Avui, Savo Kusić se centra en finestres de fusta, finestres de fusta-alumini, finestres personalitzades, porta i sol·licituds de pressupost. Aquest text es manté com un arxiu de teoria estructural i no és una oferta de disseny estàtic, càlculs d’estabilitat o rehabilitació estructural.
Equació diferencial de pandeig per flexió
S’assumeix que totes les idealitzacions es compleixen, especialment
- que la vareta és perfectament recta
- que la càrrega P actua a l’eix de la vareta
- que les tensions romanguin per sota del límit de proporcionalitat
- que les deformacions siguin prou petites per permetre les simplificacions habituals dels càlculs.
Si la vareta es doblega sota l’acció de la força P i potser també a causa de la càrrega q que actua en direcció transversal, s’han de complir les condicions conegudes d’equilibri entre les càrregues externes i les forces en la secció. A més, és natural que hi hagi relacions conegudes entre deformacions i forces en la secció.
Fig. 1 - Balanç
A la fig.1es representa un element d’una vareta doblegada de longitud ds. El pendent de la tangent v’ és petita de manera que fins al segon ordre, la longitud de l’element es pot establir per ser igual a la projecció ds=dz. A més, en les proves esmentades a continuació, no es tindran en compte els casos en què P canvia constantment al llarg de l’eix de la vareta, és a dir, la força normal N≈P=const. En les tres condicions d’equilibri disponibles per a l’element, un cert nombre de membres es pot descuidar. Per a les marques i senyals de la fig.10queden doncs en la primera aproximació de l’equació
N=P, M’=Q, Q’=-q+Pv’’.
La força transversal es pot eliminar, i llavors M’‘=Pv’’-q es manté. La llei de Bernoulli M=-EI/R proporciona l’equació que falta. La corba de l’eix de la vareta, com és habitual, a partir de la teoria de la flexió del feix, es simplifica de la següent manera
Així és possible eliminar el moment de flexió; i amb M=-EI*v’’ s’obté l’equació diferencial de la vareta doblegada
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
En el cas especial de rigidesa a la flexió constant EI=const. l’equació (1) es simplifica, de manera que és
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Eq. (1) i (1a) són lineals en v segons les simplificacions esmentades.
Pràcticament, el cas més simple de rigidesa a la flexió constant EI=const. és especialment important, que serveix de base per als exemples següents.
El cas d’Euler
Els supòsits per al cas clàssic de pandeig són, a part de les idealitzacions esmentades: p=0, per tant N=const.=P, així com una rigidesa constant sense fricció, que es troben exactament a l’eix de la vareta. L’equació diferencial ordinària (1a) és de quart ordre, lineal i homogènia a causa de q=0. La solució general és:
v(z) = A_∙_sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
on A, B, C, D són les quatre constants d’integració. El paràmetre és de mida finita a causa del supòsit EI≠0. A més, α≠0 per a P>0.
Fig. 2
Com que l’equació diferencial lineal (1a) és homogènia, aquest problema també es resol amb n_∙__v(z)_, on n és una constant arbitrària. Ja a partir de la classificació matemàtica de l’equació diferencial (1a) es pot veure que la magnitud de flexió v no es pot determinar. Per determinar les constants d’integració A, B, C, D en el cas Euler\ (fig. 2) es disposa de les següents condicions de contorn: A causa del suport articulat, el moment flector és nul als dos extrems de la vareta, és a dir.
v=0 i M=0 per a z=0
v=0 i M=0 per a z=s.
A causa de M=-EI_∙__v’‘_, es dedueix que M=0 és el valor de v’’=0, de manera que les quatre condicions de contorn es diuen:
v=0 i v’’=0 per a z=0
v=0 i v’’=0 per a z=s.
