Archívny odborný obsah: článok zachováva historické postupy, vzorce, tabuľky a výkresy v oblasti statických konštrukcií, nie je však projektom, statickým výpočtom, dokladom nosnosti, montážnym plánom ani posudkom existujúceho objektu. Podpery, rozpätia, zaťaženia, kombinácie zaťažení, geometria, materiály, spoje, stabilita, únava, seizmicita a fázy výstavby musia byť určené pre konkrétny objekt podľa platných noriem. Nosné konštrukcie navrhujú a kontrolujú zodpovední autorizovaní inžinieri.
Dnes sa Savo Kusić zameriava na drevené okná, drevo-hliníkové okná, vlastné okná, dvere a žiadosti o cenovú ponuku. Tento článok zostáva ako historický archív a nepredstavuje ponuku projektovania, výpočtu alebo realizácie stavebných konštrukcií.
Vzorce a značky: matematické výrazy v texte boli digitálne prenesené z naskenovaného zdroja a môžu obsahovať typografické chyby alebo chyby OCR. Nesmú sa zadávať do výpočtu bez porovnania so smerodajným zdrojom, kontrolných jednotiek, znamienok, predpokladov a okrajových podmienok.
Jednoduchý lúč
Podporné reakcie, ohybové momenty, deformácie a statické momenty povrchu M0-pre niektoré často sa vyskytujúce zaťažovacie stavy sú uvedené v tabuľke 1.
Konštantné zaťaženie sústredenými silami
Pri symetrickom zaťažení (obr.1) výpočet je najjednoduchšie vykonať pomocou dvoch sčítacích stĺpcov vo forme tabuľky. Na základe vzťahu medzi zaťažením, priečnou silou a momentom
_Qn = Qn+1+ Pn a Mn+1/_λ _= Mn/_λ + Qn+1
najprv sa určí priečna sila v poli n, pričom sa vychádza z priečnej sily v strede nosníka a potom sa určí ohybové momenty v určitých bodoch od hodnoty Mi/λ.
Obr.1s pomocnými tabuľkami.
Keď je zaťaženie asymetrické a silové vzdialenosti sú rovnaké, na výpočet sú vhodné nasledujúce tabuľky (obr.2). Akékoľvek asymetrické zaťaženie môže byť podľa obr.3nahradiť jednou antimetrickou záťažou, čo je často veľmi užitočné pri výpočte. Namiesto síl Pi a P’i v prípade symetrického zaťaženia sa používajú sily (Pi+P’i)/2v bodoch i a i’ a v antimetrickom prípade zaťaženia sila (Pi-P’i)/2v bode i a sila -(Pi-P’i)/2v bode i’. Pri stanovení podperných reakcií pri antimetrickom zaťažení je možné v tabuľke určiť aj priečne sily a ohybové momenty.
Obr. 2.
Obr.3.
Pohyblivý náklad
Ohybový moment v mieste i sa získa graficky pomocou polygónu sily a polygónu reťaze pre dané zaťaženie. Reťazový mnohouholník možno nakresliť tak, ako je znázornené na obr.4. Aby sa určila najnepriaznivejšia poloha bremena pre moment v mieste i, podpera sa posunie pod bremeno (obr.5) kým sa neurčí hodnota max η__i, z ktorej sa získa max_Mi_ = H * max_η__i_. Najväčšia priečna sila v bode i sa získa, keď sa bremeno posunie tak, že prvá sila dosiahne bod i. Dá sa získať z mnohouholníka síl na obr.6: max_Oi_ =1_/l_ * ∑Pibi. A-polygón je reťazový mnohouholník s pólovou vzdialenosťou H = l, nakreslený pre pohyblivý systém sústredených síl, keď je prvá sila umiestnená nad podperou b.
Obr.4.
Obr. 5.
Obr.6.
Pohyblivé zaťaženia: výber príslušnej polohy a kombinácie pohybujúcich sa zaťažení závisí od účelu konštrukcie, modelu pôsobenia, dynamických vplyvov a platných predpisov. Historický grafický postup nie je dostatočným dôkazom o najnepriaznivejšom stave modernej výstavby.
Držiak s kĺbmi
Konštantné zaťaženie
Najprv sa z podmienok rovnováhy a podmienok pre spoje určia reakcie podpier a síl v spojoch. Potom je možné určiť ohybové momenty a priečne sily pre jednotlivé nosné dosky ako pre jednoduché nosníky alebo nosníky s prevismi. Sl.7ukazuje výsledok pre zaťaženie troch dosiek sústredenými silami. Čiara priečnych síl prechádza cez spoje konštantne a čiara momentu bez prestávok, ak v spoji nie je sústredená sila.
Obr.7.
