I dag er Savo Kusić fokusert på trevinduer, tre-aluminium vinduer, egendefinerte vinduer, dør og forespørsler om tilbud. Denne teksten forblir som et arkiv for strukturteori og er ikke et tilbud om statisk design, stabilitetsberegninger eller strukturell rehabilitering.
Differensialligning for bøying
Det antas at alle idealiseringer er oppfylt, spesielt
- at stangen er helt rett
- at lasten P virker i stangens aksel
- at spenningene holder seg under proporsjonalitetsgrensen
- at deformasjonene er små nok til å tillate vanlige forenklinger av beregninger.
Dersom stangen bøyer seg under påvirkning av kraften P og kanskje også på grunn av belastningen q som virker i tverretningen, så må de kjente likevektsbetingelsene mellom de ytre belastningene og kreftene i snittet være tilfredsstilt. Dessuten er det naturlig at det er kjente sammenhenger mellom deformasjoner og krefter i strekningen.
Fig. 1 - Balanse
I fig.1et bøyd stangelement med lengde ds presenteres. Helningen til v’-tangenten er liten slik at opp til andre orden kan lengden på elementet settes til å være lik projeksjonen ds=dz. I tillegg, i testene nevnt nedenfor, vil tilfeller der P hele tiden endres langs stangens akse ikke bli tatt i betraktning, dvs. normalkraft N≈P=konst. I de tre likevektsforholdene som er tilgjengelige for elementet, kan et visst antall medlemmer da neglisjeres. For merking og skilt fra fig.10forbli da i den første tilnærmingen av ligningen
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
Tverrkraften kan elimineres, og da holder M’‘=Pv’’-q. Bernoulli\s lov M=-EI/R gir den manglende ligningen. Kurven til stangens akse, som vanlig, fra teorien om bjelkebøyning, er forenklet som følger
Det er dermed mulig å eliminere bøyemomentet; og med M=-EI*v’’ oppnås differensialligningen for den bøyde stangen
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
I det spesielle tilfellet med konstant bøyestivhet EI=konst. ligningen (1) er forenklet, så den er
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Ekv. (1) og (1a) er lineære i v i henhold til de nevnte forenklingene.
Praktisk talt er det enkleste tilfellet med konstant bøyestivhet EI=konst. er spesielt viktig, som tjener som grunnlag for eksemplene nedenfor.
Eulers etui
Forutsetningene for det klassiske tilfellet med knekking er, bortsett fra de nevnte idealiseringene: p=0, altså N=konst.=P, samt konstant stivhet uten friksjon, som ligger nøyaktig på stangens akse. Den ordinære differensialligningen (1a) er fjerde orden, lineær og homogen på grunn av q=0. Den generelle løsningen er:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
hvor A, B, C, D er de fire integrasjonskonstantene. Parameteren er av endelig størrelse på grunn av antakelsen EI≠0. Videre, α≠0 for P>0.
Sl.2
Siden den lineære differensialligningen (1a) er homogen, løses dette problemet også med n_∙__v(z)_, der n er en vilkårlig konstant. Allerede fra den matematiske klassifiseringen av differensialligningen (1a) kan man se at størrelsen på bøyningen v ikke kan bestemmes. For å bestemme integrasjonskonstantene A, B, C, D i Euler-tilfellet (fig. 2) er følgende konturbetingelser tilgjengelig: På grunn av leddstøtten er bøyemomentet null i begge ender av stangen, dvs.
v=0 og M=0 for z=0
v=0 og M=0 for z=s.
På grunn av M=-EI_∙_v’‘ følger det at M=0 er verdien av v’’=0, så de fire konturbetingelsene lyder:
v=0 og v’’=0 for z=0
v=0 og v’’=0 for z=s.
