การโก่งงอ

ในปัจจุบัน Savo Kusić มุ่งเน้นไปที่ หน้าต่างไม้, หน้าต่างไม้-อลูมิเนียม, หน้าต่างแบบกำหนดเอง, ประตู และ ขอใบเสนอราคา ข้อความนี้ยังคงเป็นเอกสารสำคัญของทฤษฎีโครงสร้าง และไม่ใช่ข้อเสนอสำหรับการออกแบบแบบคงที่ การคำนวณความเสถียร หรือการฟื้นฟูโครงสร้าง

สมการเชิงอนุพันธ์การโก่งงอในการดัด

สันนิษฐานว่าอุดมคติทั้งหมดได้รับการตอบสนอง โดยเฉพาะ

• ว่าไม้เรียวนั้นตรงอย่างสมบูรณ์
• ว่าโหลด P ทำหน้าที่ในเพลาของแกน
• แรงดันไฟฟ้าคงต่ำกว่าขีดจำกัดของสัดส่วน
• การเสียรูปมีขนาดเล็กพอที่จะทำให้การคำนวณง่ายขึ้นตามปกติ

หากแกนโค้งงอภายใต้การกระทำของแรง P และอาจเนื่องมาจากโหลด q ที่กระทำในทิศทางตามขวาง จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขสมดุลที่ทราบระหว่างโหลดภายนอกและแรงในส่วนนั้น นอกจากนั้น เป็นเรื่องปกติที่ควรจะทราบความสัมพันธ์ระหว่างการเสียรูปและแรงในส่วนนี้

รูปที่. 1 - ยอดคงเหลือ

ในรูป 1 คือองค์ประกอบแท่งงอที่มีความยาว ds ความชันของ v’ แทนเจนต์มีขนาดเล็ก จึงสามารถตั้งค่าความยาวขององค์ประกอบให้เท่ากับเส้นโครง ds=dz จนถึงลำดับที่สองได้ นอกจากนี้ ในการทดสอบที่กล่าวถึงด้านล่าง จะไม่คำนึงถึงกรณีที่ P เปลี่ยนแปลงตลอดเวลาตามแนวแกนของแกน เช่น แรงปกติ N_µ_P=const ในเงื่อนไขสมดุลสามประการที่มีอยู่สำหรับองค์ประกอบ สมาชิกจำนวนหนึ่งจึงสามารถถูกละเลยได้ สำหรับเครื่องหมายและป้ายจากรูป 10 จากนั้นคงอยู่ในการประมาณค่าแรกของสมการ

N=P,   M’=Q,   Q’=-q+Pv’’.

สามารถกำจัดแรงตามขวางได้ จากนั้น M’‘=Pv’’-q จะคงอยู่ กฎของ Bernoulli\ M=-EI/R ให้สมการที่หายไป เส้นโค้งของแกนของแกนแท่งตามปกติจากทฤษฎีการดัดของลำแสงจะถูกทำให้ง่ายขึ้นดังนี้

จึงสามารถกำจัดโมเมนต์การดัดงอได้ และด้วย M=-EI*v’’ จะได้สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับแกนโค้ง

(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q   (1)

In the special case of constant bending stiffness EI=const. สมการ (1) ถูกทำให้ง่ายขึ้น ดังนั้นจึงเป็น

EIv’‘’’ + Pv’’ = q   (1a)

สมการ (1) และ (1a) เป็นเส้นตรงใน v ตามการลดความซับซ้อนที่กล่าวไว้

ในทางปฏิบัติ กรณีที่ง่ายที่สุดของความแข็งในการดัดงอคงที่ EI=const มีความสำคัญอย่างยิ่ง ซึ่งทำหน้าที่เป็นพื้นฐานสำหรับตัวอย่างด้านล่าง

กรณีของออยเลอร์

สมมติฐานสำหรับกรณีคลาสสิกของการโก่ง นอกเหนือจากอุดมคติที่กล่าวไว้: p=0 ดังนั้น N=const.=P เช่นเดียวกับความแข็งคงที่โดยไม่มีแรงเสียดทาน ซึ่งวางอยู่บนแกนของแกนพอดี สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (1a) เป็นลำดับที่สี่ เป็นเชิงเส้นและเป็นเนื้อเดียวกันเนื่องจาก q=0 วิธีแก้ไขทั่วไปคือ:

v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)

โดยที่ A, B, C, D คือค่าคงที่การรวมสี่ค่า พารามิเตอร์มีขนาดจำกัดเนื่องจากสมมติฐาน EI≠0 นอกจากนี้ α≠0 สำหรับ P>0.

