Saat ini, Savo Kusić fokus pada jendela kayu, jendela kayu-aluminium, jendela khusus, pintu dan permintaan penawaran. Teks ini tetap menjadi arsip teori struktur dan bukan merupakan tawaran desain statis, perhitungan stabilitas, atau rehabilitasi struktur.
Persamaan diferensial tekuk pada lentur
Diasumsikan semua idealisasi terpenuhi, khususnya
- bahwa batangnya lurus sempurna
- bahwa beban P bekerja pada poros batang
- bahwa tegangan tetap berada di bawah batas proporsionalitas
- bahwa deformasinya cukup kecil untuk memungkinkan penyederhanaan perhitungan seperti biasanya.
Jika batang membengkok karena aksi gaya P dan mungkin juga karena beban q yang bekerja pada arah melintang, maka kondisi keseimbangan yang diketahui antara beban luar dan gaya pada penampang harus dipenuhi. Selain itu, wajar jika diketahui hubungan antara deformasi dan gaya pada bagian tersebut.
Gbr. 1 - Saldo
Pada gambar. 1 merupakan elemen batang bengkok dengan panjang ds. Kemiringan garis singgung v’ kecil sehingga hingga orde kedua, panjang elemen dapat diatur sama dengan proyeksi ds=dz. Selain itu, dalam pengujian yang disebutkan di bawah, kasus di mana P terus berubah sepanjang sumbu batang tidak akan diperhitungkan, yaitu gaya normal N≈P=const. Dalam tiga kondisi kesetimbangan yang tersedia untuk unsur tersebut, sejumlah anggota tertentu dapat diabaikan. Untuk penandaan dan tanda dari gambar. 10 lalu tetap pada perkiraan pertama persamaan tersebut
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
Gaya transversal dapat dihilangkan, dan kemudian M’‘=Pv’’-q ditahan. Hukum Bernoulli M=-EI/R memberikan persamaan yang hilang. Kurva sumbu batang seperti biasa dari teori pembengkokan balok disederhanakan sebagai berikut
Dengan demikian, momen lentur dapat dihilangkan; dan dengan M=-EI*v’’ diperoleh persamaan diferensial untuk batang bengkok
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
Dalam kasus khusus kekakuan lentur konstan EI=const. persamaan (1) disederhanakan, jadi
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Persamaan. (1) dan (1a) linier dalam v menurut penyederhanaan yang disebutkan.
Secara praktis, kasus paling sederhana dari kekakuan lentur konstan EI=const. sangat penting, yang menjadi dasar contoh di bawah ini.
Kasus Euler
Asumsi untuk kasus tekuk klasik, selain idealisasi yang disebutkan di atas, adalah: p=0, jadi N=const.=P, serta kekakuan konstan tanpa gesekan, yang terletak tepat pada sumbu batang. Persamaan diferensial biasa (1a) orde keempat, linier dan homogen karena q=0. Solusi umumnya adalah:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
di mana A, B, C, D adalah empat konstanta integrasi. Parameternya berukuran terbatas karena asumsi EI≠0. Selanjutnya, α≠0 untuk P>0.
Gbr. 2
Karena persamaan diferensial linier (1a) homogen, soal ini juga diselesaikan dengan n_∙__v(z)_, dengan n adalah konstanta sembarang. Dari klasifikasi matematis persamaan diferensial (1a) terlihat bahwa besarnya lentur v tidak dapat ditentukan. Untuk menentukan konstanta integrasi A, B, C, D dalam kasus Euler\ (gbr. 2) kondisi kontur berikut tersedia: Karena dukungan artikulasi, momen lentur di kedua ujung batang adalah nol, yaitu.
v=0 dan M=0 untuk z=0
v=0 dan M=0 untuk z=s.
Karena M=-EI_∙_v’‘ maka M=0 adalah nilai dari v’’=0, sehingga keempat kondisi konturnya berbunyi:
v=0 dan v’’=0 untuk z=0
v=0 dan v’’=0 untuk z=s.
