Archivarischer Fachinhalt: Der Artikel bewahrt historische Verfahren, Formeln, Tabellen und Zeichnungen im Bereich der statischen Tragwerke, ist jedoch kein Projekt, keine statische Berechnung, kein Tragfähigkeitsnachweis, kein Montageplan oder keine Bewertung eines bestehenden Gebäudes. Stützen, Spannweiten, Lasten, Einwirkungskombinationen, Geometrie, Materialien, Verbindungen, Stabilität, Ermüdung, Seismizität und Bauphasen müssen objektspezifisch nach gültigen Normen ermittelt werden. Tragende Konstruktionen werden von verantwortlichen, autorisierten Ingenieuren entworfen und geprüft.
Heute konzentriert sich Savo Kusić auf Holzfenster, Holz-Aluminium-Fenster, kundenspezifische Fenster, Türen und Angebotsanfragen. Dieser Artikel dient als historisches Archiv und stellt kein Angebot zur Planung, Berechnung oder Ausführung von Baukonstruktionen dar.
Formeln und Markierungen: Mathematische Ausdrücke im Text wurden digital von einer gescannten Quelle übertragen und können Tipp- oder OCR-Fehler enthalten. Sie dürfen nicht ohne Vergleich mit einer maßgeblichen Quelle unter Überprüfung von Einheiten, Vorzeichen, Annahmen und Randbedingungen in eine Berechnung einfließen.
Ein einfacher Balken
Auflagerreaktionen, Biegemomente, Verformungen und statische Momente der M0-Flächen für einige häufig vorkommende Lastfälle sind in Tabelle 1 angegeben.
Konstante Belastung mit konzentrierten Kräften
Bei symmetrischer Belastung (Abb. 1) lässt sich die Berechnung am einfachsten über zwei Additionsspalten in Tabellenform durchführen. Basierend auf dem Zusammenhang zwischen Last, Querkraft und Moment
_Qn = Qn+1 + Pn und Mn+1/_λ _= Mn/_λ + Qn+1
Zunächst wird die Querkraft im Feld n ausgehend von der Querkraft in der Mitte des Balkens und anschließend die Biegemomente in einzelnen Punkten ausgehend vom Wert Mi/λ. bestimmt.
Abb. 1 mit Hilfstabellen.
Bei asymmetrischer Belastung und gleichen Kraftabständen eignen sich zur Berechnung die folgenden Tabellen (Abb. 2). Jede asymmetrische Belastung kann gemäß Abb. erfolgen. Ersetzen Sie 3 durch eine antimetrische Last, was bei der Berechnung oft sehr nützlich ist. Anstelle der Kräfte Pi und P’i treten bei symmetrischer Belastung die Kräfte (Pi+P’i)/2 in den Punkten i und i’ auf, bei antimetrischer Belastung die Kraft (Pi-P’i)/2 erscheint am Punkt i und erzwingt -(Pi-P’i)/2 am Punkt i’. Bei der Ermittlung der Auflagerreaktionen unter antimetrischer Belastung können in der Tabelle auch die Querkräfte und Biegemomente ermittelt werden.
Abb. 2.
Abb. 3.
Bewegte Last
Das Biegemoment am Ort i wird grafisch anhand des Kraftpolygons und des Kettenpolygons für die gegebene Last ermittelt. Ein Kettenpolygon kann wie in Abb. gezeichnet werden. 4. Um die für den Moment ungünstigste Lastposition am Ort i zu ermitteln, wird der Träger unter Last verschoben (Abb. 5), bis der Wert max η__i ermittelt ist, woraus sich max_Mi_ = H * max_η__i_ ergibt. Die größte Querkraft im Punkt i entsteht, wenn die Last so bewegt wird, dass die erste Kraft den Punkt i erreicht. Es kann aus dem Kräftepolygon in Abb. erhalten werden. 6: max_Oi_ = 1_/l_ * ∑Pibi. Ein A-Polygon ist ein Kettenpolygon mit Polabstand H = l, das für ein bewegtes System konzentrierter Kräfte gezeichnet wird, wenn die erste Kraft über dem Träger b liegt.
Abb. 4.
Abb. 5.
Abb. 6.