La solució (2) dóna com a resultat quatre equacions lineals:
Un.3
Aquestes quatre equacions homogènies tenen la primera solució anomenada trivial A=B=C=D=0, que correspon a v(z)=0. La vareta sense doblegar v_(z_)=0 és la posició d’equilibri habitual per a valors arbitraris, especialment petits, de càrrega P. Aquí, ens interessen principalment les condicions en què la vareta es doblega, és a dir, que v(z)≠0. Les equacions (3) no tenen una solució tan trivial amb A, B, C, D ≠ 0 només si el determinant del coeficient és igual a zero.
Un. 3a
A partir de les condicions de pandeig Δ = α4∙s∙sinαs =0 mog per calcular els valors crítics PK de la càrrega. Aquesta equació només es compleix si sin αs =0, és a dir per αKms = mπ amb m=1,2,3,… Els valors corresponents de la força de pandeig de Euler\ són PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Per a cada valor de m, s’obté una força de pandeig determinada. En la majoria dels casos, només interessa la més petita d’aquestes forces, i això
PK1=EI(π/s)2.
A la versió següent, hi haurà un índex m, o 1 majoritàriament omès, referint-se a la més baixa de les càrregues crítiques. És interessant la línia elàstica corresponent. A partir d’una (2) s’obtenen les constants B=C=D=0. La condició restant és A∙sin__αs=0. La línia de pandeig elàstic per al cas anterior m=1 és, per tant, v(z) = A_∙sinπz/s_, on v(z) és per a αK resp. PK funció pròpia corresponent. La magnitud de A roman indeterminada.
Fem una altra ullada a tota l’àrea de càrrega. Per a valors arbitraris de P, especialment per a les forces P_<_PK1 és v(z)=0, la vareta roman recta.
Per “augmentar gradualment” la càrrega P s’entén en la teoria clàssica de l’estabilitat una sèrie successiva de mides P, on l’estabilitat del cas de càrrega observat es provarà una i altra vegada per a cada nivell individual de càrrega P. Durant la prova d’estabilitat, la mida de P es manté sens dubte sense canvis. Si es determina que un estat P és estable, aleshores la càrrega augmenta en alguna cosa i, per tant, es repeteix la prova d’estabilitat. Aquesta determinació precisa és necessària perquè no hi hagi confusió amb el tipus de càrrega, que és la base de l’efecte Shanley, en el qual hi ha un augment de la càrrega mentre actuen petites pertorbacions al mateix temps. Quan s’examina l’estabilitat segons Shanley, a l’àrea de pandeig plàstic, es produeix una força de bifurcació més petita que amb el mètode clàssic de consideració.
Les consideracions següents suposen la primera manera d’augmentar la càrrega: Amb un augment gradual de la càrrega P en aquest sentit, s’arriba a PK1=EI_∙(π/s)_2primer a un únic punt de bifurcació d’equilibri elàstic, amb una línia sinusoïdal simple com a línia de pandeig elàstic
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A denota l’amplitud indeterminada de la línia elàstica. Per a càrregues _P*__>_PK1 és segons la teoria linealitzada Δ≠0, és a dir, l’equilibri no és possible allà. Només per a forces de pandeig més altes PK2 etc. tornarà a ser Δ=0i per tant també v(z)≠0. La causa d’aquesta conclusió teòrica, que no coincideix amb el comportament real, rau en la linealització de l’equació diferencial.
Pandeig de varetes premsades compost de dues parts
Ens limitem a pals premsats de dues parts, i per als pals premsats composts per tres o més parts, s’apliquen relacions similars.
Sl.3
Segons el tipus de connexió transversal, les barres de gelosia difereixen (fig.3a) i varetes de marc (fig.3e). Sense lligams creuats, cada part de la vareta es doblegaria per si mateixa (fig.3b). Si el farciment és relativament feble, una sola vareta de cinturó es pot doblegar sense doblegar la vareta en conjunt. Per a la vareta de gelosia fig.3c es pot comparar: esquerra per sistema articulat, dreta per corretges continus; i per a la vareta del marc fig.3f a l’esquerra per a fulls de connexió suaus, a la dreta per a fulls de connexió rígids. A partir d’aquí, es pot veure que la primesa λ_ té una gran influència1__=s1/i1_. Per a la part individual de la vara, em van col·locar1=F1_∙_i12, s1 és l’espaiat de camps (Fig.3), i1 fa referència a l’eix1-1(vegeu la fig.4).
