Related information?: Fenestrae ligneae secundum propositum tuum factae sunt. · Consuetudinem factae fenestrae lignorum aluminium. · Mores fenestras pro domibus, inceptis et exportationibus. · Consuetudinem factam ligneam et fores aluminis lignorum. · Petentibus prolationem mittere.
Aequatio differentialis inflexionis discinctus
Ponitur omnes idealizationes contentas esse, speciatim
- quod est recta virga
- quod onus P agit in hastili virgae
- quod voltages manent infra modum proportionalitatis
- quod deformationes parvae sunt satis ut simplices calculi simplices redderent.
Si virga sub actione virium P flectit et fortasse etiam ob onus q in transversum agens, satis notae condiciones aequilibrii inter onera externa et vires in sectione debent esse. Praeterea naturale est, ut notentur relationes inter deformationes et vires in sectione.
SI.1- Libra
In fig.1elementum flexae longitudinis ds repraesentatur. Clivus contingentis v’ parvus est ita ut usque ad secundum ordinem ponatur longitudo elementi aequalis esse proiectioni ds=dz. Praeterea in probatis infra memoratis, casus in quibus constanter P mutatur per axem virgae, ratio non erit, i.e. vis normalis N ≈ P_ const. In tribus condicionibus aequilibrii elementi praesto, certus numerus membrorum tunc negligi potest. Pro notis et signis ex fico.10manebit ergo in prima approximatione aequationis
N=P, M’=Q, Q=-q+_Pv’.
Vis transversalis exstingui potest, ac deinde M’‘=Pv’’-q habet. Lege M=-EI/R aequationem absentis praebet. Curva axis virgae, ut solet, ex theoria inflexionis, simplicior est sic
Unde inclinatio ad momentum tolli potest; et cum M=-EI*v’’ aequatio differentialis pro virga incurva obtinetur
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
In casu speciali constantis inflexionis rigoris EI= const. aequatio simplicior (1) sic est
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Unius. (1) et (1a) sunt lineares in v secundum praedictas simpli- cationes.
Fere casus simplicissimus constantis inflexionis rigoris EI=const., qui pro fundamento exemplorum infra, magni momenti est.
Euleri casus
Suppositiones pro certaminibus classicis sunt, praeter idealizationes memoratas: p=0tam N=const.=P, quam constans rigor sine frictionibus, quae prorsus in axe virgae iacent. Aequatio differentialis ordinaria (1a) est quarti ordinis, linearis et homogenei ob q=0. Communis solutio est:
_v(z) = A__sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D,_2)
ubi A, B, C, D sunt quattuor constantes integrationes. Parameter est finitae magnitudinis propter EI≠0. Ceterum α_ applicat0ad P>0.
SI.2
Cum aequatione differentiali lineari (1a) homogeneum, hoc problema etiam ab n_____v(z) solvitur, ubi n arbitrarium est constans. Ex classificatione mathematicae aequationum differentialium (1a) Videat curvatio magnitudinis v determinari non posse. Determinare constantes integrationes A, B, C, D in casu Euleri (fig.2) Formae condiciones sequentes praesto sunt: In utraque parte baculi, ob articulatam sustentationem, flexio nulla est, et inclinatio quoque nulla est, i.e.
v=0 and M=0 pro z==0
v=0et M=0ad z=s.
Ob M=-EI_∙__v’‘_, sequitur ut M=0 valor v’’=0, sic quattuor formae condiciones leguntur:
v=0 et _v=0 pro z=0
v=0 et _v=0 pro z=s.
Solutio (2) sic in quattuor aequationibus linearibus:
Unius.3
Hae quattuor aequationes homogeneae habent primam solutionem trivialem sic dictam A=B=C=D=0quae respondet v(z)=0. Virga quae non curvatur v_(z_)=0consuetum est aequilibrium pro arbitrario, praesertim minora oneris P. Hic imprimis interest condiciones quibus virga flectitur, i.e.0. Aequationes (3) non habent talem solutionem levem cum _A, B, C, D_0tunc demum si determinatio coëfficientis nulla sit aequalis.
Unius.3a
Ex certantibus conditionibus0 mog computare criticas PK oneris. Haec aequatio tantum satisfactum est si sin αs =0, id est apud αKms_ = mπ apud m=1,2,3,… valores correspondentes armorum Euler\ sunt PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Pro quolibet valore m, vis certa certaminis obtinetur. Pleraque tantum minimum harum virium interest, et id
PK1=EI(π/s)2.
In sequenti versione index m, or . erit1plerumque omissis, ad infimas criticas onera referentes. De usuris est linea elastica respondens. Ab uno (2) constantes obtinentur B=C=D= obtinentur0. Conditio A∙sin__αs=reliquiae0. Linea elastica pro superiori casu m=1est ergo v(z) = A__sinπz/s, ubi v(z) est pro αK seu PK eigenfunctioni respondentis. Magnitudo A indeterminata manet.
