Ngày nay, Savo Kusić tập trung vào cửa sổ gỗ, cửa sổ nhôm-gỗ, cửa sổ tùy chỉnh, cửa ra vào và yêu cầu báo giá. Văn bản này vẫn là kho lưu trữ lý thuyết kết cấu và không phải là đề xuất về thiết kế tĩnh, tính toán ổn định hoặc phục hồi kết cấu.
Phương trình vi phân uốn khi uốn
Người ta cho rằng mọi sự lý tưởng hóa đều được thỏa mãn, đặc biệt
- thanh đó hoàn toàn thẳng
- rằng tải P tác dụng lên trục của thanh
- điện áp vẫn ở dưới mức giới hạn tỷ lệ
- rằng các biến dạng đủ nhỏ để cho phép đơn giản hóa các phép tính thông thường.
Nếu thanh bị uốn cong dưới tác dụng của lực P và có lẽ cũng do tải trọng q tác dụng theo phương ngang thì phải thỏa mãn các điều kiện đã biết về cân bằng giữa tải trọng bên ngoài và lực trong mặt cắt. Ngoài ra, điều tự nhiên là phải biết mối quan hệ giữa biến dạng và lực trong mặt cắt.
Hình. 1 - Số dư
Trong hình. 1 là phần tử thanh uốn cong có chiều dài ds. Độ dốc của tiếp tuyến v’ nhỏ nên đến bậc thứ hai, độ dài của phần tử có thể được đặt bằng phép chiếu ds=dz. Ngoài ra, trong các thử nghiệm được đề cập dưới đây, các trường hợp P thay đổi liên tục dọc theo trục của thanh sẽ không được tính đến, tức là lực pháp tuyến N≈P=const. Trong ba điều kiện cân bằng sẵn có của phần tử, khi đó có thể bỏ qua một số phần tử nhất định. Đối với các dấu hiệu và dấu hiệu từ hình. 10 thì vẫn ở giá trị gần đúng đầu tiên của phương trình
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
Lực ngang có thể bị loại bỏ và sau đó M’‘=Pv’’-q giữ nguyên. Định luật Bernoulli\ M=-EI/R cung cấp phương trình còn thiếu. Đường cong của trục thanh, như thường lệ, từ lý thuyết uốn dầm, được đơn giản hóa như sau
Do đó có thể loại bỏ mômen uốn; và với M=-EI*v’’ thu được phương trình vi phân của thanh cong
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
Trong trường hợp đặc biệt có độ cứng uốn không đổi EI=const. phương trình (1) được đơn giản hóa nên nó là
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Eq. (1) và (1a) là tuyến tính trong v theo các đơn giản hóa đã đề cập.
Trên thực tế, trường hợp đơn giản nhất về độ cứng uốn không đổi EI=const. là đặc biệt quan trọng, làm cơ sở cho các ví dụ bên dưới.
Trường hợp của Euler
Các giả định cho trường hợp oằn cổ điển, ngoài những lý tưởng hóa đã đề cập, là: p=0, do đó N=const.=P, cũng như độ cứng không đổi không ma sát, nằm chính xác trên trục của thanh. Phương trình vi phân thường (1a) là bậc bốn, tuyến tính và đồng nhất do q=0. Giải pháp chung là:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
trong đó A, B, C, D là bốn hằng số tích phân. Tham số có kích thước hữu hạn do giả định EI≠0. Hơn nữa, α≠0 cho P>0.
Sl. 2
Vì phương trình vi phân tuyến tính (1a) là thuần nhất nên bài toán này cũng được giải bằng n_∙__v(z)_, trong đó n là hằng số tùy ý. Từ việc phân loại toán học của phương trình vi phân (1a), có thể thấy rằng không thể xác định được độ lớn uốn v. Để xác định các hằng số tích phân A, B, C, D trong trường hợp Euler\ (hình 2), có sẵn các điều kiện đường viền sau: Do có khớp nối đỡ, mômen uốn bằng 0 ở cả hai đầu của thanh, tức là.
v=0 và M=0 cho z=0
v=0 và M=0 cho z=s.
Do M=-EI_∙__v’‘_, nên M=0 là giá trị của v’’=0, nên bốn điều kiện đường viền có nội dung:
v=0 và v’’=0 cho z=0
v=0 và v’’=0 cho z=s.