รูปที่. 2

เนื่องจากสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น (1a) เป็นเนื้อเดียวกัน ปัญหานี้จึงถูกแก้ไขโดย n_∙_v(z) โดยที่ n เป็นค่าคงที่ตามใจชอบ จากการจำแนกทางคณิตศาสตร์ของสมการเชิงอนุพันธ์ (1a) จะเห็นได้ว่าไม่สามารถกำหนดขนาดของการดัดงอ v ได้ เพื่อกำหนดค่าคงที่การรวม A, B, C, D ในกรณี Euler\ (รูปที่ 2) มีเงื่อนไขของรูปร่างดังต่อไปนี้: เนื่องจากส่วนรองรับแบบประกบ โมเมนต์การดัดงอจึงเป็นศูนย์ที่ปลายทั้งสองของแท่ง กล่าวคือ

v=0 และ M=0 สำหรับ z=0

v=0 และ M=0 สำหรับ z=s

เนื่องจาก M=-EI_∙_v’‘ จึงเป็นไปตามนั้น M=0 คือค่าของ v’’=0 ดังนั้น เงื่อนไขเส้นขอบทั้งสี่จึงอ่านได้:

v=0 และ v’’=0 สำหรับ z=0

v=0 และ v’’=0 สำหรับ z=s

วิธีแก้ปัญหา (2) ส่งผลให้เกิดสมการเชิงเส้นสี่สมการ:

Eq. 3

สมการเอกพันธ์ทั้งสี่นี้มีคำตอบแรกที่เรียกว่าวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อย A=B=C=D=0 ซึ่งสอดคล้องกับ v(z)=0 แกนที่ไม่โค้งงอ v_(z_)=0 เป็นตำแหน่งสมดุลตามปกติสำหรับค่าใดๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งค่าโหลด P ที่น้อย ในที่นี้ เราสนใจเงื่อนไขที่แท่งโค้งงอเป็นหลัก นั่นคือ v(z)≠0 สมการ (3) ไม่มีวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อยกับ A, B, C, D ≠ 0 เฉพาะในกรณีที่ดีเทอร์มิแนนต์ของสัมประสิทธิ์เท่ากับศูนย์

หนึ่ง. 3a

จากเงื่อนไขการโก่งงอ Δ = α4∙s∙sinαs = 0 m เราสามารถคำนวณค่าวิกฤต PK ของโหลดได้ สมการนี้จะสมการก็ต่อเมื่อ sin αs = 0 เช่น สำหรับ αKms = mπ ด้วย m=1,2,3,… ค่าที่สอดคล้องกันของแรงโก่งของ Euler\ คือ PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. สำหรับแต่ละค่าของ m จะได้แรงโก่งที่แน่นอน ในกรณีส่วนใหญ่ มีเพียงกองกำลังที่เล็กที่สุดเท่านั้นที่น่าสนใจ และนั่น

PK1=EI(π/s)2.