Pri rovnomerne rozloženom zaťažení celej podpery sa získajú veľké rozdiely medzi momentmi nad podperami a maximálnymi momentmi v poliach podľa pomerov rozpätí a polohy spojov, obr.8. If in the case of supports with joints with more than two openings (fig.9) a s rovnakými rozsahmi l stredných polí vyberte rozsah koncových polí l1=0,8535_l_ a spoločné postavenie c=0,1465_l_, potom pri rovnomerne rozloženom zaťažení sa získa, že limitné hodnoty momentov nad podperami a v poliach sú vzájomne rovnaké, M=0,0625_gl_2. Ak majú koncové polia tiež rozsah l, potom pre ne max_M_=0,0957_gl_2.
Obr.8.
Obr.9.
Vplyvové línie
Podľa obr. Vplyvové čiary 10 pre Mi a Qi medzi bodmi a a b sú rovnaké ako čiary vplyvu jednoduchého lúča. Ďalší priebeh vplyvovej čiary je určený polohou podpier a spojov, ktoré predstavujú hlavné póly a medzipóly kinematického reťazca vytvoreného odstránením statickej veličiny v bode i. Podobným spôsobom sa určujú čiary vplyvu pre Mr a Qr vychádzajúc z nosníka podopreného v bodoch g1 a c. Zaťaženie nosníka s presahom v časti ag1 nemá vplyv na momenty a priečne sily v bode r. Vplyvové čiary pre momenty a priečne sily v bodoch previsu (k a v) sa najľahšie získajú, keď sú určené ordináty polohy zaťaženia v spoji.
Obr. 10.
Model podpier a spojov: skutočná tuhosť spojov, sadanie podpier, vôle, trenie, nedokonalosti a poradie montáže môžu zmeniť rozloženie síl v porovnaní s idealizovaným modelom. Predpoklady musia byť v súlade s konštrukčnými detailmi a musia byť skontrolované pre všetky relevantné fázy.
Trojkĺbový luk
Pri ľubovoľnom zaťažení oblúka na troch kĺboch je možné graficky určiť reakcie podpier. Výsledné R1 aktívnych síl, ktoré podľa obr. 11 pôsobiace na ľavú platňu musí byť v rovnováhe s reakciou Kb1, ktorej línia útoku musí prechádzať cez kĺb g, a reakciou Ka1. Rovnakým spôsobom existujú Ka2 a Kb2 v dôsledku R2. Pri súčasnom pôsobení R1 a R2 sa získajú paralelným premiestnením a naskladaním konečných reakčných síl Ka a Kb a spoločného tlaku G.
Obr.11.
Pri analytickom riešení je vhodné vykonať výpočet najmä pre horizontálne a najmä pre vertikálne zaťaženie.
Horizontálne zaťaženie
Horizontálne zaťaženie na obr.12vyvoláva reakcie
Obr.12.
kde C a D sú zložky reakcie v smere spájania bodov a a b. ∑H = C*cos_a_ – D_cos_a + ∑W =0. Šmykové sily na mieste sú:
Ni = -Asin__φ__i – Ccos(φ__i-a) – Wmcos__φ__i_,_
Qi = +Acos__φ__i – Csin(φ__i-a) – Wmsin__φ__i,
Mi = A__x__i _– Ccosa*_y__i – Wm(hi-hm).
Vertikálne zaťaženie
Vertikálne zaťaženie oblúka na troch spojoch na obr.13vyvoláva reakcie A0a B0, ktoré sa rovnajú reakciám jednoduchého nosníka s rozpätím l a vodorovným ťahom C=cosa = Dcosa = H = Mg0/f (1), kde Mg0 moment na jednoduchom nosníku v reze g. S vertikálnymi zložkami C a D sú konečné vertikálne zložky reakcií A = A0 + H_tg_a; B = B0 – H_tg_a. Ak je osou oblúka štvorcová parabola, yi = f xi x’i/la lb, potom pre rovnomerne rozdelené plné zaťaženie g t/m (obr.14) Mi=0, Qi=0.
Obr.13.
Obr.14.
Vplyvové línie
Vplyvové čiary pre reakcie A0 a B0 sú rovnaké ako vplyvové čiary jednoduchého lúča. Účinkovú čiaru pre vodorovný ťah H získame podľa rovnice (1) z ovplyvňujúcej čiary pre moment Mg0 jednoduchého nosníka, obr. 15. Vplyvová čiara pre ohybový moment Mi pozostáva z vplyvových čiar s Mi0 a H, pričom táto je vynásobená -yi. Tieto dve vplyvné čiary sú superponované na priamku ab’ ako nulová čiara, z ktorej sú nakreslené úseky aa’ = xi a bb’ = -lb yi/f. Rozdiel zobrazený pohybom ai’g’b predstavuje konečnú líniu vplyvu pre Mi. Delič alebo nulový bod vplyvovej čiary zodpovedajúci hlavnému pólu dosky ig sa získa priesečníkom čiar ai a bg. Dá sa použiť aj na konštrukciu vplyvovej čiary, kde sa zavedie jednoduchý nosník rozpätia a – n. V prípade oblúka, ktorého osou je štvorcová parabola, rovnomerne rozložené zaťaženie nespôsobuje ohybové momenty, takže celková plocha vplyvovej čiary sa musí rovnať nule.
