Hodiaŭ, Savo Kusić koncentriĝas pri lignaj fenestroj, ligno-aluminiaj fenestroj, propraj fenestroj, pordo kaj petoj pri citaĵo. Ĉi tiu teksto restas kiel arkivo de struktura teorio kaj ne estas oferto de senmova dezajno, stabileckalkuloj aŭ struktura rehabilitado.
Diferenciala ekvacio de fleksa klinado
Oni supozas, ke ĉiuj idealigoj estas kontentigitaj, precipe
- ke la vergo estas tute rekta
- ke la ŝarĝo P agas en la ŝafto de la vergo
- ke tensioj restas sub la limo de proporcieco
- ke la deformadoj estas sufiĉe malgrandaj por permesi la kutimajn simpligojn de kalkuloj.
Se la bastono fleksas sub la ago de la forto P kaj eble ankaŭ pro la ŝarĝo q aganta en la transversa direkto, tiam la konataj kondiĉoj de ekvilibro inter la eksteraj ŝarĝoj kaj la fortoj en la sekcio devas esti kontentigitaj. Krome, estas nature ke devus esti konataj rilatoj inter deformadoj kaj fortoj en la sekcio.
Fig. 1 - Ekvilibro
En fig.1elemento de fleksita bastono de longo ds estas reprezentita. La deklivo de la tanĝanto v’ estas malgranda tiel ke ĝis la dua ordo, la longo de la elemento povas esti agordita por esti egala al la projekcio ds=dz. Krome, en la provoj menciitaj sube, kazoj en kiuj P konstante ŝanĝiĝas laŭ la akso de la bastono ne estos konsiderataj, t.e. normala forto N≈P=konst. En la tri ekvilibrokondiĉoj disponeblaj por la elemento, certa nombro da membroj tiam povas esti neglektita. Por markoj kaj signoj el fig.10restu do en la unua proksimumado de la ekvacio
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
La transversa forto povas esti forigita, kaj tiam M’‘=Pv’’-q tenas. La leĝo de Bernoulli M=-EI/R provizas la mankantan ekvacion. La kurbo de la akso de la bastono, kiel kutime, de la teorio de trabofleksado, estas simpligita jene
Do eblas forigi la fleksan momenton; kaj kun M=-EI*v’’ la diferenciala ekvacio por la fleksita bastono
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
En la speciala kazo de konstanta fleksadrigideco EI=konst. la ekvacio (1) estas simpligita, do ĝi estas
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Ekvo. (1) kaj (1a) estas liniaj en v laŭ la menciitaj simpligoj.
Praktike, la plej simpla kazo de konstanta fleksa rigideco EI=konst. estas aparte grava, kiu servas kiel bazo por la ĉi-subaj ekzemploj.
La kazo de Euler
La supozoj por la klasika kazo de klinado estas, krom la menciitaj idealigoj: p=0, do N=konst.=P, same kiel konstanta rigideco sen frotado, kiuj kuŝas ĝuste sur la akso de la bastono. La ordinara diferenciala ekvacio (1a) estas kvara ordo, linia kaj homogena pro q=0. La ĝenerala solvo estas:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
kie A, B, C, D estas la kvar integrigaj konstantoj. La parametro estas de finhava grandeco pro la supozo EI≠0. Krome, α≠0 por P>0.
Fig. 2
Ĉar la lineara diferenciala ekvacio (1a) estas homogena, ĉi tiu problemo ankaŭ estas solvita per n_∙__v(z)_, kie n estas arbitra konstanto. Jam de la matematika klasifiko de la diferenciala ekvacio (1a) oni povas vidi ke la grando de fleksado v ne povas esti determinita. Por determini la konstantojn de integriĝo A, B, C, D en la kazo Euler\ (fig. 2) estas disponeblaj jenaj konturkondiĉoj: Pro la artika subteno, la fleksmomento estas nulo ĉe ambaŭ finoj de la bastono, t.e.
v=0 kaj M=0 por z=0
v=0 kaj M=0 por z=s.
Pro M=-EI_∙__v’‘_, sekvas, ke M=0 estas la valoro de v’’=0, do la kvar konturkondiĉoj legas:
v=0 kaj v’’=0 por z=0
v=0 kaj v’’=0 por z=s.
