Šiandien Savo Kusić daugiausia dėmesio skiria mediniams langams, mediniai-aliuminio langai, priskirti langai, durys ir prašymai pateikti citatą. Šis tekstas išlieka kaip konstrukcijų teorijos archyvas ir nėra statinio projektavimo, stabilumo skaičiavimų ar konstrukcijų atkūrimo pasiūlymas.
Lenkimo įlinkio diferencialinė lygtis
Daroma prielaida, kad tenkinamos visos idealizacijos, ypač
- kad strypas yra visiškai tiesus
- kad apkrova P veikia strypo veleną
- kad įtampos liktų žemiau proporcingumo ribos
- kad deformacijos yra pakankamai mažos, kad būtų galima atlikti įprastus skaičiavimų supaprastinimus.
Jeigu strypas lenkiasi veikiant jėgai P, o gal ir dėl apkrovos q, veikiančios skersine kryptimi, tai turi būti tenkinamos žinomos išorinių apkrovų ir pjūvio jėgų pusiausvyros sąlygos. Be to, natūralu, kad pjūvyje turi būti žinomi ryšiai tarp deformacijų ir jėgų.
pav. 1 – balansas
Fig.1pateikiamas ds ilgio sulenktas strypo elementas. v’ liestinės nuolydis yra mažas, todėl iki antros eilės elemento ilgį galima nustatyti lygų projekcijai ds=dz. Be to, toliau minėtuose bandymuose nebus atsižvelgta į atvejus, kai P nuolat keičiasi išilgai strypo ašies, t.y. normalioji jėga N≈P=const. Esant trims elemento pusiausvyros sąlygoms, tam tikras narių skaičius gali būti nepaisomas. Ženklams ir ženklams iš pav.10lieka tada pirmajame lygties aproksime
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
Skersinę jėgą galima pašalinti, tada galioja M’‘=Pv’’-q. Bernulio dėsnis M=-EI/R pateikia trūkstamą lygtį. Strypo ašies kreivė, kaip įprasta, iš sijos lenkimo teorijos, supaprastinama taip
Taigi galima pašalinti lenkimo momentą; ir su M=-EI*v’’ gaunama sulenkto strypo
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
Ypatingu pastovaus lenkimo standumo atveju EI=konst. lygtis (1) yra supaprastinta, todėl ji yra
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Eq. (1) ir (1a) yra tiesinės v pagal minėtus supaprastinimus.
Praktiškai paprasčiausias pastovaus lenkimo standumo atvejis EI=const. yra ypač svarbus, o tai yra toliau pateiktų pavyzdžių pagrindas.
Eulerio atvejis
Klasikinio lenkimo atvejo prielaidos, be minėtų idealizacijų, yra: p=0, taigi N=const.=P, taip pat pastovus standumas be trinties, kurios yra tiksliai ant strypo ašies. Įprastoji diferencialinė lygtis (1a) yra ketvirtos eilės, tiesinė ir vienalytė dėl q=0. Bendras sprendimas yra:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
kur A, B, C, D yra keturios integravimo konstantos. Parametras yra baigtinio dydžio dėl prielaidos EI≠0. Be to, α≠0, skirta P>0.
pav. 2
Kadangi tiesinė diferencialinė lygtis (1a) yra vienalytė, šią problemą taip pat išsprendžia n_∙__v(z)_, kur n yra savavališka konstanta. Jau iš matematinės diferencialinės lygties klasifikacijos (1a) matyti, kad lenkimo v dydžio nustatyti negalima. Integravimo konstantoms A, B, C, D nustatyti Euler\ atveju (pav. 2) galimos tokios kontūro sąlygos: Dėl šarnyrinės atramos abiejuose strypo galuose lenkimo momentas lygus nuliui, t.y.
v=0 ir M=0, skirta z=0
v=0 ir M=0 z=s.
Dėl M=-EI_∙_v’‘ išeina, kad M=0 yra v’’=0 reikšmė, todėl keturios kontūro sąlygos yra tokios:
v=0 ir v’’=0, skirta z=0
v=0 ir v’’=0 z=s.
