Hnub no, Savo Kusić tau tsom mus rau qhov rais ntoo, wood-aluminium Qhov rais, kev cai Qhov rais, qhov rooj thiab thov lus hais. Cov ntawv no tseem yog cov ntaub ntawv khaws tseg ntawm cov qauv kev xav thiab tsis yog qhov kev tsim qauv zoo li qub, suav nrog kev ruaj ntseg lossis kev tsim kho vaj tse.
Kev sib npaug sib txawv ntawm kev khoov buckling
Nws xav tias txhua qhov kev xav tau txaus siab, tshwj xeeb tshaj yog
- tias tus pas nrig yog ncaj ncaj
- tias lub load P ua nyob rau hauv tus ncej ntawm tus pas nrig
- uas voltages nyob qis dua qhov txwv ntawm proportionality
- tias cov deformations me me txaus kom tso cai rau cov kev yooj yim ntawm kev suav ib txwm.
Yog hais tias tus pas nrig khoov nyob rau hauv qhov kev txiav txim ntawm lub zog P thiab tej zaum kuj yog vim lub load q ua nyob rau hauv lub transverse kev taw qhia, ces lub paub tej yam kev mob ntawm equilibrium ntawm lub sab nraud loads thiab lub zog nyob rau hauv seem yuav tsum txaus siab. Tsis tas li ntawd, nws yog ib qho tseem ceeb uas yuav tsum paub txog kev sib raug zoo ntawm deformations thiab quab yuam hauv ntu.
Daim duab. 1 - Balance
Hauv daim duab.1ib lub ntsiab ntawm ib tug bent pas nrig ntawm ntev ds yog sawv cev. Txoj kab nqes ntawm qhov tangent v’ me me kom txog rau qhov kev txiav txim thib ob, qhov ntev ntawm lub caij tuaj yeem teem kom sib npaug rau qhov projection ds = dz. Tsis tas li ntawd, nyob rau hauv cov kev ntsuam xyuas tau hais hauv qab no, cov xwm txheej uas P hloov pauv tas li ntawm axis ntawm tus pas nrig yuav tsis raug coj mus rau hauv tus account, piv txwv li ib txwm quab yuam N≈P\ = const. Nyob rau hauv peb qhov kev sib npaug muaj rau lub caij, qee tus tswv cuab tuaj yeem raug tsis saib xyuas. Rau cov cim thiab cov cim los ntawm fig.10nyob twj ywm ces nyob rau hauv thawj approximation ntawm cov kab zauv
N=P, M’=Q, Q’=q+Pv’.
Lub zog transverse tuaj yeem raug tshem tawm, thiab tom qab ntawd M’‘=Pv’’-q tuav. Bernoulli's law M=-EI/R muab qhov sib npaug ploj lawm. Qhov nkhaus ntawm lub axis ntawm tus pas nrig, raws li niaj zaus, los ntawm txoj kev xav ntawm beam dabtsi yog khoov, yog yooj yim raws li hauv qab no
Nws muaj peev xwm tshem tawm lub sijhawm khoov; thiab nrog M =-EI*v’’ qhov sib txawv sib npaug rau tus pas nrig khoov
(EI*v’‘)’’ + Pv’’ = q. (1)
Nyob rau hauv rooj plaub tshwj xeeb ntawm qhov tsis tu ncua bending txhav EI=const. qhov sib npaug (1) yog qhov yooj yim, yog li nws yog
EIv’‘’’ + Pv’’ = q. (1a)
Eq. (1) thiab (1a) yog cov kab hauv v raws li cov lus hais yooj yim.
Xyaum, cov ntaub ntawv yooj yim tshaj plaws ntawm qhov khoov tsis tu ncua EI=const. yog qhov tseem ceeb tshwj xeeb, uas yog lub hauv paus rau cov piv txwv hauv qab no.
Euler rooj plaub
Cov kev xav rau cov rooj plaub classical ntawm buckling yog, sib nrug los ntawm cov kev xav tau hais tseg: p=0, yog li N=const.=P, nrog rau qhov nruj tsis tu ncua tsis muaj kev sib txhuam, uas yog raws nraim ntawm tus pas nrig. Qhov sib npaug sib txawv zoo tib yam (1a) yog plaub qhov kev txiav txim, kab thiab homogeneous vim q=0. Txoj kev daws teeb meem yog:
v(z) = A_∙__sin__αz + B∙cosαz + C∙z + D, (2)
qhov twg A, B, C, D yog plaub qhov sib xyaw ua ke. Qhov parameter yog qhov loj me me vim qhov kev xav EI≠0. Tsis tas li ntawd, α≠0 rau P>0.