Solusinya (2) menghasilkan empat persamaan linier:
Persamaan. 3
Keempat persamaan homogen ini memiliki apa yang disebut solusi sepele pertama A=B=C=D=0, yang sesuai dengan v(z)=0. Batang yang tidak ditekuk v_(z_)=0 adalah posisi kesetimbangan yang biasa untuk nilai beban P yang berubah-ubah, terutama yang kecil. Di sini, kami terutama tertarik pada kondisi di mana batang ditekuk, yaitu v(z)≠0. Persamaan (3) tidak memiliki solusi sepele dengan A, B, C, D ≠ 0 hanya jika determinan koefisiennya sama dengan nol.
Satu. 3a
Dari kondisi tekuk Δ = α4∙s∙sinαs = 0 mkita dapat menghitung nilai kritis PK beban. Persamaan ini terpenuhi hanya jika sin αs = 0, yaitu untuk αKms = mπ dengan m=1,2,3,… Nilai gaya tekuk Euler yang bersesuaian adalah PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Untuk setiap nilai m, diperoleh gaya tekuk tertentu. Dalam kebanyakan kasus, hanya kekuatan terkecil yang menjadi perhatian, dan itu
PK1=EI(π/s)2.
Pada versi berikutnya, akan ada indeks m, atau 1 yang sebagian besar dihilangkan, mengacu pada beban kritis terendah. Yang menarik adalah garis elastis yang sesuai. Dari satu (2) diperoleh konstanta B=C=D=0. The remaining condition is A∙sin__αs=0. Oleh karena itu, garis tekuk elastis untuk kasus di atas m=1 adalah v(z) = A_∙sinπz/s_, dengan v(z) adalah untuk αK resp. PK fungsi eigen yang sesuai. Besarnya A masih belum dapat ditentukan.
Mari kita lihat lagi keseluruhan area muatan. Untuk nilai P yang berubah-ubah, khususnya untuk gaya P_<_PK1 adalah v(z)=0, batang tetap lurus.
Dalam teori stabilitas klasik, beban P yang “meningkat secara bertahap” berarti serangkaian nilai P yang berurutan, di mana stabilitas kasus beban yang diamati akan diuji berulang kali untuk setiap tingkat beban P. Selama uji stabilitas, ukuran P tetap tidak berubah. Jika satu keadaan P ditentukan stabil, maka beban ditambah sesuatu, dan oleh karena itu uji stabilitas diulangi. Penentuan yang akurat ini diperlukan agar tidak terjadi kebingungan dengan jenis beban, yang menjadi dasar efek Shanley, di mana terjadi peningkatan beban sementara gangguan kecil terjadi pada saat yang bersamaan. Saat memeriksa stabilitas menurut Shanley, pada area tekuk plastis, terjadi gaya bifurkasi yang lebih kecil dibandingkan dengan metode pertimbangan klasik.
Pertimbangan berikut mengasumsikan cara kenaikan beban yang pertama: Pada peningkatan beban secara bertahap P dalam pengertian ini, kita sampai pada PK1=EI_∙(π/s)_2 pertama pada salah satu titik bifurkasi kesetimbangan elastis, dengan garis sinus sederhana sebagai garis tekuk elastis
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A menunjukkan amplitudo garis elastis yang tidak dapat ditentukan. Untuk beban _P*__>_PK1 sesuai dengan teori linierisasi Δ≠0, yaitu keseimbangan tidak mungkin terjadi di sana. Hanya untuk gaya tekuk yang lebih tinggi PK2 dst. akan menjadi Δ=0 dan demikian juga v(z)≠0. Penyebab kesimpulan teoritis yang tidak sesuai dengan perilaku sebenarnya terletak pada linierisasi persamaan diferensial.
Tekuk batang tekan yang terdiri dari dua bagian
Kami membatasi diri pada stick press yang terdiri dari dua bagian, dan untuk stick press yang terdiri dari tiga bagian atau lebih, perbandingan serupa berlaku.
Gbr. 3
Menurut jenis sambungan melintang, batang kisi (gbr. 3a) dan batang rangka (gbr. 3e) dibedakan. Tanpa ikatan silang, setiap bagian tongkat akan bengkok dengan sendirinya (gbr. 3b). Jika pengisiannya relatif lemah, maka satu batang sabuk dapat menekuk tanpa menekuk batang secara keseluruhan. Untuk batang kisi gbr. 3c dapat dibandingkan: kiri untuk sistem berengsel, kanan untuk sabuk kontinu; dan untuk batang rangka gbr. 3f di sebelah kiri untuk pelat penyambung lunak, di sebelah kanan untuk pelat penyambung kaku. Dari situ terlihat bahwa kelangsingan λ__1_=s1/i1_ berpengaruh besar. Untuk masing-masing bagian batang, I1=F1_∙_i12 disetel, s1 adalah spasi bidang (gbr. 3), i1 mengacu pada sumbu 1-1 (lihat gambar 4).
