Dzisiaj Savo Kusić koncentruje się na oknach drewnianych, oknach drewniano-aluminiowych, oknach na wymiar, drzwiach i zapytaniach ofertowych. Ten tekst pozostaje archiwum teorii konstrukcji i nie stanowi oferty obliczeń statycznych, obliczeń stateczności ani renowacji konstrukcji.
Równanie różniczkowe wyboczenia przy zginaniu
Zakłada się, że wszystkie idealizacje są spełnione, zwłaszcza
- aby pręt był idealnie prosty
- że obciążenie P działa na wał pręta
- aby napięcia pozostawały poniżej granicy proporcjonalności
- że odkształcenia są na tyle małe, że pozwalają na zwykłe uproszczenia obliczeń.
Jeśli pręt ugina się pod działaniem siły P, a być może także pod wpływem obciążenia q działającego w kierunku poprzecznym, to muszą być spełnione znane warunki równowagi pomiędzy obciążeniami zewnętrznymi i siłami w przekroju. Poza tym naturalne jest, że powinny być znane zależności pomiędzy odkształceniami i siłami w przekroju.
Rys. 1 - Saldo
Na rys. 1 jest wygiętym elementem prętowym o długości ds. Nachylenie stycznej v’ jest małe, więc aż do drugiego rzędu długość elementu można ustawić na równą rzutowi ds=dz. Dodatkowo w niżej wymienionych badaniach nie będą brane pod uwagę przypadki, w których P zmienia się stale wzdłuż osi pręta, czyli siła normalna N≈P=const. W trzech warunkach równowagi dostępnych dla elementu można wówczas pominąć pewną liczbę prętów. Dla oznaczeń i znaków z rys. 10 następnie pozostań w pierwszym przybliżeniu równania
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
Siła poprzeczna może zostać wyeliminowana i wówczas M’‘=Pv’’-q utrzymuje się. Prawo Bernoulliego M=-EI/R dostarcza brakujące równanie. Krzywa osi pręta, jak zwykle, z teorii zginania belki, jest uproszczona w następujący sposób
Możliwe jest zatem wyeliminowanie momentu zginającego; i przy M=-EI*v’’ otrzymuje się równanie różniczkowe dla zgiętego pręta
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
W szczególnym przypadku stałej sztywności zginania EI=const. równanie (1) jest uproszczone, więc wynosi
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Równ. (1) i (1a) są liniowe w v zgodnie ze wspomnianymi uproszczeniami.
Praktycznie najprostszy przypadek stałej sztywności zginania EI=const. jest szczególnie ważne i stanowi podstawę dla poniższych przykładów.
Sprawa Eulera
Założeniami dla klasycznego przypadku wyboczenia są, poza wymienionymi idealizacjami: p=0, a więc N=const.=P, a także stała sztywność bez tarcia, która leży dokładnie w osi pręta. Równanie różniczkowe zwyczajne (1a) jest czwartego rzędu, liniowe i jednorodne ze względu na q=0. Ogólne rozwiązanie to:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
gdzie A, B, C, D to cztery stałe całkowania. Parametr ma skończoną wielkość ze względu na założenie EI≠0. Ponadto α≠0 dla P>0.
Rys. 2
Ponieważ liniowe równanie różniczkowe (1a) jest jednorodne, problem ten rozwiązuje się również za pomocą n_∙__v(z)_, gdzie n jest dowolną stałą. Już z matematycznej klasyfikacji równania różniczkowego (1a) widać, że nie da się określić wielkości zginania v. Do wyznaczenia stałych całkowania A, B, C, D w przypadku Eulera\ (rys. 2) dostępne są następujące warunki konturu: Ze względu na przegubowe podparcie moment zginający na obu końcach pręta wynosi zero, tj.
v=0 i M=0 dla z=0
v=0 i M=0 dla z=s.
Z M=-EI_∙v’‘ wynika, że _M=0 jest wartością v’’=0, więc cztery warunki konturu brzmią:
v=0 i v’’=0 dla z=0
v=0 i v’’=0 dla z=s.