Do đó, nghiệm (2) dẫn đến bốn phương trình tuyến tính:
Eq. 3
Bốn phương trình thuần nhất này có nghiệm thứ nhất được gọi là nghiệm tầm thường A=B=C=D=0, tương ứng với v(z)=0. Thanh không cong v_(z_)=0 là vị trí cân bằng thông thường cho các giá trị tùy ý, đặc biệt là các giá trị tải trọng P nhỏ. Ở đây, chúng ta chủ yếu quan tâm đến các điều kiện mà thanh uốn cong, tức là v(z)≠0. Các phương trình (3) không có nghiệm tầm thường như vậy với A, B, C, D ≠ 0 chỉ khi định thức của hệ số bằng 0.
Một. 3a
Từ điều kiện uốn Δ = α4∙s∙sinαs = 0 mchúng ta có thể tính được các giá trị tới hạn PK của tải trọng. Phương trình này chỉ thỏa mãn nếu sin αs = 0, tức là với αKms = mπ với m=1,2,3,… Các giá trị tương ứng của lực uốn của Euler\ là PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Với mỗi giá trị của m sẽ thu được một lực uốn nhất định. Trong hầu hết các trường hợp, chỉ lực nhỏ nhất trong số này được quan tâm và đó là
PK1=EI(π/s)2.
Trong phiên bản sau, sẽ có chỉ số m hoặc 1 hầu như bị bỏ qua, đề cập đến mức tải tới hạn thấp nhất. Điều đáng quan tâm là đường đàn hồi tương ứng. Từ một (2) ta thu được B=C=D=0. Điều kiện còn lại là A∙sin__αs=0. Do đó, đường uốn dẻo cho trường hợp trên m=1 là v(z) = A_∙sinπz/s_, trong đó v(z) dành cho αK resp. PK hàm riêng tương ứng. Độ lớn của A vẫn chưa được xác định.
Chúng ta hãy nhìn lại toàn bộ khu vực tải. Đối với các giá trị tùy ý của P, đặc biệt đối với lực P_<_PK1 là v(z)=0 thì thanh vẫn thẳng.
Bằng cách “tăng dần” tải P, trong lý thuyết cổ điển về độ ổn định, có nghĩa là một loạt các kích thước P liên tiếp, trong đó độ ổn định của trường hợp tải quan sát được sẽ được kiểm tra lặp đi lặp lại cho từng mức tải riêng lẻ P. Trong quá trình kiểm tra độ ổn định, kích thước của P chắc chắn không thay đổi. Nếu một trạng thái P được xác định là ổn định thì tải sẽ tăng lên một mức nào đó và do đó việc kiểm tra độ ổn định được lặp lại. Việc xác định chính xác này là cần thiết để không gây nhầm lẫn với loại tải, là cơ sở cho hiệu ứng Shanley, trong đó tải tăng lên trong khi có những nhiễu loạn nhỏ tác động cùng lúc. Khi kiểm tra độ ổn định theo Shanley, trong vùng uốn dẻo xuất hiện lực phân nhánh nhỏ hơn so với phương pháp xét cổ điển.
Những cân nhắc sau đây giả định cách tăng tải đầu tiên: Khi tải tăng dần P theo nghĩa này, với PK1=EI_∙(π/s)_2 đầu tiên người ta đến điểm phân nhánh của trạng thái cân bằng đàn hồi, với một đường hình sin đơn giản là đường oằn đàn hồi
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A biểu thị biên độ không xác định của đường đàn hồi. Đối với tải _P*__>_PK1 theo lý thuyết tuyến tính hóa Δ≠0, tức là không thể cân bằng ở đó. Chỉ đối với lực mất ổn định cao hơn PK2, v.v. nó sẽ lại là Δ=0 và do đó cũng là v(z)≠0. Nguyên nhân của kết luận lý thuyết này, không phù hợp với hành vi thực tế, nằm ở việc tuyến tính hóa phương trình vi phân.
Oằn của thanh ép gồm hai phần
Chúng tôi giới hạn bản thân ở những que ép hai phần và đối với những que ép gồm ba phần trở lên, các mối quan hệ tương tự cũng được áp dụng.
Sl. 3
Theo loại kết nối ngang, các thanh lưới (hình 3a) và thanh khung (hình 3e) được phân biệt. Nếu không có dây buộc chéo, mỗi phần của thanh sẽ tự uốn cong (hình 3b). Nếu chất độn tương đối yếu thì một thanh đai có thể uốn cong mà không làm cong toàn bộ thanh. Đối với thanh lưới hình. 3c có thể so sánh: bên trái cho hệ bản lề, bên phải cho dây đai liên tục; và cho thanh khung hình. 3f ở bên trái dành cho tấm kết nối mềm, bên phải dành cho tấm kết nối cứng. Từ đó có thể thấy độ mảnh λ__1_=s1/i1_ có ảnh hưởng rất lớn. Đối với từng phần của thanh, I1=F1_∙_i12 được đặt, s1 là khoảng cách trường (hình 3), i1 dùng để chỉ trục 1-1 (xem hình 4).