Bewegte Lasten: Die Auswahl der jeweiligen Position und Kombination bewegter Lasten hängt vom Zweck des Bauwerks, dem Wirkungsmodell, dynamischen Einflüssen und geltenden Vorschriften ab. Das historische grafische Verfahren ist kein ausreichender Beweis für den ungünstigsten Zustand des modernen Bauwesens.
Halterung mit Gelenken
Konstante Belastung
Zunächst werden aus den Gleichgewichtsbedingungen und den Bedingungen für die Gelenke die Reaktionen der Lager und Kräfte in den Gelenken ermittelt. Dann können Biegemomente und Querkräfte für einzelne Trägerplatten wie für einfache Träger oder Träger mit Auskragungen ermittelt werden. Sl. 7 zeigt das Ergebnis für die Belastung von drei Platten mit konzentrierten Kräften. Die Querkraftlinie verläuft konstant über die Gelenke und die Momentenlinie unterbricht ohne Unterbrechung, wenn keine konzentrierte Kraft in der Gelenkverbindung vorhanden ist.
Abb. 7.
Bei einer gleichmäßig verteilten Belastung des gesamten Trägers ergeben sich je nach Spannweitenverhältnissen und Lage der Gelenke teilweise große Unterschiede zwischen den Momenten über den Trägern und den maximalen Momenten in den Feldern, Abb. 8. Wenn für eine Stütze mit Gelenken mit mehr als zwei Öffnungen (Abb. 9) und mit gleichen Spannweiten l der Mittelfelder, der Bereich der Endfelder l1=0,8535_l_ und die Lage der Gelenke c=0,1465_l_ gewählt wird, dann Bei gleichmäßig verteilter Last ergibt sich, dass die Grenzwerte der Momente über den Stützen und in den Feldern untereinander gleich sind, M=0,0625_gl_2. Wenn die Endfelder ebenfalls einen Bereich von l haben, dann gilt für sie max_M_=0,0957_gl_2.
Abb. 8.
Abb. 9.
Einflusslinien
Gemäß Abb. 10 Einflusslinien für Mi und Qi zwischen den Punkten a und b sind die gleichen wie Einflusslinien des einfachen Strahls. Der weitere Verlauf der Einflusslinie wird durch die Lage von Stützen und Gelenken bestimmt, die die Haupt- und Zwischenpole der kinematischen Kette darstellen, die durch Entfernen der statischen Größe am Punkt i entsteht. Auf ähnliche Weise werden die Einflusslinien für Mr und Qr ausgehend vom Träger bestimmt, der an den Punkten g1 und c aufliegt. Die Belastung des Balkens mit Überstand am Abschnitt ag1 hat keinen Einfluss auf die Momente und Querkräfte am Punkt r. Einflusslinien für Momente und Querkräfte an den Überhangpunkten (k und v) erhält man am einfachsten, wenn man die Ordinaten für die Lage der Last im Gelenk bestimmt.
Abb. 10.
Modell von Stützen und Gelenken: Die tatsächliche Steifigkeit der Gelenke, die Setzung der Stützen, Spielräume, Reibung, Unvollkommenheiten und die Reihenfolge der Montage können die Kräfteverteilung im Vergleich zum idealisierten Modell verändern. Annahmen müssen mit Konstruktionsdetails abgeglichen und für alle relevanten Phasen überprüft werden.
Bogen auf drei Gelenken
Bei beliebiger Belastung des Bogens auf drei Gelenke können die Reaktionen der Stützen grafisch ermittelt werden. Resultierende R1 der wirkenden Kräfte, die laut Abb. 11, das auf die linke Platte wirkt, muss im Gleichgewicht mit Reaktion Kb1 sein, dessen Angriffslinie durch Gelenk g verlaufen muss, und Reaktion Ka1. Auf die gleiche Weise werden Ka2 und Kb2 aufgrund von R2 gefunden. Bei gleichzeitiger Wirkung von R1 und R2 ergeben sich durch Parallelverschiebung und Stapelung die endgültigen Reaktionskräfte Ka und Kb und der Gelenkdruck G.
Abb. 11.
Mit der analytischen Lösung ist es komfortabel, die Berechnung insbesondere für horizontale und insbesondere für vertikale Lasten durchzuführen.
