Arhivski stručni sadržaj: članak čuva istorijske postupke, formule, tabele i crteže iz oblasti statičkih konstrukcija, ali nije projekat, statički proračun, dokaz nosivosti, montažni plan ili procjena postojećeg objekta. Oslonci, rasponi, opterećenja, kombinacije djelovanja, geometrija, materijali, veze, stabilnost, zamor, seizmičnost i faze izgradnje moraju se odrediti za konkretan objekat prema važećim standardima. Noseće konstrukcije projektuju i provjeravaju odgovorni ovlašteni inženjeri.
Danas je Savo Kusić fokusiran na drvene prozore, drvo-aluminijum prozori, prilagođeni prozori, vrata i zahtjevi za ponudu. Ovaj članak ostaje kao istorijski arhiv i ne predstavlja ponudu projektovanja, proračuna ili izvođenja građevinskih konstrukcija.
Formule i oznake: matematički izrazi u tekstu su digitalno prebačeni iz skeniranog izvora i mogu sadržavati tipografske ili OCR greške. Ne smiju se unositi u proračun bez poređenja sa mjerodavnim izvorom, jedinicama provjere, znakovima, pretpostavkama i graničnim uslovima.
Jednostavna greda
Reakcije potpore, momenti savijanja, deformacije i statički momenti M0-površine za neke česte slučajeve opterećenja dati su u tabeli 1.
Konstantno opterećenje sa koncentrisanim silama
Sa simetričnim opterećenjem (sl.1) proračun je najlakše izvršiti kroz dvije kolone za sabiranje u obliku tabele. Zasnovano na odnosu između opterećenja, poprečne sile i momenta
_Qn = Qn+1 + Pn i Mn+1/_λ _= Mn/_λ + Qn+1
prvo se određuje poprečna sila u polju n, počevši od poprečne sile u sredini grede, a zatim momenti savijanja u određenim tačkama počevši od vrijednosti Mi/λ.
Sl. 1 sa pomoćnim stolovima.
Kada je opterećenje asimetrično, a udaljenosti sila jednake, sljedeće tabele su pogodne za proračun (sl.2). Svako asimetrično opterećenje može biti prema sl.3zamijenite jednim antimetričkim opterećenjem, što je često vrlo korisno u proračunu. Umjesto sila Pi i P’i u slučaju simetričnog opterećenja, sile (Pi+P’i)/2u tačkama i i i’, au antimetričkom slučaju opterećenja, sila (Pi-P’i)/2u tački i i sila -(Pi-P’i)/2u tački i’. Kada se reakcije potpore određuju pod antimetričkim opterećenjem, poprečne sile i momenti savijanja također se mogu odrediti u tablici.
Sl. 2.
Sl. 3.
Pokretno opterećenje
Moment savijanja na lokaciji i dobiva se grafički korištenjem poligona sila i poligona lanca za dano opterećenje. Lanac poligon se može nacrtati kao što je prikazano na sl.4. Da bi se odredio najnepovoljniji položaj tereta za trenutak na mestu i, oslonac se pomera ispod tereta (sl.5) dok se ne odredi vrijednost max η__i iz koje se dobija max_Mi_ = H * max_η__i_. Najveća poprečna sila u tački i dobija se kada se teret pomeri tako da prva sila dostigne tačku i. Može se dobiti iz poligona sila na sl.6: max_Oi_ =1_/l_ * ∑Pibi. A-poligon je lančani poligon sa razmakom polova H = l, nacrtan za pokretni sistem koncentrisanih sila kada se prva sila nalazi iznad oslonca b.
Sl. 4.
Sl.5.
Sl.6.
Pokretna opterećenja: izbor odgovarajuće pozicije i kombinacije pokretnih opterećenja zavisi od namjene konstrukcije, modela djelovanja, dinamičkih utjecaja i važećih propisa. Istorijski grafički postupak nije dovoljan dokaz najnepovoljnijeg stanja modernog graditeljstva.
Nosač sa spojevima
Konstantno opterećenje
Prvo se određuju reakcije oslonaca i sila u zglobovima iz uslova ravnoteže i uslova za zglobove. Tada se mogu odrediti momenti savijanja i poprečne sile za pojedinačne potporne ploče kao za jednostavne grede ili gredu s prevjesima. Sl. 7 prikazuje rezultat za opterećenje tri ploče koncentrisanim silama. Linija poprečnih sila prolazi preko zglobova kao konstanta, a momentna linija bez prekida, ako u zglobu nema koncentrisane sile.
Sl. 7.
