चरणों के लिए सत्यापित किया जाना चाहिए।

तीन जोड़ों पर झुकना

With arbitrary loading of the arch on three joints, the reactions of the supports can be determined graphically. परिणामी_आर1_सक्रिय बल जो चित्र के अनुसार।11बायीं प्लेट पर क्रिया को प्रतिक्रिया Kb के साथ संतुलित करना चाहिए1, जिसकी आक्रमण रेखा संयुक्त जी से होकर गुजरनी चाहिए, और प्रतिक्रिया का से1. इसी प्रकार का भी हैं2 और केबी2, आर के कारण2. R के एक साथ प्रभाव से1 और _आर2_अंतिम प्रतिक्रिया बलों Ka और Kb और संयुक्त दबाव G के समानांतर विस्थापन और स्टैकिंग द्वारा प्राप्त किए जाते हैं।

अंजीर।11.

विश्लेषणात्मक समाधान के साथ, विशेष रूप से क्षैतिज और विशेष रूप से ऊर्ध्वाधर भार के लिए गणना करना सुविधाजनक है।

क्षैतिज भार

अंजीर में क्षैतिज भार।12प्रतिक्रियाओं का कारण बनता है

अंजीर।12.

where C and D are the reaction components in the direction joining the points a and b. ∑H = C*cos_a_ – D_cos_a + ∑W =0. स्थान पर कतरनी बल हैं:

Ni = -Asin__φ__i – Ccos(φ__i-a) – Wmcos__φ__i_,_

Qi = +Acos__φ__i – Csin(φ__i-a) – Wmsin__φ__i,

Mi = A__x__i _– Ccosa*_y__i – Wm(hi-hm).

लंबवत भार

चित्र में तीन जोड़ों पर आर्च का ऊर्ध्वाधर भार। 13 प्रतिक्रियाओं A0 और B0 का कारण बनता है, जो स्पैन l के सरल बीम की प्रतिक्रियाओं के बराबर हैं, और क्षैतिज जोर C=cosa = Dcosa = H = Mg0/f (1), जहां Mg0 पर क्षण है अनुभाग जी में सरल बीम। ऊर्ध्वाधर घटकों C और D के साथ प्रतिक्रियाओं के अंतिम ऊर्ध्वाधर घटक A = A0 + H_tg_a हैं; B = B0 – H_tg_a. यदि मेहराब की धुरी एक वर्गाकार परवलय है, yi = f xi x’i/la lb, तो समान रूप से विभाजित पूर्ण भार g t/m के लिए (चित्र 14) Mi=0, Qi=0.

चित्र। 13.

चित्र। 14.

प्रभाव रेखाएँ

प्रतिक्रियाओं के लिए प्रभाव रेखाएं A0 और B0 एक साधारण किरण की प्रभाव रेखाओं के समान हैं। क्षैतिज जोर H के लिए प्रभाव रेखा सरल किरण के क्षण Mg0 के लिए प्रभाव रेखा से समीकरण (1) के अनुसार प्राप्त की जाती है, अंजीर। 15. झुकने वाले क्षण के लिए प्रभाव रेखा Mi में Mi0 और H वाली प्रभाव रेखाएं शामिल होती हैं, जहां बाद वाले को -yi से गुणा किया जाता है। इन दो प्रभावशाली रेखाओं को सीधी ab’ पर एक शून्य रेखा के रूप में लगाया जाता है, जिससे अनुभाग aa’ = xi और bb’ = -lb yi/f खींचे जाते हैं। ai’g’b चाल द्वारा दिखाया गया अंतर Mi के लिए अंतिम प्रभाव रेखा को दर्शाता है। प्लेट ig के मुख्य ध्रुव के अनुरूप प्रभाव रेखा का विभाजक या शून्य बिंदु रेखाओं ai और bg के प्रतिच्छेदन द्वारा प्राप्त किया जाता है। इसका उपयोग प्रभाव रेखा के निर्माण के लिए भी किया जा सकता है, जहां स्पैन a - n का एक सरल बीम पेश किया जाता है। एक आर्च के मामले में जिसकी धुरी एक वर्गाकार परवलय है, समान रूप से वितरित भार झुकने वाले क्षणों का कारण नहीं बनता है, इसलिए प्रभाव रेखा का कुल क्षेत्रफल शून्य के बराबर होना चाहिए।

चित्र। 15.