ในเวอร์ชันต่อไปนี้ จะมีดัชนี m หรือ 1 โดยส่วนใหญ่ละไว้ ซึ่งอ้างอิงถึงโหลดวิกฤตที่ต่ำที่สุด สิ่งที่น่าสนใจคือเส้นยืดหยุ่นที่สอดคล้องกัน จากค่าคงที่หนึ่ง (2) จะได้ B=C=D=0 เงื่อนไขที่เหลือคือ A∙sin__αs=0 เส้นโก่งแบบยืดหยุ่นสำหรับกรณีด้านบน m=1 ดังนั้น v(z) = A_∙sinπz/s_ โดยที่ v(z) ใช้สำหรับ αK resp PK ฟังก์ชั่นลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกัน ขนาดของ A ยังคงไม่ทราบแน่ชัด

ลองมาดูพื้นที่โหลดทั้งหมดอีกครั้ง สำหรับค่าที่กำหนดเองของ P โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับแรง P_<_PK1 คือ v(z)=0 แกนจะยังคงตรง

ในทฤษฎีคลาสสิกของความเสถียร ภายใต้ภาระ “ที่เพิ่มขึ้นทีละน้อย” P หมายถึงชุดค่าที่ต่อเนื่องกัน ​​_P_ โดยที่ความเสถียรของกรณีโหลดที่สังเกตจะถูกทดสอบซ้ำแล้วซ้ำอีกสำหรับโหลดแต่ละระดับ P ในระหว่างการทดสอบความเสถียร ขนาดของ P ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงอย่างแน่นอน หากสถานะหนึ่ง P ถูกกำหนดให้มีความเสถียร โหลดจะเพิ่มขึ้นด้วยบางสิ่ง ดังนั้นการทดสอบความเสถียรจึงเกิดขึ้นซ้ำ การกำหนดที่แม่นยำนี้จำเป็นเพื่อไม่ให้เกิดความสับสนกับประเภทของโหลด ซึ่งเป็นพื้นฐานสำหรับเอฟเฟกต์ Shanley\ ซึ่งจะมีการเพิ่มขึ้นของโหลดในขณะที่มีการรบกวนเล็กน้อยเกิดขึ้นในเวลาเดียวกัน เมื่อตรวจสอบความเสถียรตาม Shanley\ ในพื้นที่ของการโก่งงอของพลาสติก แรงแยกไปสองทางจะเกิดขึ้นน้อยกว่าวิธีการพิจารณาแบบคลาสสิก

ข้อควรพิจารณาต่อไปนี้ถือเป็นวิธีแรกของการเพิ่มโหลด: เมื่อโหลดเพิ่มขึ้นทีละน้อย P ในแง่นี้ เราจะมาถึง PK1=EI_∙(π/s)_2 อันดับแรกที่จุดแยกไปสองทางของสมดุลยางยืด โดยมีเส้นไซน์ธรรมดาเป็นเส้นโค้งงอแบบยืดหยุ่น

v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.

f=A หมายถึงแอมพลิจูดที่ไม่ได้กำหนดไว้ของเส้นยางยืด สำหรับการโหลด _P*__>_PK1 เป็นไปตามทฤษฎีเชิงเส้นตรง Δ≠0 กล่าวคือ ไม่สามารถสมดุลได้ สำหรับแรงโก่งที่สูงกว่าเท่านั้น PK2 ฯลฯ มันจะเป็นอีกครั้ง Δ=0 ​​​​และด้วย v(z)≠0 สาเหตุของข้อสรุปทางทฤษฎีซึ่งไม่ตรงกับพฤติกรรมที่แท้จริงนั้นอยู่ที่การทำให้เป็นเส้นตรงของสมการเชิงอนุพันธ์

การโก่งงอของแท่งกดที่ประกอบด้วยสองส่วน

เราจำกัดตัวเองไว้ที่แท่งกดสองส่วน และสำหรับแท่งกดที่ประกอบด้วยสามส่วนขึ้นไป จะใช้อัตราส่วนที่คล้ายกัน

