Arhivski stručni sadržaj: članak čuva istorijske postupke, formule, tablice i crteže iz oblasti statike konstrukcija, ali nije projekat, statički proračun, dokaz nosivosti, plan montaže ili procena postojećeg objekta. Oslonci, rasponi, opterećenja, kombinacije dejstava, geometrija, materijali, spojevi, stabilnost, zamor, seizmika i faze građenja moraju se utvrditi za konkretan objekat prema važećim standardima. Nosive konstrukcije projektuju i proveravaju odgovorni ovlašćeni inženjeri.
Savo Kusić danas je usmeren na drvene prozore, drvo-aluminijumske prozore, prozore po meri, vrata i zahteve za ponudu. Ovaj članak ostaje kao istorijski arhiv i ne predstavlja ponudu projektovanja, proračuna ili izvođenja građevinskih konstrukcija.
Formule i oznake: matematički izrazi u tekstu digitalno su preneti iz skeniranog izvora i mogu sadržati tipografske ili OCR nedostatke. Ne smeju se unositi u proračun bez poređenja sa autoritativnim izvorom, provere jedinica, znakova, pretpostavki i graničnih uslova.
Prosta greda
Reakcije oslonaca, momenti savijanja, deformacije i statički momenti M0-površina za neke slučajeve opterećenja koji se često pojavljuju dati su u tablici 1.
Stalno opterećenje koncentrisanim silama
Pri simetričnom opterećenju (sl. 1) račun je najlakše sprovesti putem dve adicione kolone u obliku tablice. Na osnovu veze između opterećenja, transverzalne sile i momenta
_Qn = Qn+1 + Pn i Mn+1/_λ _= Mn/_λ + Qn+1
određuje se najpre transverzalna sila u polju n polazeći od transverzalne sile u sredini grede a zatim momenti savijanja u pojedinim tačkama polazeći od vrednosti Mi/λ.
Sl. 1 sa pomoćnim tablicama.
Kada je opterećenje nesimetrično, a razmaci sila jednaki, za proračun su pogodne sledeće tablice (sl. 2). Svako nesimetrično opterećenje može se prema sl. 3 zameniti jednim antimetričnim opterećenjem, što je pri proračunu često vrlo korisno. Umesto sila Pi i P’i pri simetričnom slučaju opterećenja pojavljuju se sile (Pi+P’i)/2 u tačkama i i i’, a pri antimetričnom slučaju opterećenja pojavljuje se sila (Pi-P’i)/2 u tački i i sila -(Pi-P’i)/2 u tački i’. Kada su pri antimetričnom opterećenju određene reakcije oslonaca, transverzalne sile i momenti savijanja mogu se takođe odrediti u tablici.
Sl. 2.
Sl. 3.
Pokretno opterećenje
Moment savijanja na mestu i grafički se dobija pomoću poligona sila i verižnog poligona za dato opterećenje. Verižni poligon može se nacrtati kao što je pokazano na sl. 4. Da bi se odredio najnepovoljniji položaj opterećenja za moment na mestu i, nosač se pomera pod opterećenjem (sl. 5) dok se ne odredi vrednost max η__i iz koje se dobija max_Mi_ = H * max_η__i_. Najveća transverzalna sila u tački i dobija se kada se opterećenje pomeri tako da prva sila dođe do tačke i. Ona se može dobiti iz poligona sila na sl. 6: max_Oi_ = 1_/l_ * ∑Pibi. A-poligon je verižni poligon sa odstojanjem pola H = l, nacrtan za pokretan sistem koncentrisanih sila kada se prva sila nalazi nad osloncem b.
Sl. 4.
Sl. 5.
Sl. 6.
Pokretna opterećenja: izbor merodavnog položaja i kombinacije pokretnih tereta zavisi od namene konstrukcije, modela dejstva, dinamičkih uticaja i važećih propisa. Istorijski grafički postupak nije dovoljan dokaz najnepovoljnijeg stanja savremene konstrukcije.
Nosač sa zglobovima
Stalno opterećenje
Najpre se određuju reakcije oslonaca i sile u zglobovima iz uslova ravnoteže i uslova za zglobove. Zatim se momenti savijanja i transverzalne sile za pojedine ploče nosača mogu odrediti kao kod prostih greda, odn. greda sa prepustima. Sl. 7 pokazuje rezultat za opterećenje triju ploča koncentrisanim silama. Linija transverzalnih sila prelazi preko zglobova kao konstanta, a momentna linija bez preloma, ukoliko u zglobu ne deluje koncentrisana sila.
Sl. 7.