अंजीर में। Qi और Ni के लिए 16 प्रभाव रेखाएं Qi0 और H के लिए प्रभाव रेखाओं के संगत सुपरपोजिशन द्वारा प्राप्त की गईं। शून्य रेखा के रूप में ab’ के संबंध में, प्रभाव की दोनों रेखाएं इस मामले में एक साधारण किरण के प्रभाव की रेखाएं हैं। प्रभावशाली रेखाओं के निर्माण या नियंत्रण के लिए, रेखा bg के खंड nQ और nN और समानांतर में a के माध्यम से खींची गई रेखा का उपयोग यहां क्रमशः किया जा सकता है। स्पर्शरेखा का अभिलंब जो क्षैतिज के साथ कोण φ__i को ओवरलैप करता है। तीन जोड़ों वाले परवलयिक मेहराब के मामले में, अनुप्रस्थ बल के लिए प्रभाव रेखा का कुल क्षेत्रफल शून्य के बराबर होना चाहिए।

चित्र। 16.

मेहराब और क्षैतिज जोर: जोड़ों की स्थिति, अक्ष की ज्यामिति, नींव की कठोरता और क्षैतिज प्रतिक्रियाओं की स्वीकृति प्रणाली के व्यवहार के लिए महत्वपूर्ण हैं। समर्थन, तनाव, हैंगर या माउंटिंग चरण को बदलने से बलों का प्रवाह बदल सकता है; एक ऐतिहासिक रूप से आदर्शीकृत ड्राइंग निष्पादन या पुनर्वास के लिए पर्याप्त नहीं है।

एक बीम और लटकते ब्रैकेट के साथ कड़ा हुआ आर्क

लंबवत भार

स्थिर रूप से निर्धारित आर्च सपोर्ट की कठोर प्लेटों की ऊर्ध्वाधर लोडिंग के दौरान ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रियाएं एक बीम के साथ कठोर होती हैं, तीन जोड़ों पर लटकते समर्थन और मेहराब और चित्र में तनाव।17a से f समीकरण A से प्राप्त होते हैं0=1/l * ∑Pnbn और B0=1/l * ∑Pnan जब A को सिस्टम a और d के लिए रखा जाता है0_ = ए+के’‘एल, बी0 = B+K’’r और अन्य प्रणालियों के लिए A = A0, बी=बी0. सिस्टम a और d के लिए प्रतिक्रियाएं A और B तब से निर्धारित की जाती हैं:

ए = ए0 - K’’l = ए0 – H(tgal-tg__δ)

बी = बी0 – K’’r = B0 – H(tgar+tg__δ)

अंजीर।17.

सिस्टम a, d, e और f के लिए, क्षैतिज प्रतिक्रिया C= है0, और सिस्टम के लिए b E= है0. क्षैतिज जोर, या सिस्टम a से d का क्षैतिज तनाव H, सिस्टम के चाप में बल का क्षैतिज घटक e और सिस्टम के तनाव में बल f समीकरण के आधार पर निर्धारित किया जाता है (1). निम्नलिखित तालिका में व्यक्तिगत प्रणालियों के लिए छड़ Sn और Zn में समर्थन और बलों की प्रतिक्रियाओं का अवलोकन शामिल है।

क्षैतिज भार

यदि एक क्षैतिज बल W जोड़ g से c दूरी पर प्लेटों पर कार्य करता है (चित्र)।17और ई) समर्थन की प्रतिक्रियाएं जो इसके कारण होती हैं वे हैं:

प्रभाव रेखाएँ

अपरूपण बलों के लिए प्रभाव रेखाएँ इन प्रणालियों के व्यवहार में समानता और एक साधारण तीन-टिका वाले मेहराब के आधार पर प्राप्त की जाती हैं। अंजीर में आर्च (लैंगर बीम) के नीचे एक सख्त बीम के साथ एक छड़ी आर्च के लिए।18_U के लिए प्रभावशाली पंक्तियाँ दिखाई गई हैं2_, डी4 और एल4. छड़ी में बल _U2_बिंदु क्षण से प्राप्त होता है2ऊपरी बेल्ट: यू2 = एम2/एच। शर्त से ∑V=0हमें D मिलता है4 = Q40/sin__φ –एमजी0/f वह4/बेटा__φ. शर्त ∑V= से भी0इस प्रकार है (निचले बेल्ट पर लोड) एल4 = -प्र50+ एमजी0/f * वह4.