La solvo (2) tiel rezultigas kvar liniajn ekvaciojn:
Unu.3
Tiuj ĉi kvar homogenaj ekvacioj havas la unuan tielnomitan trivialan solvon A=B=C=D=0, kiu respondas al v(z)=0. La nefleksita bastono v_(z_)=0 estas la kutima ekvilibra pozicio por arbitraj, precipe malgrandaj valoroj de ŝarĝo P. Ĉi tie, ni ĉefe interesiĝas pri la kondiĉoj sub kiuj la bastono fleksiĝas, t.e. ke v(z)≠0. La ekvacioj (3) ne havas tian bagatelan solvon kun A, B, C, D ≠ 0 nur se la determinanto de la koeficiento estas egala al nulo.
Unu. 3a
El la ŝnublaj kondiĉoj Δ = α4∙s∙sinαs =0 mog kalkuli la kritikajn valorojn PK de la ŝarĝo. Tiu ĉi ekvacio estas kontentigita nur se sin αs =0, tio estas por αKms = mπ kun m=1,2,3,… La ekvivalentaj valoroj de Euler's kliniĝanta forto estas PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Por ĉiu valoro de m oni ricevas certan ŝvelforton. Plejofte, nur la plej malgranda el ĉi tiuj fortoj interesas, kaj tio
PK1=EI(π/s)2.
En la sekva versio, estos indekso m, aŭ 1 plejparte preterlasita, rilatante al la plej malsupra el la kritikaj ŝarĝoj. Interesa estas la responda elasta linio. El unu (2) konstantoj B=C=D=0 estas akiritaj. La restanta kondiĉo estas A∙sin__αs=0. La elasta ŝnubla linio por ĉi-supra kazo m=1 estas, do, v(z) = A_∙sinπz/s_, kie v(z) estas por αK resp. PK responda propra funkcio. La grando de A restas nedeterminita.
Ni rigardu alian la tutan ŝarĝan areon. Por arbitraj valoroj de P, precipe por fortoj P_<_PK1 estas v(z)=0, la bastono restas rekta.
Per “iom post iom pliiĝanta” ŝarĝo P estas signifita en la klasika teorio de stabileco sinsekva serio de grandecoj P, kie la stabileco de la observita ŝarĝokazo estos provita denove kaj denove por ĉiu individua nivelo de ŝarĝo P. Dum la stabilectesto, la grandeco de P restas certe senŝanĝa. Se unu stato P estas determinita esti stabila, tiam la ŝarĝo estas pliigita per io, kaj tial la stabilectesto estas ripetita. Ĉi tiu preciza determino estas necesa por ke ekzistas neniu konfuzo kun la speco de ŝarĝo, kiu estas la bazo por la Shanley\ efiko, en kiu ekzistas pliiĝo en la ŝarĝo dum malgrandaj tumultoj agas samtempe. Ekzamenante la stabilecon laŭ Shanley, en la areo de plasta ŝnulado, pli malgranda forkiĝo-forto okazas ol kun la klasika metodo de konsidero.
La sekvaj konsideroj supozas la unuan manieron pliigi la ŝarĝon: Kun laŭgrada pliiĝo de la ŝarĝo P tiusence, PK estas atingita.1=EI_∙(π/s)_2unue al ununura forkpunkto de elasta ekvilibro, kun simpla sinuslinio kiel la elasta ŝnubla linio
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A indikas la nedeterminitan amplitudon de la elasta linio. Por ŝarĝoj _P*__>_PK1 estas laŭ la linearigita teorio Δ≠0, tio estas ekvilibro tie ne eblas. Nur por pli altaj ŝnubaj fortoj PK2 ktp estos denove Δ=0kaj tiel ankaŭ v(z)≠0. La kaŭzo de ĉi tiu teoria konkludo, kiu ne kongruas kun la reala konduto, kuŝas en la linearigo de la diferenciala ekvacio.
Klakado de premitaj vergoj kunmetitaj de du partoj
Ni limigas nin al dupartaj premitaj bastonoj, kaj por premitaj bastonoj kunmetitaj de tri aŭ pli da partoj validas similaj rilatoj.
Sl.3
Laŭ la tipo de transversa ligo, kradaj bastonoj malsamas (fig.3a) kaj kadrostangoj (fig.3e). Sen krucaj kravatoj, ĉiu parto de la bastono fleksiĝus per si mem (fig.3b). Se la plenigaĵo estas relative malforta, tiam ununura zonstango povas fleksi sen fleksi la vergon entute. Por la krada bastono fig.3c kompareblas: maldekstre por ĉarnirumita sistemo, dekstre por kontinuaj zonoj; kaj por la framstango fig.3f maldekstre por molaj ligfolioj, dekstre por rigidaj ligfolioj. De tie, oni povas vidi ke svelteco λ_ estas de granda influo1__=s1/i1_. Por la individua parto de la vergo, mi estis metita1=F1_∙_i12, s1 estas la kampa interspaco (Fig.3), i1 rilatas al la akso1-1(vidu Fig.4).