Løsningen (2) resulterer dermed i fire lineære ligninger:
En.3
Disse fire homogene ligningene har den første såkalte trivielle løsningen A=B=C=D=0, som tilsvarer v(z)=0. Den ubøyde stangen v_(z_)=0 er den vanlige likevektsposisjonen for vilkårlige, spesielt små verdier av last P. Her er vi først og fremst interessert i forholdene som stangen bøyer seg under, dvs. at v(z)≠0. Ligningene (3) har ikke en slik triviell løsning med A, B, C, D ≠ 0 bare hvis determinanten til koeffisienten er lik null.
En. 3a
Fra knekkbetingelsene Δ = α4∙s∙sinαs =0 mog for å beregne de kritiske verdiene PK for lasten. Denne ligningen er bare oppfylt hvis sin αs =0, det vil si for αKms = mπ med m=1,2,3,… De tilsvarende verdiene for Euler\s knekkkraft er PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. For hver verdi av m oppnås en viss knekkkraft. I de fleste tilfeller er det bare den minste av disse kreftene som er av interesse, og det
PK1=EI(π/s)2.
I den følgende versjonen vil det være en indeks m, eller 1 for det meste utelatt, og refererer til den laveste av de kritiske belastningene. Av interesse er den tilsvarende elastiske linjen. Fra én (2) oppnås konstantene B=C=D=0. Den gjenværende tilstanden er A∙sin__αs=0. Den elastiske knekklinjen for tilfellet ovenfor m=1 er derfor v(z) = A_∙sinπz/s_, hvor v(z) er for αK hhv. PK tilsvarende egenfunksjon. Størrelsen på A forblir ubestemt.
La oss ta en ny titt på hele lasteområdet. For vilkårlige verdier av P, spesielt for krefter P_<_PK1 er v(z)=0, forblir stangen rett.
I den klassiske stabilitetsteorien, under “gradvis økende” belastning P menes en påfølgende serie av verdier P, hvor stabiliteten til det observerte belastningstilfellet vil bli testet igjen og igjen for hvert enkelt nivå av belastning P. Under stabilitetstesten forblir størrelsen på P absolutt uendret. Hvis en tilstand P er bestemt til å være stabil, økes belastningen med noe, og derfor gjentas stabilitetstesten. Denne nøyaktige bestemmelsen er nødvendig for at det ikke skal oppstå forvirring med type belastning, som er grunnlaget for Shanley-effekten, hvor det er en økning i belastningen mens små forstyrrelser virker samtidig. Når man undersøker stabiliteten i henhold til Shanley, i området for plastisk knekking, oppstår det en mindre bifurkasjonskraft enn ved den klassiske metoden.
Følgende betraktninger antar den første måten å øke belastningen på: Ved en gradvis økning av belastningen P i denne forstand, kommer man først til PK1=EI_∙(π/s)_2 ved ett bifurkasjonspunkt av elastikken, med en enkel sinusbukking som likevekt linje
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A betegner den ubestemte amplituden til den elastiske linjen. For laster er _P*__>_PK1 i henhold til den lineariserte teorien Δ≠0, dvs. balansering er ikke mulig der. Bare for høyere knekkkrefter PK2 osv. blir det igjen Δ=0 og dermed også v(z)≠0. Årsaken til denne teoretiske konklusjonen, som ikke stemmer overens med den faktiske oppførselen, ligger i lineariseringen av differensialligningen.
Knekking av pressede stenger som består av to deler
Vi begrenser oss til todelte pressede pinner, og for pressede pinner som består av tre eller flere deler, gjelder tilsvarende forhold.
Sl.3
I henhold til typen tverrgående tilkobling er gitterstenger forskjellige (fig.3a) og rammestenger (fig.3e). Uten tverrbånd ville hver del av pinnen bøyes av seg selv (fig.3b). Hvis fyllingen er relativt svak, kan en enkelt beltestang bøye seg uten å bøye stangen som helhet. For gitterstangen fig.3c kan sammenlignes: venstre for hengslet system, høyre for kontinuerlige belter; og for rammestangen fig.3f til venstre for myke koblingsplater, til høyre for stive koblingsplater. Derfra kan man se at slankhet λ_ har stor innflytelse1__=s1/jeg1_. For den enkelte del av stanga ble jeg plassert1=F1_∙_i12, s1 er feltavstanden (fig.3), i1 refererer til aksen1-1(se fig.4).
