כיפוף פיתול

כיום, סאבו קושיץ’ מתמקד בחלונות עץ, חלונות עץ-אלומיניום, חלונות מותאמים אישית, דלת ו-בקשות להצעת מחיר. טקסט זה נשאר כארכיון של תיאוריה מבנית ואינו הצעה לתכנון סטטי, חישובי יציבות או שיקום מבני.

משוואה דיפרנציאלית של כיפוף פיתול

ההנחה היא שכל האידיאליזציות מסופקות, במיוחד

• שהמוט ישר לחלוטין
• שהעומס P פועל בפיר המוט
• שהמתחים נשארים מתחת לגבול המידתיות
• שהעיוותים קטנים מספיק כדי לאפשר את הפשטות הרגילות של חישובים.

אם המוט מתכופף בפעולת הכוח P ואולי גם עקב העומס q הפועל בכיוון הרוחבי, אזי יש לעמוד בתנאי שיווי המשקל הידועים בין העומסים החיצוניים והכוחות בחתך. חוץ מזה, טבעי שיהיו קשרים ידועים בין עיוותים וכוחות בחתך.

איור. 1 - איזון

באיור.1מוצג אלמנט מוט כפוף באורך ds. השיפוע של המשיק v’ קטן כך שעד הסדר השני ניתן להגדיר את אורך האלמנט שיהיה שווה להשלכה ds=dz. בנוסף, בבדיקות המוזכרות להלן, לא יובאו בחשבון מקרים בהם P משתנה כל הזמן לאורך ציר המוט, כלומר כוח נורמלי N≈P=const. בשלושת תנאי שיווי המשקל הזמינים לאלמנט, אז ניתן להזניח מספר מסוים של איברים. לסימונים וסימנים מתמונה.10להישאר אז בקירוב הראשון של המשוואה

N=P,   M’=Q,   Q’=-q+Pv’’.

ניתן לבטל את הכוח הרוחבי, ואז M’‘=Pv’’-q מתקיים. חוק ברנולי M=-EI/R מספק את המשוואה החסרה. עקומת ציר המוט, כרגיל, מתורת כיפוף הקורה, מפושטת כדלקמן

לפיכך ניתן לבטל את מומנט הכיפוף; ועם M=-EI*v’’ מתקבלת משוואת הדיפרנציאל עבור המוט הכפוף

(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q.   (1)

במקרה המיוחד של קשיחות כיפוף קבועה EI=const. המשוואה (1) מפושטת, אז היא

EIv’‘’’ + Pv’’ = q.   (1a)

Eq. (1) ו-(1a) הם ליניאריים ב-v לפי הפשטות שהוזכרו.

למעשה, המקרה הפשוט ביותר של קשיחות כיפוף מתמדת EI=const. חשוב במיוחד, המשמש כבסיס לדוגמאות שלהלן.

המקרה של אוילר

ההנחות למקרה הקלאסי של פיתול הן, מלבד האידיאליזציות שהוזכרו: p=0, כך N=const.=P, כמו גם קשיחות קבועה ללא חיכוך, שנמצאות בדיוק על ציר המוט. משוואת הדיפרנציאל הרגילה (1a) היא מסדר רביעי, ליניארית והומוגנית בגלל q=0. הפתרון הכללי הוא:

v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)

כאשר A, B, C, D הם ארבעת קבועי האינטגרציה. הפרמטר הוא בגודל סופי עקב ההנחה EI≠0. יתר על כן, α≠0 עבור P>0.

איור. 2

מכיוון שמשוואת הדיפרנציאל הליניארית (1a) היא הומוגנית, בעיה זו נפתרת גם על ידי n_∙__v(z)_, כאשר n הוא קבוע שרירותי. כבר מהסיווג המתמטי של המשוואה הדיפרנציאלית (1a) ניתן לראות שלא ניתן לקבוע את גודל הכיפוף v. כדי לקבוע את קבועי האינטגרציה A, B, C, D במקרה Euler\ (איור 2) זמינים תנאי המתאר הבאים: בשל התמיכה המפרקית, מומנט הכיפוף הוא אפסי בשני קצוות המוט, כלומר.

v=0 ו-M=0 עבור z=0

v=0 ו-M=0 עבור z=s.

עקב M=-EI_∙__v’‘_, יוצא ש-M=0 הוא הערך של v’’=0, אז ארבעת תנאי המתאר נקראים:

v=0 ו-v’’=0 עבור z=0

v=0 ו-v’’=0 עבור z=s.