Obr. 15.
Na obr. Vplyvové čiary 16 pre Qi a Ni boli získané zodpovedajúcou superpozíciou vplyvových čiar pre Qi0 a H. Vzhľadom na ab’ ako nulovú čiaru sú obe čiary vplyvu v tomto prípade čiarami vplyvu jednoduchého lúča. Na konštrukciu alebo riadenie vplyvných línií tu možno použiť úseky nQ a nN úsečky bg a úsečky vedenej paralelne cez a. kolmo k dotyčnici, ktorá prekrýva uhol φ__i s horizontálou. V prípade parabolického oblúka s tromi kĺbmi musí byť celková plocha ovplyvňujúcej čiary pre priečnu silu rovná nule.
Obr. 16.
Oblúky a horizontálny ťah: poloha spojov, geometria osi, tuhosť základu a akceptovanie horizontálnych reakcií sú rozhodujúce pre správanie systému. Zmena fázy podpery, napätia, závesu alebo montáže môže zmeniť tok síl; historicky idealizovaná kresba nestačí na popravu alebo rehabilitáciu.
Oblúk vystužený trámom a závesnou konzolou
Vertikálne zaťaženie
Vertikálne reakcie pri zvislom zaťažení tuhých dosiek staticky určených oblúkových podpier vystužených nosníkom, závesných podpier a oblúkov na troch kĺboch a ťahu na Obr.17a až f sa získajú z rovníc A0 =1/l * ∑Pnbn a B0 =1/l * ∑Pnan, keď je A vložené pre systémy a a d_0 = A+K’‘l, B0 = B+K’’r a pre ostatné systémy A = A0, B=B0. Reakcie A a B pre systémy a a d sú potom určené z:
A = A0 - K’’l = A0 – H(tgal-tg__δ)
B = B0 – K’’r = B0 – H(tgar+tg__δ)
Obr.17.
Pre systémy a, d, e a f je horizontálna reakcia C=0a pre systém b je E=0. Horizontálny ťah alebo horizontálne napätie H sústavy a až d, horizontálna zložka sily v oblúku sústavy e a sila v ťahu sústavy f sú určené na základe rovnice (1). Nasledujúca tabuľka obsahuje prehľad reakcií podpier a síl v prútoch Sn a Zn pre jednotlivé systémy.
Horizontálne zaťaženie
Ak na dosky pôsobí horizontálna sila W vo vzdialenosti c od spoja g (obr.17a na e) reakcie opôr, ktoré spôsobuje, sú:
Vplyvové línie
Vplyvové čiary pre šmykové sily sa získajú na základe podobnosti v správaní týchto systémov a jednoduchého trojkĺbového oblúka. Pre tyčový oblúk s výstužným nosníkom pod oblúkom (Langerov nosník) na obr.18sú zobrazené vplyvné čiary pre U2, D4 a L4. Sila v palici U2 sa získa z bodového momentu2horný pás: U2 = M2/h. Z podmienky ∑V=0dostaneme D4 = Q40/sin__φ – Mg0/f to4/syn__φ. Aj z podmienky ∑V=0nasleduje (zaťaženie na spodnom páse) L4 = -Q50+ Mg0/f * to4.
Obr.18.
Ak uzly trojkĺbového oblúka s pevným výstužným nosníkom (obr.19) leží na štvorcovej parabole a ak kĺb leží v osi nosníka, tak pri rovnomerne rozloženom zaťažení g t/m sú ohybové momenty M=0v miestach vešiakov a M=g__λ__2/8v strede poľa medzi vešiakmi.
Obr.19.
Závesy, napínače a výstuhy: tieto prvky a ich spojenia môžu byť citlivé na nedokonalosti, sekundárne namáhanie, únavu, koróziu, stratu predpätia a montážne podmienky. Ich výmena, sprísnenie či odstránenie sa nezaobíde bez dočasného a konečného projektu stavu.
Podporuje rám
Obr.20.
Sl.20ukazuje momentový diagram trojkĺbového rámu s prevismi a zavesenými nosníkmi v dôsledku rovnomerne rozloženého plného zaťaženia. Účinkovú čiaru pre moment Me získame na základe výrazu Me=-Hh + Mk superpozíciou ovplyvňujúcej čiary pre vodorovný ťah H (s násobiteľom -h) a pre ohybový moment Mk na previse.