Gbr. 4
Gaya tekuk batang majemuk sesuai dengan garis tekuk elastis pada gambar. 3d, or 3g was the subject of exhaustive theoretical investigations. Jika batang terdiri dari bagian-bagian yang unik (misalnya dengan rusuk) atau jika sambungan melintang begitu sering sehingga batang yang dibengkokkan dari dua bagian tidak berbeda pengaruhnya dengan batang tunggal, maka batang tersebut akan menjadi σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Itu berarti λ__y=sK/iy (gbr. 4). Namun, tegangan tekuk ini tidak akan sepenuhnya tercapai dalam praktiknya karena tidak terdapat cukup sambungan melintang untuk itu, dan juga bersifat elastis. Perkiraan yang memenuhi dalam banyak kasus diperoleh jika kita menempatkannya sesuai dengan kalimat F. Engesser\a bahwa tegangan lentur suatu batang tekan yang terdiri dari dua bagian adalah sama
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi disebut sebagai kelangsingan ideal.
Ikatan silang harus cukup jumlahnya dan cukup kuat untuk memaksa kedua bagian batang bekerja bersama-sama. Tidak termasuk tegangan sekunder, sambungan melintang tetap tidak diberi tegangan selama batang tetap lurus. Hanya dengan pembengkokan mereka harus menerima gaya, dan mereka harus meneruskan gaya transversal yang meningkat dengan pembengkokan. Seandainya itu adalah garis elastis
gaya transversal pada I=const. sama
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
Dengan gambar. 5 m dapat langsung dibaca Q(z)=PK∙v’(z). Nilai tertinggi pada ujung batang adalah
Gbr. 5
Sambungan melintang harus mampu menampung gaya melintang tersebut. Karena beban yang bersangkutan adalah gaya tekuk PK, maka cukuplah jika batas penahan beban dicapai untuk ini juga pada sambungan melintang - yaitu secara bersamaan dengan seluruh batang. Jelas, tidak akan ada gunanya jika ukuran tautan silang lebih kuat dari yang diperlukan untuk menerima Q0. Sebaliknya, ikatan silang yang terlalu lemah akan menyebabkan batang tersebut rusak sebelum waktunya.
Persamaan di atas tidak dapat digunakan sejak awal karena besarnya panah tekuk tidak diketahui. Batang berada dalam kesetimbangan acuh tak acuh di bawah PK dan dapat, setidaknya pada perkiraan tingkat pertama, mengambil nilai yang berubah-ubah. Oleh karena itu berguna, menurut usulan F. Krohn-a, untuk menentukan besarnya tekuk maxv dimana batang bengkok kehilangan daya dukungnya karena kegagalan akibat pembengkokan. Hal ini pasti akan terjadi jika titik luluh tercapai pada sisi cekung tikungan (gbr. 6). Pembengkokan karena hal ini semakin bertambah dan momen lentur yang bersangkutan tidak dapat diterapkan.
Gbr. 6
Tegangan total pada sisi cekung tikungan sesuai gambar. 6 untuk bahan plastik ideal
Dari situlah datangnya pembengkokan terbesar yang masih bisa ditanggung
maxQ0 adalah gaya transversal yang bersesuaian di ujung batang.
Jika digunakan untuk formulir σK Tetmaier dan masukkan σF=3,1 t/cm2 dan sK=e/2 ∙ λy sesuai dengan iy≈e/2, maka Krohn\ diperoleh nilai perkiraan maxQ0=F/28 (Q dalam t, F dalam cm2).
Untuk garis tegangan tekuk sewenang-wenang, kita mendapatkan
maxQ0=μK∙SK.
Koefisien μK berubah seiring dengan kelangsingan batang, juga bergantung pada bahannya. Jika persamaan di atas dibagi dengan koefisien keamanan terhadap tekuk maka dapat ditulis
dozv__Q=μ∙dozvS.