Horizontale Belastung
Die horizontale Belastung in Abb. 12 löst Reaktionen aus
Abb. 12.
wobei C und D die Reaktionskomponenten in der Richtung sind, die die Punkte a und b verbindet. ∑H = C*cos_a_ – D_cos_a + W = 0 wird zur Steuerung verwendet. Die vorhandenen Scherkräfte sind:
Ni = -Asin__φ__i – Ccos(φ__i-a) – Wmcos__φ__i_,_
Qi = +Acos__φ__i – Csin(φ__i-a) – Wmsin__φ__i,
Mi = A__x__i _– Ccosa*_y__i – Wm(hi-hm).
Vertikale Belastung
Die vertikale Belastung des Bogens auf die drei Gelenke in Abb. 13 verursacht die Reaktionen A0 und B0, die den Reaktionen des einfachen Balkens mit der Spannweite l und der horizontalen Schubkraft C=cosa = Dcosa = H = Mg0/f (1) entsprechen, wobei Mg0 das Moment auf dem einfachen Balken im Abschnitt g ist. Mit den vertikalen Komponenten C und D sind die endgültigen vertikalen Komponenten der Reaktionen A = A0 + H_tg_a; B = B0 – H_tg_a. Wenn die Achse des Bogens eine quadratische Parabel ist, yi = f xi x’i/la lb, dann gilt für eine gleichmäßig verteilte Volllast g t/m (Abb. 14) Mi=0, Qi=0.
Abb. 13.
Abb. 14.
Einflusslinien
Die Einflusslinien für die Reaktionen A0 und B0 sind die gleichen wie die Einflusslinien eines einfachen Strahls. Die Einflusslinie für den horizontalen Schub H ergibt sich nach der Gleichung (1) aus der Einflusslinie für das Moment Mg0 des einfachen Balkens, Abb. 15. Die Einflusslinie für das Biegemoment Mi besteht aus den Einflusslinien mit Mi0 und H, wobei letzteres mit -yi multipliziert wird. Diese beiden Einflusslinien werden der Geraden ab’ als Nulllinie überlagert, von der aus die Abschnitte aa’ = xi i bb’ = -lb yi/f angelegt werden. Der durch den Strich ai’g’b angezeigte Unterschied stellt die endgültige Einflusslinie für Mi dar. Der Teiler bzw. Nullpunkt der dem Hauptpol der Platte entsprechenden Einflusslinie ig ergibt sich durch den Schnittpunkt der Linien ai und bg. Es kann auch für die Konstruktion der Einflusslinie verwendet werden, wo ein einfacher Balken mit der Spannweite a – n eingeführt wird. Bei einem Bogen, dessen Achse eine quadratische Parabel ist, verursacht die gleichmäßig verteilte Last keine Biegemomente, daher muss die Gesamtfläche der Einflusslinie gleich Null sein.
Abb. 15.
In Abb. 16-Einflusslinien für Qi und Ni wurden durch entsprechende Überlagerung der Einflusslinien für Qi0 und H erhalten. Bezogen auf ab’ als Nulllinie sind beide Einflusslinien in diesem Fall die Einflusslinien eines einfachen Strahls. Die Abschnitte nQ und nN der Linie bg und die durch eine Parallele gezogene Linie können hier zur Konstruktion bzw. Steuerung einflussreicher Linien verwendet werden. normal zur Tangente, die den Winkel φ__i mit der Horizontalen überschneidet. Bei einem Parabelbogen mit drei Gelenken muss die Gesamtfläche der Einflusslinie für die Querkraft gleich Null sein.
Abb. 16.
Bögen und Horizontalschub: Die Lage der Gelenke, die Geometrie der Achse, die Steifigkeit des Fundaments und die Akzeptanz horizontaler Reaktionen sind entscheidend für das Verhalten des Systems. Eine Änderung der Stütz-, Spannungs-, Aufhängungs- oder Montagephase kann den Kraftfluss verändern; eine historisch idealisierte Zeichnung reicht für die Ausführung oder Sanierung nicht aus.
Mit Balken und Hängebügel ausgesteifter Bogen
Vertikale Belastung
Vertikale Reaktionen bei vertikaler Belastung von starren Platten von statisch bestimmten, mit einem Balken ausgesteiften Bogenstützen, hängenden Stützen und Bögen an drei Gelenken sowie Spannungen in Abb. 17 a bis f werden aus den Gleichungen A0 = 1/l * ∑Pnbn und B0 = ermittelt 1/l * ∑Pnan wenn für die Systeme a und d A0 = A+K’‘l, B0 = B+K’’r gesetzt wird und für andere Systeme A = A0, B=B0. Die Reaktionen A und B für die Systeme a und d werden dann ermittelt aus:
A = A0 – K’’l = A0 – H(tgal-tg__δ)
B = B0 – K’’r = B0 – H(tgar+tg__δ)
Abb. 17.