Za ravnomjerno raspoređeno opterećenje na cijeli oslonac dobijaju se neke velike razlike između momenata nad osloncima i maksimalnih momenata u poljima, prema omjeru raspona i položaju spojeva, sl.8. Ako je u slučaju nosača sa spojevima sa više od dva otvora (sl.9) i sa jednakim rasponima l srednjih polja odaberite raspon krajnjih polja l1=0,8535_l_ i zglobni položaj c=0,1465_l_, tada se sa jednako raspoređenim opterećenjem dobije da su granične vrijednosti momenata preko oslonaca i u poljima međusobno jednake, M=0,0625_gl_2. Ako krajnja polja također imaju raspon l, onda max_M_= za njih0,0957_gl_2.
Sl.8.
Sl.9.
Linije uticaja
Prema sl. 10 uticajne linije za Mi i Qi između tačaka a i b su iste kao i uticajne linije jednostavne grede. Dalji tok uticajne linije određen je položajem oslonaca i spojeva koji predstavljaju glavne polove i međupolove kinematičkog lanca nastalog uklanjanjem statičke veličine u tački i. Na sličan način se određuju utjecajne linije za Mr i Qr počevši od grede oslonjene u tačkama g1 i c. Opterećenje grede sa prevjesom na dijelu ag1 nema utjecaja na momente i poprečne sile u tački r. Utjecajne linije za momente i poprečne sile u tačkama prevjesa (k i v) najlakše se dobijaju kada se odrede ordinate za položaj opterećenja u spoju.
Sl. 10.
Model oslonaca i spojeva: stvarna krutost spojeva, slijeganje oslonaca, zazori, trenje, nesavršenosti i redoslijed montaže mogu promijeniti raspodjelu sila u odnosu na idealizirani model. Pretpostavke se moraju uskladiti s detaljima izgradnje i provjeriti za sve relevantne faze.
Luk sa tri zgloba
Uz proizvoljno opterećenje luka na tri spoja, reakcije nosača mogu se odrediti grafički. Rezultat R1 aktivne sile koje prema sl.11djelovanje na lijevu ploču mora biti u ravnoteži sa reakcijom Kb1, čija linija napada mora proći kroz zglob g, a reakcijom Ka1. Na isti način, postoje Ka2 i Kb2, zbog R2. Uz istovremeni efekat R1 i R2 se dobijaju paralelnim pomakom i slaganjem konačnih sila reakcije Ka i Kb i pritiska u zglobu G.
Sl.11.
Uz analitičko rješenje pogodno je izvršiti proračun posebno za horizontalna, a posebno za vertikalna opterećenja.
Horizontalno opterećenje
Horizontalno opterećenje na sl.12izaziva reakcije
Sl.12.
gdje su C i D komponente reakcije u smjeru spajanja tačaka a i b. ∑H = C*cos_a_ – D_cos_a + ∑W =0. Smične sile na mjestu su:
Ni = -Asin__φ__i – Ccos(φ__i-a) – Wmcos__φ__i_,_
Qi = +Acos__φ__i – Csin(φ__i-a) – Wmsin__φ__i,
Mi = A__x__i _– Ccosa*_y__i – Wm(hi-hm).
Vertikalno opterećenje
Vertikalno opterećenje luka na tri spoja na sl.13izaziva reakcije A0i B0, koji su jednaki reakcijama jednostavne grede raspona l, i horizontalnog potiska C=cosa = Dcosa = H = Mg0/f (1), gdje je Mg0 moment na jednostavnoj gredi u presjeku g. Sa vertikalnim komponentama C i D konačne vertikalne komponente reakcija su A = A0 + H_tg_a; B = B0 – H_tg_a. Ako je osa luka kvadratna parabola, yi = f xi x’i/la lb, tada za jednako podijeljeno puno opterećenje g t/m (Sl.14) Mi=0, Qi=0.
Sl.13.
Sl.14.
Linije uticaja
Utjecajne linije za reakcije A0 i B0 su iste kao i utjecajne linije jednostavnog snopa. Uticajna linija za horizontalni potisak H dobija se prema jednačini (1) od uticajne linije za trenutak Mg0 jednostavne grede, sl. 15. Linija utjecaja za moment savijanja Mi sastoji se od utjecajnih linija sa Mi0 i H, gdje se potonji množi sa -yi. Ove dvije uticajne linije su postavljene na pravu ab’ kao nultu liniju, iz koje su povučeni presjeci aa’ = xi i bb’ = -lb yi/f. Razlika prikazana potezom ai’g’b predstavlja konačnu uticajnu liniju za Mi. Razdjelnik ili nulta tačka uticajne linije koja odgovara glavnom polu ploče ig dobija se presekom linija ai i bg. Može se koristiti i za konstrukciju uticajne linije, gde se uvodi jednostavan snop raspona a – n. U slučaju luka čija je osa kvadratna parabola, jednako raspoređeno opterećenje ne uzrokuje momente savijanja, tako da ukupna površina uticajne linije mora biti jednaka nuli.