Sl.4
Knekkekraften til sammensatte stenger som tilsvarer de elastiske knekkelinjene på fig. 3d, eller 3g var gjenstand for uttømmende teoretiske undersøkelser. Hvis stangen var sammensatt av unike seksjoner (f.eks. med en ribbe) eller hvis tverrforbindelsene var så hyppige at en stang bøyd fra to deler ikke skiller seg i sin effekt fra en enkelt stang, så ville det være σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Der betegner det λ__y=sK/iy (fig. 4). Denne knekkspenningen vil imidlertid ikke nås fullt ut i praksis fordi det ikke er nok tverrforbindelser til det, og de er også elastiske. En tilnærming som tilfredsstiller i de fleste tilfeller oppnås hvis vi setter etter forslaget F. Engesser\a at bøyespenningen til en presset stang sammensatt av to deler er lik
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi er den såkalte ideelle slankheten.
Kryssbånd må være tilstrekkelig i antall og sterke nok til å tvinge begge deler av stangen til å virke sammen. Med unntak av sekundærspenninger forblir tverrleddene ubelastet så lenge stangen forblir rett. Det er kun ved bøyning de må motta krefter, og de må overføre tverrkrefter som øker med bøyning. I tilfelle det er en elastisk linje
tverrkraft ved I=konst. er lik
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
Med fig. 5 m kan umiddelbart leses Q(z)=PK∙v’(z). Den høyeste verdien på enden av stangen er
Sl.5
Tverrforbindelsene må kunne ta opp denne tverrkraften. Siden den tilsvarende lasten er knekkkraften PK, er det tilstrekkelig om bæregrensen nås for dette også i tverrforbindelsene - dvs. samtidig med hele stangen. Åpenbart ville det ikke være til nytte hvis tverrbindingene var dimensjonert mye sterkere enn nødvendig for å motta Q0. På den annen side vil tverrbindinger som er for svake føre til at stangen svikter for tidlig.
Ovennevnte ligning kan ikke brukes innledningsvis fordi størrelsen på knekkpilen er ukjent. Stangen er i likevekt under PK og kan i hvert fall i første tilnærmingsgrad ta en vilkårlig verdi. Det er derfor nyttig, ifølge forslaget til F. Krohn-a, for å bestemme størrelsen på den knekkingen maxv ved hvilken den bøyde stangen mister sin bæreevne på grunn av svikt på grunn av bøyning. Dette vil helt sikkert skje hvis flytepunktet nås på den konkave siden av svingen (fig.6). Bøyene for dette vokser videre og de tilsvarende bøyemomentene kan ikke brukes.
Fig. 6
Den totale spenningen på den konkave siden av bøyningen er i henhold til fig.6for ideelt plastmateriale
Derfra kommer den største svadaen som fortsatt kan tåles
maxQ0 er den tilsvarende tverrkraften ved stangenden.
Hvis brukt for σK Tetmeier\s form og sett σF=3,1t/cm2og sK=e/2∙ λy som tilsvarer iy≈e/2, da oppnås Krohn\s omtrentlige verdi på maxQ0=F/28(Q i t, F i cm2).
For vilkårlige linjer oppnås knekkspenningen
maxQ0=μK∙SK.
Koeffisienten μK endres med stangens slankhet, den avhenger også av materialet. Når ligningen ovenfor er delt med sikkerhetskoeffisienten mot knekking, kan den skrives
dozv__Q=μ∙dozvS.
