Contenu expert en archives : l’article conserve des procédures historiques, des formules, des tableaux et des dessins dans le domaine des structures statiques, mais n’est pas un projet, un calcul statique, une preuve de capacité de charge, un plan d’assemblage ou une évaluation d’un bâtiment existant. Les supports, les portées, les charges, les combinaisons d’actions, la géométrie, les matériaux, les connexions, la stabilité, la fatigue, la sismicité et les phases de construction doivent être déterminés pour un objet spécifique selon les normes en vigueur. Les structures portantes sont conçues et vérifiées par des ingénieurs agréés responsables.
Savo Kusić se concentre aujourd’hui sur les fenêtres en bois, fenêtres en bois-aluminium, fenêtres sur mesure, portes et demandes de devis. Cet article reste une archive historique et ne représente pas une offre de conception, de calcul ou d’exécution de structures de bâtiment.
Formules et marques : les expressions mathématiques dans le texte ont été transférées numériquement à partir d’une source numérisée et peuvent contenir des erreurs typographiques ou OCR. Ils ne doivent pas être entrés dans un calcul sans comparaison avec une source faisant autorité, vérifiant les unités, les signes, les hypothèses et les conditions aux limites.
Poutre simple
Les réactions d’appui, les moments de flexion, les déformations et les moments statiques de la surface M0\ pour certains cas de charge fréquents sont donnés dans le tableau 1.
Charge permanente avec forces concentrées
Pour une charge symétrique (fig. 1), le calcul est le plus simple à réaliser en utilisant deux colonnes d’addition sous forme de tableau. Basé sur la relation entre la charge, la force transversale et le moment
_Qn = Qn+1 + Pn et Mn+1/_λ _= Mn/_λ + Qn+1
d’abord, la force transversale dans le champ n est déterminée à partir de la force transversale au milieu de la poutre, puis les moments de flexion en points individuels à partir de la valeur Mi/λ.
Fig. 1 avec tables auxiliaires.
Lorsque la charge est asymétrique et que les distances de force sont égales, les tableaux suivants conviennent au calcul (fig. 2). Toute charge asymétrique peut être selon la fig. Remplacez 3 par une charge antimétrique, souvent très utile dans le calcul. A la place des forces Pi et P’i, dans le cas d’un chargement symétrique, les forces (Pi+P’i)/2 apparaissent aux points i et i’, et dans le cas d’un chargement antimétrique, la force (Pi-P’i)/2 apparaît au point i et la force -(Pi-P’i)/2 au point i’. Lorsque les réactions d’appui sont déterminées sous chargement antimétrique, les forces transversales et les moments de flexion peuvent également être déterminés dans le tableau.
Fig. 2.
Fig. 3.
Charge mobile
Le moment de flexion à l’emplacement i est obtenu graphiquement en utilisant le polygone de force et le polygone de chaîne pour la charge donnée. Un polygone en chaîne peut être dessiné comme le montre la fig. 4. Afin de déterminer la position de charge la plus défavorable pour le moment à l’emplacement i, la poutre est déplacée sous charge (Fig. 5) jusqu’à ce que la valeur max η__i soit déterminée à partir de laquelle max_Mi_ = H * max_η__i_ est déterminé. La force transversale la plus grande au point i est obtenue lorsque la charge est déplacée de manière à ce que la première force atteigne le point i. Il peut être obtenu à partir du polygone de forces de la fig. 6 : max_Oi_ = 1_/l_ * ∑Pibi. Un polygone est un polygone en chaîne avec un espacement des pôles H = l, dessiné pour un système mobile de forces concentrées lorsque la première force est sur le support b.
Fig. 4.
Fig. 5.
Fig. 6.
Charges mobiles : le choix de la position pertinente et de la combinaison des charges mobiles dépend de l’objectif de la structure, du modèle d’action, des influences dynamiques et des réglementations en vigueur. Le procédé graphique historique ne constitue pas une preuve suffisante de l’état le plus défavorable de la construction moderne.
Support avec joints
Charge constante
Tout d’abord, les réactions des appuis et les forces dans les articulations sont déterminées à partir des conditions d’équilibre et des conditions des articulations. Ensuite, les moments de flexion et les efforts transversaux pour les plaques de support individuelles peuvent être déterminés comme pour des poutres simples ou des poutres avec porte-à-faux. Sl. 7 montre le résultat du chargement de trois plaques avec des forces concentrées. La ligne des forces transversales passe sur les joints comme une constante, et la ligne des moments sans rupture, s’il n’y a pas de force concentrée agissant dans le joint.
Fig. 7.
