Arhivski stručni sadržaj: članak čuva povijesne postupke, formule, tablice i crteže iz područja statičkih konstrukcija, ali nije projekt, statički proračun, dokaz nosivosti, plan montaže ili procjena postojeće građevine. Oslonci, rasponi, opterećenja, kombinacije djelovanja, geometrija, materijali, spojevi, stabilnost, zamor, seizmičnost i faze izgradnje moraju se odrediti za konkretan objekt prema važećim standardima. Nosive konstrukcije projektiraju i provjeravaju odgovorni ovlašteni inženjeri.
Savo Kusić danas se fokusira na drvene prozore, drvo-aluminijske prozore, prozore po narudžbi, vrata i zahtjeve za ponudu. Ovaj članak ostaje kao povijesni arhiv i ne predstavlja ponudu projektiranja, proračuna ili izvedbe građevinskih konstrukcija.
Formule i oznake: matematički izrazi u tekstu digitalno su preneseni iz skeniranog izvora i mogu sadržavati tipografske ili OCR pogreške. Ne smiju se unositi u izračun bez usporedbe s mjerodavnim izvorom, jedinicama provjere, znakovima, pretpostavkama i rubnim uvjetima.
Jednostavna greda
Reakcije potpore, momenti savijanja, deformacije i statički momenti M0-površine za neke česte slučajeve opterećenja dani su u tablici 1.
Konstantno opterećenje s koncentriranim silama
Za simetrično opterećenje (sl. 1), izračun je najlakše izvesti pomoću dva stupca zbrajanja u obliku tablice. Na temelju odnosa između opterećenja, poprečne sile i momenta
_Qn = Qn+1 + Pn i Mn+1/_λ _= Mn/_λ + Qn+1
najprije se određuje poprečna sila u polju n polazeći od poprečne sile u sredini grede, a zatim momenti savijanja u određenim točkama polazeći od vrijednosti Mi/λ.
Sl. 1 s pomoćnim tablicama.
Kada je opterećenje asimetrično i udaljenosti sila su jednake, sljedeće tablice su prikladne za izračun (sl. 2). Svako asimetrično opterećenje može biti prema sl. Zamijenite 3 jednim antimetričkim opterećenjem, koje je često vrlo korisno u proračunu. Umjesto sila Pi i P’i, kod simetričnog opterećenja u točkama i i i’ pojavljuju se sile (Pi+P’i)/2, a u antimetrijskom slučaju opterećenja u točki i sila (Pi-P’i)/2 i sila -(Pi-P’i)/2 u točki i’. Kada se određuju reakcije potpore pod antimetričkim opterećenjem, poprečne sile i momenti savijanja također se mogu odrediti u tablici.
Sl. 2.
Sl. 3.
Pokretni teret
Moment savijanja na mjestu i dobiva se grafički pomoću poligona sila i lančanog poligona za dano opterećenje. Lančani poligon može se nacrtati kao što je prikazano na sl. 4. Za određivanje najnepovoljnijeg položaja opterećenja za trenutak na mjestu i, greda se pomiče pod opterećenjem (Sl. 5) dok se ne odredi vrijednost max η__i iz koje se određuje max_Mi_ = H * max_η__i_. Najveća poprečna sila u točki i dobije se kada se teret pomakne tako da prva sila dođe u točku i. Može se dobiti iz poligona sila na sl. 6: max_Oi_ = 1_/l_ * ∑Pibi. A-poligon je lančani poligon s razmakom polova H = l, nacrtan za pokretni sustav koncentriranih sila kada je prva sila preko oslonca b.
Sl. 4.
Sl. 5.
Sl. 6.
Pokretna opterećenja: izbor odgovarajućeg položaja i kombinacije pokretnih opterećenja ovisi o namjeni konstrukcije, modelu djelovanja, dinamičkim utjecajima i važećim propisima. Povijesni grafički postupak nije dovoljan dokaz najnepovoljnijeg stanja suvremenog graditeljstva.
Nosač sa zglobovima
Konstantno opterećenje
Prvo, reakcije oslonaca i sila u zglobovima određuju se iz uvjeta ravnoteže i uvjeta za zglobove. Tada se mogu odrediti momenti savijanja i poprečne sile za pojedine noseće ploče kao za proste grede, odnosno grede s prepustima. Sl. 7 prikazuje rezultat za opterećenje triju ploča koncentriranim silama. Linija poprečnih sila prolazi preko spojeva kao konstanta, a linija momenta bez prekida, ako u zglobu ne djeluje koncentrirana sila.
Sl. 7.