Sl.4
La força de pandeig de les barres compostes corresponent a les línies elàstiques de pandeig de la fig. 3d, o 3g va ser objecte d’investigacions teòriques exhaustives. Si la vareta estigués composta per seccions úniques (per exemple, amb una costella) o si les connexions transversals fossin tan freqüents que una vareta doblegada de dues parts no difereix en el seu efecte d’una sola vareta, llavors seria σ__K_=_π__2__E/λ__y__2. Allà denota λ__y=sK/iy (fig. 4). Tanmateix, aquesta tensió de pandeig no s’aconseguirà completament a la pràctica perquè no hi ha prou connexions transversals per a això, i també són elàstiques. S’obté una aproximació que satisfà en la majoria dels casos si posem segons la proposta F. Engesser\a que l’esforç de flexió d’una vareta premsada composta per dues parts és igual
σ__K_=_π__2__E/λ__yi__2.
λyi és l’anomenada esveltesa ideal.
Els llaços creuats han de ser suficients en nombre i prou forts per forçar les dues parts de la vareta a actuar juntes. Excloent les tensions secundàries, els enllaços transversals romanen sense tensió mentre la vareta es mantingui recta. Només amb la flexió han de rebre forces, i han de transmetre forces transversals que augmenten amb la flexió. En cas que sigui una línia elàstica
força transversal a I=const. és igual
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
Amb la fig. 5 m es pot llegir immediatament Q(z)=PK∙v’(z). El valor més alt a l’extrem de la vareta és
Sl.5
Les connexions transversals han de poder acomodar aquesta força transversal. Atès que la càrrega corresponent és la força de pandeig PK, és suficient que s’assoleixi el límit de càrrega per a això també en les connexions transversals, és a dir, simultàniament amb tota la vareta. Òbviament, no hi hauria cap benefici si els enllaços creuats tinguessin una mida molt més forta del necessari per rebre Q0. D’altra banda, els enllaços creuats massa febles farien que la vareta fallés prematurament.
L’equació anterior no es pot utilitzar inicialment perquè es desconeix la magnitud de la fletxa de pandeig. La vareta es troba en equilibri indiferent sota PK i pot, almenys en el primer grau d’aproximació, prendre un valor arbitrari. Per tant, és útil, segons la proposta de F. Krohn-a, per determinar la magnitud d’aquest pandeig maxv en què la vareta doblegada perd la seva capacitat de suport a causa d’una fallada a causa de la flexió. Sens dubte, això es produirà si s’arriba al punt de fluència al costat còncava de la corba (Fig.6). Els corbes per a això creixen encara més i no es poden aplicar els moments de flexió corresponents.
Fig. 6
La tensió total al costat còncava de la corba és segons la fig.6per a un material plàstic ideal
D’aquí ve la més gran arrogancia que encara es pot suportar
maxQ0 és la força transversal corresponent a l’extrem de la vareta.
Si s’utilitza per a la forma de σK Tetmeier\ i posa σF=3,1t/cm2i sK=e/2∙ λy que correspon a iy≈e/2, aleshores s’obté el valor aproximat de _maxQ de Krohn_0=F/28(Q en t, F en cm2).
Per a línies arbitràries s’obté l’esforç de pandeig
maxQ0=μK∙SK.
El coeficient μK canvia amb l’esveltesa de la vareta, també depèn del material. Quan l’equació anterior es divideix pel coeficient de seguretat contra el pandeig, es pot escriure
dozv__Q=μ∙dozvS.