Pour une charge également répartie sur l’ensemble du support, on obtient de grandes différences entre les moments sur les supports et les moments maximaux dans les champs, en fonction des rapports de portée et de la position des joints, fig. 8. Si, dans le cas de supports avec charnières à plus de deux ouvertures (fig. 9) et avec des portées égales l des champs médians, on choisit la portée des champs d’extrémité l1=0,8535_l_ et la position des joints c=0,1465_l_, alors avec une charge également répartie, les valeurs limites de la moments sur supports et dans des champs mutuellement égaux, M=0,0625_gl_2. Si les champs de fin ont également la plage l, alors pour eux max_M_=0,0957_gl_2.
Fig. 8.
Fig. 9.
Lignes d’influence
Selon la fig. 10 les lignes d’influence pour Mi et Qi entre les points a et b sont les mêmes que les lignes d’influence d’une poutre simple. Le tracé ultérieur de la ligne d’influence est déterminé par la position des supports et des articulations qui représentent les pôles principaux et intermédiaires de la chaîne cinématique créée en supprimant la grandeur statique au point i. De la même manière, les lignes d’influence pour Mr et Qr sont déterminées à partir de la poutre supportée aux points g1 et c. La charge de la poutre en porte-à-faux au niveau de la partie ag1 n’a aucun effet sur les moments et efforts transversaux au point r. Les lignes d’influence pour les moments et les forces transversales aux points de surplomb (k et v) sont obtenues plus facilement lorsque les ordonnées de la position de la charge dans l’assemblage sont déterminées.
Fig. 10.
Modèle de supports et d’assemblages : la rigidité réelle des joints, le tassement des supports, les jeux, le frottement, les imperfections et l’ordre d’assemblage peuvent modifier la répartition des forces par rapport au modèle idéalisé. Les hypothèses doivent être mises en correspondance avec les détails de construction et vérifiées pour toutes les phases pertinentes.
Arc à trois articulations
En cas de chargement arbitraire de l’arc sur trois joints, les réactions des supports peuvent être déterminées graphiquement. Résultante R1 de forces actives qui selon la fig. 11 agissant sur la plaque gauche doit être en équilibre avec la réaction Kb1, dont la ligne d’attaque doit passer par l’articulation g, et la réaction Ka1. De la même manière, il y a Ka2 et Kb2, dus à R2. Avec action simultanée R1 et R2 sont obtenus par déplacement et empilement parallèles des forces de réaction finales Ka et Kb et de la pression conjointe G.
Figue.11.
Avec la solution analytique, il est pratique d’effectuer le calcul notamment pour les charges horizontales et surtout verticales.
Charge horizontale
La charge horizontale de la fig.12provoque des réactions
Figue.12.
où C et D sont les composantes de la réaction dans la direction joignant les points a et b. ∑H = C*cos_a_ – D_cos_a + ∑W =0. Les efforts tranchants en place sont :
Ni = -Asin__φ__i – Ccos(φ__i-a) – Wmcos__φ__i_,_
Qi = +Acos__φ__i – Csin(φ__i-a) – Wmsin__φ__i,
Mi = A__x__i _– Ccosa*_y__i – Wm(salut-hm).
Charge verticale
Charge verticale de l’arc sur trois articulations de la fig. 13 provoque les réactions A0 et B0, qui sont égales aux réactions de la poutre simple de portée l, et la poussée horizontale C=cosa = Dcosa = H = Mg0/f (1), où Mg0 est le moment sur la poutre simple en section g. Avec les composantes verticales C et D les composantes verticales finales des réactions sont A = A0 + H_tg_a ; B = B0 – H_tg_a. Si l’axe de l’arc est une parabole carrée, yi = f xi x’i/la lb, alors pour une pleine charge également divisée g t/m (fig. 14) Mi=0, Qi=0.
Fig. 13.
Fig. 14.
Lignes d’influence
Les lignes d’influence pour les réactions A0 et B0 sont les mêmes que les lignes d’influence d’un simple faisceau. La ligne d’influence pour la poussée horizontale H est obtenue selon l’équation (1) à partir de la ligne d’influence pour le moment Mg0 de la poutre simple, fig. 15. La ligne d’influence pour le moment fléchissant Mi est constituée des lignes d’influence avec Mi0 et H, cette dernière étant multipliée par -yi. Ces deux lignes d’influence se superposent à la droite ab’ comme une ligne zéro, d’où sont tirées les sections aa’ = xi et bb’ = -lb yi/f. La différence montrée par le mouvement ai’g’b représente la ligne d’influence finale pour Mi. Le diviseur ou point zéro de la ligne d’influence correspondant au pôle principal de la plaque ig est obtenu par l’intersection des lignes ai et bg. Il peut également être utilisé pour la construction de la ligne d’influence, où une simple poutre de portée a – n est introduite. Dans le cas d’un arc dont l’axe est une parabole carrée, la charge également répartie ne provoque pas de moments de flexion, donc l’aire totale de la ligne d’influence doit être égale à zéro.