Sl. 15.
Na sl.16uticajne linije za Qi i Ni dobijene su odgovarajućom superpozicijom uticajnih linija za Qi0 i H. S obzirom na ab’ kao nultu liniju, obje linije utjecaja su u ovom slučaju linije utjecaja jednostavnog snopa. Za konstrukciju ili kontrolu uticajnih linija, ovde se mogu koristiti preseci nQ i nN linije bg i linija koja se povlači kroz a paralelno. normalno na tangentu koja preklapa ugao φ__i sa horizontalom. U slučaju paraboličnog luka s tri zgloba, ukupna površina linije utjecaja za poprečnu silu mora biti jednaka nuli.
Sl.16.
Lukovi i horizontalni potisak: položaj spojeva, geometrija ose, krutost temelja i prihvatanje horizontalnih reakcija su ključni za ponašanje sistema. Promjenom oslonca, zatezanja, vješalice ili faze montaže može se promijeniti tok sila; istorijski idealizovan crtež nije dovoljan za izvršenje ili rehabilitaciju.
Luk ukrućen gredom i visećim držačem
Vertikalno opterećenje
Vertikalne reakcije pri vertikalnom opterećenju krutih ploča statički određenih lučnih nosača ukrućenih gredom, visećim osloncima i lukovima na tri spoja i zatezanjem na Sl.17a do f se dobijaju iz jednačina A0 =1/l * ∑Pnbn i B0 =1/l * ∑Pnan kada se A stavi za sisteme a i d_0 = A+K’‘l, B0 = B+K’’r i za druge sisteme A = A0, B=B0. Reakcije A i B za sisteme a i d se tada određuju iz:
A = A0 - K’’l = A0 – H(tgal-tg__δ)
B = B0 – K’’r = B0 – H(tgar+tg__δ)
Sl.17.
Za sisteme a, d, e i f, horizontalna reakcija je C=0, a za sistem b je E=0. Horizontalni potisak, odnosno horizontalna napetost H sistema a do d, horizontalna komponenta sile u luku sistema e i sila u napetosti sistema f određuju se na osnovu jednačine (1). Sljedeća tabela sadrži pregled reakcija oslonaca i sila u šipkama Sn i Zn za pojedinačne sisteme.
Horizontalno opterećenje
Ako horizontalna sila W djeluje na ploče na udaljenosti c od spoja g (sl.17i e) reakcije potpora koje izaziva su:
Linije uticaja
Linije utjecaja za posmične sile dobivene su na temelju sličnosti u ponašanju ovih sustava i jednostavnog luka sa tri zgloba. Za luk od štapa sa gredom za ukrućenje ispod luka (Langerova greda) na sl.18prikazane su uticajne linije za U2, D4 i L4. Sila u štapu U2 se dobija od momenta tačke2gornji pojas: U2 = M2/h. Iz uslova ∑V=0dobijamo D4 = Q40/sin__φ – Mg0/f to4/son__φ. Također iz uvjeta ∑V=0slijedi (opterećenje na donjem pojasu) L4 = -Q50+ Mg0/f * to4.
Sl.18.
Ako čvorovi trozglobnog luka sa čvrstom gredom za ukrućenje (sl.19) leže na kvadratnoj paraboli i ako spoj leži u osi grede, tada su sa jednako raspoređenim opterećenjem g t/m momenti savijanja M=0na mjestima vješalica, i M=g__λ__2/8na sredini polja između vješalica.
Sl.19.
Vješalice, podupirači i učvršćivači: ovi elementi i njihovi spojevi mogu biti osjetljivi na nesavršenosti, sekundarna naprezanja, zamor, koroziju, gubitak prednaprezanja i uslove montaže. Njihova zamjena, zatezanje ili skidanje ne vrši se bez privremenog i konačnog državnog projekta.
Nosači okvira
Sl. 20.
Sl. 20 prikazuje dijagram momenta okvira sa tri zgloba sa prevjesima i visećim nosačima zbog jednako raspoređenog punog opterećenja. Uticajna linija za trenutak Me dobija se na osnovu izraza Me=-Hh + Mk, superpozicijom uticajne linije za horizontalni potisak H (sa množiteljem -h) i za moment savijanja Mk na prepustu.