Pandeig de sistemes lineals
En el cas dels sistemes lineals, és habitual determinar la longitud de flexió sK=β∙h d’una barra que està articulada als dos extrems i la força de flexió de la qual és PK=π per a comparació.2EI/s2K igual de gran. Es donarà una “longitud de pandeig” comparativa per als exemples següents.
a) Vareta subjectada als dos extrems (EI=const.)
Sl.7
Per al cas de la fig.7de pandeig és PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, “longitud de pandeig” comparativa sK=h/2i la línia de pandeig elàstic v(z)=D(1-cos2πz/h).
b) Vara lliure en un extrem (fig.8)
Sl. 8
Se suposa que la direcció de P no canvia a mesura que la vareta es doblega. Aleshores (EI=const.)
PK=π2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cosπz/2h).
Les condicions del contorn per a l’extrem lliure z=h aquí llegiu
M=0 o v’’=0
Q=M’-Pv’=0 o v’’’+a2∙v’=0.
c) Vareta subjectada en un extrem (fig. 9)
Sl.9
Amb condicions de contorn
v=0 i v’=0 per a z=0
v=0 i v’’=0 per a z=h
s’obté per a EI=const. condició de pandeig
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
o equivalent
tgαh=αh. (4)
Les arrels d’aquesta equació transcendental es troben a les taules K. Hayashi's. La força de pandeig més baixa és segons les taules PK1=4,49342/ h2∙ EI =2,046π2EI/h2.
La longitud de pandeig comparativa és sK = h / √2,046=0,699h.
d) Una vareta subjectada en un extrem amb un desordre (fig.10)
Fig. 10
Considerarem el cas del desplaçament de punta de mida constant. Les condicions de contorn per a això són
v=0i v’=0 per z=0,
v=v1i v’’=0 per z=h.
És un problema d’equilibri amb una línia elàstica
El denominador del terme abans dels parèntesis {} serà zero i el pandeig augmenta per sobre de tots els límits si P→PK (vegeu la condició de pandeig Eq. (4)). És característic del comportament de la vareta que les corbes a l’extrem mitjà i inferior de la vareta són inicialment més petites amb l’augment de la càrrega P i canvien de signe només per a càrregues més altes. Sl.10mostra corbes a mitja alçada.
e) Enganxament continu a través de dos camps
Sl.11
Per a ambdues àrees de solució (fig.11) aplicarem la configuració
I_. v (z1) = A1∙sinαz1+ B1∙cosαz1+ C1∙z1+ D1,_
II. v(z2) = A2∙sinαz2+ B2∙cosαz2+ C2∙z2+ D2.
Per senzillesa, deixeu que sigui (EI)1=(EI)2=EI. Per trobar les vuit constants A1, …, A2, … serveixen com a condicions de contorn
v=0 i v’=0 per a z1=0,
v=0 i v’’=0 per a z2=h,
així com les condicions de transició entre les àrees I i II
v=0 per a z1=h i per a z2=0,
v’‘(z1=h)=v’(z2=0),
v’‘(z1=h)=v’’(z2=0).
Les equacions condicionals es donen a la taula següent
Fent que el determinant del coeficient sigui igual a zero, s’obté la condició de pandeig
Longitud de flexió sK=0,878_h_, mentre que per a la fig. 35 o β=0,699. La força de pandeig ha disminuït en comparació amb 2,046: 1,297 a causa de l’addició d’un segon camp que està articulat. Si l’altre camp es pessigués més alt, la força de pandeig augmentaria de nou fins al cim. 2,04 PE.
Aquesta presentació històrica de les fórmules no és un projecte ni una prova de l’estabilitat de l’estructura. Els supòsits clàssics d’element recte ideal, càrrega cèntrica i àrea elàstica no inclouen necessàriament imperfeccions inicials, esforços residuals, excentricitat, rigidesa de connexió, no linealitat del material, estabilitat lateral ni, si escau, foc, acció sísmica i fases de muntatge. El càlcul de l’estructura real l’ha de fer un enginyer civil autoritzat d’acord amb les normatives i normes vigents.