Für die Systeme a, d, e und f ist die horizontale Reaktion C=0 und für das System b ist sie E=0. Der horizontale Schub bzw. die horizontale Spannung H des Systems a bis d, die horizontale Komponente der Kraft im Bogen des Systems e und die Zugkraft des Systems f werden anhand der Gleichung (1) ermittelt. Die folgende Tabelle enthält eine Übersicht über die Reaktionen von Stützen und Kräften in Stäben Sn und Zn für einzelne Systeme.
Horizontale Belastung
Wirkt eine horizontale Kraft W auf die Platten im Abstand c von der Verbindung g (Abb. 17 a bis e), sind die dadurch verursachten Reaktionen der Stützen:
Einflusslinien
Die Einflusslinien für die Scherkräfte ergeben sich aus der Ähnlichkeit des Verhaltens dieser Systeme und eines einfachen dreigelenkigen Bogens. Für einen Stabbogen mit einem Aussteifungsbalken unter dem Bogen (Langer Balken) in Abb. 18 zeigt die Einflusslinien für U2, D4 und L4. Die Kraft im Stab U2 ergibt sich aus dem Moment für den Punkt 2 des Obergurts: U2 = M2/h. Aus der Bedingung ∑V=0 erhalten wir D4 = Q40/sin__φ – Mg0/f tga4/sin__φ. Auch aus der Bedingung ∑V=0 folgt (Belastung des Untergurtes) L4 = -Q50 + Mg0/f * tga4.
Abb. 18.
Liegen die Knoten eines dreigelenkigen Bogens mit einem massiven Balken zur Aussteifung (Abb. 19) auf einer quadratischen Parabel und liegt die Verbindung in der Achse des Balkens, so liegen bei gleichmäßig verteilter Last g t/m die Biegemomente M=0 an den Stellen der Aufhänger, und M=g__λ__2/8 in der Mitte des Feldes zwischen den Kleiderbügeln.
Abb. 19.
Aufhänger, Spanner und Versteifungen: Diese Elemente und ihre Verbindungen können empfindlich auf Unvollkommenheiten, Sekundärspannungen, Ermüdung, Korrosion, Vorspannungsverlust und Montagebedingungen reagieren. Ihr Austausch, ihre Verschärfung oder ihre Entfernung erfolgt nicht ohne ein vorläufiges und endgültiges staatliches Projekt.
Rahmenstützen
Abb. 20.
Sl. 20 zeigt das Momentendiagramm eines dreigelenkigen Rahmens mit Überhängen und hängenden Trägern aufgrund gleichmäßig verteilter Volllast. Die Einflusslinie für das Moment Me ergibt sich aus dem Ausdruck Me=-Hh + Mk, durch Überlagerung der Einflusslinie für den Horizontalschub H (mit Multiplikator -h) und für das Biegemoment Mk am Überhang.
Bei unsymmetrischer Belastung symmetrischer Stützen lässt sich die Berechnung oft durch eine Aufteilung der Belastung in symmetrische und antisymmetrische Belastung vereinfachen, Abb. 21. Dies gilt insbesondere für die Rahmenstützen in Abb. 22 und 23, die die Momentendiagramme aufgrund der konzentrierten Kraft an einer beliebigen Stelle der oberen Stütze zeigen. Als antimetrisch kann die Horizontallast auf Balkenhöhe verstanden werden. Da die horizontale Belastung der Teilstrebe als virtuelle Last für die Berechnung der horizontalen Verschiebungen der Teilstrebe berücksichtigt werden kann, kann aus den Momentenflächen sofort geschlossen werden, zu welcher Seite sich die Teilstrebe bei der Vertikalbelastung bewegt. Diese Verschiebungen werden durch Kombination antimetrischer Gleichgewichtszustände erhalten. Für die Fälle in Abb. 22 und 23 bewegt sich die Unterstreichung nach rechts.
Abb. 21.
Abb. 22.