Za jednako raspoređeno opterećenje na cijelom nosaču, dobivaju se velike razlike između momenata preko oslonaca i maksimalnih momenata u poljima, prema omjerima raspona i položaju spojeva, sl. 8. Ako se za nosače sa šarkama s više od dva otvora (sl. 9) i s jednakim rasponima l srednjih polja odabere raspon krajnjih polja l1=0,8535_l_ i položaj zglobova c=0,1465_l_, tada se uz jednako raspoređeno opterećenje dobiva da su granične vrijednosti momenata iznad oslonaca i u međusobno jednakim poljima, M=0,0625_gl_2. Ako završna polja također imaju raspon l, tada je za njih max_M_=0,0957_gl_2.
Sl. 8.
Sl. 9.
Linije utjecaja
Prema sl. 10 crte utjecaja za Mi i Qi između točaka a i b iste su kao crte utjecaja jednostavne grede. Daljnji tijek utjecajne linije određen je položajem oslonaca i spojeva koji predstavljaju glavne polove i međupolove kinematičkog lanca nastalog uklanjanjem statičke veličine u točki i. Na sličan način, utjecajne linije za Mr i Qr određuju se počevši od grede poduprte u točkama g1 i c. Opterećenje grede s prepustom na dijelu ag1 nema utjecaja na momente i poprečne sile u točki r. Utjecajne linije za momente i poprečne sile u točkama prepusta (k i v) najlakše se dobivaju kada se odrede ordinate za položaj opterećenja u spoju.
Sl. 10.
Model oslonaca i spojeva: stvarna krutost spojeva, slijeganje oslonaca, zazori, trenje, nesavršenosti i redoslijed sastavljanja mogu promijeniti raspodjelu sila u usporedbi s idealiziranim modelom. Pretpostavke se moraju uskladiti s detaljima izgradnje i provjeriti za sve relevantne faze.
Luk s tri zgloba
Kod proizvoljnog opterećenja luka na tri zgloba, reakcije oslonaca mogu se odrediti grafički. Rezultanta R1 aktivnih sila koja prema sl. 11 koji djeluje na lijevu ploču mora biti uravnotežen s reakcijom Kb1, čija linija napada mora prolaziti kroz zglob g, i reakcijom Ka1. Na isti način, Ka2 i Kb2 su pronađeni, zahvaljujući R2. S istodobnim djelovanjem R1 i R2 dobivaju se paralelnim pomakom i slaganjem konačnih reakcijskih sila Ka i Kb i zglobnog pritiska G.
Sl. 11.
Za analitičko rješenje, prikladno je provesti proračun posebno za vodoravna i posebno za okomita opterećenja.
Horizontalno opterećenje
Horizontalno opterećenje na sl. 12 izaziva reakcije
Sl. 12.
gdje su C i D komponente reakcije u smjeru koji povezuje točke a i b. ∑H = C*cos_a_ – D_cos_a + ∑W = 0 služi za kontrolu. Smične sile u točki i su:
Ni = -Asin__φ__i – Ccos(φ__i-a) – Wmcos__φ__i_,_
Qi = +Acos__φ__i – Csin(φ__i-a) – Wmsin__φ__i,
Mi = A__x__i _– Ccosa*_y__i – Wm(hi-hm).
Vertikalno opterećenje
Okomito opterećenje luka na tri zgloba na sl. 13 izaziva reakcije A0 i B0, koje su jednake reakcijama proste grede raspona l, i horizontalni potisak C=cosa = Dcosa = H = Mg0/f (1), gdje Mg0 je moment na jednostavnoj gredi u presjeku g. S vertikalnim komponentama C i D konačne vertikalne komponente reakcija su A = A0 + H_tg_a; B = B0 – H_tg_a. Ako je os luka kvadratna parabola, yi = f xi x’i/la lb, tada za jednako podijeljeno puno opterećenje g t/m (sl. 14) Mi=0, Qi=0.
Sl. 13.
Sl. 14.
Linije utjecaja
Utjecajne linije za reakcije A0 i B0 jednake su utjecajnim linijama jednostavne grede. Utjecajna linija za horizontalni potisak H dobiva se prema jednadžbi (1) iz utjecajne linije za moment Mg0 jednostavne grede, sl. 15. Utjecajna linija za moment savijanja Mi sastoji se od utjecajnih linija s Mi0 i H, gdje se potonji množi s -yi. Ove dvije utjecajne linije superponiraju se na ravnu ab’ kao nulta linija, iz koje se izvlače odsječci aa’ = xi i bb’ = -lb yi/f. Razlika prikazana potezom ai’g’b predstavlja konačnu liniju utjecaja za Mi. Razdjelnica ili nulta točka utjecajne linije koja odgovara glavnom polu ploče ig dobiva se sjecištem linija ai i bg. Također se može koristiti za konstrukciju utjecajne linije, gdje se uvodi jednostavna greda raspona a – n. U slučaju luka čija je os kvadratna parabola, jednako raspoređeno opterećenje ne uzrokuje momente savijanja, pa ukupna površina utjecajne linije mora biti jednaka nuli.
