Treść ekspercka archiwalna: artykuł zachowuje historyczne procedury, wzory, tabele i rysunki z zakresu konstrukcji statycznych, ale nie jest projektem, obliczeniami statycznymi, dowodem nośności, planem montażu ani oceną istniejącego budynku. Podpory, rozpiętości, obciążenia, kombinacje oddziaływań, geometrię, materiały, połączenia, stabilność, zmęczenie, sejsmiczność i fazy konstrukcyjne muszą być określone dla konkretnego obiektu zgodnie z obowiązującymi normami. Konstrukcje nośne są projektowane i sprawdzane przez odpowiedzialnych, autoryzowanych inżynierów.
Savo Kusić koncentruje się dziś na oknach drewnianych, oknach drewniano-aluminiowych, oknach na wymiar, drzwiach i zapytaniach ofertowych. Artykuł ten ma charakter archiwum historycznego i nie stanowi oferty projektowania, obliczeń ani wykonawstwa konstrukcji budowlanych.
Wzory i znaki: wyrażenia matematyczne w tekście zostały przeniesione cyfrowo ze zeskanowanego źródła i mogą zawierać błędy typograficzne lub OCR. Nie należy ich wprowadzać do obliczeń bez porównania z wiarygodnym źródłem, sprawdzenia jednostek, znaków, założeń i warunków brzegowych.
Belka prosta
Reakcje podporowe, momenty zginające, odkształcenia i momenty statyczne powierzchni M0-dla niektórych często występujących przypadków obciążeń podano w tabeli 1.
Stałe obciążenie siłami skupionymi
W przypadku obciążenia symetrycznego (rys. 1) obliczenia najłatwiej przeprowadzić stosując dwie kolumny dodawane w formie tabeli. W oparciu o związek między obciążeniem, siłą poprzeczną i momentem
_Qn = Qn+1 + Pn i Mn+1/_λ _= Mn/_λ + Qn+1
najpierw wyznaczana jest siła poprzeczna w polu n począwszy od siły poprzecznej w środku belki, a następnie momenty zginające w poszczególnych punktach począwszy od wartości Mi/λ.
Rys. 1 z tabelami pomocniczymi.
Gdy obciążenie jest asymetryczne i odległości sił są równe, do obliczeń odpowiednie są poniższe tabele (rys. 2). Każde obciążenie asymetryczne może być zgodne z rys. Zastąp 3 jednym obciążeniem antymetrycznym, które często jest bardzo przydatne w obliczeniach. Zamiast sił Pi i P’i w przypadku obciążenia symetrycznego w punktach i i i’ pojawiają się siły (Pi+P’i)/2, a w przypadku obciążenia antymetrycznego w punkcie i pojawia się siła (Pi-P’i)/2 i siła -(Pi-P’i)/2 w punkcie i’. Gdy reakcje podporowe są określane pod obciążeniem antymetrycznym, w tabeli można również określić siły poprzeczne i momenty zginające.
Rys. 2.
Figa.3.
Ruchomy ładunek
Moment zginający w lokalizacji i jest uzyskiwany graficznie przy użyciu wielokąta siły i wielokąta łańcucha dla danego obciążenia. Można narysować wielokąt łańcuchowy, jak pokazano na ryc. 4. W celu określenia najbardziej niekorzystnego położenia obciążenia dla chwili w miejscu i, belkę przesuwa się pod obciążeniem (rys. 5) aż do ustalenia wartości max η__i, z której wyznacza się max_Mi_ = H * max_η__i_. Największą siłę poprzeczną w punkcie i uzyskuje się, gdy obciążenie zostanie przesunięte tak, że pierwsza siła osiągnie punkt i. Można to uzyskać z wielokąta sił na ryc. 6: max_Oi_ = 1_/l_ * ∑Pibi. Wielokąt A jest wielokątem łańcuchowym o rozstawie biegunów H = l, narysowanym dla poruszającego się układu sił skupionych, gdy pierwsza siła znajdzie się nad podporą b.