הפתרון (2) מביא אפוא לארבע משוואות לינאריות:

אֶחָד.3

לארבעת המשוואות ההומוגניות הללו יש את הפתרון הטריוויאלי הראשון A=B=C=D=0, המתאים ל-v(z)=0. המוט הלא כפוף v_(z_)=0 הוא מיקום שיווי המשקל הרגיל עבור ערכים שרירותיים, במיוחד קטנים של עומס P. כאן, אנו מתעניינים בעיקר בתנאים שבהם המוט מתכופף, כלומר ש_v_(z)≠0. למשוואות (3) אין פתרון טריוויאלי כזה עם A, B, C, D ≠ 0 רק אם הקובע של המקדם שווה לאפס.

אֶחָד. 3a

מתנאי הפיתול Δ = α4∙s∙sinαs =0 mog כדי לחשב את הערכים הקריטיים PK של העומס. משוואה זו מתקיימת רק אם sin αs =0, כלומר עבור αKms = mπ עם m=1,2,3,… הערכים התואמים של כוח החפיפה של Euler\ הם PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. עבור כל ערך של m, מתקבל כוח סתימה מסוים. ברוב המקרים, רק הכוחות הקטן ביותר מעניינים, וזה

PK1=EI(π/s)2.

בגרסה הבאה, יהיה אינדקס m, או 1 מושמט ברובו, המתייחס לעומסים הקריטיים הנמוכים ביותר. מעניין הוא הקו האלסטי המתאים. מאחד (2) מתקבלים קבועים B=C=D=0. המצב הנותר הוא A∙sin__αs=0. קו הפיתול האלסטי עבור המקרה הנ“ל m=1 הוא, לפיכך, v(z) = A_∙sinπz/s_, כאשר v(z) הוא עבור αK או PK פונקציה עצמית מתאימה. הגודל של A נותר בלתי מוגדר.

בואו נסתכל שוב על כל אזור הטעינה. עבור ערכים שרירותיים של P, במיוחד עבור כוחות P_<_PK1 הוא v(z)=0, המוט נשאר ישר.

בתאוריית היציבות הקלאסית, בעומס “הגדל בהדרגה” P הכוונה לסדרה רצופה של ערכים P, כאשר היציבות של מקרה העומס הנצפה תיבדק שוב ושוב עבור כל רמה אינדיבידואלית של עומס P. במהלך מבחן היציבות, הגודל של P נשאר ללא שינוי. אם מצב אחד P נקבע כיציב, אז העומס גדל במשהו, ולכן מבחן היציבות חוזר על עצמו. קביעה מדויקת זו נחוצה על מנת שלא יהיה בלבול עם סוג העומס, המהווה בסיס לאפקט שנלי, בו ישנה עלייה בעומס תוך כדי פעולת הפרעות קטנות. כאשר בוחנים את היציבות על פי Shanley, בתחום הפיתול הפלסטי, מתרחש כוח התפצלות קטן יותר מאשר בשיטת השיקול הקלאסית.

השיקולים הבאים מניחים את הדרך הראשונה להגדלת העומס: בהגדלה הדרגתית של העומס P במובן זה, מגיעים ל-PK1=EI_∙(π/s)_2 תחילה בנקודת התפצלות אחת של הקו האלסטי, עם שיווי משקל אלסטי פשוט. קו

v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.

f=A מציין את המשרעת הבלתי מוגדרת של הקו האלסטי. עבור עומסים _P*__>_PK1 הוא לפי התיאוריה הלינארית Δ≠0, כלומר איזון לא אפשרי שם. רק עבור כוחות חפיפה גבוהים יותר PK2 וכו’ זה יהיה שוב Δ=0 וכך גם v(z)≠0. הסיבה למסקנה תיאורטית זו, שאינה תואמת את ההתנהגות בפועל, נעוצה בליניאריזציה של המשוואה הדיפרנציאלית.

חסימה של מוטות לחוץ המורכבת משני חלקים

אנו מגבילים את עצמנו למקלות דחוסים בשני חלקים, ולגבי מקלות דחוסים המורכבים משלושה חלקים או יותר, חלים יחסים דומים.