Knekking av lineære systemer
Ved lineære systemer er det vanlig å bestemme bøyelengden sK=β∙h til en stang som er hengslet i begge ender og hvis bøyekraft er PK=π for sammenligning2EI/s2K like stor. En sammenlignende “knekklengde” vil bli gitt for eksemplene nedenfor.
a) Stang fastklemt i begge ender (EI=konst.)
Sl.7
For tilfellet på fig.7av knekking er PK=4π2EI/t2=4,0∙PE, komparativ “knekklengde” sK=h/2og den elastiske knekklinjen v(z)=D(1- fordi2πz/h).
b) Stangfri i den ene enden (fig.8)
Sl. 8
Det antas at retningen til P ikke endres når stangen bøyer seg. Deretter (EI=konst.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sk=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
Konturbetingelsene for den frie enden z=h her les
M=0 eller v’’=0
Q=M’-Pv’=0 eller v’’’+a2∙v’=0.
c) Stang fastklemt i den ene enden (fig. 9)
Sl.9
Med konturforhold
v=0 og v’=0 for z=0
v=0 og v’’=0 for z=h
er hentet for EI=const. knekktilstand
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
eller tilsvarende
tgαh=αh. (4)
Røttene til denne transcendentale ligningen finnes i tabellene K. Hayashi’s. Den laveste knekkkraften er i henhold til tabellene PK1=4,49342/ t2∙ EI =2,046π2EI/t2.
Den komparative knekklengden er sK = h / √2,046=0,699h.
d) En stang klemt i den ene enden med en forstyrrelse (fig.10)
Fig. 10
Vi vil vurdere tilfellet med spissforskyvning av konstant størrelse. Konturforholdene for det er
v=0og v’=0 for z=0,
v=v1og v’’=0 for z=h.
Det er et likevektsproblem med en elastisk linje
Nevneren til begrepet før {}-parentesene vil være null og knekkingen øker over alle grenser hvis P→PK (se knekkbetingelse lign. (4)). Det er karakteristisk for stangens oppførsel at bøyningene i midten og nedre ende av stangen i utgangspunktet er mindre ved økende belastning P og endrer fortegn kun ved høyere belastninger. Sl.10viser bend i halv høyde.
e) Kontinuerlig stikk over to felt
Sl.11
For begge løsningsområdene (fig.11) vil vi bruke innstillingen
Og_. v(z1) = A1∙synαz1+ B1∙cosαz1+ C1∙z1+ D1,_
II. v(z2) = A2∙synαz2+ B2∙cosαz2+ C2∙z2+ D2.
For enkelhets skyld la det være (EI)1=(EI)2=EI. For å finne de åtte konstantene A1, …, A2, … tjene som konturbetingelser
v=0og v’=0 for z1=0,
v=0og v’’=0 for z2=h,
samt overgangsforhold mellom område I og II
v=0 for z1=h i for z2=0,
v’’ (z1=h)=v’(z2=0),
v’’ (z1=h)=v’’(z2=0).
De betingede ligningene er gitt i tabellen nedenfor
Ved å sette determinanten til koeffisienten lik null, oppnås knekkbetingelsen
Bøyelengde sK=0,878_h_, mens for fig.35enten β=0,699. Knekkekraften avtok i forhold til2,046:1,297på grunn av tillegg av et andre felt som er hengslet. Hvis det andre feltet ble klemt høyere, ville knekkkraften øke igjen til toppen.2,04_PE_.
Denne historiske presentasjonen av formlene er ikke et prosjekt eller et bevis på strukturens stabilitet. De klassiske antakelsene om ideell rett element, sentrisk belastning og elastisk areal inkluderer ikke nødvendigvis initiale ufullkommenheter, gjenværende spenninger, eksentrisitet, forbindelsesstivhet, materiale ikke-linearitet, sidestabilitet, og heller ikke, når det er aktuelt, brann, seismisk handling og monteringsfaser. Beregning av selve konstruksjonen skal gjøres av autorisert sivilingeniør i henhold til gjeldende forskrifter og standarder.