Hình. 4
Lực oằn của các thanh ghép tương ứng với các đường oằn đàn hồi ở hình. 3d hoặc 3g là đối tượng của cuộc điều tra lý thuyết toàn diện. Nếu thanh được tạo thành từ các phần duy nhất (ví dụ: có gân) hoặc nếu các kết nối ngang thường xuyên đến mức một thanh được uốn cong từ hai phần không có tác dụng khác biệt so với một thanh đơn lẻ, thì nó sẽ là σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Ở đó nó biểu thị λ__y=sK/iy (hình 4). Tuy nhiên, ứng suất uốn này sẽ không đạt được đầy đủ trong thực tế vì không có đủ liên kết ngang cho điều đó và chúng cũng có tính đàn hồi. Một xấp xỉ thỏa mãn trong hầu hết các trường hợp sẽ thu được nếu chúng ta đặt theo đề xuất F. Engesser\a rằng ứng suất uốn của một thanh ép gồm hai phần bằng nhau
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi được gọi là độ mảnh mai lý tưởng.
Các thanh giằng phải đủ số lượng và đủ chắc chắn để buộc cả hai phần của thanh tác động cùng nhau. Loại trừ ứng suất thứ cấp, các liên kết ngang vẫn không bị ứng suất miễn là thanh vẫn thẳng. Chỉ khi uốn thì chúng mới phải nhận lực và chúng phải truyền lực ngang tăng dần khi uốn. Trường hợp là đường đàn hồi
lực ngang tại I=const. bằng nhau
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
Với hình. 5 m có thể được đọc ngay lập tức Q(z)=PK∙v’(z). Giá trị cao nhất ở cuối thanh là
Hình. 5
Các kết nối ngang phải có khả năng chịu được lực ngang này. Vì tải tương ứng là lực mất ổn định PK, nên sẽ đủ nếu đạt đến giới hạn chịu tải cho lực này trong các kết nối ngang - tức là đồng thời với toàn bộ thanh. Rõ ràng, sẽ không có ích gì nếu các liên kết chéo có kích thước mạnh hơn nhiều so với mức cần thiết để nhận Q0. Mặt khác, liên kết ngang quá yếu sẽ khiến thanh bị hỏng sớm.
Không thể sử dụng phương trình trên ngay từ đầu vì chưa biết độ lớn của mũi tên oằn. Thanh ở trạng thái cân bằng bàng quan theo PK và có thể, ít nhất ở mức độ gần đúng thứ nhất, nhận một giá trị tùy ý. Do đó, nó rất hữu ích, theo đề xuất của F. Krohn-a, để xác định độ lớn của độ vênh maxv mà tại đó thanh uốn mất khả năng chịu lực do bị hỏng do uốn cong. Điều này chắc chắn sẽ xảy ra nếu đạt đến điểm chảy ở phía lõm của khúc cua (hình 6). Độ uốn để phát triển hơn nữa và không thể áp dụng mômen uốn tương ứng.
Hình. 6
Tổng ứng suất ở phía lõm của khúc cua như hình. 6 cho chất liệu nhựa lý tưởng
Từ đó xuất hiện sự uốn cong lớn nhất mà vẫn có thể chịu đựng được
maxQ0 là lực ngang tương ứng ở đầu thanh.
Nếu dùng cho biểu mẫu σK Tetmaier\ và đặt σF=3,1 t/cm2 và sK=e/2 ∙ λy tương ứng với iy≈e/2 thì Krohn's thu được giá trị gần đúng maxQ0=F/28 (Q tính bằng t, F tính bằng cm2).
Đối với các đường ứng suất oằn tùy ý, chúng ta nhận được
maxQ0=μK∙SK.
Hệ số μK thay đổi theo độ mảnh của thanh, nó cũng phụ thuộc vào vật liệu. Khi phương trình trên chia cho hệ số an toàn chống oằn thì có thể viết
dozv__Q=μ∙dozvS.