Rozwiązanie (2) daje zatem cztery równania liniowe:
Równ. 3
Te cztery jednorodne równania mają pierwsze tzw. trywialne rozwiązanie A=B=C=D=0, które odpowiada v(z)=0. Niewygięty pręt v_(z_)=0 jest typowym położeniem równowagi dla dowolnych, zwłaszcza małych wartości obciążenia P. Tutaj interesują nas przede wszystkim warunki, w jakich pręt się wygina, czyli to, że v(z)≠0. Równania (3) nie mają tak trywialnego rozwiązania z A, B, C, D ≠ 0 tylko wtedy, gdy wyznacznik współczynnika jest równy zero.
Jeden. 3a
Z warunków wyboczeniowych Δ = α4∙s∙sinαs = 0 m możemy obliczyć wartości krytyczne PK obciążenia. Równanie to jest spełnione tylko wtedy, gdy sin αs = 0, tj. dla αKms = mπ z m=1,2,3,… Odpowiadające wartości siły wyboczeniowej Eulera\ wynoszą PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Dla każdej wartości m uzyskuje się pewną siłę wyboczeniową. W większości przypadków interesująca jest tylko najmniejsza z tych sił i tyle
PK1=EI(π/s)2.
W następnej wersji indeks m lub 1 będzie w większości pomijany i odnosi się do najniższego z obciążeń krytycznych. Interesująca jest odpowiednia linia elastyczna. Z jednego (2) otrzymuje się stałe B=C=D=0. Pozostały warunek to A∙sin__αs=0. Linia wyboczenia sprężystego dla powyższego przypadku m=1 wynosi zatem v(z) = A_∙sinπz/s_, gdzie v(z) oznacza odpowiednio dla αK. PK odpowiadająca funkcja własna. Wielkość A pozostaje nieokreślona.
Przyjrzyjmy się jeszcze raz całej powierzchni ładunkowej. Dla dowolnych wartości P, zwłaszcza dla sił P_<_PK1 wynosi v(z)=0, pręt pozostaje prosty.
W klasycznej teorii stateczności, pod „stopniowo rosnącym” obciążeniem P rozumie się kolejny ciąg wartości P, w którym stabilność obserwowanego przypadku obciążenia będzie wielokrotnie sprawdzana dla każdego indywidualnego poziomu obciążenia P. Podczas testu stabilności rozmiar P z pewnością pozostaje niezmieniony. Jeśli jeden stan P zostanie uznany za stabilny, wówczas obciążenie zostanie o coś zwiększone i dlatego badanie stabilności zostanie powtórzone. To dokładne określenie jest konieczne, aby nie pomylić się z rodzajem obciążenia, co jest podstawą efektu Shanleya, w którym następuje wzrost obciążenia przy jednoczesnym działaniu małych zaburzeń. Podczas badania stateczności według Shanleya\ w obszarze wyboczenia plastycznego występuje mniejsza siła bifurkacyjna niż przy rozpatrywaniu metodą klasyczną.
W poniższych rozważaniach przyjęto pierwszy sposób zwiększania obciążenia: Przy stopniowym wzroście obciążenia P w tym sensie dochodzi się do PK1=EI_∙(π/s)_2 najpierw w jednym punkcie rozwidlenia równowagi sprężystej, z prostą linią sinusoidalną jako linią wyboczenia sprężystego
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A oznacza nieokreśloną amplitudę linii sprężystej. Dla obciążeń _P*__>_PK1 jest zgodne z teorią zlinearyzowaną Δ≠0, czyli tam nie jest możliwa równowaga. Tylko dla większych sił wyboczeniowych PK2 itd. będzie to ponownie Δ=0 a więc także v(z)≠0. Przyczyna tego teoretycznego wniosku, który nie odpowiada rzeczywistemu zachowaniu, leży w linearyzacji równania różniczkowego.
Wyboczenie prętów prasowanych składających się z dwóch części
Ograniczamy się do patyczków prasowanych dwuczęściowych, a w przypadku patyczków prasowanych składających się z trzech lub więcej części obowiązują podobne proporcje.
Rys. 3
W zależności od rodzaju połączenia poprzecznego rozróżnia się pręty kratowe (rys. 3a) i pręty ramowe (rys. 3e). Bez połączeń krzyżowych każda część patyka zginałaby się sama (rys. 3b). Jeżeli wypełnienie jest stosunkowo słabe, pojedynczy pręt pasa może się zgiąć bez zginania pręta jako całości. Dla pręta kratowego rys. 3c można porównać: lewy do systemu przegubowego, prawy do pasów ciągłych; oraz dla drążka ramy rys. 3f po lewej stronie dla miękkich płytek łączących, po prawej dla sztywnych płytek łączących. Stąd widać, że smukłość λ__1_=s1/i1_ ma duży wpływ. Dla poszczególnej części pręta ustawione jest I1=F1_∙_i12, s1 to odstęp między polami (rys. 3), i1 odnosi się do osi 1-1 (patrz rys. 4).