Za jednakopodeljeno opterećenje po čitavom nosaču dobijaju se poneka, prema odnosima raspona i položaju zglobova, velike razlike između momenata nad osloncima i maksimalnih momenata u poljima, sl. 8. Ako se kod nosača sa zglobovima sa više od dva otvora (sl. 9) i sa jednakim rasponima l srednjih polja izabere raspon krajnjih polja l1=0,8535_l_ i položaj zglobova c=0,1465_l_, tada se pri jednakopodeljenom opterećenju dobija da su granične vrednosti momenata nad osloncima i u poljima međusobno jednake, M=0,0625_gl_2. Ako i krajnja polja imaju raspon l, tada je za njih max_M_=0,0957_gl_2.
Sl. 8.
Sl. 9.
Uticajne linije
Prema sl. 10 uticajne linije za Mi i Qi između tačaka a i b iste su kao uticajne linije proste grede. Dalji tok uticajne linije određen je položajem oslonaca i zglobova koji predstavljaju glavne polove i međupolove kinematičkog lanca nastalog uklanjanjem statičke veličine u tački i. Na sličan način određuju se uticajne linije za Mr i Qr polazeći od grede oslonjene u tačkama g1 i c. Opterećenje grede sa prepustom na delu ag1 nema uticaja na momente i transverzalne sile u tački r. Uticajne linije za momente i transverzalne sile u tačkama prepusta (k i v) najlakše se dobijaju kada se odrede ordinate za položaj opterećenja u zglobu.
Sl. 10.
Model oslonaca i zglobova: stvarna krutost spojeva, sleganje oslonaca, zazori, trenje, imperfekcije i redosled montaže mogu promeniti raspodelu sila u odnosu na idealizovani model. Pretpostavke se moraju uskladiti sa detaljima konstrukcije i proveriti za sve merodavne faze.
Luk na tri zgloba
Pri proizvoljnom opterećenju luka na tri zgloba reakcije oslonaca mogu se odrediti grafički. Rezultanta R1 aktivnih sila koje prema sl. 11 deluju na levu ploču mora stajati u ravnoteži sa reakcijom Kb1, čija napadna linija mora prolaziti kroz zglob g, i reakcijom Ka1. Na isti način nalaze se Ka2 i Kb2, usled R2. Pri istovremenom dejstvu R1 i R2 dobijaju se paralelnim pomeranjem i slaganjem sila konačne reakcije Ka i Kb i pritisak u zglobu G.
Sl. 11.
Pri analitičkom rešenju proračun je zgodno sprovesti posebno za horizontalna i posebno za vertikalna opterećenja.
Horizontalno opterećenje
Horizontalno opterećenje na sl. 12 izaziva reakcije
Sl. 12.
gde su C i D komponente reakcija u pravcu koji spaja tačke a i b. Za kontrolu služi ∑H = C*cos_a_ – D_cos_a + ∑W = 0. Presečne sile na mestu i su:
Ni = -Asin__φ__i – Ccos(φ__i-a) – Wmcos__φ__i_,_
Qi = +Acos__φ__i – Csin(φ__i-a) – Wmsin__φ__i,
Mi = A__x__i _– Ccosa*_y__i – Wm(hi-hm).
Vertikalno opterećenje
Vertikalno opterećenje luka na tri zgloba na sl. 13 izaziva reakcije A0 i B0, koje su jednake reakcijama proste grede raspona l, i horizontalni potisak C=cosa = Dcosa = H = Mg0/f (1), gde je Mg0 moment na prostoj gredi u preseku g. Sa vertikalnim komponentama C i D konačne vertikalne komponente reakcija su A = A0 + H_tg_a; B = B0 – H_tg_a. Ako je osovina luka kvadratna parabola, yi = f xi x’i/la lb, tada je za jednakopodeljeno puno opterećenje g t/m (sl. 14) Mi=0, Qi=0.
Sl. 13.
Sl. 14.
Uticajne linije
Uticajne linije za reakcije A0 i B0 iste su kao uticajne linije proste grede. Uticajna linija za horizontalan potisak H dobija se prema jednačini (1) iz uticajne linije za moment Mg0 proste grede, sl. 15. Uticajna linija za moment savijanja Mi sastoji se iz uticajnih linija sa Mi0 i H, pri čemu se poslednja množi sa -yi. Ove dve uticajne linije superponirane su u odnosu na pravu ab’ kao nultu liniju, od koje su naneti odsečci aa’ = xi i bb’ = -lb yi/f. Razlika prikazana potezom ai’g’b predstavlja konačnu uticajnu liniju za Mi. Razdelnica ili nulta tačka uticajne linije koja odgovara glavnom polu ploče ig dobija se presekom pravih ai i bg. Ona se, takođe, može koristiti za konstrukciju uticajne linije, pri čemu se uvodi prosta greda raspona a – n. Kod luka čija je osovina kvadratna parabola jednakopodeljeno opterećenje ne izaziva momente savijanja, pa ukupna površina uticajne linije mora biti jednaka nuli.