Sl.4
La ŝnubla forto de kunmetitaj bastonoj egalrilatanta al la elastaj ŝnubaj linioj de fig. 3d, aŭ 3g estis la temo de ĝisfundaj teoriaj esploroj. Se la vergo estus kunmetita de unikaj sekcioj (ekz. kun ripo) aŭ se la transversaj ligoj estus tiel oftaj, ke vergo fleksita el du partoj ne diferencas en sia efiko de unuopa bastono, tiam ĝi estus σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Tie ĝi indikas λ__y=sK/iy (fig. 4). Tamen, ĉi tiu ŝanceliĝa streĉo ne estos plene atingita en la praktiko ĉar ne ekzistas sufiĉe da transversaj ligoj por tio, kaj ili ankaŭ estas elastaj. Proksimumo kiu kontentigas en la plej multaj kazoj estas akirita se ni metas laŭ la propono F. Engesser\a ke la fleksa streĉo de premita bastono kunmetita de du partoj estas egala
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi estas la tiel nomata ideala svelteco.
Krucligiloj devas esti sufiĉaj en nombro kaj sufiĉe fortaj por devigi ambaŭ partojn de la bastono agi kune. Ekskludante sekundarajn stresojn, la transversaj ligiloj restas neakcentitaj tiel longe kiel la bastono restas rekta. Estas nur kun fleksado ke ili devas ricevi fortojn, kaj ili devas transdoni transversajn fortojn kiuj pliiĝas kun fleksado. Se ĝi estas elasta linio
transversa forto ĉe I=konst. estas egala
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
Kun figo. 5 m tuj legeblas Q(z)=PK∙v’(z). La plej alta valoro ĉe la fino de la bastono estas
Sl.5
La transversaj ligoj devas povi alĝustigi tiun transversan forton. Ĉar la responda ŝarĝo estas la ŝancelforto PK, sufiĉas, se la ŝarĝo-portanta limo estas atingita por tio ankaŭ en la transversaj ligoj - t.e. samtempe kun la tuta bastono. Evidente, ne estus profito, se la krucligiloj estus multe pli fortaj ol necese por ricevi Q0. Aliflanke, krucligiloj kiuj estas tro malfortaj kaŭzus la bastonon malsukcesi trofrue.
La ĉi-supra ekvacio ne povas esti uzita komence ĉar la grandeco de la ŝnubla sago estas nekonata. La bastono estas en indiferenta ekvilibro sub PK kaj povas, almenaŭ en la unua grado de aproksimado, preni arbitran valoron. Ĝi estas do utila, laŭ la propono de F. Krohn-a, por determini la grandecon de tiu kliniĝo maxv ĉe kiu la fleksita bastono perdas sian portantan kapablon pro malsukceso pro fleksado. Ĉi tio certe okazos se la cedopunkto estos atingita sur la konkava flanko de la kurbo (Fig.6). La kurboj por tio kreskas plu kaj la ekvivalentaj fleksmomentoj ne povas esti aplikitaj.
Fig. 6
La totala streĉo sur la konkava flanko de la kurbo estas laŭ fig.6por ideala plasta materialo
De tie venas la plej granda fanfaronado, kiun oni ankoraŭ povas elteni
maxQ0 estas la responda transversa forto ĉe la bastonfino.
Se uzata por la formo de σK Tetmeier\ kaj metu σF=3,1t/cm2kaj sK=e/2∙ λy kiu respondas al iy≈e/2, tiam la proksimuma valoro de Krohn\ de maxQ estas akirita0=F/28(Q en t, F en cm2).
Por arbitraj linioj la ŝnubla streĉo estas akirita
maxQ0=μK∙SK.
La koeficiento μK ŝanĝiĝas kun la svelteco de la bastono, ĝi ankaŭ dependas de la materialo. Kiam ĉi-supra ekvacio estas dividita per la koeficiento de sekureco kontraŭ ŝveliĝo ĝi povas esti skribita
dozv__Q=μ∙dozvS.