Taigi sprendimas (2) sudaro keturias tiesines lygtis:
Vienas.3
Šios keturios vienarūšės lygtys turi pirmąjį vadinamąjį trivialųjį sprendimą A=B=C=D=0, kuris atitinka v(z)=0. Neišlenktas strypas v_(z_)=0 yra įprasta pusiausvyros padėtis savavališkoms, ypač mažoms apkrovos P reikšmėms. Čia mus visų pirma domina sąlygos, kuriomis strypas lenkiasi, t. y. kad v(z)≠0. Lygtyse (3) nėra tokio trivialaus sprendinio su A, B, C, D ≠ 0 tik tada, kai koeficiento determinantas yra lygus nuliui.
Vienas. 3a
Iš lenkimo sąlygų Δ = α4∙s∙sinαs =0 mog apskaičiuoti apkrovos kritines PK vertes. Ši lygtis tenkinama tik tuo atveju, jei sin αs =0, tai yra αKms = mπ su m=1,2,3,… Atitinkamos Eulerio lenkimo jėgos vertės yra PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Kiekvienai m reikšmei gaunama tam tikra lenkimo jėga. Daugeliu atvejų domina tik mažiausia iš šių jėgų, ir tai
PK1=EI(π/s)2.
Tolesnėje versijoje bus indeksas m arba 1 dažniausiai praleistas, nurodantis mažiausią iš kritinių apkrovų. Įdomu yra atitinkama elastinė linija. Iš vienos (2) gaunamos konstantos B=C=D=0. Likusi sąlyga yra A∙sin__αs=0. Todėl elastinga lenkimo linija aukščiau nurodytu atveju m=1 yra v(z) = A_∙sinπz/s_, kur v(z) yra αK arba αK. PK atitinkama savoji funkcija. A dydis lieka nenustatytas.
Dar kartą pažvelkime į visą apkrovos sritį. Esant savavališkoms P reikšmėms, ypač jėgoms P_<_PK1 yra v(z)=0, strypas lieka tiesus.
Klasikinėje stabilumo teorijoje, esant „palaipsniui didėjančiai“ apkrovai P reiškia nuoseklią reikšmių seriją P, kur stebimos apkrovos atvejo stabilumas bus vėl ir vėl tikrinamas kiekvienam atskiram apkrovos lygiui P. Stabilumo testo metu P dydis tikrai nesikeičia. Jei viena būsena P nustatoma kaip stabili, tai apkrova kažkuo padidėja, todėl stabilumo testas kartojamas. Šis tikslus nustatymas būtinas, kad nebūtų painiavos su apkrovos rūšimi, kuri yra Shanley\ efekto pagrindas, kai apkrova didėja, o tuo pačiu metu veikia nedideli trikdžiai. Nagrinėjant stabilumą pagal Shanley, plastinio sulinkimo srityje atsiranda mažesnė bifurkacinė jėga nei taikant klasikinį svarstymo metodą.
Šie svarstymai daro prielaidą, kad pirmasis apkrovos didinimo būdas: laipsniškai didėjant apkrovai P šia prasme, PK1=EI_∙(π/s)_2 pirmiausia gaunama viename tampriosios pusiausvyros bifurkacijos taške, naudojant paprastą tamprios pusiausvyros liniją. eilutė
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A reiškia neapibrėžtą tamprios linijos amplitudę. Apkrovoms _P*__>_PK1 yra pagal tiesinę teoriją Δ≠0, t.y. ten balansas neįmanomas. Tik didesnėms lenkimo jėgoms PK2 ir tt vėl bus Δ=0, taigi ir v(z)≠0. Šios teorinės išvados, kuri neatitinka tikrojo elgesio, priežastis slypi diferencialinės lygties linearizacijoje.
Presuotų strypų, sudarytų iš dviejų dalių, sulenkimas
Mes apsiribojame dviejų dalių presuotais pagaliukais, o presuotiems pagaliukams, sudarytiems iš trijų ar daugiau dalių, taikomi panašūs santykiai.
Sl.3
Priklausomai nuo skersinio sujungimo tipo, grotelių strypai skiriasi (pav.3a) ir rėmo strypai (pav.3e). Be skersinių raiščių kiekviena lazdos dalis susilenktų savaime (pav.3b). Jei užpildas yra gana silpnas, tada vienas diržo strypas gali sulenkti nesulenkdamas viso strypo. Dėl grotelių strypo pav.3c galima palyginti: kairė – šarnyrinei sistemai, dešinė – ištisiniams diržams; ir rėmo strypo pav.3f kairėje – minkštiems sujungimo lakštams, dešinėje – kietiems sujungimo lakštams. Iš ten matyti, kad lieknumas λ_ turi didelę įtaką1__=s1/i1_. Atskirai meškerykočio daliai buvo padėtas aš1=F1_∙_i12, s1 yra tarpas tarp laukų (pav.3), i1 nurodo ašį1-1(žr. pav.4).