รูปที่. 3

ตามประเภทของการเชื่อมต่อตามขวาง แท่งขัดแตะ (รูปที่ 3a) และแท่งเฟรม (รูปที่ 3e) มีความโดดเด่น หากไม่มีสายไขว้ แต่ละส่วนของแท่งไม้ก็จะงอได้เอง (รูปที่ 3b) หากไส้ค่อนข้างอ่อน แท่งสายพานเดี่ยวก็สามารถโค้งงอได้โดยไม่ทำให้แท่งงอโดยรวม สำหรับรูปแท่งขัดแตะ 3c สามารถเปรียบเทียบได้: ซ้ายสำหรับระบบบานพับ ขวาสำหรับสายพานต่อเนื่อง และสำหรับรูปแท่งโครง 3f ทางด้านซ้ายสำหรับแผ่นเชื่อมต่อแบบอ่อน ทางด้านขวาสำหรับแผ่นเชื่อมต่อแบบแข็ง จากนั้นจะเห็นได้ว่าความเรียว γ__1_=s1/i1_ มีอิทธิพลอย่างมาก สำหรับแต่ละส่วนของแกน I1=F1_∙_i12 ถูกตั้งค่าไว้ s1 คือระยะห่างของสนาม (รูปที่ 3), i1 หมายถึงแกน 1-1 (ดูรูปที่ 4)

รูปที่. 4

แรงโก่งของแท่งผสมที่สอดคล้องกับเส้นโก่งยืดหยุ่นของรูป 3d หรือ 3g เป็นหัวข้อของการสืบสวนทางทฤษฎีอย่างละเอียดถี่ถ้วน ถ้าไม้เรียวประกอบด้วยส่วนเฉพาะ (เช่น มีซี่โครง) หรือถ้าการเชื่อมต่อตามขวางเกิดขึ้นบ่อยมากจนไม้ท่อนงอจากสองส่วนไม่มีผลแตกต่างจากไม้ท่อนเดียว ดังนั้นมันจะเป็น σ__K_=_π__2__E/lac__y__2 ตรงนั้นหมายถึง γ__y=sK/iy (รูปที่ 4) อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ ความเครียดจากการโก่งงอนี้จะยังไม่บรรลุผลเต็มที่ เนื่องจากมีการเชื่อมต่อตามขวางไม่เพียงพอสำหรับสิ่งนั้น และยังยืดหยุ่นได้ด้วย จะได้ค่าประมาณที่พึงพอใจในกรณีส่วนใหญ่หากเราใส่ตามข้อเสนอ F Engesser\a ว่าความเค้นดัดงอของแท่งกดที่ประกอบด้วยสองส่วนมีค่าเท่ากัน

σ__K_=_π__2__E/lac__yi__2.

ladyi เป็นสิ่งที่เรียกว่าความเพรียวบางในอุดมคติ

ความสัมพันธ์แบบไขว้ต้องมีจำนวนเพียงพอและแข็งแรงพอที่จะบังคับทั้งสองส่วนของท่อนให้กระทำร่วมกัน หากไม่นับรวมความเค้นทุติยภูมิ ข้อต่อตามขวางยังคงไม่มีความเค้นตราบใดที่แกนยังคงตรง พวกมันจะต้องรับแรงด้วยการดัดเท่านั้น และพวกมันจะต้องส่งแรงตามขวางซึ่งจะเพิ่มขึ้นตามการโค้งงอ ในกรณีที่เป็นสายยางยืด

แรงตามขวางที่ I=const มีความเท่าเทียมกัน

Q = M’ = - EI∙v’‘’

ด้วยมะเดื่อ 5 m สามารถอ่านได้ทันที Q(z)=PK∙v’(z) ค่าสูงสุดที่ปลายก้านคือ

รูปที่. 5

การเชื่อมต่อตามขวางจะต้องสามารถรองรับแรงตามขวางนี้ได้ เนื่องจากโหลดที่สอดคล้องกันคือแรงโก่ง PK จึงเพียงพอแล้วหากถึงขีดจำกัดการรับน้ำหนักสำหรับสิ่งนี้ในการเชื่อมต่อตามขวางด้วย - เช่น พร้อมกันกับแกนทั้งหมด แน่นอนว่าจะไม่มีประโยชน์หากครอสลิงก์มีขนาดใหญ่เกินความจำเป็นในการรับ Q0 ในทางกลับกัน ครอสลิงค์ที่อ่อนแอเกินไปจะทำให้ก้านเสียหายก่อนเวลาอันควร