Daim duab. 2
Txij li cov kab zauv sib txawv (1a) yog homogeneous, qhov teeb meem no kuj daws tau los ntawm n_∙__v(z)_, qhov twg n yog qhov tsis txaus ntseeg. Twb tau los ntawm kev faib ua lej ntawm qhov sib npaug sib txawv (1a) nws tuaj yeem pom tias qhov loj ntawm dabtsi yog khoov v tsis tuaj yeem txiav txim siab. Txhawm rau txiav txim siab qhov sib xyaw ua ke A, B, C, D hauv Euler\ rooj plaub (daim duab 2) cov xwm txheej hauv qab no muaj: Vim muaj kev txhawb nqa, lub sijhawm khoov yog xoom ntawm ob qho kawg ntawm tus pas nrig, i.e.
v=0 and M=0 for z=0
v=0 and M=0 for z=s.
Vim M=-EI_∙__v’‘_, nws ua raws li hais tias M=0 yog tus nqi ntawm v’’=0, yog li plaub contour tej yam kev mob nyeem:
v=0 and v’’=0 for z=0
v=0 and v’’=0 for z=s.
Txoj kev daws teeb meem (2) yog li ua rau plaub kab sib npaug:
Ib.3
Plaub qhov sib npaug sib npaug no muaj thawj qhov kev daws teeb meem tsis tseem ceeb A=B=C=D=0, uas sib raug rau v(z)=0. Lub pas nrig unbent v_(z_) = 0 yog txoj hauj lwm sib npaug li niaj zaus rau arbitrary, tshwj xeeb tshaj yog me me ntawm load P. Ntawm no, peb feem ntau txaus siab rau cov xwm txheej uas tus pas nrig khoov, piv txwv li tias v(z)≠0. Qhov sib npaug (3) tsis muaj qhov tsis tseem ceeb li kev daws teeb meem nrog A, B, C, D ≠ 0 tsuas yog tias tus txiav txim ntawm cov coefficient yog sib npaug rau xoom.
Ib. 3a
Los ntawm buckling tej yam kev mob Δ = α4∙s∙sinαs = 0 mgo los xam cov nqi tseem ceeb PK ntawm lub load. Qhov kev sib npaug no tsuas yog txaus siab yog tias sin αs = 0, i.e. rau αKms = mπ nrog m=1,2,3,… PKm=EI_∙_α2Km = EI(mπ/s)2. Rau txhua tus nqi ntawm m, ib qho kev quab yuam buckling tau txais. Feem ntau, tsuas yog qhov tsawg tshaj plaws ntawm cov rog no yog txaus siab, thiab qhov ntawd
PK1=EI(π/s)2.
Hauv cov qauv hauv qab no, yuav muaj qhov ntsuas m, lossis 1 feem ntau tshem tawm, xa mus rau qhov qis tshaj ntawm cov khoom tseem ceeb. Ntawm kev txaus siab yog qhov sib thooj elastic kab. Los ntawm ib qho (2) qhov tsis tu ncua B=C=D=0 tau txais. Cov xwm txheej ntxiv yog A∙sin__αs=0. Cov kab elastic buckling rau cov ntaub ntawv saum toj no m=1 yog, yog li ntawd, v(z) = A_∙sinπz/s_, qhov twg v(z) yog rau αK resp. PK coj eigenfunction. Qhov loj ntawm A tseem tsis tau txiav txim siab.
Cia wb mus saib tag nrho qhov chaw thauj khoom. Rau qhov tsis txaus ntseeg ntawm P, tshwj xeeb tshaj yog rau cov rog P_<_PK1 yog v(z) = 0, tus pas nrig tseem ncaj.
Los ntawm “maj mam nce” loading P yog txhais tau hais tias nyob rau hauv lub classical txoj kev xav ntawm stability ib tug successive series ntawm ntau thiab tsawg P, qhov twg stability ntawm lub soj ntsuam load rooj plaub yuav raug kuaj dua thiab dua rau txhua tus neeg theem ntawm loading P. Thaum lub sij hawm ntsuas kev ruaj ntseg, qhov loj ntawm P tseem tsis tau hloov pauv. Yog tias ib lub xeev P tau txiav txim siab kom ruaj khov, ces qhov kev thauj khoom tau nce los ntawm ib yam dab tsi, thiab yog li ntawd qhov kev ntsuas kev ruaj ntseg tau rov ua dua. Qhov kev txiav txim siab tseeb no yog qhov tsim nyog kom tsis txhob muaj kev tsis sib haum xeeb nrog hom kev thauj khoom, uas yog lub hauv paus rau Shanley\ cov nyhuv, nyob rau hauv uas muaj ib qho kev nce rau hauv lub load thaum me me cuam tshuam ua yeeb yam tib lub sijhawm. Thaum kuaj xyuas kev ruaj ntseg raws li Shanley, nyob rau hauv thaj tsam ntawm cov yas buckling, me me bifurcation quab yuam tshwm sim dua nrog cov classical txoj kev xav.