Sistem saluran tekuk
Dalam sistem linier, biasanya ditentukan sebagai perbandingan panjang lentur sK=β∙h dari sebuah batang yang berengsel pada kedua ujungnya dan yang gaya lenturnya PK=π2EI/s2K sama besarnya. Perbandingan “panjang tekuk” akan diberikan pada contoh di bawah ini.
a) Batang dijepit pada kedua ujungnya (EI=const.)
Gbr. 7
Untuk kasus gambar. 7 tekuk adalah PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, perbandingan “panjang tekuk” sK=h/2 dan garis elastis tekuk v(z)=D(1-cos2πz/h).
b) Batang bebas di salah satu ujungnya (gbr. 8)
sl. 8
Diasumsikan bahwa arah P tidak berubah seiring dengan pembengkokan batang. Kemudian (EI=const.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
Kondisi kontur ujung bebas z=h baca di sini
M=0 atau v’’=0
Q=M’-Pv’=0 atau v’’’+a2∙v’=0.
c) Batang dijepit pada salah satu ujungnya (gbr. 9)
Gbr. 9
Dengan kondisi kontur
v=0 dan v’=0 untuk z=0
v=0 dan v’’=0 untuk z=h
diperoleh untuk EI=const. kondisi tekuk
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
atau setara
tgαh=αh. (4)
Akar persamaan transendental ini terdapat pada tabel K. Hayashi's. Gaya tekuk terendah sesuai tabel PK1=4,49342/h2 ∙ EI = 2,046 π2EI/h2.
Perbandingan panjang tekuk adalah sK = h / √2,046 = 0,699h.
d) Batang terjepit di salah satu ujungnya dengan kelainan (gbr. 10)
Gbr. 10
Kita akan mengamati kasus perpindahan ujung dengan ukuran konstan. Kondisi konturnya adalah
v=0 dan v’=0 untuk z=0,
v=v1 dan v’’=0 untuk z=h.
Soal kesetimbangan garis elastis
Penyebut suku sebelum tanda kurung {} akan menjadi nol dan tekuk akan bertambah melebihi batas jika P→PK (lihat Persamaan kondisi tekuk (4)). Ciri khas dari perilaku batang adalah lengkungan pada ujung tengah dan bawah batang pada awalnya mengecil dengan meningkatnya beban P dan berubah tandanya hanya pada beban yang lebih tinggi. sl. 10 menunjukkan tikungan setengah ketinggian.
e) Menempel terus menerus pada dua bidang
Gbr. 11
Untuk kedua area solusi (gbr. 11) kita akan menerapkan pengaturan
I_. v(z1) = A1∙sinαz1 + B1∙cosαz1 + C1∙z1 + D1,_
II. v(z2) = A2∙sinαz2 + B2∙cosαz2 + C2∙z2 + D2.
Untuk mempermudah biarlah (EI)1=(EI)2=EI. Untuk mencari delapan konstanta A1, …, A2, … digunakan kondisi kontur
v=0 dan v’=0 untuk z1=0,
v=0 dan v’’=0 untuk z2=h,
serta kondisi peralihan antara wilayah I dan II
v=0 untuk z1=h dan untuk z2=0,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
Persamaan bersyarat diberikan pada tabel di bawah
Mengatur determinan koefisien sama dengan nol, diperoleh kondisi tekuk
Panjang lentur sK=0,878_h_, sedangkan untuk gambar. 35 atau β=0,699. Gaya tekuk mengalami penurunan dibandingkan 2,046 : 1,297 akibat penambahan bidang kedua yang berengsel. Apabila bidang yang lain dijepit lebih tinggi, maka gaya tekuk akan meningkat lagi hingga mencapai puncaknya. 2,04 PE.
Penyajian rumus secara historis ini bukanlah suatu proyek atau bukti kestabilan struktur. Asumsi klasik komponen struktur lurus ideal, beban sentris, dan luas elastis tidak selalu mencakup ketidaksempurnaan awal, tegangan sisa, eksentrisitas, kekakuan sambungan, non-linearitas material, stabilitas lateral, atau, jika dapat diterapkan, kebakaran, aksi seismik, dan fase perakitan. Perhitungan struktur sebenarnya harus dilakukan oleh insinyur sipil yang berwenang sesuai dengan peraturan dan standar yang berlaku.