Abb. 23.
Rahmen und Verschiebungen: Die Schlussfolgerung der Verschiebungsrichtung aus einem idealisierten Diagramm ersetzt nicht die Überprüfung von Verformungen, Effekten zweiter Ordnung, Stabilität, Steifigkeit von Verbindungen, Fundamenten und nichttragenden Elementen. Am Gesamtmodell werden die Grenzzustände der Tragfähigkeit und Gebrauchstauglichkeit überprüft.
Raumgitter
Abb. 24.
Die Schwedler-Kuppel (Abb. 24) und die Wellengitterpyramide (Abb. 25), als Sonderfall der Schwedler-Kuppel, bei der die Meridiane keine Unterbrechungen haben, mit m-Böden und n-Seiten, bestehen aus m*n-Meridianstäben. S, (m+1)n Ringstäbe R und m*n Diagonalstäbe D. Als Anzahl der Knoten k=(m+1)n wird die Stütze statisch bestimmt, wenn die Anzahl der Stützen a = 3k-s = 2n, d. h. wenn jedes Fundament des Themas auf einem linearen Schwerpunkt mit vertikaler und horizontaler Unterstützung ruht. Sollten die Stäbe des Unterrings abfallen, ist in jedem Scheitelpunkt ein stationäres Lager mit drei Stützen erforderlich. Die Verwendbarkeit der Anordnung horizontaler Stützen sollte geprüft werden. Die Stützrichtungen in Abb. 26 sind falsch gewählt, da es möglich ist, einen widersprüchlichen Polplan zu zeichnen.
Abb. 25.
Trapeze aus Meridianstäben und Ringstäben können mit K-Füllung ausgesteift werden. Die resultierenden Knoten sollten als Knoten eines flachen Gitters betrachtet werden. Lasten dürfen nur über Hauptknoten abgetragen werden. Die am Knoten angreifende Vertikallast P wird in die Komponente _Ks=Ps/_λ in Richtung des Meridians und in die horizontale Komponente _H=Pa/_λ zerlegt. Die horizontale Komponente wird in Richtung der Ringstäbe _Kl=Hc/a=Pc/_λ _i Kr=Hb/a=Pb/_λ weiter in Komponenten zerlegt.
Auf die gleiche Weise werden die Komponenten Kl und Kr der willkürlichen Horizontalkraft W ermittelt, so dass sich das in Abb. dargestellte Belastungsschema ergibt. 27. Die Komponenten von Ks in Richtung der Meridianstäbe sind in der Abbildung nicht dargestellt.
Abb. 26 beziehungsweise 27.
Wenn die Stütze und die Last P zyklisch symmetrisch sind, dann sind die Kräfte Kl gleich den Kräften Kr, sodass die Diagonalen unbelastet sind, während die Kräfte in den Meridianstäben sind:
_S1 = -P1s/_λ; S2 = -(P1+P2)s/λ; S3 = -(P1+P2+P3)s/λ
und in den Stäben des Ringes:
_Ri = Pib/_λ
Die Berechnung der Schwedler-Kuppel lässt sich auf die gleiche Weise durchführen, wenn man jedes Stockwerk als Gitterpyramide auffasst. Neben den wirkenden Kräften P und W sollten dann jeweils die Kräfte in den Stäben S und D des Obergeschosses als äußere Kräfte eingeleitet werden. ihre Komponenten in Richtung der Meridianstäbe und Ringstäbe. Während bei der Gitterpyramide der Einfluss einer konzentrierten Kraft nur in den Stäben zweier benachbarter Platten spürbar ist, erstreckt sich ihr Einfluss bei der Schwedler-Kuppel auf eine wesentlich größere Anzahl von Stäben. In Abb. 24 sind gekennzeichnete Stäbe, die durch die Kraft P im Scheitelring beansprucht werden.
Räumliche Fachwerke und Kuppeln: Die Stabilität dieser Systeme hängt vom räumlichen Betrieb, der Unterstützung, geometrischen Unvollkommenheiten, der Knickung der Stäbe, der Steifigkeit der Knoten, der vorübergehenden Nachgiebigkeit und der Reihenfolge der Montage ab. Eine flache Skizze oder Einzelgleichung beweist nicht die Gesamtstabilität, Tragfähigkeitsreserve oder Sicherheit beim Heben.