Cov kev txiav txim siab hauv qab no suav tias yog thawj txoj hauv kev nce lub nra: Nrog kev nce ntxiv hauv cov load P hauv qhov kev nkag siab no, PK tau mus txog1=EI_∙(π/s)_2ua ntej mus rau ib qho bifurcation point ntawm elastic equilibrium, nrog ib tug yooj yim sine kab raws li cov elastic buckling kab
v1(z)=f_∙_sin__π__z/s.
f=A qhia txog qhov tsis muaj kev txiav txim siab ntawm txoj kab elastic. Rau loads _P*__>_PK1 yog raws li linearized txoj kev xav Δ≠0, uas yog qhov sib npaug tsis tuaj yeem muaj. Tsuas yog rau siab buckling rog PK2 thiab lwm yam nws yuav yog Δ= dua0thiab yog li tseem v(z)≠0. Qhov laj thawj ntawm qhov kev txiav txim siab theoretical no, uas tsis sib haum rau tus cwj pwm tiag tiag, yog nyob rau hauv linearization ntawm qhov sib npaug sib txawv.
Buckling ntawm nias rods muaj li ntawm ob qhov chaw
Peb txwv peb tus kheej rau ob feem nias sticks, thiab rau cov nias uas muaj peb los yog ntau tshaj, cov kev sib raug zoo zoo sib xws.
Sl.3
Raws li hom kev sib txuas sib txuas, lattice rods txawv (daim duab.3a) thiab thav duab rods (fig.3e). Tsis muaj kev sib txuas, txhua feem ntawm tus pas nrig yuav khoov ntawm nws tus kheej (daim duab.3b). Yog hais tias qhov txhaws yog qhov tsis muaj zog, ces ib txoj hlua siv ib leeg tuaj yeem khoov yam tsis tau khoov tus pas nrig tag nrho. Rau lub lattice rod fig.3c tuaj yeem sib piv: sab laug rau hinged system, txoj cai rau kev siv txuas ntxiv; thiab rau tus ncej rod fig.3f nyob rau sab laug rau cov ntawv sib txuas muag muag, sab xis rau cov nplooj ntawv sib txuas. Los ntawm qhov ntawd, nws tuaj yeem pom tias slimness λ_ yog qhov muaj txiaj ntsig zoo1__= os1/i1_. Rau tus kheej ib feem ntawm tus pas nrig, Kuv tau muab tso rau1= F1_∙__ ib12_, ib1_ yog qhov chaw sib nrug (Fig.3), _ ib1_ hais txog lub axis1-1(saib Fig.4).
Sl.4
Lub zog buckling ntawm compound rods sib haum mus rau elastic buckling kab ntawm fig.3d ,lub3g yog lub ntsiab lus ntawm tag nrho theoretical kev tshawb nrhiav. Yog hais tias tus pas nrig tau tsim los ntawm cov ntu tshwj xeeb (piv txwv li nrog ib tus tav) lossis yog tias qhov sib txuas sib txuas tau ntau zaus uas tus pas nrig khoov los ntawm ob ntu tsis txawv ntawm nws cov txiaj ntsig los ntawm ib tus pas nrig, ces nws yuav yog σ__K_=π.2__E/λ__y__2. There nws denotes λ__y=sK/iy_ (Fig.4). Txawm li cas los xij, qhov kev ntxhov siab buckling no yuav tsis tuaj yeem ncav cuag hauv kev xyaum vim tias tsis muaj kev sib txuas ntau txaus rau qhov ntawd, thiab lawv kuj yog elastic. Ib qho kev kwv yees uas txaus siab rau feem ntau yog tau txais yog tias peb muab raws li qhov kev pom zoo F. Engesser\a hais tias qhov khoov kev ntxhov siab ntawm tus pas nrig nias uas muaj ob ntu yog sib npaug
σ__K_=_π__2__E/λ__yi___2.
λyi yog qhov zoo tshaj plaws slenderness.