ไม่สามารถใช้สมการข้างต้นได้ตั้งแต่ต้น เนื่องจากไม่ทราบขนาดของลูกศรโก่ง แกนอยู่ในสมดุลที่ไม่แยแสภายใต้ PK และอย่างน้อยในระดับแรกของการประมาณสามารถรับค่าที่กำหนดเองได้ จึงเป็นประโยชน์ตามข้อเสนอของ F Krohn-a เพื่อกำหนดขนาดของการโก่ง maxv ซึ่งแกนงอจะสูญเสียความสามารถในการรับน้ำหนักเนื่องจากความล้มเหลวเนื่องจากการโค้งงอ สิ่งนี้จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอนหากถึงจุดครากที่ด้านเว้าของส่วนโค้ง (รูปที่ 6) การดัดงอเพื่อการนี้จะเพิ่มขึ้นอีก และโมเมนต์การดัดที่สอดคล้องกันไม่สามารถนำมาใช้ได้

รูปที่. 6

ความเค้นรวมที่ด้านเว้าของส่วนโค้งเป็นไปตามรูป 6 สำหรับวัสดุพลาสติกในอุดมคติ

มาถึงโค้งที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่ยังทนได้

maxQ0 คือแรงตามขวางที่สอดคล้องกันที่ปลายแท่ง

หากใช้สำหรับรูปแบบของ σK Tetmaier\ และใส่ σF=3,1 t/cm2 และ sK=e/2 ∙ γy สอดคล้องกับ iy_data_e/2 แล้ว Krohn's ได้รับค่าโดยประมาณ maxQ0=F/28 (Q in t, F in cm2).

สำหรับเส้นความเค้นโก่งงอตามอำเภอใจ เราจะได้

maxQ0=μK∙SK.

ค่าสัมประสิทธิ์ μK เปลี่ยนแปลงไปตามความเรียวของก้าน และยังขึ้นอยู่กับวัสดุด้วย เมื่อสมการข้างต้นหารด้วยสัมประสิทธิ์ความปลอดภัยต่อการโก่งงอ จึงสามารถเขียนได้

dozv__Q=μ∙dozvS.

การโก่งงอของระบบสาย

ในระบบเชิงเส้น เป็นธรรมเนียมที่จะต้องพิจารณาเปรียบเทียบความยาวการดัดงอ sK=β∙h ของแท่งเหล็กที่ติดบานพับที่ปลายทั้งสองข้างและมีแรงดัดงอ PK=π2EI/s2K มีขนาดใหญ่เท่ากัน ตัวอย่างด้านล่างนี้จะแสดง “ความยาวการโก่ง” เปรียบเทียบ

a) ก้านยึดที่ปลายทั้งสองข้าง (EI=const.)

รูปที่. 7

สำหรับกรณีรูป 7 ของการโก่งคือ PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, เปรียบเทียบ “ความยาวการโก่ง” sK=h/2 และเส้นยืดหยุ่นของการโก่ง v(z)=D(1-cos2πz/h).

b) ปลายด้านหนึ่งไม่มีก้าน (รูปที่ 8)

สล. 8

สันนิษฐานว่าทิศทางของ P จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อแกนโค้งงอ จากนั้น (EI=const.)

PK=π2EI/4h2=PE/4,   SK=2h

v(z)=D(1-cosπz/2h).

เงื่อนไขรูปร่างสำหรับจุดสิ้นสุดอิสระ z=h ที่นี่ อ่าน

M=0 หรือ v’’=0

Q=M’-Pv’=0 หรือ v’’’+a2∙v’=0.

c) ก้านยึดที่ปลายด้านหนึ่ง (รูปที่ 9)

รูปที่. 9

มีเงื่อนไขรูปร่าง

v=0 และ v’=0 สำหรับ z=0

v=0 และ v’’=0 สำหรับ z=h

ได้รับสำหรับ EI=const สภาพการโก่งงอ

sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_

หรือเทียบเท่า

tgαh=αh.   (4)

รากของสมการอดิศัยนี้พบได้ในตาราง K ฮายาชิ's แรงโก่งต่ำสุดเป็นไปตามตาราง PK1=4,49342/h2 ∙ EI = 2,046 π2EI/h2.