Figa.4.
Rys. 5.
Rys. 6.
Obciążenia ruchome: wybór odpowiedniego położenia i kombinacji obciążeń ruchomych zależy od przeznaczenia konstrukcji, modelu działania, wpływów dynamicznych i obowiązujących przepisów. Historyczna procedura graficzna nie jest wystarczającym dowodem na najbardziej niekorzystny stan współczesnego budownictwa.
Wspornik z przegubami
Stałe obciążenie
Po pierwsze, reakcje podpór i sił w przegubach określa się na podstawie warunków równowagi i warunków dla przegubów. Następnie można wyznaczyć momenty zginające i siły poprzeczne dla poszczególnych płyt nośnych jak dla belek prostych lub belek z wysięgami. Śl. 7 pokazuje wynik obciążenia trzech płyt siłami skupionymi. Linia sił poprzecznych przechodzi przez przeguby jako stała, a linia momentu bez przerw, jeżeli w złączu nie działa siła skupiona.
Rys. 7.
Przy równomiernie rozłożonym obciążeniu na całej podporze uzyskuje się duże różnice pomiędzy momentami na podporach i maksymalnymi momentami w polach, w zależności od proporcji rozpiętości i położenia przegubów, rys. 8. Jeżeli w przypadku podpór z zawiasami posiadającymi więcej niż dwa otwory (rys. 9) i o równych rozpiętościach l pól środkowych, zostanie wybrany rozpiętość pól końcowych l1=0,8535_l_ i położenie przegubów c=0,1465_l_, to przy równomiernie rozłożonym obciążeniu, wartości graniczne momentów nad podporami i we wzajemnie równych polach, M=0,0625_gl_2. Jeśli pola końcowe również mają zakres l, to dla nich max_M_=0,0957_gl_2.
Rys. 8.
Rys. 9.
Linie wpływu
Według rys. 10 linie wpływu dla Mi i Qi pomiędzy punktami a i b są takie same jak linie wpływu prostej belki. Dalszy przebieg linii wpływu wyznacza położenie podpór i przegubów, które reprezentują bieguny główne i pośrednie łańcucha kinematycznego utworzonego poprzez usunięcie wielkości statycznej w punkcie i. W podobny sposób wyznaczane są linie wpływu dla Mr i Qr zaczynając od belki podpartej w punktach g1 i c. Obciążenie belki zwisem w części ag1 nie ma wpływu na momenty i siły poprzeczne w punkcie r. Linie wpływu momentów i sił poprzecznych w punktach nawisu (k i v) najłatwiej uzyskać, wyznaczając współrzędne położenia obciążenia w połączeniu.
Rys. 10.
Model podpór i połączeń: rzeczywista sztywność połączeń, osiadanie podpór, luzy, tarcie, niedoskonałości i kolejność montażu mogą zmienić rozkład sił w porównaniu do modelu wyidealizowanego. Założenia należy dopasować do szczegółów konstrukcyjnych i sprawdzić na wszystkich istotnych etapach.
Łuk trójprzegubowy
Przy dowolnym obciążeniu łuku na trzech przegubach reakcje podpór można określić graficznie. Wynikowy R1 sił czynnych, które zgodnie z rys. 11 działające na lewą płytkę musi być w równowadze z reakcją Kb1, której linia natarcia musi przechodzić przez złącze g, oraz reakcją Ka1. W ten sam sposób istnieją Ka2 i Kb2, ze względu na R2. Przy jednoczesnym działaniu R1 i R2 uzyskuje się przez równoległe przemieszczenie i nałożenie końcowych sił reakcji Ka i Kb oraz nacisku złącza G.
Figa.11.
Dzięki rozwiązaniu analitycznemu wygodnie jest przeprowadzać obliczenia szczególnie dla obciążeń poziomych, a zwłaszcza pionowych.