Fig. 15.
Sur la fig. Les lignes d’influence 16 pour Qi et Ni ont été obtenues par superposition correspondante de lignes d’influence pour Qi0 et H. Par rapport à ab’ comme ligne zéro, les deux lignes d’influence sont dans ce cas les lignes d’influence d’un simple faisceau. Pour la construction ou le contrôle de lignes d’influence, on peut ici utiliser respectivement les sections nQ et nN de la ligne bg et la ligne tracée par a en parallèle. normale à la tangente qui chevauche l’angle φ__i avec l’horizontale. Dans le cas d’un arc parabolique à trois articulations, l’aire totale de la ligne d’influence de l’effort transversal doit être égale à zéro.
Fig. 16.
Arcs et poussée horizontale : la position des joints, la géométrie de l’axe, la rigidité de la fondation et l’acceptation des réactions horizontales sont cruciales pour le comportement du système. Changer la phase de support, de tension, de suspension ou de montage peut modifier le flux des forces ; le dessin historique idéalisé ne suffit pas pour l’exécution ou la réhabilitation.
Arc renforcé avec poutre et support de suspension
Charge verticale
Réactions verticales lors du chargement vertical de plaques rigides de supports d’arc déterminés statiquement et rigidifiés par une poutre, supports suspendus et arcs sur trois articulations et tension sur la fig. 17 a à f sont obtenus à partir des équations A0 = 1/l * ∑Pnbn et B0 = 1/l * ∑Pnan lorsque A0 est mis pour les systèmes a et d = A+K’’l, B0 = B+K’’r et pour les autres systèmes A = A0, B=B0. Les réactions A et B pour les systèmes a et d sont ensuite déterminées à partir de :
A = A0 – K’’l = A0 – H(tgal-tg__δ)
B = B0 – K’’r = B0 – H(tgar+tg__δ)
Fig. 17.
Pour les systèmes a, d, e et f la réaction horizontale est C=0, et pour le système b elle est E=0. La poussée horizontale, ou tension horizontale H du système a à d, la composante horizontale de la force en arc du système e et la force en tension du système f sont déterminées sur la base de l’équation (1). Le tableau suivant contient un aperçu des réactions des appuis et des forces dans les tiges Sn et Zn pour les systèmes individuels.
Charge horizontale
Si une force horizontale W agit sur les plaques à une distance c du joint g (fig. 17 a à e) les réactions des appuis qu’elle provoque sont :
Lignes d’influence
Les lignes d’influence des forces de cisaillement sont obtenues sur la base de la similitude du comportement de ces systèmes et d’un simple arc à trois articulations. Pour un arc en bâton avec une poutre de raidissement sous l’arc (poutre de Langer) sur la fig. 18 les lignes influentes pour U2, D4 et L4 sont affichées. La force dans la tige U2 est obtenue à partir du moment pour le point 2 de la ceinture supérieure : U2 = M2/h. A partir de la condition ∑V=0 nous obtenons D4 = Q40/sin__φ – Mg0/f tga4/sin__φ. De la condition ∑V=0 il résulte également (charge sur la courroie inférieure) L4 = -Q50 + Mg0/f * tga4.
Fig. 18.
Si les nœuds d’un arc à trois articulations avec une poutre pleine pour le raidissement (fig. 19) se trouvent sur une parabole carrée et si l’assemblage se trouve dans l’axe de la poutre, alors avec une charge également répartie g t/m les moments de flexion sont M=0 aux endroits des suspentes, et M=g__λ__2/8 au milieu du terrain entre les cintres.
Fig. 19.
Suspensions, tendeurs et raidisseurs : ces éléments et leurs assemblages peuvent être sensibles aux imperfections, contraintes secondaires, fatigue, corrosion, perte de précontrainte et conditions d’assemblage. Leur remplacement, serrage ou retrait ne s’effectue pas sans un projet d’état provisoire et définitif.
Supports de cadre
Fig. 20.
Fig. 20 montre le diagramme des moments d’un cadre à trois charnières avec des porte-à-faux et des poutres suspendues en raison d’une pleine charge également répartie. La ligne d’influence pour l’instant Me est obtenue à partir de l’expression Me=-Hh + Mk, par superposition de la ligne d’influence pour la poussée horizontale H (avec le multiplicateur -h) et pour le moment de flexion Mk sur le porte-à-faux.