Rys. 4
Siła wyboczenia prętów złożonych odpowiadająca liniom wyboczenia sprężystego na ryc. 3d, czyli 3g, było przedmiotem wyczerpujących badań teoretycznych. Gdyby pręt składał się z pojedynczych odcinków (np. z żebrem) lub gdyby połączenia poprzeczne były tak częste, że pręt wygięty z dwóch części nie różniłby się efektem od pojedynczego pręta, to byłby to σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Tam oznacza λ__y=sK/iy (rys. 4). Jednak w praktyce to naprężenie wyboczeniowe nie zostanie w pełni osiągnięte, ponieważ nie ma do tego wystarczającej liczby połączeń poprzecznych, a one również są sprężyste. Przybliżenie spełniające w większości przypadków otrzymamy, jeśli postawimy zgodnie z propozycją F. Engeser\a, że naprężenie zginające prasowanego pręta złożonego z dwóch części jest równe
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi to tzw. idealna smukłość.
Wiązania krzyżowe muszą być wystarczające w liczbie i na tyle mocne, aby zmusić obie części pręta do współdziałania. Z wyłączeniem naprężeń wtórnych, ogniwa poprzeczne pozostają nienaprężone, dopóki pręt pozostaje prosty. Dopiero podczas zginania muszą przyjmować siły i muszą przenosić siły poprzeczne, które zwiększają się wraz z zginaniem. Jeśli jest to linia elastyczna
siła poprzeczna przy I=const. jest równe
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
Z rys. 5 m można natychmiast odczytać Q(z)=PK∙v’(z). Najwyższa wartość na końcu pręta wynosi
Rys. 5
Połączenia poprzeczne muszą być w stanie przenieść tę siłę poprzeczną. Ponieważ odpowiednim obciążeniem jest siła wyboczeniowa PK, wystarczy, jeśli zostanie osiągnięta granica nośności dla tego również w połączeniach poprzecznych - czyli jednocześnie z całym prętem. Oczywiście nie byłoby sensu, gdyby wiązania poprzeczne były znacznie silniejsze niż jest to konieczne do otrzymania Q0. Z drugiej strony, zbyt słabe wiązania poprzeczne mogą spowodować przedwczesne uszkodzenie pręta.
Powyższego równania nie można zastosować od początku, ponieważ wielkość strzałki wyboczenia nie jest znana. Pręt znajduje się w równowadze obojętnej pod PK i może, przynajmniej w pierwszym stopniu przybliżenia, przyjąć dowolną wartość. Dlatego przydatne jest, zgodnie z propozycją F. Krohna-a, w celu określenia wielkości wyboczenia maxv, przy którym wygięty pręt traci swoją nośność w wyniku uszkodzenia na skutek zginania. Nastąpi to z pewnością, jeśli granica plastyczności zostanie osiągnięta po wklęsłej stronie zagięcia (rys. 6). Zginanie w tym przypadku rośnie dalej i nie można zastosować odpowiednich momentów zginających.
Rys. 6
Całkowite naprężenie po wklęsłej stronie zagięcia jest zgodne z rys. 6 dla idealnego tworzywa sztucznego
Stąd następuje największe ugięcie, jakie można jeszcze znieść
maxQ0 to odpowiednia siła poprzeczna na końcu pręta.
Jeśli użyte dla formy σK Tetmaier\ i wstaw σF=3,1 t/cm2 i sK=e/2 ∙ λy odpowiadające iy≈e/2, wówczas Krohn'ów uzyskuje się w przybliżeniu wartość maxQ0=F/28 (Q w t, F w cm2).
Dla dowolnych linii naprężeń wyboczeniowych otrzymujemy
maxQ0=μK∙SK.
Współczynnik μK zmienia się wraz ze smukłością pręta, zależy to również od materiału. Dzieląc powyższe równanie przez współczynnik bezpieczeństwa na wyboczenie, można zapisać:
dozv__Q=μ∙dozvS.