अंजीर।18.

यदि एक ठोस सख्त बीम के साथ तीन-संयुक्त आर्क के नोड्स (चित्र।19) एक वर्गाकार परवलय पर लेटें और यदि जोड़ बीम की धुरी में स्थित है, तो समान रूप से वितरित भार g t/m के साथ झुकने वाले क्षण M= हैं0हैंगर के स्थानों में, और M=g__λ__2/8हैंगरों के बीच मैदान के बीच में।

अंजीर।19.

हैंगर, टेंशनर और स्टिफ़नर: ये तत्व और उनके कनेक्शन खामियों, माध्यमिक तनाव, थकान, क्षरण, प्रीस्ट्रेस की हानि और असेंबली स्थितियों के प्रति संवेदनशील हो सकते हैं। उनका प्रतिस्थापन, कसना या हटाना एक अस्थायी और अंतिम राज्य परियोजना के बिना नहीं किया जाता है।

फ़्रेम समर्थन करता है

अंजीर।20.

क्र.सं.20समान रूप से वितरित पूर्ण भार के कारण ओवरहैंग और निलंबित गर्डर्स के साथ तीन-हिंग वाले फ्रेम का क्षण आरेख दिखाता है। क्षण Me के लिए प्रभाव रेखा क्षैतिज जोर H (गुणक -h के साथ) और ओवरहैंग पर झुकने वाले क्षण Mk के लिए प्रभाव रेखा के सुपरपोजिशन द्वारा अभिव्यक्ति Me=-Hh + Mk के आधार पर प्राप्त की जाती है।

सममित समर्थनों के गैर-सममित लोडिंग के मामले में, लोड को सममित और विरोधी-सममित लोडिंग, अंजीर में विभाजित करके गणना को अक्सर सरल बनाया जा सकता है।21. यह अंजीर में फ्रेम समर्थन के लिए विशेष रूप से सच है।22और23, जो ऊपरी समर्थन के एक मनमाने बिंदु पर केंद्रित बल के कारण क्षण आरेख दिखाता है। जॉयस्ट की ऊंचाई पर क्षैतिज भार को एंटीमेट्रिक के रूप में समझा जा सकता है। चूंकि उप-स्ट्रट के क्षैतिज विस्थापन की गणना के लिए उप-स्ट्रट के क्षैतिज भार को आभासी भार के रूप में माना जा सकता है, इसलिए ऊर्ध्वाधर भार के दौरान उप-स्ट्रट किस तरफ जाता है, इसकी क्षण सतहों से तुरंत निष्कर्ष निकाला जा सकता है। ये विस्थापन एंटीमेट्रिक संतुलन अवस्थाओं को मिलाकर प्राप्त किए जाते हैं। इसलिए, अंजीर में मामलों के लिए।22और23अंडरलाइन दाईं ओर चलती है।

अंजीर।21.

अंजीर।22.

अंजीर।23.

फ़्रेम और विस्थापन: एक आदर्श आरेख से विस्थापन की दिशा का निष्कर्ष विकृतियों, दूसरे क्रम के प्रभावों, स्थिरता, जोड़ों की कठोरता, नींव और गैर-असर वाले तत्वों की जाँच को प्रतिस्थापित नहीं करता है। संपूर्ण मॉडल पर लोड-वहन और सेवाक्षमता सीमा की स्थिति की जाँच की जाती है।

स्थानिक ग्रिड

अंजीर।24.