Dans le cas de chargement non symétrique de supports symétriques, le calcul peut souvent être simplifié en divisant la charge en chargement symétrique et anti-symétrique, fig. 21. Cela est particulièrement vrai pour les supports de cadre de la fig. 22 et 23, qui montrent les diagrammes de moments dus à la force concentrée à un endroit arbitraire du support supérieur. La charge horizontale à la hauteur de la solive peut être considérée comme antimétrique. Puisque la charge horizontale de la sous-jambe peut être considérée comme une charge virtuelle pour le calcul des déplacements horizontaux de la sous-jambe, on peut immédiatement déduire des surfaces de moment de quel côté la sous-jambe se déplace pendant la charge verticale. Ces déplacements sont obtenus en combinant des états d’équilibre antimétriques. Ainsi, pour les cas de la fig. 22 et 23 le soulignement se déplace vers la droite.
Fig. 21.
Fig. 22.
Fig. 23.
Portes et déplacements : la conclusion du sens de déplacement à partir du schéma idéalisé ne remplace pas la vérification des déformations, des effets du second ordre, de la stabilité, de la raideur des joints, des fondations et des éléments non porteurs. Les états limites de capacité de charge et d’utilisabilité sont vérifiés sur le modèle complet.
Grilles spatiales
Fig. 24.
Schwedler (fig. 24) et la pyramide à grille fendue (fig. 25), comme cas particulier du dôme de Schwedler où les méridiens n’ont pas de cassure, avec m étages et n côtés, sont constitués de m*n tiges méridionales S, (m+1)n tiges d’anneaux R et m*n tiges diagonales D. Comme le nombre de nœuds k=(m+1)n l’appui est déterminé statiquement lorsque le nombre d’appuis a = 3k-s = 2n, c’est-à-dire lorsque chaque semelle du thème repose sur un centre de gravité linéaire avec support vertical et horizontal. Si les tiges de l’anneau inférieur tombent, un roulement fixe avec trois supports est nécessaire à chaque sommet. L’utilité de la disposition des supports horizontaux devrait être examinée. Les directions d’appui de la fig. 26 ont été mal choisis car il est possible de dessiner un plan de pôles non contradictoire.
Fig. 25.
Les trapèzes formés par les tiges méridiennes et les tiges annulaires peuvent être rigidifiés avec un remplissage K. Les nœuds résultants doivent être considérés comme des nœuds d’un réseau plat. Les charges ne peuvent être transférées que via les nœuds principaux. La charge verticale P qui attaque au nœud va se décomposer en une composante _Ks=Ps/_λ en direction du méridien et en une composante horizontale _H=Pa/_λ. La composante horizontale est ensuite décomposée en composantes dans la direction des tiges annulaires _Kl=Hc/a=Pc/_λ _et Kr=Hb/a=Pb/_λ.
De la même manière, les composantes Kl et Kr de la force horizontale arbitraire W sont déterminées, de sorte que le schéma de charge représenté sur la fig. 27. Les composants Ks dans la direction des tiges méridiennes ne sont pas représentés sur l’image.
Fig. 26 et 27, respectivement.
Lorsque l’appui et la charge P sont cycliquement symétriques, alors les forces Kl sont égales aux forces Kr, donc les diagonales ne sont pas contraintes tandis que les forces sont dans les tiges méridiennes :
_S1 = -P1s/_λ ; S2 = -(P1+P2)s/λ ; S3 = -(P1+P2+P3)s/λ
et en tiges annulaires :
_Ri = Pib/_λ
Le calcul du dôme de Schwedler peut être effectué de la même manière lorsque chaque étage est compris comme une pyramide en treillis. Outre les forces actives P et W, les forces dans les barres S et D de l’étage supérieur doivent alors être introduites respectivement comme forces externes. leurs composants en direction de la tige méridienne et des tiges annulaires. Alors que dans la pyramide en treillis, l’influence d’une force concentrée se fait sentir uniquement sur les tiges de deux plaques adjacentes, dans le cas du dôme de Schwedler, son influence s’étend à un nombre beaucoup plus grand de tiges. Sur la fig. 24 sont des tiges marquées qui sont sollicitées en raison de la force P dans l’anneau de sommet.
Fermes et dômes spatiaux : la stabilité de ces systèmes dépend du fonctionnement spatial, du support, des imperfections géométriques, du flambement des tiges, de la rigidité des nœuds, de l’adhérence temporaire et de la séquence d’assemblage. Un croquis à plat ou une équation individuelle ne prouve pas la stabilité globale, la réserve de charge ou la sécurité lors du levage.