Wyboczenie systemów liniowych
W układach liniowych zwyczajowo określa się dla porównania długość zgięcia skK=β∙h pręta przegubowego na obu końcach, którego siła zginająca PK=π2EI/s2K jest jednakowo duża. Porównawcza „długość wyboczeniowa” zostanie podana w poniższych przykładach.
a) Pręt zaciśnięty na obu końcach (EI=const.)
Rys. 7
W przypadku rys. 7 wyboczenia wynosi PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, porównawcza „długość wyboczenia” sK=h/2 i sprężysta linia wyboczenia v(z)=D(1-cos2πz/h).
b) Pręt wolny na jednym końcu (rys. 8)
Śl. 8
Zakłada się, że kierunek P nie zmienia się podczas zginania pręta. Wtedy (EI=stała)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
Warunki konturu dla wolnego końca z=h tutaj przeczytaj
M=0 lub v’’=0
Q=M’-Pv’=0 lub v’’’+a2∙v’=0.
c) Pręt zaciśnięty na jednym końcu (rys. 9)
Rys. 9
Z warunkami konturowymi
v=0 i v’=0 dla z=0
v=0 i v’’=0 dla z=h
uzyskuje się dla EI=const. stan wyboczenia
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
lub odpowiednik
tgαh=αh. (4)
Pierwiastki tego równania przestępnego znajdują się w tabelach K. Hayashi’s. Najniższa siła wyboczeniowa jest zgodna z tabelami PK1=4,49342/h2 ∙ EI = 2,046 π2EI/h2.
Porównawcza długość wyboczeniowa wynosi sK = h / √2,046 = 0,699h.
d) Pręt ściśnięty na jednym końcu z zaburzeniem (rys. 10)
Rys. 10
Będziemy obserwować przypadek przemieszczenia końcówki o stałej wielkości. Warunki konturowe to
v=0 i v’=0 dla z=0,
v=v1 i v’’=0 dla z=h.
Jest to problem równowagi z linią sprężystą
Mianownik składnika przed nawiasami {} będzie wynosić zero, a wyboczenie wzrośnie powyżej wszystkich granic, jeśli P → PK (patrz równanie warunku wyboczenia (4)). Charakterystyczne dla zachowania pręta jest to, że zagięcia w środkowym i dolnym końcu pręta są początkowo mniejsze wraz ze wzrostem obciążenia P i zmieniają swój znak dopiero przy większych obciążeniach. Śl. 10 pokazuje zakręty w połowie wysokości.
e) Ciągłe naciśnięcie na dwóch polach
Rys. 11
Dla obu obszarów rozwiązań (rys. 11) zastosujemy ustawienie
I_. v(z1) = A1∙sinαz1 + B1∙cosαz1 + C1∙z1 + D1,_
II. v(z2) = A2∙sinαz2 + B2∙cosαz2 + C2∙z2 + D2.
Dla uproszczenia niech będzie to (EI)1=(EI)2=EI. Aby znaleźć osiem stałych A1, …, A2, … używane są warunki konturu
v=0 i v’=0 dla z1=0,
v=0 i v’’=0 dla z2=h,
oraz warunki przejściowe pomiędzy obszarami I i II
v=0 dla z1=h i dla z2=0,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
Równania warunkowe podano w poniższej tabeli
Ustawiając wyznacznik współczynnika na zero, uzyskuje się warunek wyboczenia
Długość gięcia sK=0,878_h_, natomiast dla rys. 35 lub β=0,699. Siła wyboczeniowa zmniejszyła się w porównaniu do 2,046: 1,297 w wyniku dodania drugiego pola przegubowego. Jeżeli drugie pole zostałoby ściśnięte wyżej, siła wyboczeniowa ponownie wzrosłaby do wartości szczytowych. 2,04 PE.
To historyczne przedstawienie wzorów nie jest projektem ani dowodem stateczności konstrukcji. Klasyczne założenia dotyczące idealnego elementu prostego, obciążenia centrycznego i obszaru sprężystego niekoniecznie obejmują początkowe niedoskonałości, naprężenia szczątkowe, mimośrodowość, sztywność połączenia, nieliniowość materiału, stabilność boczną ani, w stosownych przypadkach, ogień, działanie sejsmiczne i fazy montażu. Obliczenia rzeczywistej konstrukcji muszą być wykonane przez uprawnionego inżyniera budownictwa, zgodnie z obowiązującymi przepisami i normami.