Sl. 15.
Na sl. Utjecajne linije 16 za Qi i Ni dobivene su odgovarajućom superpozicijom utjecajnih linija za Qi0 i H. S obzirom na ab’ kao nultu liniju, obje su utjecajne linije u ovom slučaju utjecajne linije jednostavne grede. Za konstrukciju ili kontrolu utjecajnih linija, ovdje se mogu koristiti odsječci nQ i nN linije bg i linije povučene kroz a paralelno. normala na tangentu koja preklapa kut φ__i s horizontalom. U slučaju paraboličnog luka s tri zgloba, ukupna površina utjecajne linije za poprečnu silu mora biti jednaka nuli.
Sl. 16.
Lukovi i horizontalni potisak: položaj zglobova, geometrija osi, krutost temelja i prihvaćanje horizontalnih reakcija presudni su za ponašanje sustava. Promjena oslonca, napetosti, vješalice ili faze montiranja može promijeniti tijek sila; povijesni idealizirani crtež nije dovoljan za smaknuće ili rehabilitaciju.
Ukrućena pramčana greda i viseći nosač
Vertikalno opterećenje
Okomite reakcije pri vertikalnom opterećenju krutih ploča statički određenih lučnih oslonaca ukrućenih gredama, visećim osloncima i lukovima na tri zgloba i napetost na sl. 17 a do f dobivaju se iz jednadžbi A0 = 1/l * ∑Pnbn i B0 = 1/l * ∑Pnan kada je A0 = A+K’’l, B0 = B+K’’r i za ostale sustave A = A0, B=B0. Reakcije A i B za sustave a i d tada se određuju iz:
A = A0 – K’’l = A0 – H(tgal-tg__δ)
B = B0 – K’’r = B0 – H(tgar+tg__δ)
Sl. 17.
Za sustave a, d, e i f horizontalna reakcija je C=0, a za sustav b je E=0. Horizontalni potisak, odnosno horizontalna napetost H sustava a do d, horizontalna komponenta sile u luku sustava e i sila u napetosti sustava f određuju se na temelju jednadžbe (1). Sljedeća tablica sadrži pregled reakcija oslonaca i sila u šipkama Sn i Zn za pojedine sustave.
Horizontalno opterećenje
Ako horizontalna sila W djeluje na ploče na udaljenosti c od spoja g (sl. 17 a do e), reakcije oslonaca koje ona uzrokuje su:
Linije utjecaja
Utjecajne linije za posmične sile dobivene su na temelju sličnosti u ponašanju ovih sustava i jednostavnog trozglobnog luka. Za štapni luk s gredom za ukrućenje ispod luka (Langerova greda) na sl. Prikazane su utjecajne linije 18 za U2, D4 i L4. Sila u štapu U2 se dobiva iz momenta za točku 2 gornjeg remena: U2 = M2/h. Iz uvjeta ∑V=0 dobivamo D4 = Q40/sin__φ – Mg0/f tga4/sin__φ. Također iz uvjeta ∑V=0 slijedi (opterećenje na donjem pojasu) L4 = -Q50 + Mg0/f * tga4.
Sl. 18.
Ako čvorovi trozglobnog luka s punom gredom za ukrućenje (sl. 19) leže na kvadratnoj paraboli i ako spoj leži u osi grede, tada uz jednako raspoređeno opterećenje g t/m momenti savijanja iznose M=0 na mjestima vješalice, a M=g__λ__2/8 u sredini polja između vješalica.
Sl. 19.
Vješalice, spone i ukrućenja: ovi elementi i njihovi spojevi mogu biti osjetljivi na nesavršenosti, sekundarna naprezanja, zamor, koroziju, gubitak prednaprezanja i uvjete sklapanja. Njihova zamjena, dotezanje ili uklanjanje ne provodi se bez projekta privremenog i konačnog stanja.
Nosači okvira
Sl. 20.
Sl. 20 prikazuje momentni dijagram trozglobnog okvira s prepustima i visećim nosačima zbog jednako raspoređenog punog opterećenja. Utjecajna linija za moment Me dobiva se na temelju izraza Me=-Hh + Mk, superpozicijom utjecajne linije za horizontalni potisak H (s multiplikatorom -h) i za moment savijanja Mk na prepustu.