Sự uốn cong của hệ thống tuyến tính
Trong trường hợp hệ thống tuyến tính, người ta thường xác định chiều dài uốn sK=β∙h của thanh được gắn bản lề ở cả hai đầu và lực uốn PK=π2EI/s2K của nó lớn như nhau để so sánh. “Chiều dài uốn cong” so sánh sẽ được đưa ra cho các ví dụ dưới đây.
a) Thanh được kẹp ở cả hai đầu (EI=const.)
Sl. 7
Đối với trường hợp của hình. 7 của độ vênh là PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, “chiều dài uốn cong” so sánh sK=h/2 và đường uốn cong đàn hồi v(z)=D(1-cos2πz/h).
b) Không có thanh ở một đầu (hình 8)
Sl. 8
Giả sử hướng của P không thay đổi khi thanh uốn cong. Sau đó (EI=const.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
Điều kiện đường viền cho đầu tự do z=h đọc tại đây
M=0 hoặc v’’=0
Q=M’-Pv’=0 hoặc v’‘’+a2∙v’=0.
c) Thanh được kẹp ở một đầu (hình 9)
Sl. 9
Với điều kiện đường viền
v=0 và v’=0 cho z=0
v=0 và v’’=0 cho z=h
thu được cho EI=const. tình trạng oằn
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
hoặc tương đương
tgαh=αh. (4)
Các nghiệm của phương trình siêu việt này được tìm thấy trong bảng K. Hayashi's. Lực uốn thấp nhất theo bảng PK1=4,49342/h2 ∙ EI = 2,046 π2EI/h2.
Chiều dài uốn cong so sánh là sK = h / √2,046 = 0,699h.
d) Thanh bị kẹp một đầu gây rối loạn (hình 10)
Hình. 10
Chúng ta sẽ quan sát trường hợp chuyển vị của đầu có kích thước không đổi. Các điều kiện đường viền cho điều đó là
v=0 và v’=0 cho z=0,
v=v1 và v’’=0 cho z=h.
Đó là bài toán cân bằng với một đường đàn hồi
Mẫu số của số hạng trước dấu ngoặc {} sẽ bằng 0 và độ mất ổn định tăng trên tất cả các giới hạn nếu P→PK (xem phương trình điều kiện mất ổn định (4)). Đặc điểm hoạt động của thanh là các chỗ uốn ở đầu giữa và đầu dưới của thanh ban đầu nhỏ hơn khi tải P tăng và chỉ thay đổi dấu khi tải cao hơn. Sl. 10 hiển thị các khúc cua ở một nửa chiều cao.
e) Dán liên tục trên hai trường
Hình. 11
Đối với cả hai khu vực giải pháp (hình. 11), chúng tôi sẽ áp dụng cài đặt
I_. v(z1) = A1∙sinαz1 + B1∙cosαz1 + C1∙z1 + D1,_
II. v(z2) = A2∙sinαz2 + B2∙cosαz2 + C2∙z2 + D2.
Để đơn giản hóa hãy đặt là (EI)1=(EI)2=EI. Để tìm tám hằng số A1, …, A2, … các điều kiện đường viền
v=0 và v’=0 cho z1=0,
v=0 và v’’=0 cho z2=h,
cũng như các điều kiện chuyển tiếp giữa khu vực I và II
v=0 cho z1=h và cho z2=0,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
Các phương trình có điều kiện được cho trong bảng dưới đây
Đặt định thức của hệ số bằng 0 thì thu được điều kiện mất ổn định
Chiều dài uốn sK=0,878_h_, còn đối với hình. 35 hoặc β=0,699. Lực oằn đã giảm so với 2,046 : 1,297 do có thêm trường thứ hai có bản lề. Nếu trường kia bị chèn ép cao hơn thì lực uốn sẽ lại tăng lên đến đỉnh điểm. 2,04 PE.
Bản trình bày lịch sử về các công thức này không phải là một dự án hay bằng chứng về sự ổn định của cấu trúc. Các giả định cổ điển về cấu kiện thẳng lý tưởng, tải trọng tâm và diện tích đàn hồi không nhất thiết bao gồm các khuyết tật ban đầu, ứng suất dư, độ lệch tâm, độ cứng liên kết, độ phi tuyến của vật liệu, độ ổn định ngang cũng như các giai đoạn cháy, tác động địa chấn và lắp ráp, khi có thể áp dụng. Việc tính toán kết cấu thực tế phải do kỹ sư xây dựng được ủy quyền thực hiện theo đúng quy chuẩn, tiêu chuẩn hiện hành.