ความยาวการโก่งเปรียบเทียบคือ sK = h / √2,046 = 0,699h.

d) คันเบ็ดถูกบีบที่ปลายด้านหนึ่งโดยมีความผิดปกติ (รูปที่ 10)

รูปที่. 10

เราจะสังเกตกรณีการกระจัดของทิปที่มีขนาดคงที่ เงื่อนไขของรูปร่างคือ

v=0 และ v’=0 สำหรับ z=0,

v=v1 และ v’’=0 สำหรับ z=h.

เป็นปัญหาสมดุลของเส้นยืดหยุ่น

ตัวส่วนของคำที่อยู่หน้าวงเล็บ {} จะเป็นศูนย์และการโก่งจะเพิ่มขึ้นเหนือขีดจำกัดทั้งหมดหาก P→PK (ดูเงื่อนไขการโก่ง Eq. (4)) เป็นลักษณะของพฤติกรรมของแกนที่ส่วนโค้งตรงกลางและปลายล่างของแกนจะเล็กลงในตอนแรกเมื่อรับน้ำหนักเพิ่มขึ้น P และเปลี่ยนเครื่องหมายเฉพาะสำหรับน้ำหนักที่สูงกว่าเท่านั้น สล. 10 แสดงส่วนโค้งที่ความสูงครึ่งหนึ่ง

e) แท่งต่อเนื่องบนสองฟิลด์

รูปที่. 11

สำหรับทั้งสองพื้นที่การแก้ปัญหา (รูปที่ 11) เราจะใช้การตั้งค่า

I_. v(z1) = A1∙sinαz1 + B1∙cosαz1 + C1∙z1 + D1,_

II. v(z2) = A2∙sinαz2 + B2∙cosαz2 + C2∙z2 + D2.

เพื่อให้ง่ายขึ้น ให้มันเป็น (EI)1=(EI)2=EI ในการค้นหาค่าคงที่แปดค่า A1, …, A2, … จะใช้เงื่อนไขรูปร่าง

v=0 และ v’=0 สำหรับ z1=0,

v=0 และ v’’=0 สำหรับ z2=h,

ตลอดจนเงื่อนไขการเปลี่ยนผ่านระหว่างพื้นที่ I และ II

v=0 สำหรับ z1=h และ สำหรับ z2=0,

v’‘(z1=h)=v’(z2=0),

v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).

สมการเงื่อนไขแสดงไว้ในตารางด้านล่าง

การตั้งค่าให้ดีเทอร์มิแนนต์ของสัมประสิทธิ์เท่ากับศูนย์ จะได้เงื่อนไขการโก่งงอ

Bending length sK=0,878_h_, while for fig. 35 หรือ β=0,699. แรงโก่งงอลดลงเมื่อเทียบกับ 2,046 : 1,297 เนื่องจากมีการเพิ่มสนามที่สองที่ใส่บานพับไว้ หากอีกสนามหนึ่งถูกบีบให้สูงขึ้น แรงโก่งก็จะเพิ่มขึ้นอีกครั้งจนถึงจุดสูงสุด 2,04 PE.

การนำเสนอสูตรในอดีตนี้ไม่ใช่โครงการหรือการพิสูจน์ความเสถียรของโครงสร้าง ข้อสันนิษฐานแบบดั้งเดิมของชิ้นส่วนตรงในอุดมคติ โหลดศูนย์กลาง และพื้นที่ยืดหยุ่นไม่จำเป็นต้องรวมถึงความไม่สมบูรณ์เบื้องต้น ความเค้นตกค้าง ความเยื้องศูนย์กลาง ความแข็งในการเชื่อมต่อ ความไม่เป็นเชิงเส้นของวัสดุ ความเสถียรด้านข้าง หรือ (หากทำได้) การเกิดเพลิงไหม้ การเกิดแผ่นดินไหว และขั้นตอนการประกอบ การคำนวณโครงสร้างจริงจะต้องกระทำโดยวิศวกรโยธาที่ได้รับอนุญาตตามระเบียบและมาตรฐานที่ถูกต้อง