Kankado de linearaj sistemoj
Koncerne liniajn sistemojn, estas ofte determini la fleksan longon sK=β∙h de bastono kiu estas ĉarnirita ĉe ambaŭ finoj kaj kies fleksa forto estas PK=π por komparo.2EI/s2K same granda. Komparata “flankolongo” estos donita por la ekzemploj malsupre.
a) Vergo fiksita ĉe ambaŭ finoj (EI=konst.)
Sl.7
Por la kazo de fig.7de kliniĝo estas PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, kompara “ŝnuba longo” sK=h/2kaj la elasta ŝnubla linio v(z)=D(1- kos2πz/h).
b) Vergo libera ĉe unu fino (fig.8)
Sl. 8
Oni supozas, ke la direkto de P ne ŝanĝiĝas dum la bastono fleksiĝas. Tiam (EI=konst.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
La konturkondiĉoj por la libera fino z=h ĉi tie legu
M=0 aŭ v’’=0
Q=M’-Pv’=0 aŭ v’’’+a2∙v’=0.
c) Vergo fiksita ĉe unu fino (fig. 9)
Sl.9
Kun konturkondiĉoj
v=0 kaj v’=0 por z=0
v=0 kaj v’’=0 por z=h
estas akirita por EI=konst. kliniĝanta kondiĉo
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
aŭ ekvivalento
tgαh=αh. (4)
La radikoj de tiu ĉi transcenda ekvacio troviĝas en tabeloj K. Hayashi's. La plej malsupra ŝnubla forto estas laŭ tabeloj PK1=4,49342/ h2∙ EI =2,046π2EI/h2.
La kompara ŝnubla longo estas sK = h / √2,046=0,699h.
d) Vergo fiksita ĉe unu fino kun malordo (fig.10)
Fig. 10
Ni konsideros la kazon de pintmovo de konstanta grandeco. La konturaj kondiĉoj por tio estas
v=0kaj v’=0 por z=0,
v=v1 kaj v’’=0 por z=h.
Ĝi estas ekvilibra problemo kun elasta linio
La denominatoro de la termino antaŭ la {}-krampoj estos nul kaj la kliniĝo pliiĝas super ĉiuj limoj se P→PK (vidu kliniĝkondiĉon Ekvacion (4)). Estas karakterize por la konduto de la bastono, ke la kurboj en la meza kaj malsupra fino de la bastono estas komence pli malgrandaj kun kreskanta ŝarĝo P kaj ŝanĝas sian signon nur por pli altaj ŝarĝoj. Sl. 10 montras kurbojn je duona alteco.
e) Daŭra bastono super du kampoj
Sl.11
Por ambaŭ solvaj areoj (fig. 11) ni aplikos la agordon
I_. v(z1) = A1∙sinαz1 + B1∙cosαz1 + C1∙z1 + D1,_
II. v(z2) = A2∙sinαz2 + B2∙cosαz2 + C2∙z2 D2.
Por simpligo estu (EI)1=(EI)2=EI. Por trovi la ok konstantojn A1, …, A2, … la konturkondiĉoj
v=0 kaj v’=0 por z1=0,
v=0 kaj v’’=0 por z2=h,
same kiel transiraj kondiĉoj inter areoj I kaj II
v=0 por z1=h kaj por z2=0,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
Kondiĉaj ekvacioj estas donitaj en la suba tabelo
Fiksante, ke la determinanto de la koeficiento estas egala al nulo, oni ricevas la ŝnublan kondiĉon
Kliblongo sK=0,878_h_, dum por fig. 35 aŭ β=0,699. La ŝnubla forto malpliiĝis kompare kun 2,046 : 1,297 pro la aldono de dua kampo kiu estas ĉarnirumita. Se la alia kampo estus pinĉita pli alte, tiam la ŝveladforto pliiĝus denove al la pinto. 2,04 PE.
Ĉi tiu historia prezento de la formuloj ne estas projekto aŭ pruvo de la stabileco de la strukturo. La klasikaj supozoj de ideala rekta membro, centra ŝarĝo kaj elasta areo ne nepre inkluzivas komencajn neperfektaĵojn, restajn streĉojn, ekscentrecon, ligrigidecon, materialan nelinearecon, lateralan stabilecon nek, kiam aplikeble, fajron, sisman agon kaj kunigfazojn. Kalkulo de la reala strukturo devas esti farita de rajtigita inĝeniero laŭ validaj regularoj kaj normoj.