Alterum inspice totam aream oneris transeamus. Pro valores arbitrariorum P, praesertim pro viribus P_<_PK1, est v(z)=0, virga recta manet.
Per “gradatim crescens” loading P in theoria classica stabilitatis intelligitur series successivorum magnitudinum P, ubi casus oneris observati stabilitas iterum iterumque probabitur pro unoquoque gradu onerandi P. In test stabilitate, magnitudo P certe immutata manet. Si quis status P stabilis esse decrevit, onus ab aliquo augetur, et ideo test stabilitas repetitur. Haec accurate determinatio necessaria est ut nulla confusio cum genere oneris, quae fundamentum effectus est Shanley, in quo augetur oneris dum parvae perturbationes simul agunt. Cum stabilitatem examinans secundum Shanley, in regione certaminum plasticorum, minor vis disiunctionis fit quam cum methodo classica considerandi.
Primum onus augendi modum sequentia considerationes sumunt: Cum sensim aucto oneris P hoc sensu, PK ventum est.1=EI_(π/s)_2primum ad ununi bifurcationis punctum aequilibrii elastici, cum linea sine linea simplici ut elastica recta.
v1(z)=f__sin__π__z/s.
f=A amplitudinem indeterminatam lineae elasticae significat. Ad onera _P*__>_PK1 Est secundum linearized theoria __0quod ibi non potest esse statera. Tantum ad altiora certamina copiae PK2 etc. erit __= again .0ita etiam v0. Causa conclusionis huius theoreticae, quae moribus actualibus non congruit, in linearizatione aequationis differentialis est.
Propugnacula virgae impressae ex duabus partibus
Deprimimus nos in duas partes fustibus pressis, et ad inpressum stipitem ex tribus vel pluribus partibus compositae, similes necessitudines adhibemus.
SI.3
Iuxta genus nexus transversus, fasciculi cancelli differunt (fig.3a) and frame fasces (fig.3e). Sine nexibus crucis, quaelibet pars virgae per se inclinaret (fig.3b). Si saturitas secundum quid debilis est, tunc una virga cingulum potest plicare sine toto baculo. Nam cancellos ficus.3c comparari potest: sinistra pro cardine, dextera pro cingulis continuis; et pro artubus virgae ficulneae.3f sinistris schedae molli nexu, dextra schedae rigidae. Inde perspici potest quod magnae auctoritatis sit gracilitas λ1_=s1/i1_. Pro singula parte virgae, I posita est1=F1___i12, s1 Est campus iustae (Fig.3), i1 Axis refers to1-1(Fig.4).
SI.4
Vis certatio virgarum compositarum respondentium lineis fici elasticis.3d, or *3g was the subject of investigations theoretical copiose. Si virga composita ex sectionibus singularibus (exempli gratia cum costa) vel nexus transversus tam frequens esset ut baculus a duabus partibus inclinatus effectum suum ab una virga non differret, esset σ__K=__π__2__E/λ__y__2. Ibi designat λ__y=sK/iy (Fig.4). Sed haec discinctus accentus in praxi plene non attingitur quia non satis sunt nexus transversae ad illud, et etiam elasticae sunt. Proxime satisfaciens in pluribus obtinetur si ponimus secundum propositum F. Engesser\ a quod inflexio virgae pressae compositae ex duabus partibus aequalis est
σ__K=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi, quod sic dictum est, specimen tenuitatis.
Vincula crucis debent sufficere in numero et viribus satis valentes utrasque partes virgae ad agendum simul. Secundas passiones exclusis, nexus transversis inculcata manent quamdiu virga recta manet. Solum flexio quod vires recipiendi habent, et vires transversas in flexione auctas transmittere habent. Si linea elastica est
vis transversalis apud I= const. aequalis est
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
Cum fig.5 mstatim legere oportet Q(z)=PK∙v’(z). Summum valorem in fine virgae est
SI.5
Connexiones transversales hanc vim transversalem accommodare possunt. Cum onus correspondens sit vis praecinctus PK, satis est si ad hoc etiam in nexus transversali - i.e. simul cum tota virga perventum est, onus portantis limes. Uti patet, nihil prodesset si cruces nexus multo fortiores essent quam necesse est ad Q0 recipiendum. E contra, cruces nexus nimis debiles efficiebant ut virga praemature deficeret.
Aequatio superior initio adhiberi non potest, quia magnitudo sagittae discinctus ignoratur. Virga sub PK aequilibrio indifferens est, et saltem in primo approximationis gradu valorem arbitrarium sumere potest. Utile est ergo secundum propositum F. Krohn-a, ad determinandam magnitudinem illius craticulae maxv, ad quem baculus incurvatus suam facultatem ob defectum flexionis amittit. Id certe eveniet, si punctum cedat in concava flexae parte attingendum (Fig.6). Ad hoc anfractus longius progrediuntur et momenta debita flexionis applicari non possunt.