Obciążenie poziome
Obciążenie poziome na ryc.12powoduje reakcje
Figa.12.
gdzie C i D to składowe reakcji w kierunku łączącym punkty a i b. ∑H = C*cos_a_ – D_cos_a + ∑W =0. Występujące siły ścinające wynoszą:
Ni = -Asin__φ__i – Ccos(φ__i-a) – Wmcos__φ__i_,_
Qi = +Acos__φ__i – Csin(φ__i-a) – Wmsin__φ__i,
Mi = A__x__i _– Ccosa*_y__i – Wm(cześć-hm).
Obciążenie pionowe
Obciążenie pionowe łuku na trzech przegubach na ryc. 13 powoduje reakcje A0 i B0, które są równe reakcjom belki prostej o rozpiętości l i ciągu poziomego C=cosa = Dcosa = H = Mg0/f (1), gdzie Mg0 jest momentem na prostej belka w przekroju g. W przypadku składowych pionowych C i D końcowe składowe pionowe reakcji wynoszą A = A0 + H_tg_a; B = B0 – H_tg_a. Jeżeli oś łuku jest parabolą kwadratową, yi = f xi x’i/la lb, to dla równo podzielonego pełnego obciążenia g t/m (rys. 14) Mi=0, Qi=0.
Rys. 13.
Rys. 14.
Linie wpływu
Linie wpływu dla reakcji A0 i B0 są takie same jak linie wpływu prostej belki. Linię wpływu naporu poziomego H wyznacza się według równania (1) z linii wpływu dla chwili Mg0 belki prostej, rys. 2. 15. Linia wpływu momentu zginającego Mi składa się z linii wpływu z Mi0 i H, gdzie ta ostatnia jest mnożona przez -yi. Te dwie linie wpływowe nakładają się na prostą ab’ jako linia zerowa, z której rysowane są odcinki aa’ = xi i bb’ = -lb yi/f. Różnica pokazana przez ruch ai’g’b reprezentuje ostateczną linię wpływu dla Mi. Dzielnik lub punkt zerowy linii wpływu odpowiadający głównemu biegunowi płyty ig uzyskuje się przez przecięcie linii ai i bg. Można go również wykorzystać do budowy linii wpływów, gdzie wprowadza się prostą belkę o rozpiętości a – n. W przypadku łuku, którego oś jest parabolą kwadratową, równomiernie rozłożone obciążenie nie powoduje momentów zginających, dlatego całkowite pole linii wpływu musi być równe zeru.
Rys. 15.
Na rys. 16 linie wpływu dla Qi i Ni otrzymano poprzez odpowiednią superpozycję linii wpływów dla Qi0 i H. W odniesieniu do ab’ jako linii zerowej obie linie wpływu są w tym przypadku liniami wpływu prostej belki. Do budowy lub kontroli linii wpływowych można tutaj zastosować odpowiednio odcinki nQ i nN linii bg oraz linię poprowadzoną równolegle. normalna do stycznej, która pokrywa się z kątem φ__i z poziomem. W przypadku łuku parabolicznego z trzema przegubami całkowita powierzchnia linii wpływu siły poprzecznej musi być równa zero.
Rys. 16.
Łuki i nacisk poziomy: położenie połączeń, geometria osi, sztywność fundamentu i akceptacja reakcji poziomych mają kluczowe znaczenie dla zachowania systemu. Zmiana wspornika, naprężenia, wieszaka lub fazy montażu może zmienić przepływ sił; historyczny wyidealizowany rysunek nie wystarczy do wykonania lub rehabilitacji.