Sl.4
Sudėtinių strypų lenkimo jėga, atitinkanti elastines lenkimo linijas, fig.3d arba3g buvo išsamių teorinių tyrimų objektas. Jei strypas būtų sudarytas iš unikalių sekcijų (pvz., su briauna) arba skersinės jungtys būtų tokios dažnos, kad iš dviejų dalių sulenktas strypas savo poveikiu nesiskiria nuo vieno strypo, tada jis būtų σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Ten jis žymi λ__y=sK/iy (Pav.4). Tačiau šis lenkimo įtempis praktiškai nebus visiškai pasiektas, nes tam nepakanka skersinių jungčių, be to, jos yra elastingos. Aproksimacija, kuri tenkina daugeliu atvejų, gaunama, jei pagal pasiūlymą _F. Teigiama, kad presuoto strypo, sudaryto iš dviejų dalių, lenkimo įtempis yra lygus
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi yra vadinamasis idealus lieknumas.
Kryžminiai raiščiai turi būti pakankamai stiprūs, kad abi strypo dalys veiktų kartu. Išskyrus antrinius įtempius, skersinės jungtys lieka neįtemptos tol, kol strypas išlieka tiesus. Tik lenkdami jie turi priimti jėgas, o perduoti skersines jėgas, kurios didėja lenkiant. Jei tai elastinga linija
skersinė jėga ties I=konst. yra lygus
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
Su pav. 5 m galima iš karto perskaityti Q(z)=PK∙v’(z). Didžiausia vertė strypo gale yra
Sl.5
Skersinės jungtys turi atlaikyti šią skersinę jėgą. Kadangi atitinkama apkrova yra lenkimo jėga PK, užtenka tam, kad laikomoji riba būtų pasiekta ir skersinėse jungtyse - t.y. kartu su visu strypu. Akivaizdu, kad nebūtų jokios naudos, jei kryžminės nuorodos būtų daug stipresnės, nei reikia norint gauti Q0. Kita vertus, dėl per silpnų skersinių jungčių strypas per anksti suges.
Pirmiau pateiktos lygties negalima naudoti iš pradžių, nes lenkimo rodyklės dydis nežinomas. Strypas yra abejingoje pusiausvyroje pagal PK ir gali, bent jau pirmuoju aproksimacijos laipsniu, įgyti savavališką vertę. Todėl, remiantis F pasiūlymu, jis yra naudingas. Krohn-a, nustatyti to lenkimo maxv dydį, kuriam esant sulenktas strypas praranda laikomąją galią dėl gedimo dėl lenkimo. Tai tikrai įvyks, jei takumo taškas bus pasiektas įgaubtoje lenkimo pusėje (Pav.6). Tam skirti lenkimai auga toliau ir negali būti pritaikyti atitinkami lenkimo momentai.
pav. 6
Bendras įtempimas įgaubtoje lenkimo pusėje yra toks, kaip pav.6idealiai tinka plastikinei medžiagai
Iš ten kyla didžiausias pasipūtimas, kurį dar galima ištverti
maxQ0 yra atitinkama skersinė jėga strypo gale.
Jei naudojamas σK Tetmeier\ formai ir įdėkite σF=3,1t/cm2ir sK=e/2∙ λy, kuris atitinka iy≈e/2, tada gaunama apytikslė Krohn\ reikšmė maxQ0=F/28(Q t, F cm2).
Savavališkoms linijoms gaunamas lenkimo įtempis
maxQ0=μK∙SK.
Koeficientas μK kinta su strypo lieknumu, priklauso ir nuo medžiagos. Kai aukščiau pateikta lygtis yra padalinta iš saugos nuo sulenkimo koeficiento, ją galima parašyti
dozv__Q=μ∙dozvS.