V prípade nesymetrického zaťaženia symetrických podpôr možno výpočet často zjednodušiť rozdelením zaťaženia na symetrické a antisymetrické zaťaženie, obr.21. To platí najmä pre podpery rámu na obr.22a23, ktoré zobrazujú momentové diagramy v dôsledku sústredenej sily v ľubovoľnom bode hornej podpery. Vodorovné zaťaženie vo výške nosníka možno chápať ako antimetrické. Keďže vodorovné zaťaženie podpery možno považovať za virtuálne zaťaženie pre výpočet vodorovných posunov podpery, možno z momentových plôch okamžite usudzovať, na ktorú stranu sa podpera pri zvislom zaťažení pohybuje. Tieto posuny sa získajú kombináciou antimetrických rovnovážnych stavov. Preto pre prípady na obr.22a23podčiarknutie sa posunie doprava.
Obr.21.
Obr.22.
Obr.23.
Rámy a posuny: záver o smere posunu z idealizovaného diagramu nenahrádza kontrolu deformácií, efektov druhého rádu, stability, tuhosti spojov, základov a nenosných prvkov. Na kompletnom modeli sa kontrolujú medzné stavy únosnosti a použiteľnosti.
Priestorové mriežky
Obr.24.
Schwedlerova kupola (obr.24) a lemovanú mriežkovú pyramídu (obr.25), ako špeciálny prípad Schwedlerovej kupoly, kde poludníky nemajú žiadne zlomy, s m podlahami a n stranami pozostávajú z m*n poludníkových tyčí S, (m+1)n tyče prstencov R a m*n diagonálne tyče D. Ako počet uzlov k=(m+1)n podpora je staticky určená, keď počet podpier a =3k-s =2n, to znamená, že každý základ témy je podopretý na lineárnom ťažisku s vertikálnou a horizontálnou podporou. Ak tyče spodného krúžku spadnú, je potrebné stacionárne ložisko s tromi podperami v každom vrchole. Treba preskúmať použiteľnosť usporiadania vodorovných podpier. Smery podpory na obr.26sú nesprávne zvolené, pretože je možné nakresliť neprotirečivý plán pólov.
Obr.25.
Lichobežníky tvorené meridiánovými tyčami a prstencovými tyčami môžu byť vystužené K-výplňou. Výsledné uzly by sa mali považovať za uzly plochej mriežky. Zaťaženie sa môže prenášať iba cez hlavné uzly. Vertikálne zaťaženie P, ktoré pôsobí v uzle, sa rozloží na zložku _Ks=Ps/_λ v smere meridiánu a na vodorovnú zložku _H=Pa/_λ. Horizontálna zložka sa ďalej rozkladá na zložky v smere prstencových tyčí _Kl=Hc/a=Pc/_λ _i Kr=Hb/a=Pb/_λ.
Rovnakým spôsobom sa určia zložky Kl a Kr ľubovoľnej horizontálnej sily W, takže schéma zaťaženia znázornená na obr.27. Komponenty X v smere meridiánových tyčí nie sú na obrázku znázornené.
_Obr.26a27, resp.
Keď sú podpera a zaťaženie P cyklicky symetrické, potom sa sily Kl rovnajú silám Kr, takže diagonály sú nenapäté, zatiaľ čo sily v meridiánových tyčiach sú:
_S1= -P1s/_λ; S2= -(P1+P2)s/A; S3= -(P1+P2+P3)s/λ
a v tyčiach prsteňa:
_Ri = Pib/_λ
Výpočet Schwedlerovej kupoly možno vykonať rovnakým spôsobom, keď sa každé poschodie chápe ako mriežková pyramída. Okrem aktívnych síl P a W by sa potom ako vonkajšie sily mali zaviesť sily v tyčiach S a D horného poschodia. ich zložky v smere meridiánovej tyče a prstencových tyčiniek. Kým v mriežkovej pyramíde je vplyv jednej sústredenej sily cítiť len v prútoch dvoch susedných platní, v prípade Schwedlerovej kupoly sa jeho vplyv rozširuje na podstatne väčší počet prútov. Na obr.24označené sú tyče, ktoré sú namáhané silou P vo vrcholovom prstenci.
Priestorové väzníky a kupole: stabilita týchto systémov závisí od priestorovej prevádzky, podpery, geometrických nedokonalostí, vybočenia prútov, tuhosti uzlov, dočasnej poddajnosti a postupnosti montáže. Plochý náčrt alebo individuálna rovnica nedokazuje globálnu stabilitu, rezervu nosnosti alebo bezpečnosť pri zdvíhaní.