U slučaju nesimetričnog opterećenja simetričnih nosača, proračun se često može pojednostaviti podjelom opterećenja na simetrično i antisimetrično opterećenje, sl.21. Ovo posebno važi za nosače okvira na sl.22i23, koji prikazuju dijagrame momenta zbog koncentrisane sile u proizvoljnoj tački gornjeg oslonca. Horizontalno opterećenje na visini grede može se shvatiti kao antimetričko. Budući da se horizontalno opterećenje potpornjake može smatrati virtualnim opterećenjem za proračun horizontalnih pomaka potpornja, može se odmah zaključiti iz momenta površina na koju se stranu potpora pomiče tijekom vertikalnog opterećenja. Ovi pomaci se dobijaju kombinovanjem antimetričkih ravnotežnih stanja. Stoga, za slučajeve na sl.22i23donja crta se pomiče udesno.
Sl.21.
Sl.22.
Sl.23.
Okviri i pomaci: zaključak smjera pomaka iz idealiziranog dijagrama ne zamjenjuje provjeru deformacija, efekata drugog reda, stabilnosti, krutosti spojeva, temelja i nenosivih elemenata. Granična stanja nosivosti i upotrebljivosti provjeravaju se na cijelom modelu.
Prostorne mreže
Sl.24.
Švedlerova kupola (sl.24) i porubljenu mrežastu piramidu (sl.25), kao poseban slučaj Schwedler's kupole gdje meridijani nemaju preloma, sa m podova i n strana, sastoje se od m*n meridijanskih šipki S, (m+1)n štapovi prstenova R i m*n dijagonalni štapovi D. Kao broj čvorova k=(m+1)n podrška je statički određena kada je broj oslonaca a =3k-s =2n, to jest kada je svaki temelj teme oslonjen na linearni centar gravitacije sa vertikalnim i horizontalnim osloncem. Ako šipke donjeg prstena otpadnu, potreban je stacionarni ležaj sa tri oslonca u svakom tjemenu. Treba ispitati upotrebljivost rasporeda horizontalnih nosača. Pravci oslonca na sl.26su pogrešno odabrani jer je moguće nacrtati nekontradiktorni plan stuba.
Sl.25.
Trapezi formirani od meridijanskih šipki i prstenastih šipki mogu se učvrstiti K-ispunom. Rezultirajuće čvorove treba smatrati čvorovima ravne rešetke. Opterećenja se mogu prenositi samo preko glavnih čvorova. Vertikalno opterećenje P koje napada na čvor će se razložiti na komponentu _Ks=Ps/_λ u smjeru meridijana i na horizontalnu komponentu _H=Pa/_λ. Horizontalna komponenta se dalje razlaže na komponente u pravcu prstenastih šipki _Kl=Hc/a=Pc/_λ _i Kr=Hb/a=Pb/_λ.
Na isti način određuju se komponente Kl i Kr proizvoljne horizontalne sile W, tako da je shema opterećenja prikazana na sl.27. Komponente X u pravcu meridijanskih šipki nisu prikazane na slici.
Sl.26i27, odnosno.
Kada su oslonac i opterećenje P ciklički simetrični, tada su sile Kl jednake silama Kr, pa su dijagonale nenapregnute dok su sile u meridijanskim šipkama:
_S1= -P1s/_λ; S2= -(P1+P2)s/λ; S3= -(P1+P2+P3)s/λ
i u štapovima prstena:
_Ri = Pib/_λ
Proračun _Schwedlerove kupole može se izvesti na isti način kada se svaki sprat shvati kao rešetkasta piramida. Osim aktivnih sila P i W, sile u šipkama S i D gornjeg sprata treba tada uvesti kao vanjske sile, respektivno. njihove komponente u pravcu meridijanskog štapa i prstenastog štapa. Dok se u rešetkastoj piramidi uticaj jedne koncentrisane sile oseća samo u štapovima dveju susednih ploča, u slučaju _Schwedler_ove kupole njen uticaj se proteže na znatno veći broj štapova. Na sl. 24 su označene šipke koje su napregnute zbog sile P u prstenu vrhova.
Prostorni nosači i kupole: stabilnost ovih sistema zavisi od prostornog rada, oslonca, geometrijskih nesavršenosti, izvijanja šipki, krutosti čvorova, privremenog prianjanja i redosleda montaže. Ravna skica ili pojedinačna jednačina ne dokazuje globalnu stabilnost, rezervu nosivosti ili sigurnost tokom podizanja.