Sl. 15.
Na sl. 16 dobijene su uticajne linije za Qi i Ni odgovarajućom superpozicijom uticajnih linija za Qi0 i H. U odnosu na ab’ kao nultu liniju, obe uticajne linije su u ovom slučaju uticajne linije proste grede. Za konstrukciju ili kontrolu uticajnih linija mogu ovde poslužiti preseci nQ i nN prave bg i prave provučene kroz a paralelno, odn. normalno na tangentu koja sa horizontalom zaklapa ugao φ__i. Kod paraboličnog luka na tri zgloba ukupna površina uticajne linije za transverzalnu silu mora biti jednaka nuli.
Sl. 16.
Lukovi i horizontalni potisak: položaj zglobova, geometrija ose, krutost temelja i prihvatanje horizontalnih reakcija presudni su za ponašanje sistema. Promena oslonca, zatege, vešaljke ili faze montaže može promeniti tok sila; istorijski idealizovani crtež nije dovoljan za izvođenje ili sanaciju.
Luk ukrućen gredom i viseći nosač
Vertikalno opterećenje
Vertikalne reakcije pri vertikalnom opterećenju krutih ploča statički određenih lučnih nosača ukrućenih gredom, visećih nosača i luka na tri zgloba i zategom na sl. 17 a do f dobijaju se iz jednačina A0 = 1/l * ∑Pnbn i B0 = 1/l * ∑Pnan kada se za sisteme a i d stavi A0 = A+K’’l, B0 = B+K’’r a za ostale sisteme A = A0, B=B0. Reakcije A i B za sisteme a i d određuju se tada iz:
A = A0 – K’’l = A0 – H(tgal-tg__δ)
B = B0 – K’’r = B0 – H(tgar+tg__δ)
Sl. 17.
Za sisteme a, d, e i f je horizontalna reakcija C=0, a za sistem b je E=0. Horizontalni potisak, odn. horizontalno zatezanje H sistema a do d, horizontalna komponenta sile u luku sistema e i sila u zatezi sistema f određuju se na osnovu jednačine (1). Sledeća tablica sadrži pregled reakcija oslonaca i sila u štapovima Sn i Zn za pojedine sisteme.
Horizontalno opterećenje
Ako na ploče deluje horizontalna sila W na odstojanju c od zgloba g (sl. 17 a do e) reakcije oslonaca koje ona izaziva su:
Uticajne linije
Uticajne linije za presečne sile dobijaju se na osnovu sličnosti u ponašanju ovih sistema i običnog luka na tri zgloba. Za štapasti luk sa gredom za ukrućenje ispod luka (Langerova greda) na sl. 18 prikazane su uticajne linije za U2, D4 i L4. Sila u štapu U2 dobija se iz momenta za tačku 2 gornjeg pojasa: U2 = M2/h. Iz uslova ∑V=0 dobija se D4 = Q40/sin__φ – Mg0/f tga4/sin__φ. Takođe iz uslova ∑V=0 sledi (opterećenje na donjem pojasu) L4 = -Q50 + Mg0/f * tga4.
Sl. 18.
Ako čvorovi trozglobnog luka sa punom gredom za ukrućenje (sl. 19) leže na kvadratnoj paraboli i ako zglob leži u osovini grede, tada su pri jednakopodeljenom opterećenju g t/m momenti savijanja M=0 na mestima vešaljki, a M=g__λ__2/8 u sredini polja između vešaljki.
Sl. 19.
Vešaljke, zatege i elementi ukrućenja: ovi elementi i njihovi spojevi mogu biti osetljivi na imperfekcije, sekundarne napone, zamor, koroziju, gubitak prednaprezanja i montažna stanja. Njihova zamena, zatezanje ili uklanjanje ne izvodi se bez projekta privremenog i konačnog stanja.
Okvirni nosači
Sl. 20.
Sl. 20 prikazuje momentni dijagram trozglobnog okvira sa prepustima i obešenim nosačima usled jednakopodeljenog punog opterećenja. Uticajna linija za moment Me dobija se na osnovu izraza Me=-Hh + Mk, superpozicijom uticajne linije za horizontalni potisak H (sa multiplikatorom -h) i za moment savijanja Mk na prepustu.