Sl.3

על פי סוג החיבור הרוחבי, מוטות הסריג נבדלים (איור.3א) ומוטות מסגרת (איור.3ה). ללא קשרים צולבים, כל חלק של המקל יתכופף מעצמו (איור.3ב). אם המילוי חלש יחסית, אז מוט חגורה בודד יכול להתכופף מבלי לכופף את המוט בכללותו. לתאנה מוט הסריג.3ניתן להשוות c: שמאל למערכת צירים, ימין לחגורות רציפות; ולמחט המסגרת איור.3f משמאל ליריעות חיבור רכות, מימין ליריעות חיבור קשיחות. משם ניתן לראות שלרזון λ_ יש השפעה רבה1__=s1/אֲנִי1_. עבור החלק הבודד של המוט, הוצבתי1=F1__∙_i12, s1 הוא מרווח השדה (איור.3), i1 מתייחס לציר1-1(ראה איור.4).

Fig. 4

כוח הפיתול של מוטות מורכבים המקבילים לקווי הפיתול האלסטיים של איור. 3d, או 3g היה נושא לחקירות תיאורטיות ממצות. אם המוט היה מורכב מקטעים ייחודיים (למשל עם צלע) או אם החיבורים הרוחביים היו תכופים עד כדי כך שמוט מכופף משני חלקים אינו שונה בהשפעתו ממוט בודד, אז זה יהיה σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. שם הוא מציין λ__y=sK/iy (איור 4). עם זאת, מאמץ החריכה הזה לא יושג במלואו בפועל מכיוון שאין מספיק חיבורים רוחביים לכך, והם גם אלסטיים. קירוב שמספק ברוב המקרים מתקבל אם נשים לפי ההצעה F. Engesser\a שמתח הכיפוף של מוט לחוץ המורכב משני חלקים שווה

σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.

λyi הוא מה שנקרא הרזה האידיאלית.

קשרים צולבים חייבים להיות מספיק במספר וחזק מספיק כדי לאלץ את שני חלקי המוט לפעול יחד. למעט מתחים משניים, החוליות הרוחביות נשארות ללא מתח כל עוד המוט נשאר ישר. רק עם כיפוף הם צריכים לקבל כוחות, והם צריכים להעביר כוחות רוחביים שמתגברים עם הכיפוף. במקרה שמדובר בקו אלסטי

כוח רוחבי ב-I=const. שווה

Q = M’ = - EI∙v’‘’.

עם איור. 5 m ניתן לקרוא מיד Q(z)=PK∙v’(z). הערך הגבוה ביותר בקצה המוט הוא

Fig. 5

החיבורים הרוחביים חייבים להיות מסוגלים להכיל את הכוח הרוחבי הזה. כיוון שהעומס המתאים הוא כוח הפיתול PK, מספיק אם מגיעים לכך לגבול נשיאת העומס גם בחיבורים הרוחביים - כלומר בו זמנית עם המוט כולו. ברור שלא יועיל אם גודל הקישורים הצולבים היה חזק בהרבה מהנדרש כדי לקבל Q0. מצד שני, קישורים צולבים חלשים מדי יגרמו למוט להיכשל בטרם עת.

לא ניתן להשתמש במשוואה שלעיל בתחילה מכיוון שגודל החץ המתכווץ אינו ידוע. המוט נמצא בשיווי משקל אדיש תחת PK והוא יכול, לפחות בדרגת הקירוב הראשונה, לקבל ערך שרירותי. לכן הוא שימושי, לפי הצעתו של F. Krohn-a, כדי לקבוע את עוצמתו של אותה התכווצות maxv שבה המוט הכפוף מאבד את כושר הנשיאה שלו עקב כשל עקב כיפוף. זה בהחלט יתרחש אם תגיע לנקודת הניבול בצד הקעור של העיקול (איור.6). העיקולים לכך גדלים יותר ולא ניתן ליישם את מומנטי הכיפוף המתאימים.

איור. 6

הלחץ הכולל בצד הקעור של העיקול הוא לפי איור.6עבור חומר פלסטי אידיאלי

משם מגיע השטות הגדולה ביותר שעדיין ניתן לסבול

maxQ0 הוא הכוח הרוחבי המתאים בקצה המוט.

אם משתמשים בטופס של σK Tetmeier\ ושם σF=3,1t/cm2ו-sK=e/2∙ λy שמתאים ל-iy≈e/2, אז הערך המשוער של Krohn\ של maxQ מתקבל0=F/28(Q ב-t, F בס“מ2).

עבור קווים שרירותיים מתקבל מאמץ ההתכווצות

maxQ0=μK∙SK.

מקדם μK משתנה עם דקותו של המוט, זה תלוי גם בחומר. כאשר המשוואה שלעיל מחולקת במקדם הבטיחות נגד פיתול ניתן לכתוב אותה

dozv__Q=μ∙dozvS.