SI.6
Tota vis in parte concava flexae est secundum ficus.6ad propositum plastic materia
Inde maxima evagatio quae adhuc sustineri potest
maxQ0 vis transversalis correspondens in fine virgae.
Si formam adhibeas pro σK Tetmeier\ et pone σF=3,1t/cm*2and sK=e/2λy_, quod respondet iy.2ergo _Krohn\ valorem approximatum ipsius maxQ habebitur0=F/28(Q in t, F in cm2).
Pro arbitrariis lineis certantibus accentus obtinetur
maxQ0µK∙SK.
Coefficiens μK cum tenuitate virgae mutat, etiam a materia pendet. Cum aequatio superior per coefficiens salutis contra certamina divisa est, scribi potest
dozv__Q=μ∙dozvS.
discinctus systemata lineari
In systematis linearibus commune est sK=β∙h virgae utrinque cardinis inflexae longitudinem determinare, cuiusque vis flexionis ad comparationem PK=π est determinare.2EI/s2K utque magni. Pro exemplis infra clypeum comparativum “longitudo” dabitur.
a) Virga utrinque infixa (EI=const.)
SI.7
Nam fi^ca eft.7discinctus est PK=4π2EI/h*2=4,0PE, comparativum “longitudinis discinctus” sK=h/2et elastica linea elastica v(z)=D(1- cos2πz/h).
b) Virga sine fine (fig.8)
SI.8
Ponitur quod directio P non mutatur sicut virga flectitur. Deinde (EI=const.)
PK=π2EI’/4h2=PE/4, sk=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
Forma condiciones ad liberum finem z=h hic sunt
M=0aut v’’=0
Q=M’-Pv’=0aut v’‘’+a2_v=0.
c) Lignum uno fine fibulatum (fig.9)
SI.9
Cum forma conditionibus
v=0et v’=0ad z=0
v=0et v’’=0ad z=h
habetur pro EI=const. discinctus conditione
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
aut equivalent
tgαh=αh. (4)
Huius aequationis transcendentalis radices inveniuntur in tabulis K. Hayashi's. Infima vis discinctus est secundum tabulas PK1=4,49342/ h2EI =2,046π2EI/h*2.
Longitudo certaminum comparativus est = h /2,046=0,699h._
d) Virga fibulata in extremo morbo (fig.10)
SI.10
Causam tenes- sima obsessio constantis magnitudinis considerabimus. Forma condiciones pro eo sunt
v=0et v’ =0 for z=0,
v = v1et v’’ =0 pro z=h.
Aequilibrium est quaestio cum linea elastica
Denominator termini ante brackets nulla erit et circulatio supra omnes fines crescit si P →PK (vide discinctus Eq.4)). Proprium est morum baculi quod in medio et infimo baculi flexus initio minores sunt cum onere P crescente et signum suum solum ad superiora onera mutant. SI.10medium flectit altitudinem ostendit.
e) continuum lignum per duos agros
SI.11
Pro utroque arearum solutione (fig.11) Ponemus occasum
And_. v (z *1) = A1synαz1+ B1cosαz1+ C1z1+ D1,_
II. v (z*2) = A2synαz2+ B2cosαz2+ C2z2+ D2.
pro simplici sit (EI)1=(EI)2=EI. Ad inveniendum octo constantes A1, A2, … sint pro forma condiciones
v=0et v’ =0 for z1=0,
v=0et v’’ =0 for z2=h,
tum transeuntem condiciones inter locis I et II
v=0 for z1=h i ad z2=0,
v’’ (z1=h)=v’(z2=0),
v’’ (z*1=h)=v’’(z2=0.
Aequationes conditionales infra dantur in tabula
Ponendo determinatum coefficientis aequalis nulla, conditio proni obtinetur
Inflexio longitudo sK=0,878_h_, cum pro fig.35aut β=0,699. De vi certantibus decrevit comparari2,046:1,297addito secundo agro qui cardine debetur. Si alter ager altius premebatur, tum vis certaminis iterum ad apicem cresceret.2,04_PE_.
Haec formularum propositio historica non est consilium nec probatio stabilitatis constructionis. Suppositiones classicae specimen rectum membrum, onus centricum et area elastica non necessario includunt imperfectiones initiales, passiones residuas, eccentricitatem, nexum rigorem, materialem non-linearitatem, stabilitatem lateralem nec, si applicatur, ignis, seismica actio et gradus conventus. Calculus actualis constructionis ab ordinario fabro civili fieri debet secundum validas ordinationes et signa.