Pri nesimetričnom opterećenju simetričnih nosača račun se često može uprostiti rastavljanjem opterećenja na simetrično i antimetrično opterećenje, sl. 21. Specijalno to važi za okvirne nosače na sl. 22 i 23, na kojima su prikazani momentni dijagrami usled koncentrisane sile na proizvoljnom mestu gornje podvlake. Horizontalno opterećenje u visini podvlake može se shvatiti kao antimetrično. Kako se horizontalno opterećenje podvlake može smatrati i za virtualno opterećenje za proračun horizontalnih pomeranja podvlake, iz momentnih površina se može odmah zaključiti na koju se stranu pri vertikalnom opterećenju podvlaka pomera. Ova pomeranja se dobijaju kombinacijom antimetričnih ravnotežnih stanja. Prema tome, za slučajeve na sl. 22 i 23 podvlaka se pomera nadesno.
Sl. 21.
Sl. 22.
Sl. 23.
Okviri i pomeranja: zaključak o smeru pomeranja iz idealizovanog dijagrama ne zamenjuje proveru deformacija, efekata drugog reda, stabilnosti, krutosti spojeva, temelja i nenosivih elemenata. Granična stanja nosivosti i upotrebljivosti proveravaju se na celovitom modelu.
Prostorne rešetke
Sl. 24.
Schwedler-ova kupola (sl. 24) i zarubljena rešetkasta piramida (sl. 25), kao poseban slučaj Schwedler-ove kupole kod koje meridijani nemaju preloma, sa m spratova i n strana, sastoje se od m*n meridijalnih štapova S, (m+1)n štapova prstenova R i m*n dijagonalnih štapova D. Kako je broj čvorova k=(m+1)n nosač je statički određen kada je broj oslonaca a = 3k-s = 2n, tj. kada je svako podnožno teme oslonjeno na linijsko težište sa vertikalnim i horizontalnim osloncem. Ako štapovi donjeg prstena otpadnu, u svakom temenu potrebno je nepokretno ležište sa tri oslonca. Upotrebljivost rasporeda horizontalnih oslonaca treba ispitati. Pravci oslanjanja na sl. 26 nepravilno su izabrani jer je moguće nacrtati neprotivrečan plan polova.
Sl. 25.
Trapezi koje formiraju meridijalni štapovi i štapovi prstenova mogu se ukrutiti K-ispunom. Čvorove koji time nastaju treba smatrati za čvorove ravne rešetke. Tereti se smeju preneti samo preko glavnih čvorova. Vertikalan teret P koji napada u čvoru biće razložen u komponentu _Ks=Ps/_λ u pravcu meridijana i u horizontalnu komponentu _H=Pa/_λ. Horizontalna komponenta razlaže se dalje na komponente u pravcu štapova prstena _Kl=Hc/a=Pc/_λ _i Kr=Hb/a=Pb/_λ.
Na isti način određuju se komponente Kl i Kr proizvoljne horizontalne sile W, tako da se za ravne ploče rešetkaste piramide dobija shema opterećenja prikazana na sl. 27. Komponente Ks u pravcu štapova meridijana nisu na slici prikazane.
Sl. 26 i 27, respektivno.
Kada su nosač i opterećenje P ciklički simetrični, tada su sile Kl jednake silama Kr, pa su dijagonale nenapregnute dok su sile u štapovima meridijana:
_S1 = -P1s/_λ; S2 = -(P1+P2)s/λ; S3 = -(P1+P2+P3)s/λ
a u štapovima prstena:
_Ri = Pib/_λ
Proračun Schwedler-ove kupole može se sprovesti na isti način kada se svaki sprat shvati kao rešetkasta piramida. Osim aktivnih sila P i W, treba tada uvesti kao spoljašnje sile i sile u štapovima S i D gornjeg sprata, odn. njihove komponente u pravcu štapa meridijana i štapova prstena. Dok se kod rešetkaste piramide uticaj jedne koncentrisane sile oseća samo u štapovima dveju susednih ploča, dotle se kod Schwedler-ove kupole njen uticaj proteže na znatno veći broj štapova. Na sl. 24 označeni su štapovi koji su napregnuti usled sile P u temenom prstenu.
Prostorne rešetke i kupole: stabilnost ovih sistema zavisi od prostornog rada, oslanjanja, geometrijskih imperfekcija, izvijanja štapova, krutosti čvorova, privremenog pridržavanja i redosleda montaže. Ravna skica ili pojedinačna jednačina ne dokazuje globalnu stabilnost, rezervu nosivosti ili bezbednost tokom podizanja.