Hla kev sib txuas yuav tsum muaj tus lej txaus thiab muaj zog txaus los yuam ob feem ntawm tus pas nrig ua ke. Tsis suav nrog cov kev ntxhov siab thib ob, cov kev sib txuas sib txuas tseem tsis muaj kev ntxhov siab ntev npaum li tus pas nrig tseem ncaj. Nws tsuas yog nrog dabtsi yog khoov uas lawv yuav tsum tau txais lub zog, thiab lawv yuav tsum xa cov transverse rog uas nce nrog khoov. Nyob rau hauv cov ntaub ntawv nws yog ib tug elastic kab
transverse force ntawm I=const. yog sib npaug
Q = M’ = - EI∙v’‘’.
Nrog fig. 5 m tuaj yeem nyeem tam sim Q(z)=PK∙v’(z). Tus nqi siab tshaj ntawm qhov kawg ntawm tus pas nrig yog
Sl.5
Cov kev sib txuas ntawm transverse yuav tsum muaj peev xwm ua kom haum raws li lub zog transverse. Txij li thaum cov khoom sib thooj yog lub zog buckling PK, nws yog qhov txaus yog tias qhov kev txwv tsis pub thauj khoom mus txog rau qhov no kuj tseem nyob rau hauv kev sib txuas sib txuas - piv txwv li ib txhij nrog tag nrho cov pas nrig. Pom tseeb, yuav tsis muaj txiaj ntsig yog tias qhov sib txuas sib txuas tau loj dua li qhov tsim nyog kom tau txais Q0. Ntawm qhov tod tes, kev sib txuas sib txuas uas tsis muaj zog heev yuav ua rau tus pas nrig ua tsis tiav ntxov.
Cov kab zauv saum toj no tsis tuaj yeem siv ua ntej vim qhov loj ntawm lub xub buckling tsis paub. Tus pas nrig yog nyob rau hauv qhov tsis sib haum xeeb nyob rau hauv PK thiab tuaj yeem, tsawg kawg hauv thawj qib ntawm kev kwv yees, coj tus nqi tsis txaus ntseeg. Nws yog li ntawd pab tau, raws li lub tswv yim ntawm F. Krohn-a, txhawm rau txiav txim siab qhov loj ntawm qhov buckling maxv qhov twg tus pas nrig khoov poob nws cov kabmob muaj peev xwm vim tsis ua haujlwm vim yog khoov. Qhov no yeej yuav tshwm sim yog tias qhov taw tes tawm los mus txog ntawm sab concave ntawm qhov khoov (Fig.6). Cov khoov rau qhov no loj hlob ntxiv thiab lub sijhawm khoov tsis tuaj yeem siv tau.
Daim duab. 6
Tag nrho cov kev ntxhov siab ntawm sab concave ntawm khoov yog raws li daim duab.6rau cov khoom siv yas zoo tagnrho
Los ntawm muaj los txog qhov loj tshaj swagger uas tseem tuaj yeem ua siab ntev
maxQ ua0 yog qhov sib thooj transverse quab yuam ntawm tus pas nrig kawg.
Yog siv rau σK Tetmeier's form thiab muab σF=3,1t / cm2thiab sK=e/2∙ λy uas sib raug rau iy≈e/2, ces Krohn\ qhov kwv yees tus nqi ntawm maxQ tau txais0=F/28(Q hauv t, F in cm2).
Rau arbitrary kab, buckling kev nyuaj siab yog tau
maxQ ua0=μK∙SK.
Lub coefficient μK hloov nrog lub slenderness ntawm tus pas nrig, nws kuj nyob ntawm cov khoom siv. Thaum qhov sib npaug saum toj no muab faib los ntawm cov coefficient ntawm kev nyab xeeb tiv thaiv buckling nws tuaj yeem sau
dozv__Q = μ∙dozvS.
Buckling ntawm linear systems
Nyob rau hauv cov ntaub ntawv ntawm linear systems, nws yog ib qho kev txiav txim siab khoov ntev sK \ = β∙h ntawm tus pas nrig uas yog hinged ntawm ob qho kawg thiab nws lub zog dabtsi yog khoov yog PK \ = π rau kev sib piv.2EI/s ib2K loj xwb. Ib qho piv txwv “buckling length” yuav muab rau cov piv txwv hauv qab no.
a) Qws clamped ntawm ob qhov kawg (EI=const.)
Sl.7
Rau rooj plaub ntawm fig.7ntawm buckling is PK=4π2EI/h2=4,0∙PE, comparative “buckling length” sK=h/2thiab elastic buckling kab v(z) = D(1-cos2π z/h).
b) Qws dawb ntawm ib kawg (daim duab.8)
Sl. 8
Nws yog assumed tias cov kev taw qhia ntawm P tsis hloov raws li tus pas nrig khoov. Ces (EI=const.)