Łuk usztywniony belką i wieszakiem
Obciążenie pionowe
Reakcje pionowe podczas obciążenia pionowego płyt sztywnych statycznie określonych podpór łukowych usztywnionych belką, podporami wiszącymi i łukami na trzech przegubach oraz rozciąganie na rys. 17 a do f otrzymuje się z równań A0 = 1/l * ∑Pnbn i B0 = 1/l * ∑Pnan po umieszczeniu A0 dla systemów a i d = A+K’’l, B0 = B+K’’r oraz dla pozostałych systemów A = A0, B=B0. Reakcje A i B dla układów a i d wyznacza się następnie z:
A = A0 – K’’l = A0 – H(tgal-tg__δ)
B = B0 – K’’r = B0 – H(tgar+tg__δ)
Rys. 17.
Dla układów a, d, e i f reakcja pozioma wynosi C=0, a dla układu b jest to E=0. Napór poziomy, czyli rozciąganie poziome H układu a do d, składowa pozioma siły w łuku układu e i siła rozciągająca układu f wyznaczane są na podstawie równania (1). Poniższa tabela zawiera przegląd reakcji podpór i sił w prętach Sn i Zn dla poszczególnych układów.
Obciążenie poziome
Jeśli pozioma siła W działa na płyty w odległości c od złącza g (rys. 17 a do e), wywołane przez nią reakcje podpór są następujące:
Linie wpływu
Linie wpływu sił tnących uzyskuje się w oparciu o podobieństwo zachowania tych układów i prosty łuk trójprzegubowy. Dla łuku drążkowego z belką usztywniającą pod łukiem (belka Langera) na ryc. Pokazane są 18 wpływowe linie dla U2, D4 i L4. Siłę w pręcie U2 oblicza się z momentu dla punktu 2 pasa górnego: U2 = M2/h. Z warunku ∑V=0 otrzymujemy D4 = Q40/sin__φ – Mg0/f tga4/sin__φ. Również z warunku ∑V=0 wynika (obciążenie dolnego pasa) L4 = -Q50 + Mg0/f * tga4.
Rys. 18.
Jeśli węzły łuku trójprzegubowego z belką pełną do usztywnienia (rys. 19) leżą na paraboli kwadratowej i połączenie leży w osi belki, to przy równomiernie rozłożonym obciążeniu g t/m momenty zginające w miejscach wieszaków wynoszą M=0, oraz M=g__λ__2/8 na środku pola pomiędzy wieszakami.
Rys. 19.
Wsporniki, napinacze i usztywniacze: te elementy i ich połączenia mogą być wrażliwe na niedoskonałości, naprężenia wtórne, zmęczenie, korozję, utratę naprężenia wstępnego i warunki montażu. Ich wymiana, dokręcenie lub usunięcie nie odbywa się bez projektu stanu tymczasowego i końcowego.
Wsporniki ramy
Rys. 20.
Rys. 20 przedstawia wykres momentów ramy trójprzegubowej z nawisami i dźwigarami podwieszonymi ze względu na równomiernie rozłożone pełne obciążenie. Linię wpływu dla chwili Me uzyskuje się na podstawie wyrażenia Me=-Hh + Mk, poprzez superpozycję prostej oddziaływania dla naporu poziomego H (z mnożnikiem -h) i dla momentu zginającego Mk na zwisie.
W przypadku niesymetrycznego obciążenia podpór symetrycznych obliczenia można często uprościć dzieląc obciążenie na obciążenie symetryczne i antysymetryczne, rys. 21. Dotyczy to zwłaszcza wsporników ramy pokazanych na ryc. 22 i 23, które przedstawiają wykresy momentów od siły skupionej w dowolnym miejscu górnej podpory. Obciążenie poziome na wysokości legara można rozumieć jako antymetryczne. Ponieważ obciążenie poziome podpory można uznać za obciążenie wirtualne do obliczenia przemieszczeń poziomych podpory, można to natychmiast wywnioskować z powierzchni momentowych, w którą stronę podpora przesunie się podczas obciążenia pionowego. Przemieszczenia te uzyskuje się poprzez połączenie antymetrycznych stanów równowagi. Dlatego dla przypadków z rys. 22 i 23 podkreślenie przesuwa się w prawo.