Linijinių sistemų sulinkimas
Linijinių sistemų atveju paprastai nustatomas strypo, kuris abiejuose galuose yra šarnyrinis ir kurio lenkimo jėga yra PK=π, lenkimo ilgį sK=β∙h.2EI/s2K toks pat didelis. Žemiau pateiktuose pavyzdžiuose bus pateiktas palyginamasis „išlinkimo ilgis“.
a) Strypas prispaustas abiejuose galuose (EI=konst.)
Sl.7
Atvejui pav.7išlinkimo yra PK=4π2EI/val2=4,0∙PE, lyginamasis „išlinkimo ilgis“ sK=h/2ir elastinga lenkimo linija v(z)=D(1- cos2πz/h).
b) Viename gale strypas laisvas (pav.8)
Sl. 8
Daroma prielaida, kad strypui lenkiant P kryptis nesikeičia. Tada (EI=konst.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
Kontūro sąlygos laisvajam galui z=h skaitykite čia
M=0 arba v’’=0
Q=M’-Pv’=0 arba v’’’+a2∙v’=0.
c) Viename gale prispaustas strypas (9 pav.)
Sl.9
Su kontūro sąlygomis
v=0 ir v’=0, skirta z=0
v=0 ir v’’=0, skirta z=h
gaunamas EI=const. sulenkimo būklė
sin_αh – αh∙cos_αh=0_,_
arba lygiavertis
tgαh=αh. (4)
Šios transcendentinės lygties šaknys yra lentelėse K. Hayashi's. Mažiausia lenkimo jėga nurodyta pagal lenteles PK1=4,49342/ val2∙ EI =2,046π2EI/val2.
Lyginamasis lenkimo ilgis yra sK = h / √2,046=0,699val.
d) Viename gale suspaustas strypas su sutrikimu (pav.10)
Pav. 10
Nagrinėsime pastovaus dydžio antgalio poslinkio atvejį. Kontūro sąlygos tam yra
v=0ir v’=0 už z=0,
v=v1ir v’’=0, kai z=h.
Tai pusiausvyros problema su elastine linija
Termino vardiklis prieš {} skliaustus bus lygus nuliui, o lenkimas padidėja virš visų ribų, jei P→PK (žr. lenkimo sąlygą Eq. ()4)). Meškerės elgsenai būdinga tai, kad meškerės vidurio ir apatinio galo posūkiai iš pradžių būna mažesni didėjant apkrovai P ir keičia savo ženklą tik esant didesnėms apkrovoms. Sl.10rodo lenkimus per pusę aukščio.
e) Nuolatinis klijavimas per du laukus
Sl.11
Abiejose tirpalo srityse (pav.11) pritaikysime nustatymą
Ir_. v(z1) = A1∙ sinαz1+ B1∙kosαz1+ C1∙z1+ D1,_
II. v(z2) = A2∙ sinαz2+ B2∙kosαz2+ C2∙z2+ D2.
Paprastumo dėlei tebūnie (EI)1=(EI)2=EI. Norėdami rasti aštuonias konstantas A1, …, A2, … tarnauja kaip kontūro sąlygos
v=0 ir v’=0, skirta z1=0,
v=0 ir v’’=0, skirta z2=h,
taip pat pereinamosios sąlygos tarp I ir II sričių
v=0, skirta z1=h ir z2=0,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
Sąlyginės lygtys pateiktos toliau esančioje lentelėje
Nustačius, kad koeficiento determinantas lygus nuliui, gaunama lenkimo sąlyga
Lenkimo ilgis sK=0,878_h_, o pav. 35 arba β=0,699. Sulenkimo jėga sumažėjo, palyginti su 2,046 : 1,297, nes buvo pridėtas antras lankstomas laukas. Jei kitas laukas būtų suspaustas aukščiau, lenkimo jėga vėl padidėtų iki maksimumo. 2,04 PE.
Šis istorinis formulių pateikimas nėra projektas ar konstrukcijos stabilumo įrodymas. Klasikinės idealaus tiesiojo elemento, centrinės apkrovos ir elastingumo ploto prielaidos nebūtinai apima pradinius netobulumus, liekamuosius įtempius, ekscentriškumą, jungties standumą, medžiagos netiesiškumą, šoninį stabilumą ir, kai taikoma, ugnies, seisminio poveikio ir surinkimo fazes. Tikrosios konstrukcijos apskaičiavimą turi atlikti įgaliotas statybos inžinierius pagal galiojančius reglamentus ir standartus.