PK= np2EI/4h2=PE/4, sK=2h
v(z)=D(1-cos πz/2h).
Cov xwm txheej contour rau qhov kawg dawb z=h ntawm no nyeem
M=0 or v’’=0
Q=M’-Pv’=0 or v’‘’+a2∙v’=0.
c) Qws clamped ntawm ib kawg (daim duab. 9)
Sl.9
Nrog contour tej yam kev mob
v=0 and v’=0 for z=0
v=0 and v’’=0 for z=h
yog tau rau EI=const. buckling mob
sin_αh - αh∙cos_αh=0_,_
los yog sib npaug
tg = αh. (4)
Cov hauv paus hniav ntawm qhov sib npaug transcendental no muaj nyob hauv cov ntxhuav K. Hayashi's. Lub zog buckling qis tshaj plaws yog raws li cov lus PK1=4,49342/ h2∙ IB =2,046π2EI/h2.
Qhov sib piv buckling ntev yog sK = h / √2,046=0,699h.
d) Ib tug pas nrig clamped ntawm ib qho kawg nrog kev tsis sib haum xeeb (daim duab.10)
Daim duab. 10
Peb yuav xav txog cov ntaub ntawv ntawm qhov hloov pauv ntawm qhov loj me tas mus li. Lub contour tej yam kev mob rau uas yog
v =0thiab v’ =0 rau z=0,
v = v1thiab v’’=0 rau z=h.
Nws yog ib qho teeb meem equilibrium nrog ib txoj kab elastic
Tus denominator ntawm lub sij hawm ua ntej {}-brackets yuav xoom thiab cov buckling nce siab tshaj tag nrho cov kev txwv yog P → PK (saib buckling mob Eq. (4)). Nws yog yam ntxwv ntawm tus cwj pwm ntawm tus pas nrig uas khoov rau hauv nruab nrab thiab qis kawg ntawm tus pas nrig yog pib me me nrog nce load P thiab hloov lawv cov kos npe tsuas yog rau cov loads siab dua. Sl.10qhia khoov ntawm ib nrab qhov siab.
e) Nruam lo hla ob daim teb
Sl.11
Rau ob qho kev daws teeb meem (daim duab.11) peb yuav siv qhov chaw
Thiab_. v(z1) = A1∙ sib1+ B1∙cos a z1+ C1∙ z1+ D1,_
II. v(z2) = A2∙ sib2+ B2∙cos a z2+ C2∙ z2+ D2.
Rau kev yooj yim cia nws yog (EI)1=(EI)2=EI. Kom nrhiav tau yim qhov A1, …, A2, … ua raws li cov xwm txheej contour
v =0thiab v’ =0 rau z1=0,
v =0thiab v’’=0 rau z2= h,
nrog rau cov kev hloov pauv ntawm thaj chaw I thiab II
v =0 rau _z1=h i_for z2=0,
v’ (z1=h)=v’(z2=0),
v’ (z1=h)=v’’(z2=0).
Cov kev sib npaug sib npaug yog muab rau hauv cov lus hauv qab no
Los ntawm kev teeb tsa qhov kev txiav txim siab ntawm cov coefficient sib npaug rau xoom, qhov xwm txheej buckling tau txais
Khoov ntev sK=0,878_h_, thaum rau daim duab.35ib β=0,699. Lub zog buckling txo qis piv rau2,046:1,297vim qhov sib ntxiv ntawm qhov chaw thib ob uas yog hinged. Yog hais tias lwm daim teb tau pinched siab dua, ces lub zog buckling yuav nce ntxiv mus rau lub ncov.2,04_PEB_.
Qhov kev nthuav qhia keeb kwm ntawm cov qauv no tsis yog ib qhov project lossis cov pov thawj ntawm kev ruaj ntseg ntawm cov qauv. Cov kev xav classical ntawm cov tswv cuab ncaj ncaj, centric load thiab elastic cheeb tsam tsis tas yuav suav nrog qhov pib tsis zoo, qhov seem seem, eccentricity, kev sib txuas nruj, cov khoom tsis yog linearity, lateral stability los yog, thaum siv, hluav taws kub, seismic kev txiav txim thiab cov theem sib dhos. Kev suav ntawm cov qauv tiag tiag yuav tsum tau ua los ntawm tus kws tshaj lij pej xeem tso cai raws li cov cai thiab cov qauv siv tau.