חסימה של מערכות ליניאריות

במקרה של מערכות ליניאריות מקובל לקבוע את אורך הכיפוף sK=β∙h של מוט שציר בשני קצותיו וכוח הכיפוף שלו הוא PK=π לשם השוואה2EI/s2K גדול באותה מידה. “אורך פיתול” השוואתי יינתן עבור הדוגמאות שלהלן.

א) מוט מהודק בשני הקצוות (EI=const.)

Fig. 7

למקרה של איור.7של פיתול הוא PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, השוואתי “אורך חבטות” sK=h/2וקו הפיתול האלסטי v(z)=D(1- כיון2πz/h).

ב) מוט חופשי בקצה אחד (איור.8)

Sl. 8

ההנחה היא שהכיוון של P אינו משתנה כשהמוט מתכופף. לאחר מכן (EI=קונסט.)

PK=π2EI/4h2=PE/4,   sK=2h

v(z)=D(1-cosπz/2ח).

תנאי קווי המתאר עבור הקצה החופשי z=h כאן קראו

M=0 או v’’=0

Q=M’-Pv’=0 או v’’’+a2∙v’=0.

ג) מוט מהודק בקצה אחד (איור 9)

Sl. 9

עם תנאי קווי מתאר

v=0 ו-v’=0 עבור z=0

v=0 ו-v’’=0 עבור z=h

מתקבל עבור EI=const. מצב חבטות

sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_

או שווה ערך

tgαh=αh.   (4)

השורשים של המשוואה הטרנסנדנטלית הזו נמצאים בטבלאות K. של Hayashi. כוח הפיתול הנמוך ביותר הוא לפי הטבלאות PK1=4,49342/ ח2∙ EI =2,046π2EI/h2.

אורך הפיתול ההשוואתי הוא sK = h / √2,046=0,699ח.

ד) מוט מהודק בקצה אחד עם הפרעה (איור.10)

איור. 10

נשקול את המקרה של עקירה בגודל קבוע. תנאי המתאר לכך הם

v=0ו’=0 עבור z=0,

v=v1ו’’=0 עבור z=h.

זוהי בעיית שיווי משקל עם קו אלסטי

המכנה של המונח לפני {}-הסוגריים יהיה אפס וההתכווצות גדלה מעל כל הגבולות אם P→PK (ראה תנאי נטייה משוואה (4)). אופייני להתנהגות המוט שהעיקולים בקצה האמצעי והתחתון של המוט קטנים יותר בהתחלה עם עומס גובר P ומשנים את סימן רק לעומסים גבוהים יותר. Sl.10מראה עיקולים בחצי גובה.

ה) הדבקה רציפה על פני שני שדות

Sl.11

עבור שני אזורי הפתרון (איור.11) ניישם את ההגדרה

ו_. v(z1) = א1∙synαz1+ ב1∙cosαz1+ ג1∙z1+ ד1,_

II. v(z2) = א2∙synαz2+ ב2∙cosαz2+ ג2∙z2+ ד2.

למען הפשטות תן לזה להיות (EI)1=(EI)2=EI. כדי למצוא את שמונת הקבועים A1, …, א2, … משמשים כתנאי קווי מתאר

v=0ו’=0 עבור z1=0,

v=0ו’’=0 עבור z2=h,

וכן תנאי מעבר בין אזורים I ו-II

v=0 עבור z1=h i עבור z2=0,

v’’ (z1=h)=v’(z2=0),

v’’ (z1=h)=v’’(z2=0).

המשוואות המותנות ניתנות בטבלה שלהלן

על ידי קביעת הקובע של המקדם שווה לאפס, מתקבל תנאי הפיתול

אורך כיפוף sK=0,878_h_, בעוד עבור איור.35או β=0,699. כוח הפיתול ירד בהשוואה ל2,046:1,297עקב תוספת של שדה שני שהוא ציר. אם השדה השני היה נצבט גבוה יותר, אזי כוח הפיתול יגדל שוב עד לשיא.2,04_פ_.

הצגה היסטורית זו של הנוסחאות אינה פרויקט או הוכחה ליציבות המבנה. ההנחות הקלאסיות של איבר ישר אידיאלי, עומס מרכזי ושטח אלסטי אינן כוללות בהכרח פגמים ראשוניים, מתחים שיוריים, אקסצנטריות, קשיחות חיבור, אי-לינאריות של החומר, יציבות רוחבית וגם לא, כאשר ישים, שלבי אש, פעולה סיסמית והרכבה. חישוב המבנה בפועל חייב להיעשות על ידי מהנדס אזרחי מורשה על פי תקנות ותקנים תקפים.