Rys. 21.
Rys. 22.
Rys. 23.
Ramy i przemieszczenia: wyciągnięcie kierunku przemieszczeń z wyidealizowanego wykresu nie zastępuje sprawdzenia odkształceń, efektów drugiego rzędu, stateczności, sztywności połączeń, fundamentów i elementów nienośnych. Stany graniczne nośności i użyteczności sprawdzane są na całym modelu.
Siatki przestrzenne
Rys. 24.
Schwedlera (rys. 24) i piramida szczelinowa (rys. 25), jako szczególny przypadek kopuły Schwedlera, gdzie południki nie mają przerw, z m pięter i n bokami, składają się z m*n południkowych prętów S, (m+1)n pręty pierścieniowe R i m*n pręty ukośne D. Jako liczba węzłów k=(m+1)n podpora wyznaczana jest statycznie przy liczbie podpór a = 3k-s = 2n, tj. gdy każda podstawa motywu jest wsparta na liniowym środku ciężkości z podparciem pionowym i poziomym. Jeżeli odpadną pręty dolnego pierścienia, w każdym wierzchołku wymagane jest łożysko stacjonarne z trzema podporami. Należy zbadać użyteczność układu podpór poziomych. Kierunki podparcia na ryc. 26 zostały wybrane nieprawidłowo, ponieważ możliwe jest narysowanie niesprzecznego planu słupów.
Rys. 25.
Trapezy utworzone z prętów południkowych i pierścieniowych można usztywnić wypełnieniem K-. Powstałe węzły należy traktować jako węzły siatki płaskiej. Obciążenia można przenosić wyłącznie poprzez węzły główne. Obciążenie pionowe P atakujące węzeł zostanie rozłożone na składową _Ks=Ps/_λ w kierunku południka oraz na składową poziomą _H=Pa/_λ. Składowa pozioma jest dalej rozkładana na składowe w kierunku prętów pierścieniowych _Kl=Hc/a=Pc/_λ _i Kr=Hb/a=Pb/_λ.
W ten sam sposób wyznaczane są składowe Kl i Kr dowolnej siły poziomej W, tak aby schemat obciążenia pokazany na rys. 27. Na rysunku nie pokazano elementów Ks w kierunku prętów południka.
Rys. Odpowiednio 26 i 27.
Gdy podpora i obciążenie P są cyklicznie symetryczne, wówczas siły Kl są równe siłom Kr, więc przekątne nie są naprężone, podczas gdy siły są w prętach południków:
_S1 = -P1s/_λ; S2 = -(P1+P2)s/λ; S3 = -(P1+P2+P3)s/λ
oraz w pierścieniach:
_Ri = Pib/_λ
Obliczenia kopuły Schwedlera\ można przeprowadzić w ten sam sposób, gdy każde piętro jest rozumiane jako piramida kratowa. Oprócz sił czynnych P i W należy wówczas wprowadzić jako siły zewnętrzne odpowiednio siły w prętach S i D piętra. ich elementy w kierunku pręta południka i prętów pierścieniowych. O ile w piramidzie kratowej wpływ jednej siły skupionej odczuwany jest tylko w prętach dwóch sąsiednich płyt, o tyle w przypadku kopuły Schwedlera jej wpływ rozciąga się na znacznie większą liczbę prętów. Na ryc. 24 to oznaczone pręty, które są poddawane naprężeniom pod wpływem siły P w pierścieniu wierzchołkowym.
Kratownice i kopuły przestrzenne: stabilność tych systemów zależy od operacji przestrzennej, podparcia, niedoskonałości geometrycznych, wyboczenia prętów, sztywności węzłów, tymczasowego przylegania i kolejności montażu. Płaski szkic lub indywidualne równanie nie dowodzą globalnej stabilności, rezerwy nośności ani bezpieczeństwa podczas podnoszenia.