U slučaju nesimetričnog opterećenja simetričnih nosača, proračun se često može pojednostaviti dijeljenjem opterećenja na simetrično i antisimetrično opterećenje, sl. 21. Ovo posebno vrijedi za nosače okvira na sl. 22 i 23, koji prikazuju dijagrame momenata uslijed koncentrirane sile na proizvoljnom mjestu gornjeg nosača. Horizontalno opterećenje u visini grede može se shvatiti kao antimetrijsko. Budući da se horizontalno opterećenje potporne konstrukcije može smatrati virtualnim opterećenjem za proračun vodoravnih pomaka potpornje, iz momentnih površina može se odmah zaključiti na koju se stranu pomakne potpora tijekom vertikalnog opterećenja. Ovi pomaci se dobivaju kombinacijom antimetrijskih ravnotežnih stanja. Stoga, za slučajeve na sl. 22 i 23 podcrtano se pomiče udesno.
Sl. 21.
Sl. 22.
Sl. 23.
Okviri i pomaci: zaključak o smjeru pomaka iz idealiziranog dijagrama ne zamjenjuje provjeru deformacija, učinaka drugog reda, stabilnosti, krutosti spojeva, temelja i nenosivih elemenata. Granična stanja nosivosti i uporabljivosti provjeravaju se na kompletnom modelu.
Prostorne mreže
Sl. 24.
Schwedlerova kupola (sl. 24) i rešetkasta piramida s prorezima (sl. 25), kao poseban slučaj Schwedlerove kupole gdje meridijani nemaju prekida, s m katova i n stranica, sastoje se od m*n meridionalne šipke S, (m+1)n šipke prstenova R i m*n dijagonalne šipke D. Kako je broj čvorova k=(m+1)n nosač statički određen kada je broj nosača a = 3k-s = 2n, tj. kada je svaki temelj teme oslonjen na linearno težište s vertikalnim i horizontalnim osloncem. Ako šipke donjeg prstena padnu, potreban je stacionarni ležaj s tri nosača u svakom vrhu. Treba ispitati uporabljivost rasporeda horizontalnih oslonaca. Smjerovi oslonca na sl. 26 su netočno odabrani jer je moguće nacrtati neproturječan plan polova.
Sl. 25.
Trapezi oblikovani meridijanskim šipkama i prstenastim šipkama mogu se ukrutiti K-ispunom. Rezultirajuće čvorove treba smatrati čvorovima ravne rešetke. Opterećenja se mogu prenositi samo preko glavnih čvorova. Vertikalno opterećenje P koje napada čvor razložit će se na komponentu _Ks=Ps/_λ u smjeru meridijana i na horizontalnu komponentu _H=Pa/_λ. Horizontalna komponenta dalje se rastavlja na komponente u smjeru prstenastih šipki _Kl=Hc/a=Pc/_λ _i Kr=Hb/a=Pb/_λ.
Na isti način se određuju komponente Kl i Kr proizvoljne horizontalne sile W, tako da shema opterećenja prikazana na sl. 27. Komponente Ks u smjeru meridijanskih šipki nisu prikazane na slici.
Sl. 26 odnosno 27.
Kada su oslonac i teret P ciklički simetrični, tada su sile Kl jednake silama Kr, pa su dijagonale nenapregnute dok su sile u poludnevnim štapovima:
_S1 = -P1s/_λ; S2 = -(P1+P2)s/λ; S3 = -(P1+P2+P3)s/λ
i u prstenastim šipkama:
_Ri = Pib/_λ
Proračun Schwedlerove kupole može se izvesti na isti način kada se svaki kat shvati kao rešetkasta piramida. Osim aktivnih sila P i W, tada treba kao vanjske sile uvesti i sile u šipkama S i D gornjeg kata. njihove komponente u smjeru meridijanske šipke i prstenaste šipke. Dok se u rešetkastoj piramidi utjecaj jedne koncentrirane sile osjeća samo u štapićima dviju susjednih ploča, kod Schwedlerove kupole njezin se utjecaj proteže na znatno veći broj štapića. Na sl. 24 su označene šipke koje su napregnute zbog sile P u tjemenskom prstenu.
Prostorne rešetke i kupole: stabilnost ovih sustava ovisi o prostornom radu, potpori, geometrijskim nesavršenostima, izvijanju šipki, krutosti čvorova, privremenom prianjanju i redoslijedu montaže. Ravna skica ili pojedinačna jednadžba ne dokazuje globalnu stabilnost, rezervu nosivosti ili sigurnost tijekom dizanja.