श्वेडलर का गुंबद (अंजीर।24) और एक हेम्ड ग्रिड पिरामिड (अंजीर)।25), श्वेडलर के गुंबद के एक विशेष मामले के रूप में जहां मेरिडियन का कोई टूटना नहीं है, m फर्श और n किनारों के साथ, m*n मेरिडियनल छड़ें S, (m+) से बनी होती हैं1)n छल्लों की छड़ें R और m*n विकर्ण छड़ें D. नोड्स की संख्या के रूप में k=(m+1)n समर्थन सांख्यिकीय रूप से निर्धारित होता है जब समर्थन की संख्या a = होती है3के-एस =2n, वह तब होता है जब थीम का प्रत्येक आधार ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज समर्थन के साथ गुरुत्वाकर्षण के रैखिक केंद्र पर समर्थित होता है। यदि निचली रिंग की छड़ें गिर जाती हैं, तो प्रत्येक शीर्ष पर तीन समर्थनों के साथ एक स्थिर बीयरिंग की आवश्यकता होती है। क्षैतिज समर्थनों की व्यवस्था की उपयोगिता की जांच की जानी चाहिए। अंजीर में समर्थन के निर्देश।26गलत तरीके से चुने गए हैं क्योंकि गैर-विरोधाभासी ध्रुव योजना बनाना संभव है।

चित्र। 25.

मेरिडियन रॉड्स और रिंग रॉड्स द्वारा निर्मित ट्रेपेज़ॉइड्स को K-फिलिंग के साथ कड़ा किया जा सकता है। परिणामी नोड्स को एक फ्लैट जाली के नोड्स के रूप में माना जाना चाहिए। भार केवल मुख्य नोड्स के माध्यम से स्थानांतरित किया जा सकता है। नोड पर हमला करने वाला ऊर्ध्वाधर भार P मेरिडियन की दिशा में एक घटक _Ks=Ps/_λ में और एक क्षैतिज घटक _H=Pa/_λ में विघटित हो जाएगा। क्षैतिज घटक को रिंग छड़ों की दिशा में घटकों में विघटित किया जाता है _Kl=Hc/a=Pc/_λ _and Kr=Hb/a=Pb/_λ.

उसी तरह, मनमाना क्षैतिज बल W के घटक Kl और Kr निर्धारित किए जाते हैं, ताकि लोड योजना अंजीर में दिखाई गई हो। 27. मेरिडियन छड़ों की दिशा में घटक Ks चित्र में नहीं दिखाए गए हैं।

चित्र। 26 और 27, क्रमशः।

जब समर्थन और भार P चक्रीय रूप से सममित होते हैं, तो बल Kl बल Kr के बराबर होते हैं, इसलिए विकर्ण अस्थिर होते हैं जबकि बल मेरिडियन छड़ में होते हैं:

_S1 = -P1s/_λ;   S2 = -(P1+P2)s/λ;   S3 = -(P1+P2+P3)s/λ

और रिंग रॉड्स में:

_Ri = Pib/_λ

श्वेडलर के गुंबद की गणना उसी तरह से की जा सकती है जब प्रत्येक मंजिल को एक जाली पिरामिड के रूप में समझा जाता है। सक्रिय बलों P और W के अलावा, ऊपरी मंजिल की छड़ों S और D में बलों को क्रमशः बाहरी बलों के रूप में पेश किया जाना चाहिए। मेरिडियन रॉड और रिंग रॉड की दिशा में उनके घटक। जबकि जाली पिरामिड में एक संकेंद्रित बल का प्रभाव केवल दो आसन्न प्लेटों की छड़ों में महसूस किया जाता है, श्वेडलर के गुंबद के मामले में इसका प्रभाव काफी बड़ी संख्या में छड़ों तक फैलता है। अंजीर में. 24 चिह्नित छड़ें हैं जो शीर्ष रिंग में बल P के कारण तनावग्रस्त हैं।

स्थानिक ट्रस और गुंबद: इन प्रणालियों की स्थिरता स्थानिक संचालन, समर्थन, ज्यामितीय खामियों, छड़ों की बकलिंग, नोड्स की कठोरता, अस्थायी पालन और असेंबली के अनुक्रम पर निर्भर करती है। एक फ्लैट स्केच या व्यक्तिगत समीकरण उठाने के दौरान वैश्विक स्थिरता, भार वहन आरक्षित या सुरक्षा साबित नहीं करता है।